三角形中做辅助线的技巧
全等三角形中常见辅助线的作法
全等三角形中常见辅助线的作法一、倍长中线法。
1. 作法。
- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。
- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。
延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。
2. 原因。
- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。
- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。
二、截长补短法。
1. 截长法。
- 作法。
- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。
- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。
在AB上截取AE = AC，然后连接DE。
- 原因。
- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。
这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。
2. 补短法。
- 作法。
- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。
- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。
- 原因。
- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。
三、作平行线法。
1. 作法。
- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。
- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。
过D作DF∥AC交BC于F。
2. 原因。
- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!
初中数学14种方法教会你给三角形加辅助线!1.垂线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条垂线AD，垂足D位于BC边上。
通过垂线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。
2.中线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。
通过中线可以将三角形分成三个等边三角形，进而使用等边三角形的性质解决问题。
3.角平分线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条角平分线AD，使得∠CAD=∠BAD。
通过角平分线可以将一个角平分成两个相等的角，从而使用相等角的性质解决问题。
4.内切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其内切圆，该圆与三角形的三条边都相切。
通过内切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。
5.外切圆：对于任意三角形ABC，可以画出其外切圆，该圆与三角形的三条边都相切。
通过外切圆可以获得三个切点，进而使用切点的性质解决问题。
6.高线：对于任意三角形ABC，可以从顶点A引一条高线AH，垂足H位于BC边上。
通过高线可以将三角形分成两个直角三角形，进而使用直角三角形的性质解决问题。
7.中位线：对于任意三角形ABC，可以从任意两个顶点A和B引两条中位线CD和EF，其中C和D是AB边的中点，E和F是AC边和BC边的中点。
通过中位线可以将三角形分成三个面积相等的三角形，进而使用面积相等的性质解决问题。
8.三角形的对称性：对于任意三角形ABC，可以观察到三个顶点关于其中一条边的对称性，根据这种对称性可以找到一些相等的角或边，从而简化问题的解决。
9.倒错：对于任意三角形ABC，可以考虑将这个三角形倒转或翻转，从而改变三角形的位置和形态，进而简化问题的解决。
10.几何图形的组合：对于给定的三角形ABC，可以考虑将它与其他几何图形进行组合，例如，与一个正方形、矩形或平行四边形组合，从而改变问题的形式，解决新问题。
三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线 （一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，D A =DB ，求证DC ⊥AC例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法图1-2DBC图1-4ABC来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？练习1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。
三角形中的常用辅助线方法总结
数学：三角形中的常用辅助线典型例题人说几何很困难,难点就在辅助线;辅助线,如何添把握定理和概念;还要刻苦加钻研,找出规律凭经验;全等三角形辅助线找全等三角形的方法：1可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段或两个角分别在哪两个可能全等的三角形中；2可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等；3可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等；4若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形;三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折,构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形;常见辅助线的作法有以下几种：1遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”;例1：如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE 垂直于BD,交BD的延长线于点E;求证：BD=2CE;思路分析：1题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2解题思路：要求证BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有BD平分∠ABC 的条件,可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来;解答过程：证明：延长BA,CE交于点F,在ΔBEF和ΔBEC中,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE;又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3;在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE;解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力,而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系,为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想,它是解决问题的关键;2若遇到三角形的中线,可倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”;例2：如图,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线;求证：ΔABC 是等腰三角形;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识;2解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件,而且要求证AB=AC,可倍长AD得全等三角形,从而问题得证;解答过程：证明：延长AD到E,使DE=AD,连接BE;又因为AD是BC边上的中线,∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD,故EB=AC,∠E=∠2,∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2,∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形;解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形;3遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理;例3：已知,如图,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD;求证：∠B+∠ADC=180°;思路分析：1题意分析：本题考查角平分线定理的应用;2解题思路：因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题;解答过程：证明：作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F;∵AC平分∠BAD,∴CE=CF;在Rt△CBE和Rt△CDF中,∵CE=CF,CB=CD,∴Rt△CBE≌Rt△CDF,∴∠B=∠CDF,∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠B+∠ADC=180°;解题后的思考：①关于角平行线的问题,常用两种辅助线；②见中点即联想到中位线;4过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC 于D,若EB=CF;求证：DE=DF;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线;2解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG//CF,构造中心对称型全等三角形,再利用等腰三角形的性质,使问题得以解决;解答过程：证明：过E作EG//AC交BC于G,则∠EGB=∠ACB,又AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠EGB,∴∠EGD=∠DCF,∴EB=EG=CF,∵∠EDB=∠CDF,∴ΔDGE≌ΔDCF,∴DE=DF;解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：例5：△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC 交AC于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线;2解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ;形势较为复杂,我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证;可过O作BC的平行线;得△ADO≌△AQO;得到OD=OQ,AD=AQ,只要再证出BD=OD就可以了;解答过程：证明：如图1,过O作OD∥BC交AB于D,∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°,又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO,又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,∴△ADO≌△AQO,∴OD=OQ,AD=AQ,又∵OD∥BP,∴∠PBO=∠DOB,又∵∠PBO=∠DBO,∴∠DBO=∠DOB,∴BD=OD,又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°,∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°,∴∠BOP=∠BPO,∴BP=OB,∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ;解题后的思考：1本题也可以在AB上截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长法”;2本题利用“平行法”的解法也较多,举例如下：①如图2,过O作OD∥BC交AC于D,则△ADO≌△ABO从而得以解决;④如图5,过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP从而得以解决;小结：通过一题的多种辅助线添加方法,体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形;而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的,体会构造的全等三角形在转移线段中的作用;从变换的观点可以看到,不论是作平行线还是倍长中线,实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形;5截长法与补短法,具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明;这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目;例6：如图甲,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB;求证：CD=AD+BC;思路分析：1题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法;2解题思路：结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的;解答过程：证明：在CD上截取CF=BC,如图乙∴△FCE≌△BCESAS,∴∠2=∠1;又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°,∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4;在△FDE与△ADE中,∴△FDE≌△ADEASA,∴DF=DA,∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC;解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段;1对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法将其放在一个三角形中证明;2在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证明不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明;小结：三角形图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;线段垂直平分线,常向两端把线连;线段和差及倍半,延长缩短可试验;线段和差不等式,移到同一三角形;三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;同步练习答题时间：90分钟这几道题一定要认真思考啊,都是要添加辅助线的,开动脑筋好好想一想吧加油你一定行1、已知,如图1,在四边形ABCD中,BC＞AB,AD=DC,BD平分∠ABC;求证：∠BAD+∠BCD=180°;2、已知,如图2,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD;求证：∠BAP+∠BCP=180°;3、已知,如图3,在△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2;求证：AB=AC+CD;试题答案1、分析：因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长法或补短法”来实现;证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2∴Rt△ADE≌Rt△CDFHL,∴∠DAE=∠DCF;又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°,即∠BAD+∠BCD=180°2、分析：与1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们成为邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造;证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图2-2∴Rt△APE≌Rt△CPD SAS,∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°;∴∠BAP+∠BCP=180°3、分析：从结论分析,“截长”或“补短”都可实现问题的转化,即延长AC 至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC;证明：方法一补短法延长AC到E,使DC=CE,则∠CDE＝∠CED,如图3-2∴△AFD≌△ACDSAS,∴DF=DC,∠AFD＝∠ACD; 又∵∠ACB＝2∠B,∴∠FDB＝∠B,∴FD=FB;∵AB=AF+FB=AC+FD,∴AB=AC+CD;4、证明：方法一将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在△AMN中,AM+AN>MD+DE+NE；①在△BDM中,MB+MD>BD；②在△CEN中,CN+NE>CE；③由①+②+③得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC方法二：图4-2延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF、△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF ①GF+FC>GE+CE ②DG+GE>DE ③由①+②+③得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC;5、分析：要证AB+AC>2AD,由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去∴△ACD≌△EBDSAS∴BE=CA全等三角形对应边相等∵在△ABE中有：AB+BE>AE三角形两边之和大于第三边∴AB+AC>2AD;6、分析：欲证AC=BF,只需证AC、BF所在两个三角形全等,显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形,而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易;这时我们想到在同一个三角形中等角对等边,能够把这两条线段转移到同一个三角形中,只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段,所对的角相等即可;思路一、以三角形ADC为基础三角形,转移线段AC,使AC、BF在三角形BFH 中方法一：延长AD到H,使得DH=AD,连结BH,证明△ADC和△HDB全等,得AC=BH;通过证明∠H=∠BFH,得到BF=BH;∴△ADC≌△HDBSAS∴AC=BH,∠H=∠HAC∵EA=EF∴∠HAE=∠AFE又∵∠BFH=∠AFE∴BH=BF∴BF=AC方法二：过B点作BH平行AC,与AD的延长线相交于点H,证明△ADC和△HDB 全等即可;小结：对于含有中点的问题,通过“倍长中线”可以得到两个全等三角形;而过一点作已知直线的平行线,可以起到转移角的作用,也起到了构造全等三角形的作用;思路二、以三角形BFD为基础三角形;转移线段BF,使AC、BF在两个全等三角形中方法三：延长FD至H,使得DH=FD,连接HC;证明△CDH和△BDF全等即可;∴△BFD≌△CHDSAS∴∠H=∠BFH∵AE=FE∴∠HAC=∠AFE又∵∠AFE=∠BFH∴∠H=∠HAC∴CH=CA∴BF=AC方法四：过C点作CH平行BF,与AD的延长线相交于点H,证明△CDH和△BDF 全等即可;。
三角形全等证明,10道考试真题,6种常用辅助线添加的方法和技巧.doc
三角形全等证明，10道考试真题，6种常用辅助线添加的方法和技巧以下六种常用的辅助线添加方法和技巧。
相互学习，一起进步。
方法一、双垂直构造三角形全等。
遇见角平分线，角平分线上的点向角两边做垂直，必出三角形全等。
例题1，是最基础，最简单的题型。
有些，需要我们证明角平分线的时候，同样可以向角两边做垂直，那么只要两个垂线段相等，到角两边距离相等的点在角平分线上。
例题2，过点P做MN平行BC，则出现在AB边和CD 边上，双垂直。
根据题意，证明三角形QNP全等于三角形PMB，结论得证。
方法二，倍长中线。
三角形中，遇见中点，很容易想到倍长中线。
例题3，倍长中线后，得出三角形ACE全等于三角形ACM。
例题4，延长AD至E，使DE=AD。
得出三角形ADC全等于三角形EDB。
第2小题，根据三角形的三边关系，等量代换，即可求出AD的取值范围。
方法三、截长补短法。
求证两个线段和等于一个线段的时候，很容易想到截长补短的辅助线添加方法。
截长补短法，包括了截长法和补短法，两种方法。
一般来说，一道题，既可以用截长法，也可以用补短法。
例题6、解析中用了延长AD至M，使MD=FD。
请认真看解答过程。
再请按照图3的辅助线，自行练习推理，举一反三，得出结论。
方法四、平行线发或者平移法。
解题方法1，过点O做OD平行BC。
还有两个方法，请自行推理，如图3和图4.方法五，旋转法。
把一个三角形，经过旋转，旋转后必出三角形全等，得出结论。
例8和例9，其实也就是，最近经典的半角模型。
之前也专门讲过，这个几何模型。
请认真参考，这个两个例题。
从中总结规律和解题方法。
方法六、翻折法，或者叫对称法。
例题10，看起来很难，当你认真看完解题过程，肯定会有所收获。
三角形中几种添加辅助线的方法技巧
三角形中几种添加辅助线的方法技巧分宜中学游小敏摘要：人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。
关键词：三角形辅助线解题方法每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
技巧一：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
例：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），∴CF=BG=DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．技巧二：含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
例：已知：如图，△ABC是锐角三角形。
分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。
D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。
求证：DE=EF证明：连结CM 、BN∵△ABM 、△ACN 为等边三角形∴AM=AB ，AC=AN ，∠MAB=∠CAN=60°∴∠MAB+∠BAC=∠CAN+∠BAC即∠MAC=∠BAN在△MAC 与△BAN 中MA=BA （已证）∠MAC=∠BAN （已证）AC=AN （已证）∴△MAC ≌△BAN （SAS ）∴CM=BN （全等三角形对应边相等）又∵D 、E 、F 为中点∴DE=1/2CM ，EF=1/2BN∴DE=FE技巧三：含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
全等三角形六种辅助线方法及例题
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
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三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。
求证：∠ADC+∠B=180?例2． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。
求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。
练习：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA ，PD ⊥OA ，如果PC=4，则PD=（ ）A 4B 3C 2D 12.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
3.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90?,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作F H//AB 交BC 于H 。
求证CF=BH 。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。
求证：DH=21（AB-AC ） 分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。
问题可证。
图2-3B图2-6ECDB例2.已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90?，AD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。
例3． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。
求证：AM=21（AB+AC ） 分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△A BD 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=CF 即可。
练习：1． 已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。
2． 已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF 于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=21BC （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
例1 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。
例2 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。
图3-2DABEFC图3-3DBEFNAC M图3-4nEBAD CMFBDCAE CD练习：1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 。
求证：△ABC 是直角三角形。
2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD 4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD二、 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：CA B ABCDAEB DC A B DC 1 2例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.ABCDEN M 11 图二、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：ABCDE FN13图1234例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。
三、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点ABCDNMP16图12求证：AB-AC>PB-PC。
例1．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 。
例2如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，求证：∠ADC+∠B=180o例3已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
求证：BC=AB+DC 。
例4如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB于M ，且AM=MB 。
求证：CD=21DB 。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 方法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G ，证明ΔDGF ≌ΔCEF方法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延长线于G ，证明ΔEFG ≌ΔDFB 方法3：过D 作DG ⊥BC 于G ，过E 作EH ⊥BC 的延长线于H 证明ΔBDG ≌ΔECHDAE CBAEBCDDCBA MBD C AEDAB例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA三角形BEG 是等腰三角形例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE 、DF 交于G证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于 F. 求证：EF CF BE >+提示：方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边3、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC第 1 题图ABFDECDABCMTE于E，求证：CT=BE.提示：过T作TN⊥AB于N证明ΔBTN≌ΔECD三、由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。