第二十章曲线积分
第二十章曲线积分
第二十章 曲线积分§1 第一曲线积分一 物理背景：空间曲线型构件的质量。
二 定义 设L 是3R 上可求连续曲线，端点为A 和B ，(,,)f x y z 在L 上有界，令0,n A P B P ==，在L 上从A 到B 顺序插入分点121,,,n P P P -，任取1(,,)i i i i iP P ξηζ-∈，作和式1(,,)niiiii f S ξηζ=∆∑，01(,,)lim (,,)ni i i ii Lf x y z ds f S λξηζ→==∆∑⎰，L 称为积分路径。
特别的，平面上(,)Lf x y ds ⎰。
三 性质：线性；路径可加性；四 计算方法：(,,)f x y z 在L 上连续，则它在L 上第一类曲线积分存在，且L 方程为(),(),(),x x t y y t z z t t αβ===≤≤其中(),(),()x t y t z t 具有连续偏导，且'(),'(),'()x t y t z t 不同时0，则L可求长且(,,)((),(),(Lf x y z ds f x t y t z t βα=⎰⎰。
特别的，(),y y x a x b =≤≤，(,)(,(Lf x y ds f x y x βα=⎰⎰例1计算LI =⎰，222:,L x y a y x +==和x 轴在第一象限所围边界. OAOBABI =++⎰⎰⎰:,0OA y x x =≤≤,01a a OAe ==-⎰⎰:cos ,sin ,04AB x a y a πθθθ==≤≤,404a aABe ad ae ππθ==⎰⎰ :0,0OB y x a =≤≤,1ax a OBe dx e ==-⎰⎰, 所以 2(1)4a a I e ae π=-+。
例2 非均匀金属线cos ,sin ,,01t t t x e t y e t z e t ===≤≤，每点的线密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在（1，0，1）处的线密度为1，求质量M . 解 2222(,,)2tk kx y z x y z eρ==++，由(1,0,1)1ρ=得2k =，所以2(,,)t x y z e ρ-=11210(,,))tt LM x y z ds edt e dt e ρ---====-⎰⎰。
G202第二型曲线积分
第20章 曲线积分
本章内容：
第一节、第一型曲线积分
（或称：关于弧长的曲线积分）
第二节、第二型曲线积分
（或称：关于坐标的曲线积分）
1
几类积分概况
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
曲线积分
对弧长的曲线积分（第一型） 对坐标的曲线积分（第二型）
25
3. 计算
•
对有向光滑弧
L
:
x y
(t) (t)
,
t :
P[
(t),
(t )] (t )
Q[
(t),
(t)]
(t)d
t
• 对有向光滑弧 L : y (x) , x : a b
ab P[x, (x)] Q[x, (x)] (x)dx
26
• 对空间有向光滑弧 :
x (t) y (t), t : z (t)
T 0 k 1
P(k
, k )xk Q(k
,k )yk
记作 L P(x, y)dx Q(x, y)d y或L P(x, y)dx L Q(x, y)d y
都存在, 则称此极限为函数
在有向曲线弧 L 上
第二型曲线积分, 或对坐标的曲线积分. 其中
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
y B(1,1)
解法1 取 x 为积分变量, 则 L : AO OB
AO : y x, x :1 0
y x
OB : y x, x : 0 1
o y x x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
解法2 取 y 为积分变量, 则
第一型曲线积分
Li
L
k
也存在，且 f ( x, y)ds
f ( x, y)ds
L
i 1 Li
3 保号性若L f ( x, y)ds与L g( x, y)ds都存在，
且在 L上 f ( x, y) g( x, y)，
则L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
4 积分绝对值 若L f ( x, y)ds存在，则 L f ( x, y)ds也存在，且| L f ( x, y)ds | L f ( x, y)ds
2(t) 2(t) 2(t)dt;
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1:
y 2
y2=2x
ds
1
dy dxyds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y2 , 0≤y≤2 2
f ( (t ), (t ))关于t 连续， 则
M>0, 使得 f ( (t ), (t )) M .
又 2(t) 2(t)在[, ]上一致连续
。
即 0, 0,使当t<时有
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ,
从而
n
M ti M (b a) 0. i 1
由定积分的定义
5 平均值公式 若L f ( x, y) d存s在，L的弧长为s，
则存在常数c，使得L f ( x, y)ds cs。
其中inf f ( x, y) c sup f ( x, y)
L
L
二 第一型曲线积分的计算
定理 20.1
《数学分析》第20章 曲线积分ppt课件
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得.
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2,, k ) 在ci (i 1, 2, , k )为
k
常数, 则 L i1 ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于z 轴的柱面上截取
0 z f ( x, y)的部分的面积就是L f ( x, y)ds.
z
z f (x, y)
O
y
x
L
图 20 1
二． 第一型曲线积分的计算
定理20.1
设有光滑曲线
L
:
x y
(t (t
), ),
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
3．若 L f ( x, y)ds 与 L g( x, y)ds 都存在, 且在 L 上
f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. 4． 若 L f ( x, y)ds 存在,则 L |f ( x, y)|ds 也存在,
k
k
L i1 ci fi ( x, y)ds i1 ci L fi ( x, y)ds.
2. 若曲线段 L由曲线 L1, L2 ,, Lk 首尾相接而成,
f ( x, y)ds (i 1,2,,k) 都存在, 则 f ( x, y)ds
Li
L
也存在, 且
k
f ( x, y)ds
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y) 为
曲线曲面积分总结
曲线曲面积分总结引言曲线曲面积分是微积分的一个重要分支，它在物理学、工程学和数学分析等领域中有广泛的应用。
本文将对曲线曲面积分的基本概念、计算方法以及一些常见的应用进行总结和说明。
一、曲线积分1.1 概念曲线积分用于描述沿曲线的物理量的累积效应。
给定一条曲线C，曲线积分可以用来计算函数f(x,y)沿此曲线的积分。
曲线积分的计算可以分为两种类型：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
1.1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为标量场的曲线积分，用来计算形如f(x, y, z)的标量场沿曲线C的积分。
第一类曲线积分可以用参数方程表示，计算公式为：第一类曲线积分第一类曲线积分1.1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为矢量场的曲线积分，用来计算形如\vec{F}=F_1\vec{i}+F_2\vec{j}+F_3\vec{k}的矢量场沿曲线C的积分。
第二类曲线积分可以用参数方程表示，计算公式为：第二类曲线积分第二类曲线积分1.2 计算方法曲线积分的计算方法有两种：参数法和直接法。
1.2.1 参数法参数法是通过曲线的参数方程来计算曲线积分。
首先需要将被积函数和参数方程表示成关于参数t的表达式，然后再进行积分计算。
直接法是通过直接求解矢量场与曲线的切向量的点积来计算曲线积分。
该方法相对简单，适用于简单的曲线。
1.3 应用曲线积分在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，曲线积分用于计算磁场沿闭合曲线的环流量；在流体力学中，曲线积分用于计算流体质点沿曲线的流量。
二、曲面积分2.1 概念曲面积分用于描述曲面上的物理量的累积效应。
给定一个曲面S，曲面积分可以用来计算函数f(x, y, z)在此曲面上的积分。
曲面积分的计算可以分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
2.1.1 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为标量场的曲面积分，用来计算形如f(x, y, z)的标量场在曲面S上的积分。
第一类曲面积分的计算公式为：第一类曲面积分第一类曲面积分2.1.2 第二类曲面积分第二类曲面积分又称为矢量场的曲面积分，用来计算形如\vec{F}=F_1\vec{i}+F_2\vec{j}+F_3\vec{k}的矢量场在曲面S上的积分。
高教版数学分析第4版课件20-2
加即可得到所求之曲线积分.
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§2 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的联系
由于沿直线 AD : x x, y 1(1 x 2) 的线积分为
xydx ( y x)dy xydx 2 xdx 3
AD
AD
1
2
沿直线 DB : x 2, y y(1 y 3) 的线积分为
3
xydx ( y x)dy ( y x)dy ( y 2)dy 0.
DB
DB
1
沿直线 BA 的线积分可由(i)及公式(5)得到
xydx ( y x)dy = xydx ( y x)dy 25 .
AB
AB
为书写简洁起见, (1)式常简写成
Pdx Qdy 或 Pdx Qdy.
L
AB
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§2 第二型曲线积分 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算
两类曲线积分的联系
若L为封闭的有向曲线, 则记为
L Pdx Qdy.
(2)
若记 F( x, y) (P( x, y),Q( x, y)), ds (dx, dy), 则(1)
数学分析 第二十章 曲线积分
§2 第二型曲线积分
第二型曲线积分与第 一型曲线积分不同的是在 有方向的曲线上定义的积 分, 这是由于第二型曲线积 分的物理背景是求变力沿 曲线作的功,而这类问题显 然与曲线的方向有关.
一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 三、两类曲线积分的联系
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第二十章 曲线积分
第二十章 曲线积分§1 第一型曲线积分教学目的 掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学内容 第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．基本要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学建议要求学生必须熟练掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学程序一、引言: 金属曲线的质量问题设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少?用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C).a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,,,n A A A -L ,这样曲线C 就分成了一些小弧段.把1i i A A -（0,n A A A B ==）的弧长记为,1,2,,i S i n∆=L ,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然,当i S ∆很小时, 1i i A A -的质量mi近似等于(,)i i i p S ξη∆.从而整个金属曲线C 的质量m:b) 作和: m=∑=m i m 1i ∑=≈mi i i p 1),(ηξSi ∆c) 取极限:令s=max Si ∆,则m=lim ∑=ni i i p 1),(ηξSi ∆上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分.抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义定义 设L 为平面上可求长度的曲线段，()y x f ,为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L （n i ,,2,1Λ=），i L 的弧长记为i s ∆，分割T 的细度为ini s T ∆=≤≤1max ，在i L 上任取一点()i i ηξ,（n i ,,2,1Λ=）．若有极限()∑=→∆ni iiiT sf 1,limηξ=J ，且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关，则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分，记作()dsy x f L⎰,．（二）、第一型曲线积分的性质（1）若()dsy x f Li⎰,（n i ,,2,1Λ=）都存在，i c （n i ,,2,1Λ=），为常数，则()ds y x f c L n i ii ⎰∑=1,=()dsy x f c ni Lii ∑⎰=1,.（2）若曲线段L 由曲线21,L L …n L ，首尾相接而成，()dsy x f iL ⎰,都存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,=()dsy x f ni L i∑⎰=1,.（3）若()ds y x f L⎰,，()dsy x g L⎰,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则()ds y x f L⎰,≤()dsy x g L⎰,.（4）若()ds y x f L ⎰,存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,≤()dsy x f L⎰,.（5）若()dsy x f L⎰,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得()dsy x f L⎰,=c s ，这里()()y x f c y x f LL,max ,inf ≤≤.三、第一类曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线L ：()()[]βαψϕ,,,∈⎩⎨⎧==t t y t x ， ()y x f ,为定义在上的连续函数，则()dsy x f L⎰,=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22, . (3)证明 由弧长公式知道，L 上由1-=i t t 到i t t =的弧长,=∆i s ()()⎰-'+'ii t t dtt t 122ψϕ，由()()t t 22ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有=∆i s ()()i i i t ∆''+''τψτϕ22()i i i t t <'<-τ1，所以()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ，这里()i i i i t t ≤'''≤-ττ,1．设=σ()()()()()()()ii i ni i i it f ∆'''+'''-''+''''''∑=][,22122τψτϕτψτϕτψτϕ，则有()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆'''+'''''''∑=122,τψτϕτψτϕ+σ， (4)令{}11,,m ax n t t t ∆∆=∆Λ，则当0→T 时，必有0→∆t ．现在证明0lim 0=→∆σt .因为复合函数()()()t t f ψϕ,关于t 连续，所以在闭区间[]βα,上有界，即存在常数M ，使对一切t ∈[]βα,都有 ()()()M t t f ≤ψϕ,，()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，再由()()t t 22ψϕ'+'在[]βα,上连续，所以它在[]βα,上一致连续，即对任给的0>ε，必存在0>δ，使当δ<∆t 时有()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，从而()∑=-=∆≤ni i a b M t M 1εεσ, 所以0lim 0=→∆σt .再由定积分定义()()()()()ini i i i t f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22,，因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式.当曲线L 由方程()[]b a x x y ,,∈=ψ表示，且()x y ψ=在[]b a ,上有连续导函数时，(3)式成为()()()⎰'+badxx xt x f 21,ψψ.注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限．1.上述公式可能为在替换)().().(t z z t y y t x x ===下积分ds z y x f c⎰),,(的变形.2.注意:=ds3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算.4.特别地,如果曲线C 为一光滑的平面曲线,解为 y=)(x ϕ ),(b x a ≤≤ 那么有⎰⎰+=dx x x x f ds y x f c)(1)](,[),('2ϕϕ.若曲线C 方程为],[),(d c y y x ∈=ϕ, 则dy y y y f y x f dc c)(1]),([),('2ϕϕ+=⎰⎰.5.这个积分的特性在于曲线C 的方向无关,又称为关于弧长的积分.例1 设L 是半圆π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x 0,sin ,cos 试计算第一型曲线积分()⎰+Ldsy x22.解 ()⎰+Ldsy x22=()⎰=+ππ032222sin cos a dt t t a a .例2 设L 是x y 42=从()0,0O 到()2,1A 的一段，试计算第一型曲线积分⎰Lyds.解 ⎰L yds =()12234024*******32202-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⎰y dy y y .空间曲线L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线)( , )( , )( :t z t y t x L χψϕ===,],[βα∈t .函数)( , )(, )(t t t χψϕ连续可导, 则对L 上的连续函数),,(z y x f , 有 ()⎰⎰'+'+'=Ldt t t t t t t f ds z y x f βαχψϕχψϕ)()()()( , )( , )(),,(222.例3 计算积分⎰Lds x 2, 其中L 是球面2222a z y x =++被平0=++z y x截得的圆周 .解 由对称性知 , ⎰=Lds x 2⎰=Lds y 2⎰Lds z 2, ⇒⎰L ds x 2=⎰⎰==++L L a ds a ds z y x 32222323)(31π. ( 注意L 是大圆 ).例4 求⎰++Lds zx yz xy )(，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线.解法1 ⎰++Lds zx yz xy )(⎰++=Lds zx yz xy )(221⎰++-++=Lds z y x z y x )]()[(212222 ⎰++-=L ds z y x )(21222⎰-=-=La ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程。
数学分析20曲线积分总练习题(含参考答案)
第二十章 曲线积分总练习题1、计算下列曲线积分：(1)⎰L yds , 其中L 是由y 2=x 和x+y=2所围的闭曲线； (2)⎰L ds y , 其中L 为双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2)；(3)⎰L zds , 其中L 为圆锥螺线x=tcost, y=tsint, z=t ，t ∈[0,t 0]；(4)ydx x dy xy L 22-⎰, 其中L 为以a 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ； (5)⎰--Lyx dxdy , 其中L 是抛物线y=x 2-4, 从A(0,-4)到B(2,0)的一段； (6)dz x dy z dx y L 222++⎰,L 是维维安尼曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=ax (z ≥0,a>0),若从x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向进行的.解：(1)解方程组⎩⎨⎧=+=22y x x y ，得⎩⎨⎧-==24y x ，⎩⎨⎧==11y x .∴曲线L 抛物线段为x=y 2, y ∈[-2,1], ds=241y +dy; 直线段为x=2-y, y ∈[-2,1], ds=2dy; ∴⎰L yds =dy y y ⎰-+12241+dy y ⎰-122=1232)41(121-+y +12222-y=223)171755(121-- (2)双纽线的极坐标方程为：r 2=a 2cos2θ, θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π], ∴ds=θd r r 22'+=θθd ra r 22422sin +=θd r a 2，由被积函数与L 的对称性， 有⎰Lds y =4θθπd r a r ⎰402sin =4a 2θθπd ⎰40sin =4a 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221.(3)ds=dt z y x 222'+'+'=dt t 22+. ∴⎰L zds =dt t t t 2200+⎰=[]22)2(3120-+t.(4)L: x=acost, y=asint, -2π≤t ≤2π.∴ydx x dy xy L 22-⎰=dt t t a ⎰-22224sin cos 2ππ=)4()4cos 1(16224t d t a⎰--ππ=44πa -.(5)⎰--L y x dx dy =dx x x x ⎰+--202412=-)4(412202----⎰x x d x x =-ln|x 2-x-4|2=ln2.(6)设x=asin 2t, 则维维安尼曲线的参量方程为：x=asin 2t, y=asintcost, z=acost, 当t 从2π减少到-2π时，就是曲线的方向， ∴dz x dy z dx y L 222++⎰=a3dt t t t t t t )sin cos sin cos cos sin 2(52222433--+⎰-ππ= a 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰--dt t t dt t 2222222cos sin 2cos ππππ= a 3⎪⎭⎫ ⎝⎛+-42ππ=4π-a 3.2、设f(x,y)为连续函数，试就如下曲线： (1)L:连接A(a,a), C(b,a)的直线段；(2)L:连接A(a,a), C(b,a), B(b,b)三点的三角形(逆时针方向)， 计算下列曲线积分：⎰L ds y x f ),(, ⎰Ldx y x f ),(,⎰Ldy y x f ),(.解：(1)⎰L ds y x f ),(=dx a x f ba ⎰),(; ⎰Ldx y x f ),(=dx a x f b a⎰),(;⎰Ldy y x f ),(=0.(2)∵⎰L =⎰AC +⎰CB +⎰BA ,∴⎰L ds y x f ),(=dx a x f ba ⎰),(+dy yb f ba ⎰),(+dt t t f ba 2),(⎰;⎰Ldx y x f ),(=dx a x f b a⎰),(+0+dt t t f ba⎰),(;⎰Ldy y x f ),(=0+dy y b f b a⎰),(+dt t t f ba⎰),(.3、设f(x,y)为定义在平面曲线弧段⌒AB上的非负连续函数，且在⌒AB上恒大于0.(1)试证明⎰⋂ABdsyxf),(>0；(2)在相同条件下，第二型曲线积分⎰⋂ABdxyxf),(>0是否成立？为什么？(1)证：∵存在点(x0,y0)∈⌒AB，使得⎰L dsyxf),(=f(x0,y0)△L，△L为⌒AB的弧长. 又f(x,y)在⌒AB上恒大于0，即f(x0,y0)>0，∴⎰⋂ABdsyxf),(>0.(2)解：不一定成立，如取⌒AB为从A(0,0)到B(0,1)的直线段，取f(x,y)=0,则⎰⋂ABdxyxf),(=0.。
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第二十章曲线积分
教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。
教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。
教学时数：6学时
§ 1 第一型曲线积分
一. 第一型线积分的定义:
1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量
2.曲线的质量:
3.第一型曲线积分的定义: 定义及记法.线积分,.
4.第一型线积分的性质: P198
二. 第一型线积分的计算:
1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 .
Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则
. ( 证 ) P199 若曲线方程为: , 则
.
的方程为时有类似的公式.
例1 设是半圆周, .
. P200例1
例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2
空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线
,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有
.
例3计算积分, 其中是球面被平面
截得的圆周 . P201例3
解由对称性知 , ,
=. ( 注意是大圆 )
§ 2 第二型曲线积分
一.第二型曲线积分的定义:
1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:
先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得
, 即.
2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ).
设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方
向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量.
,
因此 ,
.
由, 得
.
于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为
.
3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有
力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为
.
流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到
右侧的总流量E为.
第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有
,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.
可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分
.
4. 第二型曲线积分的性质:
第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.
二. 第二型曲线积分的计算:
曲线的自然方向: 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.
设L为光滑或按段光滑曲线 , L : .
A , B; 函数和在L上连续, 则沿L的自然方向( 即从点A到点B的方向)有
. (证略) 例1 计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为
ⅰ> 直线段AB
ⅱ> 抛物线;
ⅲ> A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合路径 . P205例1
例2计算积分, 这里L :
ⅰ> 沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
ⅱ> 沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 );
ⅲ> 沿折线闭合路径O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205例1
例3 计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线, 从到的一段 . P207例3 例4 求在力场作用下,
ⅰ> 质点由点A 沿螺旋线到点B所作的功, 其中L : , .
ⅱ> 质点由点A沿直线L到点B所作的功 P207例4。