第十章(第三部分)曲线积分习题解答
同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
3计算下列对弧长的曲线积分
解： ds = xt 2 + yt 2 + zt 2 dt = 1 + 4 x 2 + 9 y 2 dt
∴ cosα = dx =
1
ds 1 + 4 x 2 + 9 y 2
cos β = dy =
2x
ds 1 + 4 x 2 + 9 y 2
cosγ = dz =
3y
ds 1 + 4 x 2 + 9 y 2
(2) 沿抛物线 y = x 2 从点(0,0)到点(1,1)
(3) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = 2 x 从点(0,0)到点(1,1)
解：（1） L1 的方向余弦： cosα = cos β = cos 45o = 1 2
∫ ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 1 [P( x, y) + Q( x, y)]ds
y
L ε L1
−ε
D11
x
在
L
与
L1Leabharlann 包围的区域上，由∂P ∂y
=
x2 − y2 (x2 + y2 )2
=
∂Q ∂x
和格林公式，有
∫ ∫∫ ydx − xdy = ( ∂Q − ∂P )dxdy = 0
L1 + L2 2( x 2 + y 2 ) D1 ∂x ∂y
∫ ∫ ∫ ydx − xdy = ydx − xdy = 2π − ε 2 sin2 θ − ε 2 cos2 θ dθ = −π
2
0dt +
1
0dt +
312 ⋅ t ⋅ 2dt = 9
0
(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
曲线积分习题答案
曲线积分习题答案曲线积分习题答案曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在学习曲线积分的过程中，我们常常会遇到一些习题，通过解答这些习题可以加深对曲线积分的理解。
本文将给出一些曲线积分习题的详细解答，希望能够帮助读者更好地掌握曲线积分的概念和计算方法。
1. 计算曲线积分∮(x^2+y^2)ds，其中C为圆周x^2+y^2=a^2。
解答：首先，我们需要确定曲线C的参数方程。
由于C是一个圆周，我们可以选择极坐标系来描述它。
令x=a*cosθ，y=a*sinθ，其中0≤θ≤2π。
接下来，我们需要计算ds，即弧长元素。
根据极坐标系的定义，ds的表达式为ds=√(dx^2+dy^2)=√(a^2*cos^2θ+a^2*sin^2θ)dθ=a*dθ。
将ds代入曲线积分的定义中，得到∮(x^2+y^2)ds=∮(a^2*cos^2θ+a^2*sin^2θ)a*dθ=∮a^3dθ。
由于θ的取值范围为0到2π，所以曲线积分的结果为∮(x^2+y^2)ds=a^3∮dθ=a^3*2π=2πa^3。
2. 计算曲线积分∮(x^2+y^2)ds，其中C为抛物线y=x^2的一段，起点为(0,0)，终点为(1,1)。
解答：为了计算曲线积分，我们需要确定曲线C的参数方程。
由于C是抛物线y=x^2的一段，我们可以选择直角坐标系来描述它。
令x=t，y=t^2，其中0≤t≤1。
接下来，我们需要计算ds，即弧长元素。
根据直角坐标系下的弧长元素表达式，ds的表达式为ds=√(dx^2+dy^2)=√(1+4t^2)dt。
将ds代入曲线积分的定义中，得到∮(x^2+y^2)ds=∮((t^2)+(t^2)^2)√(1+4t^2)dt=∮(t^2+t^4)√(1+4t^2)dt。
由于t的取值范围为0到1，所以曲线积分的结果为∮(x^2+y^2)ds=∫(0到1)(t^2+t^4)√(1+4t^2)dt。
在这个例子中，我们无法通过初等函数求出积分的解析表达式。
高等数学课后习题解答 上海交通大学出版社 第三版 习题10解答
第10章 曲线积分与曲面积分1．计算下列对弧长的曲线积分：(1) sin d C x y s ⎰，其中C 为3x ty t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤1)；(2)22()d Cx y s +⎰Ñ，其中C 为圆周cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤2π)； (3) 2d Cy s ⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)； (4) d Cy s ⎰，其中C 为抛物线y 2=2x 上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧； (5) ()d Cx y s +⎰，其中C 为以O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)为顶点的三角形的边界；(6)s ⎰，其中C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；(7) d Cz s ⎰，其中C 为圆锥螺线cos sin x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩从t =0到t =1的一段；(8) 2d Cx s ⎰，其中C为圆周2224x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解答：(1)1111sin d 3sin sin cos cos )Cx y s t t tdt t t tdt ===-+⎰⎰⎰(s i n 1c o s 1)=-；(2) 2223()d 2Cx y s a a ππ+==⎰⎰Ñ；(3)22223500d (1cos )16sin 2Cty s a t a dt ππ=-=⎰⎰⎰353025632sin 15a d a πθθ==⎰；(4)3222211d (1)1)33Cy s yy ==+=⎰⎰； (5) C 可以分割为三条直线:0(01)OA y x =≤≤，:0(01)O B xy =≤≤，:1(01)BA y x x =-≤≤()d Cx y s +⎰=()d OAx y s +⎰+()d OBx y s +⎰+()d ABx y s +⎰111(1xdx ydy x x =+++-⎰⎰⎰1=；(6) C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；化为参数方程cos 22sin 2a a x t a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(0≤t ≤2π)，2222200coscos 22222a a t ts dt dt a dt a πππ====⎰⎰⎰⎰；(7)1d Cz s =⎰⎰31212011(2)33t ==+=⎰； (8) C可以表示为参数方程[]cos sin ;0,2x y z θθθπ⎧=⎪=∈⎨⎪=⎩2220d cos Cx s πθπ==⎰⎰．所属章节：第十章第一节 难度：一级2．已知半圆形状铁丝cos sin x a ty a t =⎧⎨=⎩(0≤t ≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝的质量解答：20d sin 2Cm y s a a π===⎰⎰所属章节：第十章第一节难度：一级3．已知螺旋线cos sin x a t y a t z bt =⎧⎪=⎨⎪=⎩(b >0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t 从0到2π一段弧的质量解答：222222223208()d (ππ)3C m x y z s a b t a b π=++=+=+⎰⎰所属章节：第十章第一节 难度：二级4．求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)关于Ox 轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点到x 轴的距离成正比，比例系数为k )解答：722332d (1cos )(1cos )CI ky s k t t dt ππ==-=-⎰⎰⎰23740102464sin 235t kadt ka π==⎰ 所属章节：第十章第一节 难度：二级5．计算下列对坐标的曲线积分：(1) d d C y x x y +⎰，其中C 为圆弧cos π,(0)sin 4x a t t y a t =⎧≤≤⎨=⎩，依参数t 增加方向绕行；(2) (2)d ()d Ca y x a y y ---⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩自原点起的第一拱； (3) d Cx y ⎰，其中C 为x +y =5上由点A (0，5)到点B (5，0)的一直线段；(4)Cxydx ⎰Ñ，其中C 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行) 解答：(1)()22440d d sin (cos )cos sin cos 22Ca y x x y a td a t a td a t atdt ππ+=+==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰(2)(2)d ()d Ca y x a y y ---⎰220[(2cos )(sin )(cos )((1cos ))a a a t d at a t a a a t d a t a ππ=-+---+-=⎰(3)525d (5)2Cx y xd x =-=-⎰⎰ (4) C 分成两部分在2122()(0):x a y a a C -+=>在x 轴的上部逆时针方向，2C 是从原点指向(2,0)a ，则1202320π02aCC C a xydx xydx xydx x dx a =+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰蜒? 所属章节：第十章第二节 难度：一级6．计算22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，1)：(1) OA 为直线段y =x ； (2) OA 为抛物线段y =x 2； (3) OA 为y =0，x =1的折线段解答：(1)122201()d d 3OA x y x xy y x dx -+==⎰⎰；(2)()122243208()d d ()15OA x y x xy y x x dx x d x ⎡⎤-+=--=⎣⎦⎰⎰； (3) 设点B 的坐标为(1，0)，则OA 分为两段1122205()d d 6OAOBBAx y x xy y x dx ydy -+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第十章第二节 难度：一级7．计算22d d ABxy x x y +⎰，其中点A 、B 的坐标分别为A (0，0)，B (1，1)：(1) AB 为直线段y =x ； (2) AB 为抛物线段y =x 2； (3) AB 为y =0，x =1的折线段 解答：(1) 122202d d (2)1ABxy x x y x dx x dx +=+=⎰⎰；(2)1232202d d [2()]1ABxy x x y x dx x d x +=+=⎰⎰；(3) 设点C 的坐标为(1，0)，则AB 分为两段1122d d 011ABACCBxy x x y dx dy +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级8．计算下列曲线积分：(1) 222()d 2d d Ly z x yz y x y -+-⎰，其中L 依参数增加方向绕行的曲线段23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(0≤t ≤1)；(2)d d (1)d Lx x y y x y z +++-⎰，L 为从点A (1，1，1)到点B (2，3，4)的一直线段；解答：(1)1222466401()d 2d d (43)35Ly z x yz y x z t t t t dt -+-=-+-=⎰⎰； (2)此时L 写作参数方程12 1 (01)31x t y t t z t =+⎧⎪=+≤≤⎨⎪=+⎩1d d (1)d (14293)13Lx x y y x y z t t t dt +++-=+++++=⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级9．一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成。
高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(最新整理)
y
x
y
B(2,1)
3
O
A(2, 0) x
(2,1)
xOy 面内恒成立，因此，曲线积分 (2x y)dx (x 2 y)dy 在整个 xOy 面内与路径无 (0,0)
关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
(2,1)
(2x y)dx (x 2 y)dy 4 1 5 。
及 B(0,1) 所成三角形的边界；
y
A
C
o
x
B
解: AL (x y 1)ds 3 2 2 ．
A （3） x2 y2 ds ，其中 L 为圆周 x2 y2 x ； L
A 解: x2 y2 ds 2 ． L
（4） x2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A(0, 0, 0) ， B(0, 0, 2), C(1, 0, 2), L
方向； 解:
18 。
(2) ydx ( 3 sin y x)dy ，其中 L 是依次连接 A(1,0), B(2,1), C(1,0) 三点的折线 L
段，方向是顺时针方向。
解 :2 .
(3)
(ex sin y my)dx (ex cos y m)dy ，其中 m 为常数， L 为圆 L
x2 y2 2ax 上从点 A(a, 0) 到点 O(0, 0) 的一段有向弧；
解 : 1 m a2 0 1 m a2 。
2
2
y
dx y2
，其中
L 为椭圆 4x2
y2
1 ，取逆时
针方向；
0(0,0) o
A(2a,0) x
解
2 d 2 ． 0
A (5)
u ds
L
5
第十章(第三部分)曲线积分习题解答 (1)
第十章 曲线积分与曲面积分（第三部分）曲线积分习题解答一、对弧长的曲线积分1．计算⎰=Lyds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20 ,0(π≤≤>t a ．解 由于⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (:t a y t t a x L ,)20 (π≤≤t ；而dt t a dt y x ds 2122)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t故 ⎰⎰π-⋅-==2 021 )cos 1(2)cos 1(dt t a t a yds I L⎰π=232sin 16udu a2232a =. 2．计算曲线积分⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22．解 圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρcos a )22(π≤θ≤π-，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故⎰+Lds y x 22⎰ππ-⋅ρ=22 ads ⎰ππ-θ⋅θ=22 cos ad a ⎰πθθ=20 2cos 2d a22a =.3． 计算⎰+=Ly x ds eI 22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中)0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==；)40( , :2π≤θ≤==a r AB L ； )20( , :3a x x y OB L ≤≤==.故⎰⎰⎰+++++=322222122 L y x L y x L y x ds eds eds eI2)42(-π+=a e a . 4. 设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =，其中π≤≤20t ，它的线密度222) , ,(z y x z y x ++=ρ. 求此线关于z 轴的转动惯量z I .分析本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分⎰ρ+=Lz ds z y x y x I 22) , ,()(表示，然后计算积分即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十章 曲线积分与曲面积分（第三部分）曲线积分习题解答一、对弧长的曲线积分1．计算⎰=Lyds I ，其中L 为摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20 ,0(π≤≤>t a ．解 由于⎩⎨⎧-=-=)c o s 1()s i n(:t a y t t a x L , )20 (π≤≤t ；而dt t a dt y x ds 2122)cos 1(2-='+'=，)20 (π≤≤t故 ⎰⎰π-⋅-==2 021)c o s 1(2)c o s 1(dt t a t a yds I L⎰π=2 0322sin 4dt ta ⎰π= 0 32sin 8udu a⎰π=20 32sin 16udu a2232a =. 2．计算曲线积分⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22．解 圆周ax y x =+22在极坐标下的方程为θ=ρc o s a )22(π≤θ≤π-，则 θ=θρ'+ρ=ad d ds 22. 故⎰+Lds y x 22⎰ππ-⋅ρ=22 ads ⎰ππ-θ⋅θ=22 cos ad a ⎰πθθ=20 2cos 2d a22a =.3． 计算⎰+=Ly x ds eI 22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解 积分曲线L 为闭曲线（如右图），可分解为321L L L L ++=，其中)0( ,0 :1a x y OA L ≤≤==；)40( , :2π≤θ≤==a r AB L ；)20( , :3a x x y OB L ≤≤==.故 ⎰⎰⎰+++++=322222122 L y x L y x L y x ds eds eds eI⎰⎰⎰'++θ'++'+=π22240 22 02)(1)()0(1a xa axdx x ed a a edx e⎰⎰⎰+θ+=π2240 02a xaaxdx ed ae dx e2)42(-π+=a e a . 4. 设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =，其中π≤≤20t ，它的线密度222) , ,(z y x z y x ++=ρ. 求此线关于z 轴的转动惯量z I .分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应首先将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分⎰ρ+=Lz ds z y x y x I 22) , ,()(表示，然后计算积分即可。
解 所求的转动惯量为⎰ρ+=Lz ds z y x y x I 22) , ,()(，而dt t z t y t x ds )()()(222'+'+'=dt k a 22+=，故 ⎰ρ+=Lz ds z y x y x I 22) , ,()(⎰+++=Lds z y x y x 22222))((⎰π++=2 0222222)(dt k a t k a a )43(32222222k a k a a π++π=. 二、对坐标的曲面积分1. 计算曲线积分⎰---=Lx dy y y dx y e I ])sin ()cos 1[(，其中L 为区域x y x sin 0 ,0≤≤π≤≤的边界，取逆时针方向。
解 令)c o s1(y e P x -=，)s i n (y y e Q x --=．则 y e y P x sin =∂∂，)sin (y y e xQx --=∂∂． 即xQ y P ∂∂≠∂∂. 由于π≤≤≤≤x x y D 0 ,sin 0 :． 故利用格林公式，得⎰⎰∂∂-∂∂=Ddxdy y Px Q I )(⎰⎰-=Dx dxdy ye ⎰⎰π-=xx ydy e dx sin 0)1(51π-=e . 2. 计算曲线积分[]⎰---=Lx dy y y dx y e I )sin ()cos 1(．其中L 为曲线x y sin =上从点)0 ,(πA 到点)0 ,0(O 的一段弧。
解 补直线段OA L ='：0=y ，x 从0变到π；并设闭曲线L L '+所围区域为D （如图所示），则由Green 公式，得：⎰'+---LL xdy y y dx y e ])sin ()cos 1[( ⎰⎰∂∂-∂∂=Ddxdy y Px Q )(⎰⎰-=Dx dxdy ye ⎰⎰π-=xx ydy e dx sin 0)1(51π-=e . 又[]0)s i n ()c o s 1( =---⎰'Lxdy y y dx y e （OA L ='：0=y ，x 从0变到π）， 故 []dy y y dx y e I x L L L )sin ()cos 1()( ----=⎰⎰''+0)1(51--=πe )1(51π-=e . 3. 设L 是一条封闭的光滑曲线，方向为逆时针，计算曲线积分⎰+-Lyx xdyydx 224. 分析 因224) ,(y x y y x P +=，224) ,(y x xy x Q +-=，则22222)4(4y x y x y P +-=∂∂，22222)4(4y x y x x Q +-=∂∂. 故xQy P ∂∂=∂∂. 由于) ,(y x P 与) ,(y x Q 在原点)0 ,0(处不连续，因此可知：（1）若给定的曲线L 所围成的闭区域不包括原点)0 ,0(，则在此区域内曲线积分与路径无关；（2）若给定的曲线L 所围成的闭区域包括原点)0 ,0(，那么P 、Q 在L 所围成的闭区域上不满足格林公式（积分与路径无关的条件）。
此时，我们可取一条特殊的封闭光滑曲线1L ，在1L L +上应用Green 公式，由此将L 上的曲线积分转化为1L 上的曲线积分。
解 因224) ,(y x y y x P +=，224) ,(y x xy x Q +-=，则22222)4(4y x y x y P +-=∂∂，22222)4(4y x y x x Q +-=∂∂. 故xQy P ∂∂=∂∂. （1）若给定的曲线L 围成的闭区域不包括原点)0 ,0(. 由xQy P ∂∂=∂∂知曲线积分⎰+-Ly x xdy ydx 224与路径无关，故04 22=+-⎰L y x xdyydx . （2）若给定的曲线L 所围成的闭区域包括原点)0 ,0(，则取一条特殊的有向曲线22214 :ε=+y x L （0>ε充分小），规定1L 的方向为逆时针（如右图所示）。
设)(1L L -+所围城的区域为D ，则在)(1L L -+上应用Green 公式，得0)(4122=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰-dxdy yPx Q yx xdyydx DL L , 所以⎰⎰+-=+-1 22 2244L Lyx xdyydx y x xdy ydx . 而 ⎰⎰-ε=+-1122214L L xdy ydx y x xdy ydx π-=ε-=⎰⎰Ddxdy 212.故π-=+-⎰Lyx xdyydx 224. 或利用参数方程计算：令1L ：θε=cos x ，θε=sin 2y ，θ从0到π2. 所以 ⎰⎰+-=+-1 22 2244L Ly x xdyydx y x xdy ydx π-=θεθ+θε-=⎰π2 0 2222)cos (sin 21d.4. 设在半平面0>x 内有力)(3→→→+ρ-=j y i x kF 构成力场，其中k 为常数，22y x +=ρ，证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。
分析 由于场力沿路径所作的功为⎰ρ-ρ-=Lydy k xdx k W 33,所以证明场力所作的功与所取的路径无关的问题，实质上就是证明上述曲线积分与路径无关的问题。
证明 场力沿路径所作的功为⎰ρ-ρ-=Lydy k xdx k W 33. 令233)(y x kx x k P +-=ρ-=，233)(y x kyy k Q +-=ρ-=；则 yPy x kxy x Q ∂∂=+⋅=∂∂25)(23. 由于右半平面为单连通区域，且yPx Q ∂∂=∂∂，所以场力所作的功与所取的路径无关。
5．设函数)(x ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线C 上，曲线积分⎰++C y x dyx xydx 24)(2ϕ的值为常数。
(1) 设L 为正向闭曲线1)2(22=+-y x ，证明： 0)(224=++⎰L y x dyx xydx ϕ；(2) 求函数)(x ϕ；(3) 设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求⎰++C y x dyx xydx 24)(2ϕ．(1) 证 设I yx dyx xydx L =++⎰24)(2ϕ，闭曲线L 由2,1,=i L i 组成。
设0L 为不经过原点的光滑曲线，使得110-L L 和20L L 分别组成围绕原点的分段光滑闭曲线2,1,=i C i ，由曲线积分的性质和题设条件知⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+=+=++110022124)(2L L L L L L L y x dyx xydx ϕ021=-=-=⎰⎰I I C C ．所以，⎰++14222)(L y x xydydx y ϕ⎰++=24222)(L y x xydydx y ϕ，即02242=++⎰Cy x xydydx y )(ϕ．(2) 解 令xQy P ∂∂=∂∂．从而有22425224324)(22)()(4))((y x xy x y x x x y x x +-=+-+'ϕϕ， 解得，2)(y y -=ϕ.(3) 解 设D 为正向闭曲线1:24=+y x C a 所围区域，由(1)⎰++C y x dy x xydx 24)(2ϕ⎰+-=aC yx dy x xydx 2422，利用Green 公式和对称性，0)4(222242=-=-=+-⎰⎰⎰⎰DC C dxdy x dy x xydx y x dyx xydx aa.。