二重积分的 计算 及应用 习题课1
高数 【下】二重积分------习题课 南邮内部资料
y=y(x)
1 2π 3 = ∫ a (1 − cos t )3 ⋅ a(1 − cos t )dt 3 0 32 4 π 8 t a4 2π 4 8 t = ∫ 2 sin dt = a ∫0 sin udu(u = ) 3 2 3 0 2
20
∫ 1 π = ∫ 3
0
0 2 a
∫
0
y3 ( x)dx
1 1 y2 − 2
y2 − 2
应先积x
I = ∫ dy∫ 2 e
0 y
dx
O
y2 1 − 2 0 )e
2 0
1
y2 − 2
dy = ∫ e
− y 2 1 0
2
dy + ∫ y ⋅ de
y 2
2
1
=∫ e
0
1 −
y 2
2
0
dy + ye
−∫ e
0
1 −
dy = ye
在D2外部f(x,y)>0 外部 >
I3<I1<I2（也可用“≤”）。
12
2 例 设f (x, y)是有界闭域D : x + y ≤ a 上的 , 连续函数 则求极限lim 1 2 ∫∫ f (x, y)dxdy 。 a→0 π a D 解 利用积分中值定理 1 1 f ( x, y)dxdy = 2 ⋅ f (ξ ,η)σ 2 ∫∫ πa πa D 1 = 2 ⋅ f (ξ ,η)πa2 = f (ξ ,η) ((ξ ,η) ∈ D) πa 1 ∴lim 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy= lim f (ξ ,η) = f (0,0) a→0 a→0 π a D
25
x y ∴∫∫ ( 2 + 2 )dσ a b D
高数二重积分习题加答案
高数二重积分习题加答案用二重积分求立体的表面积二重积分习题课例1 比较I 1 = ∫∫ ( x + y ) 2 dσ 与I 2 = ∫∫ ( x + y ) 3 dσ 的大小,D D其中D 由( x 2 ) 2 + ( y 1) 2 = 2 围成 .y由重积分的性质x+y1I1 I21212xx + y =1用二重积分求立体的表面积例2 将二重积分化成二次积分I = ∫∫ f ( x , y )d xdy ,D: x + y =1 , x C y = 1,x = 0 所围所围. ,1 yD先对y 积分y =1C xI =01∫ dx ∫011 xx 1f ( x , y )d yxy = x C1 C1用二重积分求立体的表面积先对x 积分1 yI =x =1C yD1∫∫ + ∫∫D1 D21 y=1∫ dy ∫01f ( x , y )d x +y +10D2x+∫dy ∫f ( x , y )d xx = y +1 C1用二重积分求立体的表面积例3 将二次积分换序I = D: x ≤ y ≤ 2ax x 2∫0 dx ∫xya2 ax x 2f ( x , y )dy .ax = a a2 y20≤ x≤ay 2 = 2ax x 2即y + ( x a) = a又Q x ≤ a,∴x a = a y2 2222a xI=ady∫y2 2a a yf ( x , y )d x用二重积分求立体的表面积例4 将I = ∫ d y ∫ 0 0 区域边界：区域边界：边界y 2R2 Ry y 2f ( x , y )d x 变为极坐标形式 .即r =2Rsinθπ 即θ = 2x = 2 Ry y 2x=0r =2Rsinθ2R∴ I = ∫ dθ ∫0π 2 02 Rsin θf ( rcos θ , rsin θ )rdr用二重积分求立体的表面积1 x2 例5 计算∫∫ 2 dσ , 其中D由y = x, y = , x = 2 x D y 解围成. 围成. 1 D : ≤ y ≤ x , 1 ≤ x ≤ 2. x∫∫ y2 dσ = ∫1 dx∫Dx22x 1 xx y2D2dyx = ∫ 1 y222 3 dx= ( x x)dx = 9. 1 1 4x∫用二重积分求立体的表面积例6 计算∫∫ y x dσ , 其中D : 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.2 D 先去掉绝对值符号，解先去掉绝对值符号，如图∫∫Dy x2 dσ2D3D12=D +D2 1∫∫ ( x1 1y)dσ + ∫∫ ( y x )dσD3D2= ∫ dx ∫ ( x y )dy + ∫ dx ∫ 2 ( y x2 0 1 xx211211 )dy = . 15用二重积分求立体的表面积例7 证明∫a dx∫a ( x y)证b xxn 21 b f ( y)dy = (b y)n 1 f ( y)dy. n 1∫an 2∫a dx∫a ( x y)b bf ( y)dyy by= xD= ∫ dy∫ ( x y)n 2 f ( y)dxaya=∫ba1 n 1 f ( y) ( x y) dy n 1 yboabx1 b (b y)n 1 f ( y)dy. = n 1 ∫a用二重积分求立体的表面积例8 计算解1∫0 dy∫yy1ysin x dx. x∫0 dy∫y1 01 x sin x sin x dx = ∫ dx∫2 dy 0 x x x= ∫ (1 x)sin xdx= 1 sin1.用二重积分求立体的表面积x2 y2 例9 设D为圆域x 2 + y 2 ≤ R 2 , 求∫∫ 2 + 2 dxdy . a b D y解2由对称性1 y dxdy = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy 2 D2ORx∫∫ x dxdy = ∫∫D Dx2 y2 1 1 1 ∴ ∫∫ 2 + 2 dxdy = 2 + 2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy a b 2 a b D D R 2 1 1 1 2π 1 4 1 1 = 2 + 2 ∫ dθ ∫ r rdr = πR 2 + 2 . 0 4 b 2 a a b 0用二重积分求立体的表面积例10 求半球面z = 3a x y 与旋转抛物面2 2 2z x 2 + y 2 = 2az ( a 0 ) 所围成立体的表面积 .oxy用二重积分求立体的表面积S = S1 + S 2zz =3a 2 x 2 y 2 共同的D : 2 x + y 2 = 2azS1 S2x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即z = 0oD2ayx用二重积分求立体的表面积S1 : z = 3a 2 x 2 y 23a z z dxdy dA1 = 1 + + dxdy = 2 2 2 3a x y x y 2 2x2 + y2 S2 : z = 2a 2a z z a2 + x2 + y2 dA2 = 1 + + dxdy = dxdy x y a2 2所求面积：所求面积：A = A1 + A2 = ∫∫D3a 3a x y2 2 2dxdy + ∫∫Da2 + x2 + y2 dxdy a用二重积分求立体的表面积= 3a ∫2π 0dθ ∫2a 02a 02a 1 2π rdr + ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 3a 2 r 2 1= 6π a ∫2π rdr + a 3a 2 r 2 12a∫2a 0a 2 + r 2 rdr= 3π a ∫ +1 3a2 r 20 2ad (3a 2 r 2 )πa∫a 2 + r 2 d (a 2 + r 2 )4 2 2 2 = 6 3 + 6 π a . 3 3用二重积分求立体的表面积练习题交换下列二次积分的次序: 交换下列二次积分的次序1 2y 3 3 y1. ∫ dy ∫01 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1f ( x , y )dx;2. ∫ dx ∫R 21+ 1 x 2 xf ( x , y )dy;计算下列二次积分：计算下列二次积分：二次积分3. ∫ey2dy ∫ e0yx2dx + ∫R R 2ey2dy ∫R2 y 2ex2dx;4.∫155 dx 1 dy ∫ . y ln x y用二重积分求立体的表面积练习题答案1.∫ dx ∫ x0 223 xf ( x , y )dy2 2 y y2 0 R22.∫ dy ∫01y2 0f ( x , y )dx + ∫ dy ∫1R r2f ( x , y )dx).3. I = ∫ π dθ ∫ e2 4 0πrdr =π8(1 e4. I = ∫ dx ∫15x 15 1 dy =∫ ln xdx = 4. 1 ln x y ln x用二重积分求立体的表面积设( x )为[0D关于直线y = x对称, 则若闭区域,1]上的正值连续函数, a ( x )∫∫ f b )( σ ) ∫∫ f ( y, x)dσ1 + (x, y dy = 证明：证明：∫∫ ( x ) D+ ( y ) d Dxdy = 2 (a + b) D为常数，其中a, b为常数，D = {( x , y ) 0 ≤ x , y ≤ 1}. y a ( x ) + b ( y ) 证设I = ∫∫ d xd y y= x 1 ( x) + ( y) Dy 由区域关于直线= x的对称性得a ( y ) + b ( x ) O I = ∫∫ d xd y ( y) + ( x) D1x1 所以, 所以2 I = ∫∫ (a + b )dxdy = a + b I = ( a + b ). 2 D。
二重积分的计算习题课
y= x
x x = ∫1 (− ) 1 dx y x
2
2
x
1
o
D
1
x=2
9 = ∫1 ( x − x)dx = . 4
2 3
2
x
型区域计算可以吗? 按Y-型区域计算可以吗 型区域计算可以吗
6
P155:15(2) P155:15(2)
∫∫
D
π 2 1 1− ρ 1 − x2 − y2 dxdy = ∫ 2 dθ ∫ ρ dρ 2 2 2 0 0 1+ x + y 1+ ρ
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便 (充分利用对称性，几何意义和性质等 充分利用对称性， 充分利用对称性 几何意义和性质等)
2
P154:2(3) P154:2(3)
e x + y d σ , 其 中 D = {( x , y ) x + y ≤ 1 ∫∫
D
}.
1
0 ≤ x ≤1 解: X-型 D1： 型 x − 1 ≤ y ≤ 1 − x
12
6. (10分)计算二重积分 ∫∫ r 2 sin θ 1 − r 2 sin 2θ drdθ ,
D
π 其中D = ( r ,θ ) 0 ≤ r ≤ sec θ , 0 ≤ θ ≤ . 4
(10数学二 数学二) 数学二
7. (10分)计算二重积分 ∫∫ ( x + y )3 dxdy , 其中D由曲线x = 1 + y 2
二重积分复习课
1.∫∫ f ( x, y)d xdy = 极点在区域D的外部 D 极坐标系下计算 极点在区域D的边界上 极点在区域D的内部 y x =ψ ( y) y = ϕ ( x) y ρ = ρ2(θ) ρ = ρ(θ ) ρ = ρ(θ) d ρ=ρ (θ)
二重积分习题课(简)
1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使
二重积分的计算法
01
解
02
积分区域如图
01
积分区域如图
解
01
单击此处添加大标题内容
解
原式
例4. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例5. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
例6. 计算
其中D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
解: 由被积函数可知,
例7．求I=
取D 为X – 型域 :
因此取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
例8．求I=
若D为Y –型区域
则
当被积函数
单击此处添加小标题
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10%
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
Y型区域的特点： 直线与区域边界相交不多于两个交点. 直线与区域边界相交不多于两个交点. 计算中的技巧（问题）： 、先画积分区域草图； 、有无奇偶对称性: 穿过区域且平行于x 轴的
第二节
二重积分的计算法 与直系下二次积分互化
由曲顶柱体体积的计算可知, 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
二重积分的计算及应用习题课1精品文档
2a,x
D2
将积分 D分 区成 D 域 1,D2
D1
D3
及D3三部 , 分
D1
: y2 2a
xa
a2 y2,
y2
0 ya;
D 2:2ax2a,ay2a;
D3:a a2y2 x2a,
0ya;
2019/10/2
8
D1
y2 :
2a
xa
0 ya;
a2 y2,
D 2:2 ya 2x2a,ay2a;
(2) f(x,y)f(x,y)时 ,
I2f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.
D 1
D 2
2019/10/2
15
4.D 关y于 x对.称
f(x ,y)d x d yf(y,x )d x d y
D
D
5 .D 1,D 2 关 y 于 x 对 . 称
f(x,y)d x d yf(y,x)d x d y
D1 D2
o 1x
作辅助线 yx将D 分成 D1, D2 两部分
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2(
21)
3
2
说明: 若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.
2019/10/2
19
练习题
P182 题1（2）
A
2019/10/2
20
练习题
P182 题6
2019/10/2
其它情形依此类推.
2019/10/2
27
P182 题1(1) 设有空间闭区域
1 { x ,y , ( x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 ,z 0 }
2 { ( x ,y , x ) |x 2 y 2 z 2 R 2 , x 0 ,y 0 , z 0 }
二重积分计算例题及过程
二重积分计算例题及过程
下面是关于二重积分的计算的例题及过程：
一、二重积分的定义及其表达式：
二重积分是指将二维区域分割成小的子区域，把函数的积分在每个子区域上做一次，然后再把这些子区域的积分结果相加，而且每个子区域的积分面积要不断减小，从而得到总积分值作为结果。
双重积分的表达式：
$$\iint f (x, y) \, dA = \iint f (x, y) \, dx dy$$
二、计算例题：
计算二重积分
$$\iint_D(x+2y) \,dxdy$$
其中,D为：$$D=[0,1] \ times [1,2]$$
三、计算过程：
（1）根据题目给出的二重积分表达式将函数分解成x和y的乘积：$$\iint_D(x+2y) \,dxdy=\int_0^1\int_1^2(x+2y)dxdy$$
（2）计算X的积分：
$$\int_0^1\int_1^2xdxdy=\int_0^1[\frac{1}{2}x^2]_1^2dy=2y-
\frac{1}{2}y^2|_1^2=2(2)-2(\frac{1}{2})=3$$
（3）计算Y的积分：
$$\int_0^1\int_1^22ydy=\int_0^1[y^2]_1^2dy=2y^2|_1^2=2(4)-(1^2)=7$$ （4）将X和Y的积分相加：$$3+7=10$$
（5）最终得出求此双重积分的结果为：$$\int_D(x+2y) \,dxdy=10$$。
二重积分习题及答案1
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域
关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
偶性.
6
证明
b
dx
x
(xΒιβλιοθήκη y)n23 d4sin r 2 rdr
15(
3).
D
6
2sin
2
sin cos
8
计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3 y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
D
式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
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I 2 f ( x, y)dxdy, D1 {(x, y) D x 0}.
D1
2020/6/19
14
2.D关于x轴对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y)时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y)时,
I 2 f ( x, y)dxdy, D2 {(x, y) D y 0}.
D
解 先去掉绝对值符号，如图
y x2d
D
( x2 y)d ( y x2 )d
D1 D2
D3
D3
D1
D2
1
dx
x2 ( x2 y)dy
1
dx
1
( y x2 )dy 11 .
1 0
1 x2
15
2020/6/19
12
利用对称性简化二重积分的计算
使用对称性时应注意
1.积分区域关于坐标轴的对称性. 2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.
y2 2a
x
2a,
a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a, 0 y a;
故
a
a a2 y2
I
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
2a 2a
a 2a
0
dy
y2 f ( x, y)dx
dy
0
a
f ( x, y)dx.
a2 y2
2a
2020/6/19
9
练习题
P182 题4
2ax ,
D2
将积分区域 D 分成 D1, D2
D1
D3
及 D3 三部分,
D1
:
y2 2a
x
a
0 y a;
a2 y2,
D2
: y2 2a
x
2a, a
y
2a;
D3 : a a2 y2 x 2a,
0 y a;
2020/6/19
8
D1
:
y2 2a
x
a
0 y a;
a2 y2,
D2
:
D2
3.D关于原点对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y)时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y)时,
I 2 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy.
D1
D2
2020/6/19
15
4.D关于y x对称.
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
x ye x2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 0 0
1
1
y
yx
o D2
D1
1
x
1 y x
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18
例8 计算二重积分
I ( x2 y2 2xy 2) dx d y, 其中D 为圆域
提示:如图所示 D D2 \ D1 ,
4 2
f ( x, y) x y 在 D2内有定义且
o 4
D1 D2
D
x
连续, 所以
6
D( x y)d D2 ( x y)d D1 ( x y)d
4
dy
6
12 y
y2 ( x y)d x
2
2
dy
4
4 y
y2 ( x y)d x
2
11
习题课
第十章(1)
二重积分的 计算 及应用
一、二重积分计算 二、三重积分计算
2020/6/19
1
一、二重积分计算的基本方法
—— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法
图示法 (从内到外: 面、线、点)
列不等式法
2020/6/19
2
典型例题
例1 计算
D
x y
2 2
d
.
其中
D
由
y
x,
y
1, x
x2
围成．
解 X-型: D : 1 y x, 1 x 2. x
D
x y
2
2d
2
dx
1
x 1 x
x y
2 2
dy
D
2
(
1
x2 y
)
x 1
x
dx
2( x3 x)dx 9 .
证明:
a
dy
y em(a x) f ( x)dx
0
0
a
(a
0
x
)e
m(a x
y
)
f
( x)dx
提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得.a D 源自x ox2020/6/19
10
练习题
提示: 交换积分顺序
P182 题1（3）
B
2020/6/19
11
例6 计算 y x2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
所以先改变积分次序再计算.
y
1
x
I
1 dx
e xdy
x2
2
1 x(e ex )dx 1 2
2020/6/19
3e 1 e. 82
y x y x2
7
例5
更换积分次序I
2a
dx
2ax
f ( x, y)dy. (a 0)
0
2ax x2
解
D:
0 x 2a,
2ax x2 y
1
4
2020/6/19
3
例2 P182 题2(3) 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0
2
r
R cos
2
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 )d
30
2020/6/19
4
例3. 计算积分
其中D 由
所围成 .
y y2 2x
I x2 d x d y x ye x2 y2 d x d y
D
D
y
1 ( x2 y2 )dxd y 0
2D
1
2
d
1
r
3
d
r
20
0
4
D o 1x
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(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x,将D 分为 D1, D2, 利用对称性 , 得
x ye x2 y2 dxd y
D1
D
D
5.D1, D2关于y x对称.
f ( x, y)dxdy f ( y, x)dxdy
D1
D2
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例7 计算二重积分 (1) D为圆域 (2) D由直线
I ( x2 x ye x2 y2 )dxdy ,其中: D 围成 .
解 (1) 利用对称性.
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二重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号
分块积分法 利用对称性
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例4
计算积分 I
1
y y
12dy 1 e xdx
y
1
y
1 dy y e xdx.
y
4
2
2
解 由于 e xdx 不能用初等函数表示,
只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.
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二重积分计算的简化
设f ( x, y) C(D),计算I f ( x, y)dxdy.
D
1.D关于y轴对称.
(1) f ( x, y) f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是奇函数时, I 0.
(2) f ( x, y) f ( x, y), 即f ( x, y)关于x是偶函数时,