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9.2-1利用直角坐标计算二重积分

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第9章 二重积分的计算方法 9.2

第9章 二重积分的计算方法 9.2



y
2
y
x y
D
2
(4, 2) x y2
O 1
x
(1, 1)
图9．14
第9章 重积分及其应用
§ 9.2 二重积分的计算方法
方法二 把区域 D 看成是X—型区域，则积分区域 D 分成
D1 和 D2 两部分，如图9.15．
其中 D1 与 D2 可表示为
y
D1 :0 x 1, x y x; D2 :1 x 4, x 2 y x .
y
y 2 ( x)
y 1 ( x )
o a
x — 型区域
bx
第9章 重积分及其应用
§ 9.2 二重积分的计算方法
Y—型区域：D ( x, y ) c y d , 1 ( y ) x 2 ( y )


其中 1 ( y) 与 2 ( y) 在区间 [c, d ] 上连续．
先介绍所谓的X—型区域和Y—型区域的概念． X—型区域：D ( x, y ) a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ) 其中 1 ( x) 与


D
2 ( x) 在区间 [ a, b] 上连续
．
这种区域的特点是： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域的边界 至多有两个交点.
1 x [ ( xy 2 ) ] dx 1 2 x2
4
1 4 2 x x( x 2) 2 dx 2 1 1 4 2 (5x x 3 4x) dx 2 1
1 5 3 1 4 45 2 4 ( x x 2x ) 2 3 4 1 8
y
y x
§ 9.2 二重积分的计算方法

直角坐标系下二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算二重积分是数学中的一种重要的积分形式，常用于计算平面区域上的物理量的总量。

在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过将被积函数表示为被积函数关于自变量的函数进行积分的累次积分方式来进行。

设在平面上有一个闭合区域D，我们要计算函数f(x,y)在该区域上的积分，即要计算二重积分∬Df(x,y)dxdy。

二重积分的计算可以通过转化为极坐标下的积分来简化。

设在直角坐标系下，点(x,y)的极坐标为(r,θ)，则x=r*cosθ，y=r*sinθ。

对于被积函数f(x,y)，若能将其表示为关于极坐标的函数f(r,θ)时，就可以方便地进行极坐标下的积分计算。

此时二重积分可以写为∬Df(r,θ)rdrdθ。

要在直角坐标系下计算二重积分，有两种常用的方法：直接法和间接法。

一、直接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。

2.将被积函数f(x,y)表示为关于x和y的函数。

3.对于区域D内部的任意一点(x,y)，可以用参数方程表示为x=x(t)，y=y(t)（通常情况下选取参数t为角度θ，即x=r*cosθ，y=r*sinθ）。

4.计算被积函数在参数方程的变换下的雅可比行列式，即计算J =dx/dt * dy/dt。

根据换元公式，二重积分可以转化为参数方程下的积分，如下所示：∬Df(x,y)dxdy = ∫∫f(x(t),y(t))*Jdtdt。

5.计算在变换后的区域D'上的二重积分：∬D'f(x(t),y(t))Jdtdt。

二、间接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。

§9.2.1二重积分的计算

§9.2.1二重积分的计算
先积 再积 ，则 ，
： ， ： ，
。
（2）
解：先积 后积 ，则 ，
： ， ： ，
先积 后积 ，D： ，
∴ 。
例5．设 是 平面上以 ， 和 为顶点的三角形区域， 是 在第一象限的部分，若 ，试问下列等式是否成立？
（1） ；（2） ；
（3） 。
解：将区域 分为四个子区域： 、 、 、 。
显然 与 关于 轴对称， 与 关于 轴对称，
将 分为两个二重积分，记
， 。
∵ 关于 和关于 都是奇函数，
∴ ， ，∴ 。
∵ 是关于 的奇函数，关于 的偶函数，
∴ ， ，
∴ ，
从而 ，故等式（1）、（3）不成立；等式（2）成立。
5．利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化重积分的计算：
设 在有界闭区域 上的可积， ，
（1）若 关于 对称，则
（2）若 关于 对称，则
第一卦限内的图形。
所求立体在第一卦限的部分可看作是以圆柱面 为顶，以 面上四分之一的圆域 为底的曲顶柱体，其体积为
，
故所求体积为 。
讨论二重积分时，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三种类型的题目：置限、换序和计算。
例1．计算 ，其中 是由直线 ， 及 所围成的闭区域。
解法1： 是X型的， ： ，
解法2： 是 型的。
注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序
与积分顺序相反。
②在计算内积分时，外积分变量是常数。
例2．计算 ，其中 由 和 所围成。
解： 既是X型区域，又是Y型区域。
⑤
上式右端的积分称为先对 、后对 的二次积分公式。
用公式⑤时，必须是Y型区域。Y型区域的特点是：穿过 内部且平行于 轴的直线与 的边界相交不多于两点。

吴9-2(1)直角坐标系下二重积分的计算法

吴9-2(1)直角坐标系下二重积分的计算法

2021/4/22
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§9.2 二重积分的计算法
19/29
一、直角坐标系下计算 二、交换二次积分次序 三、利用对称性奇偶性
【练习1】应用二重积分求由曲线 y x2, y x 2
所围区域 D的面积
【解】据二重积分的性质4（几何意义） dxdy
D
交点
y x2
(1,1)，(2,4)
y x2
1 x 2
DX
:
x
2
y
x
2
2
x2
dx dy
2
(x 2
x2 )dx
9
1
x2
1
2
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§9.2 二重积分的计算法
20/29
一、直角坐标系下计算 二、交换二次积分次序 三、利用对称性奇偶性
【练习2】计算
D
sin y
y
dxdy
其中 D 是由直线 y=x 及抛物线
= x 所围成
一、直角坐标系下计算 二、交换二次积分次序 三、利用对称性奇偶性
［法2］
DY
:
1 1
y1 x y
原式
1
y
ydy
1 x2 y2dx
－1
D
1
1
y
1
y y=x
o
1x
－1
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！
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§9.2 二重积分的计算法
17/29
§9.2 二重积分的计算法
11/29
一、直角坐标系下计算 二、交换二次积分次序 三、利用对称性奇偶性
【解Ⅱ】 看作Y－型域

9.2二重积分的计算(直角)

9.2二重积分的计算(直角)

D: y ≤ x ≤ 2
2 y=x y 1
o
1 x 2x
2 2 I =∫1 d y ∫ x yd x= ∫1 y 2
[
1 2
2 x y ] dy y
2
= ∫ [ 2y −
2 1
1 2
y ]dy
3
9 = 8
例2. 计算
∫∫
D
x ydσ , 其中 是抛物线 y = x 及直线 其中D
2
所围成的闭区域. y = x − 2 所围成的闭区域 为计算简便,看成 型区域, 看成Y型区域 解: 为计算简便 看成 型区域 则
0
2
x2 2 0
2 2
2
dx∫
8− x2
0
f ( x, y)dy
y
x2 + y 2 = 8
D2
积分域由两部分组成: 解: 积分域由两部分组成
0≤ x ≤ 2 2≤ x ≤ 2 2 D : , D2 : 1 2 1 2 0≤ y ≤ 2 x 0 ≤ y ≤ 8 − x
视为Y–型区域 将D = D1 + D2 视为 型区域 , 则 0≤ y ≤ 2 D : 2 y ≤ x ≤ 8 − y2 2 I = ∫∫ f ( x, y)d xd y= ∫ dy∫
先对x 后对y的累次积分
D c ≤ y ≤ d ψ 1( y) ≤ x ≤ψ2( y)
按 , 在计算中括号中定积分 时 , 积分变量为 x , 而将 y 暂时固定 .
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为 X – 型区域 为 a≤ x≤b D: ϕ1( x) ≤ y ≤ ϕ2( x) 则

0902二重积分的计算法-1

0902二重积分的计算法-1
D
b ϕ2( x) f ( x , y )dy ; = dx a ϕ1 ( x )
∫
∫∫ f ( x , y )dσ ∫
D
d ϕ2 ( y) f ( x , y )dx . = dy c ϕ1 ( y )
∫
［混合型］ 混合型］ （在积分过程中要正确选择积分次序） 在积分过程中要正确选择积分次序） 积分次序
y
A(x)
a
x
y = ϕ2 ( x)
b
x
D
y = ϕ1( x)
b ϕ ( x) ∴ ∫∫ f ( x , y )dσ =∫a dx ∫ϕ 2( x ) f ( x , y )dy . ……二次积分公式 ? 1 二次积分公式
D
◆如果积分区域为：c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). 如果积分区域为：
π
练习1 练习 改变下列积分的积分次 序
∫
1 2 x− x2 2 2− x dx f ( x , y )dy + dx f ( x , y )dy . 0 0 1 0
∫
∫
∫
解 积分区域如图： 积分区域如图：
y = 2− x
原式 = ∫0 dy ∫
1
2− y
2
y = 2x − x2
1− 1− y
f ( x , y )dx.
1
o
1
x
2.设f ( x , y )在D上连续 , 其中 D是由直线 y = x , y = a及x = b (b > a )所围成的闭区域 , 证明 :
(1)∫
b x dx a a
∫ f ( x , y )dy = ∫
b b dy y a

直角坐标系下二重积分的计算

直角坐标系下二重积分的计算二重积分是一个非常重要的数学概念，在多种实际的问题中都得到了广泛应用。

通过对直角坐标系下二重积分的计算，可以深入地理解这个概念的含义。

在本篇文章中，我们将对直角坐标系下二重积分的计算进行详细的讲解。

一、二重积分的定义在直角坐标系下，二重积分可以定义为：如果在平面上有一个区域D，在D中每一点(x,y)都有一个实数f(x,y)，那么二重积分可以表示为：∬Df（x,y）dxdy其中，dxdy是对x和y的区域积分。

从数学上来讲，二重积分可以看做是对一个多元函数在一个二维区域上的积分。

在物理学、工程学和经济学等领域中，二重积分可以用来计算物体的质量、电荷或利润等量。

二、二重积分的计算接下来，我们将具体介绍如何计算直角坐标系下的二重积分。

1、以矩形为例当区域D为矩形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫ab[∫cd f（x,y）dy]dx其中，a、b、c和d是矩形的四个顶点。

从右到左积分是对x的积分，从下到上积分是对y的积分。

这个公式建立在f（x,y）在矩形D内是连续函数的条件下。

如果f（x,y）不连续，那么需要将图形分割成多个子区域，再对每个子区域使用上述公式求解。

如果积分上下限为定值，则直接将定值带入公式中进行计算。

2、以圆形为例当区域D为圆形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫0R[∫0 2πf（rcosθ，rsinθ）rdθ]dr其中，R是圆的半径，r是极径。

θ是极角，取值从0到2π。

这个公式建立在f（x,y）在圆形D内是连续函数的条件下。

如果不连续，需要将圆形分割成多个区域，再对每个区域使用上述公式求解。

3、以三角形为例当区域D为三角形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫a b[∫c(x)(d(x)−c(x))/b a f(x,y)dy]dx 其中，a和b是三角形底边的两个端点。

c（x）是左侧斜线的端点函数，d（x）是右侧斜线的端点函数。

高等数学 9-2-1二重积分的计算法(1)

章节题目
第二节二重积分的计算法（1）
内容提要利用直角坐Fra bibliotek系计算二重积分
重点分析
利用直角坐标计算二重积分
难点分析
二重积分化为二次积分时积分次序的选择及积分限的选择
习题布置
1（单）、2（单）、4、6（单）、8、10
备注
教学内容
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：
［X－型］
其中函数 、 在区间 上连续.
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
得
如果积分区域为：
［Y－型］
X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图，则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
例1改变积分 的次序.
解积分区域如图
原式 .
例2改变积分 的次序.
解积分区域如图
原式 .
例3改变积分 的次序.
解
原式=
例4求 ，其中 是由抛物线 和 所围平面闭区域.
解两曲线的交点
例5求 ，其中D是以 为顶点的三角形.
解 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
例6计算积分 .
解 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式
例7求由下列曲面所围成的立体体积， ， ， ， ， .
解曲面围成的立体如图.
所围立体在 面上的投影是
所求体积
二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
［X－型］
［Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
思考题
设 在 上连续，并设 ，

高等数学 重积分 (9.2.1)--二重积分的计算


导出
V

b A(x)dx
a
b a

2 ( x) 1 ( x)
f (x, y)dy dx
D
f (x, y)dxdy
ab
2 (x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy dx
写成
f (x, y)dxdy bdx 2 (x) f (x, y)dy
x2 y 2 Rx 所割下部分的体积 V
z
y
r=Rcos
D
O
x
xR
y
例 求双纽线 (x2 y2 )2 2a2 (x2 y2 ) 所围 区域的面积
乐
例 求二次积分
2
2 dy
1y2 arctan ydx
0
y
x
例 求积分 I ex2 dx 0
乐
9.2.3 二重积分的变量代换
设变换
x x(u, v)

y

y(u, v)
有连续偏导数，且
满足
J

(x, y) (u, v)

xu xv
yu yv
0
而 f (x, y) C(D) ，那么
f (x, y)dxdy f (x(u, v), y(u, v)) J dudv
D
D
乐
uv 平面小矩形AﾢBﾢCﾢDﾢﾢ ﾢﾢ xy 平面曲边四边形 ABCD
D
a 1 ( x)
乐
若积分区域
D {(x, y)1( y) x 2 ( y), c y d}
y 型正 则区域
则有
f (x, y)dxdy d dy 2 ( y) f (x, y)dx

9[1].2_二重积分的计算法


n
n
1 (C) ∫ dx ∫ dy . 0 0 (1 + x )(1 + y )
n
1 (D) ∫ dx ∫ dy . 2 0 0 (1 + x )(1 + y )
1 1
∫∫ f ( x, y)dσ = lim ∑ f (ξi ,ηi )∆σi λ→0 i =1 D
10
9.2 二重积分的计算法
lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f ( x)dx
为底, 是区间 [ϕ 1 ( x0 ), ϕ 2 ( x0 )]为底 曲线 z = f (x0, y)为曲边的 为曲边的 曲边梯形. 曲边梯形
ϕ2( x0 )1 0z来自z = f ( x, y)
z = f (x0, y)
y = ϕ2( x)
D
A( x0 ) = ∫ϕ ( x ) f ( x0 , y )dy
y
1
原式 = ∫ dy ∫
0
1
y 2 − xy d x
3 y 2 0
y= x
D
2 y( y − x) = −∫ 0 3
2 2 1 2 = ∫ y dy = . 9 3 0
dy
O
1
x
积分域既是 X型又是 型 型又是Y型 型又是
14
9.2 二重积分的计算法
计算二次积分
2 计算二次积分∫ dx ∫ sin y dy 例 0 x 1 1
13
9.2 二重积分的计算法
研究生考题(三 研究生考题 三, 四) 7分 分
其中D是由直线 计算二重积分 ∫∫ y 2 − xy dxdy , 其中 是由直线 所围成的平面区域. y = x , y = 1, x = 0 所围成的平面区域 解 原式 =
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D
为顶的曲顶柱体的体积．
z
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
a x0 b x
y 1(x)
得 f ( x, y)d （b 2( x) f ( x, y)dy）dx.
D
a 1 ( x )
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)
e xdx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
1
xy
I dx e xdy
1 2
x2
1 x(e e x )dx 1 2
3e 1 e. 82
y x y x2
例 6
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
0
0
解 积分区域如图
y 1 x
原式
只能用 Y-型.
I
1
dy
y e y2 dx
0
0
1 ye y2dy 1 (1 e1 ).
0
2
例4 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx 所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,先对 x 积分不行, y
因此取D 为X – 型域 :
yx
D
:
0 0
1
1 y
dy f ( x, y)dx.
0
0
例 7 改变积分
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy的次序.
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x)在区间 [a,b]上连续.
得
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
利用直角坐标计算二重积分
二、二重积分化为二次积分（Y-区域）
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1 ( y )
若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式
a x0 b x y 1(x)
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)
D
为顶的曲顶柱体的体积．
z f (x, y)
z
y
y 2(x)
A(x0 )
a x0 b x y 1(x)
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)
y4 8

y2 4
]12

9 8
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物
D
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
( x2 y)dxdy
1
dx
x ( x2 y)dy
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x)在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f ( x, y)
D
为顶的曲顶柱体的体积．
z
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
0
x2
D

1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
140
y x2
利用直角坐标计算二重积分
四、积分次序的选择举例
例 3 求I e y2d ，其中 D 是由直线 y x, y 1及
D
y 轴所围成的闭区域.
解
e y2dy 不能用初等函数计算
Y=2 2
I
2
dx
1
2
xydy
x
2
[x
1
y2 2
]2x
dx

2
(2x
1

x3 2
)dx
[x2

x4 8
]12

9 8
解法二 [Y-型]
I
2
y
dy xydx
1
1
2
[
X=Y
1
1X 2

2
(
1
y3 2

y )dy 2
[
D
为顶的曲顶柱体的体积．
z
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
a x0 b x
y 1(x)
得
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x )
总结：如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
利用直角坐标计算二重积分
第九章 多元函数积分学 第2节(1)直角坐标计算二重积分
主讲 韩 华
利用直角坐标计算二重积分
一、二重积分化为二次积分（X-区域）
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1 ( y )
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的 直线与区域边界相交不多于两个交点.

y x

x

D x o x

D
sin x
x
dxd
y


0
sin x
x
dx
x
0 d
y

0 sin x dx
2
利用直角坐标计算二重积分
五、改变积分次序举例
例5
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .
D
D1
D2
D3
D3 D1
D2
利用直角坐标计算二重积分
三、计算举例
例 1 求I xyd ,其中 D 是 x 1、
D
y x及 y 2所围成的闭区域.
解法一 [X-型]
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