二重积分地计算方法(1)
二重积分的几种计算方法
二重积分的几种计算方法二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。
计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。
求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。
不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。
计算二重积分的一般步骤如下：1) 画出积分区域D 的草图； 2) 求交点；3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算； 4) 选择积分次序；5) 化二重积分为二次积分； 6) 计算。
一．二重积分的直接计算方法所谓连续函数(,)f x y 展步在有限封闭可求积二位域Ω内的二重积分乃是指数max 0max 0(,)lim(,)iji j x ijy f x y dxdy f x yx y ∆→Ω∆→=∆∆∑∑⎰⎰其中11,i i i j j j x x x y y y --∆=-∆=-，而其和为对所有j i ,，使Ω∈),(j i y x 的那些值来求的。
若域Ω有下面的不等式所给出,b x a ≤≤ )()(21x y y x y ≤≤其中)(1x y 和)(2x y 为闭区间[]b a ,上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算⎰⎰⎰⎰Ω=bax y x y j i dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(例1. 计算⎰⎰Dxydxdy，其中区域D 是由直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。
解: 积分区域D 如图1所示，有定义D 是简单区域，边界x y =与2x y =得交点为)0,0(和)1,1(。
若选择先对y 积分，则过x 轴上)1,0(内的任一点p 作y 轴的平行线，该线的与D 下边界交点在2x y =上，与D 上边界交点在x y =上，所求积分为2211002xxx x Dy xydxdy dx xydy x dx ⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰241)(211053=-=⎰dx x x 若选择先对x 积分，同理可得⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1021021yyyyDy x xydx dy xydxdy241)(211053=-=⎰dx y y图1若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，然后根据)(,),(),(),(2121D D D y x f y x f dxdy y x f D D D+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，来计算。
二重积分的定义和计算方法
二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。
本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。
一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。
其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。
将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。
当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。
可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。
根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。
2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法
1. 直接计算法：
这是最常见的计算二重积分的方法。
直接按照积分的定义，将被积函数与微元面
积相乘后进行求和即可。
一般来说，要根据具体的被积函数和积分区域的形状，选择合适
的坐标系来进行计算。
3. 对称性法：
如果被积函数在某个轴或者平面上具有一定的对称性，可以利用对称性简化计算。
如果被积函数关于某个轴对称，可以将积分区域分成两部分，然后只计算其中一部分的积分，最后再乘以2。
类似地，如果被积函数关于某个平面对称，可以将积分区域分成两个
对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分，最后再乘以2。
4. 等值线法：
对于一些复杂的被积函数，可以通过画出函数的等值线图来简化计算。
通过观察
等值线的形状和分布，可以选择合适的积分路径和积分限，使得函数在该路径上的积分更
容易计算。
5. 枚举法：
当积分区域非常复杂、函数表达式非常复杂或者积分路径不容易选择时，可以考
虑使用枚举法进行计算。
将积分区域分成若干个简单的子区域，然后分别计算每个子区域
的积分，最后将它们相加得到最终的积分值。
0902二重积分的计算法-1
b ϕ2( x) f ( x , y )dy ; = dx a ϕ1 ( x )
∫
∫∫ f ( x , y )dσ ∫
D
d ϕ2 ( y) f ( x , y )dx . = dy c ϕ1 ( y )
∫
［混合型］ 混合型］ （在积分过程中要正确选择积分次序） 在积分过程中要正确选择积分次序） 积分次序
y
A(x)
a
x
y = ϕ2 ( x)
b
x
D
y = ϕ1( x)
b ϕ ( x) ∴ ∫∫ f ( x , y )dσ =∫a dx ∫ϕ 2( x ) f ( x , y )dy . ……二次积分公式 ? 1 二次积分公式
D
◆如果积分区域为：c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). 如果积分区域为：
π
练习1 练习 改变下列积分的积分次 序
∫
1 2 x− x2 2 2− x dx f ( x , y )dy + dx f ( x , y )dy . 0 0 1 0
∫
∫
∫
解 积分区域如图： 积分区域如图：
y = 2− x
原式 = ∫0 dy ∫
1
2− y
2
y = 2x − x2
1− 1− y
f ( x , y )dx.
1
o
1
x
2.设f ( x , y )在D上连续 , 其中 D是由直线 y = x , y = a及x = b (b > a )所围成的闭区域 , 证明 :
(1)∫
b x dx a a
∫ f ( x , y )dy = ∫
b b dy y a
二重积分的计算(1)
–1
例4 将二重积分换序 I =
∫
a
0
dx ∫
2 ax − x 2
x
f ( x , y )dy
0≤ x≤a D: x ≤ y ≤ 2ax − x 2
y 2 = 2ax − x 2
y
a
x = a − a2 − y2
即 y + ( x − a) = a
又Q x ≤ a,
2
2
2
∴x−a = − a − y
所围立体在 xoy 面上的投影是
Q 0 ≤ x + y ≤ 1, ∴ x + y ≥ xy ,
所求体积V =
1 1− x
∫∫ ( x + y − xy )dσ
D
= ∫0 dx ∫0 ( x + y − xy )dy
1 7 3 = ∫0 [ x (1 − x ) + (1 − x ) ]dx = . 24 2
a x
(练习)将二重积分化成二次积分 将二重积分化成二次积分 二 先对 y 积分
y
I=
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
b
o y D
I=
a x
∫
a
0
dx ∫
b x a 0
f ( x , y )dy
b
o y
.
D
I=
a x
x y + =1 a b .
∫
a
0
dx ∫b f ( x , y )dy
a x
0
∫
x
=
∫
1
0
xdx ∫ 2 ydy
x
x
1 1 1 3 5 = = ∫ ( x − x )dx 24 2 0
二重积分计算技巧总结
4 2 首先 O 在区域内，所以 r 0 ，然后过 O 作射线，射线与 y 1 相交，就将参数方程代入被
O 与区域内点的连线的张角范围为 : 交的曲线得到 r sin 1 r
1 1 ，于是 D : ;0 r sin 4 2 sin
y2 y u u ,v 则 x 2 , y . v v x x
1 v2 J 1 v
2u u v3 4 u v 2 v
于是原区域 D 变换成新区域 D m, n , ，这样原来不规则的区域变成了矩形区域， 方便积分。 面积 S
1dxdy 1 J dudv
1 1 1 (u v) , y (v u ) ，则 J= 2 2 2 D 的边界一一对应得到新区域 D ： 1 x 0 u v 0 u v 2 1 y 0 v u 0 u v 2 x
x y 1
1 1 u v v u 1 v 1 2 2
D D
dv n (n 2 m 2 )( 3 3 ) u d u v 4 m 6 3 3
（2）极坐标下的二重积分 极坐标代换法基本格式为：
x r cos y r sin
被积函数 f x, y 化为 f r cos , r sin r ， 接下来重要的是讨论 r , 的范围。 其中 r , 的 范围由于积分次序的不同而不同。 若积分次序为先 r 后 ，则对应方法为“张角 射线” ，其中确定张角的方法为，原点与区 域内点的连线的最小、最大夹角；作射线确定 r 的范围：过原点 O 作射线，把先后与所作 射线相交的边界线化成 r r 的形式，就确定出 r 的范围。 比如：求 f x, y dxdy ，其中 D 的范围如图：
二重积分的计算与应用
二重积分的计算与应用在数学的领域中，二重积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各个科学领域。
本文将探讨二重积分的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、二重积分的定义与计算方法二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分运算。
设有函数f(x, y) 定义在平面上的有界闭区域 D 上，记作：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示平面上一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数，dxdy 表示对 x, y 的积分。
二重积分可以通过以下两种常用方法进行计算：1. 直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示 x 轴与 y 轴所围成的区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用直角坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为两个一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域划分为若干个小矩形或小平行四边形；在每个小矩形或小平行四边形上取一点(xi, yj)；设Δxi 和Δyj 分别为小矩形或小平行四边形的宽度和高度；计算 f(xi, yj) 与Δxi Δyj 的乘积的和，即为所求的二重积分。
2. 极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，二重积分可以表示为：∬D f(x, y)dxdy其中，D 表示极坐标系下的一个有界区域，f(x, y) 表示在此区域内的函数。
使用极坐标系下的计算方法可以将二重积分转化为一重积分的运算，具体过程如下：将 D 区域在极坐标系下表示为R ≤ r ≤ S, α ≤ θ ≤ β；将x = rcosθ，y = rsinθ 进行替换，使得函数 f(x, y) 转化为 F(r, θ)；计算F(r, θ) 与 r 的积分后再对θ 进行积分，即为所求的二重积分。
二、二重积分的应用1. 几何应用二重积分可用于计算平面图形的面积。
通过在直角坐标系或极坐标系下进行适当的变换，将图形转化为简单的几何图形（如矩形、圆、扇形等），然后进行二重积分的计算，便可得到所求图形的面积。
10.2二重积分的计算(1)
xydx]dy
2
1
[
y
x2 ] y dy 21
2
1
[
y3 2
y ]dy 2
y4 [
8
y2 4
]
12
1
1 8
.
例 2 计算 y 1 x2 y2d , 其中 D 是由直线 D
y x、x 1和 y 1 所围成的闭区域.
解 如图, D 既是 X 型, 又是Y 型.若视为X
型, 则
11
原积分 [ y 1 x2 y2dy]dx 1 x
第二节 二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标系计算二重积分 二、交换二次积分次序 三、对称性、奇偶性的应用
一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y2 x 及直线 y x 2所围成的闭区域.
解 如图,
D 既是 X 型, 也是Y 型. 但易见选择前者计算
较麻烦, 需将积分区域划分为两部分来计算, 故选
择后者.
2 y2
xyd
[ 1 y2
xydx]dy
D
2 [ x2 1 2
y]
y y2
2
dy
1 2
2
[ y( y 2)2 y5 ]dy
)(e
y
1 0
)
(e
1)2 .
例 6 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围
成的立体的体积.
解 设两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2 及
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
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1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x bϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x xϕϕ在[,]a b上连续，则有21()()(,)(,)b xa xDf x y d dx f x y dyϕϕσ=⎰⎰⎰⎰；（1）若D为y型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y dψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y yψψ在[,]c d上连续，则有21()()(,)(,)d yc yDf x y d dy f x y dxψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dydxdyx⎰⎰，其中D是由2x=，y x=，及1xy=所围成．分析积分区域如图3所示，为x型区域()1D=,12,x y x y xx⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解积分区域为x型区域()1D=,12,x y x y xx⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则yy=xxy=1D2D121图12221221x x Dy y dxdy dx dy x x =⎰⎰⎰⎰ 321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122xxx xdx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰ 120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰y图41222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例3计算二重积分D，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤． 分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．解 区域D 如图6可分为12D D U ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩由公式（3）则12DD D =+2212111523x xdx dx π--=+=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解 做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x y ux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y yx xαβ==，如果设2,y y u v x x ==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯ ()()4,,,.uJ u v u v v=∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例6 求233Dx dxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解 令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311dudv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰ （5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为()0r r θ≤≤，αθβ≤≤那么()()(),cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰（8）图 8例7计算DI =，其中D 为圆域：221x y +≤分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，可以达到简化被积函数的目的．解 作变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩， 则有DI =21d πθ=⎰⎰120d πθ⎡=⎣⎰202d πθπ==⎰． 例8 计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==，以及曲线x =所围成的平面区域．分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域D 与1D 据极坐标变换简化一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根被积函数．解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区域，则有11DD D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而12224D D ydxdy dx dy -+==⎰⎰⎰⎰，又1:02sin ,2D r πθθπ≤≤≤≤故原式12sin 02sin D ydxdy d r rdr πθπθ=⋅⎰⎰⎰⎰428sin 3d ππθθ=⎰ 281cos 212cos 23422ππθπθ+⎛⎫=-+=⎪⨯⎝⎭⎰． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞⎧⎨=≤≤⎩ 并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有()(),cos ,sin Df x y dxdy f ar br abrdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰ （9）例9计算D I =⎰⎰，其中(),0D x y y x a ⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．解 作广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，(),J u v abr =由（9）知DI =⎰⎰1200d πθ=⎰⎰126abc d abc ππθ==⎰⎰3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么(),0Df x y d σ=⎰⎰如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么()()()12,2,2,DD D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰[3]例10 计算2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰ 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰12002dy ydx =⎰()31220213y y dy =+⎰()()5212022111515y =+=．3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区11域上被积函数的取值不变号．例11 求224Dx y dxdy +-⎰⎰，其中D 为229x y +≤围成的区域．分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤在1D 内 222244x y x y +-=-- 在2D 内 222244x y x y +-=+- 故原式224Dxy dxdy +-⎰⎰()()12222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰，利用极坐标计算有()()1222220448D xy dxdy d r rdr πθπ--=-=⎰⎰⎰⎰()()2232220125442D xy dxdy d r rdr πθπ+-=-=⎰⎰⎰⎰ 故原式2541822πππ=+=． 例12 求(),Df x y dxdy ⎰⎰,其中()(),0,0,0,x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成()0b a >>.分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.12解 如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D =U U . 在1D 上有 (),0f x y =,则()1,0D f x y dxdy =⎰⎰.因而()()23x y x y D D I edxdy edxdy -+-+=+⎰⎰⎰⎰()()a b xab xx y x y a xadx edy dx edy ---+-+-=+⎰⎰⎰⎰a b a b ae be e e ----=-+-。