广东省深圳市九年级上学期数学期中考试试卷
广东省深圳市九年级上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值为（）
A . －1
B . 0
C . 1
D . 2
2. （2分）下列方程中，没有实数根的是（）
A . x2﹣4x+4=0
B . x2﹣2x+5=0
C . x2﹣2x=0
D . x2﹣2x﹣3=0
3. （2分）下列说法中错误的是（）
A . 成中心对称的两个图形全等
B . 成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C . 中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D . 中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
4. （2分） (2019九上·西城期中) 将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2018九上·定安期末) 将一元二次方程x2-4x-6=0化成（x-a）2=b的形式，则b等于（）
A . 4
B . 6
C . 8
D . 10
6. （2分） (2017九上·盂县期末) 点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是（）
A . （-1，2）
B . （1，2）
C . （-1，-2）
D . （-2，1）
7. （2分）台州市2012年5月的平均房价为9530元/m2 ， 2014年同期达到11284元/m2 ，假设这两年台州市房价的平均增长率为x，根据题意，则下列所得的方程中，正确的是（）
A . 9530（1+x%）2=11284
B . 9530（1﹣x%）2=11284
C . 9530（1+x）2=11284
D . 9530（1﹣x）2=11284
8. （2分） (2018九上·下城期末) 已知二次函数y＝ax2+4x+c ，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（）
A . y＝2x2+4x﹣1
B . y＝x2+4x﹣2
C . y＝﹣2x2+4x+1
D . y＝2x2+4x+1
9. （2分） (2018九上·富顺期中) 下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3(x-9)2-(x+1)2=1；③x+3= ；
④ =x-1．一元二次方程的个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
10. （2分） (2018九上·宜昌期中) 如图，矩形的顶点为坐标原点，点在轴上，点的坐标为 .如果将矩形绕点旋转旋转后的图形为矩形，那么点的坐标为（）
A . (2, 1)
B . (-2, 1)
C . (-2, -1)
D . (2, -l)
11. （2分） (2019九上·句容期末) 下列关于二次函数y=-x2-2x+3说法正确的是（）
A . 当时，函数最大值4
B . 当时，函数最大值2
C . 将其图象向上平移3个单位后，图象经过原点
D . 将其图象向左平移3个单位后，图象经过原点
12. （2分）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共6分)
13. （1分）若是二次函数，则m=________ 。
14. （1分）已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，则 =
________
15. （1分） (2019八下·余姚月考) 写出一个以3，－1为根的一元二次方程________.
16. （1分） (2019九上·黄浦期末) 如果点A(﹣1，m)、B(，n)是抛物线y＝﹣(x﹣1)2+3上的两个点，那么m和n的大小关系是m________n(填“＞”或“＜”或“＝”)．
17. （1分）(2018·松滋模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y 轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD 相交于点M．若经过点M的反比例函数（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE= ，则BN的长为________．
a
18. （1分）如图，抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（2，0），（0，2），则抛物线的对称轴是________；若y＞2，则自变量x的取值范围是________．
三、解答题 (共8题；共65分)
19. （5分）解下列方程
（1） x2﹣x+2=0
（2） 2x2﹣3x﹣5=0．
20. （5分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣1，2），求这个抛物线的顶点坐标．
21. （5分） (2019八上·盘龙镇月考) 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上.
①画出关于x轴的对称图形；
②将向左平移3个单位后得到，画出，并写出顶点的坐标.
22. （5分）(2017·长春) 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E是菱形ABCD内一点，连结CE绕点C顺时针旋转110°，得到线段CF，连结BE，DF，若∠E=86°，求∠F的度数．
23. （10分） (2016九上·宝丰期末) 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根
24. （10分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y 与x满足如下关系：
y=
（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？
（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）
25. （10分）(2012·钦州) 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．
26. （15分）(2011·台州) 已知抛物线y=a（x﹣m）2+n与y轴交于点A，它的顶点为点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
（1）
如图1，求抛物线y=（x﹣2）2+1的伴随直线的解析式．
（2）
如图2，若抛物线y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴随直线是y=x﹣3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
（3）
如图3，若抛物线y=a（x﹣m）2+n的伴随直线是y=﹣2x+b（b＞0），且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b 的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
13、答案：略
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共8题；共65分)
19-1、19-2、
20-1、21-1、22-1、
23-1、23-2、
24-1、
24-2、25-1、
25-2、26-1、
26-2、。
广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2023-2024 学年第一学期期中调研九年级数学试卷答题时间90分钟，满分100分．一．选择题（共 10 小题，每小题3分，共30分）1. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．【详解】解：A 、选项不符合三种视图，不符合题意；B 、选项是主视图，不符合题意；C 、选项是右视图，不符合题意；D 、选项是左视图，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．2. 在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在 0.4 左右，则袋中白球约有（ ）A. 10 个B. 15 个C. 20 个D. 25 个【答案】A【解析】【分析】此题考查了用频率估计概率，以及概率公式，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率是解题的关键．【详解】解：设白球有x 个，则 0.415x x =+，解得：10x =，经检验：10x =是原方程的解，∴10x =，故选A ．3. 如图，矩形ABCD 中，对角线 AC BD 、交于点 O ．若608AOB BD ∠=°=，，则 AB 的长为（ ）A. 3B. 4C.D. 5【答案】B【解析】 【分析】题考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质．通过矩形的性质推出ABO 为等边三角形是解题的关键．【详解】∵ABCD 是矩形，∴1842OA OB OC OD BD =====， 又∵60AOB ∠=°，∴ABO 是等边三角形，∴4AB OA ==，故选B ．4. 一元二次方程2430x x −−=的根的情况是（ ）． A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根 【答案】C【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：2430x x −−=，其中a =1，b =-4，c =-3，()224441(3)280=−=−−××−=> b ac ，∴一元二次方程有两个不相等的实数根故选：C .【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 关于反比例函数6y x=，下列说法中不正确的是（ ） A. 点()2,3−−在它的图象上 B. 图象关于原点中心对称C. 当0x >时，y 随x 的增大而增大D. 它的图象位于第一，三象限 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】解：A 、当2x =−时，则632y ==--，所以点()2,3−−在它的图象上，故不符合题意； B 、由反比例函数6y x=可知图象关于原点中心对称，故不符合题意； C 、当0x >时，y 随x 的增大而减小，故符合题意；D 、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意；故选：C ．6. 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度是（ ）A. 7mB. 6mC. 5mD. 4m【答案】A【解析】 【分析】先说明△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的对应边成比例列式解答即可．【详解】解：如图：AD ＝6m ，AB ＝21m ，DE ＝2m ；∵DE //BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD BC AB =，即 2621BC =， 解得：BC ＝7m ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，发现并判定△ADE ∽△ABC 是解答本题的关键． 7. 在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为100min ，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为70min ．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x ，则可列方程为（ ）A. ()2701100x +=B. ()2701100x +=C. ()2100170x −=D. ()2100170x −=【答案】C【解析】 【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长2022=年上学期每天书面作业平均时长(1×−该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率2)，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设根据题意得：()2100170x −=．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数()0y kx k k =−≠与y =()0k k x≠的大致图象可能是（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k 的符号对函数图象的影响是解题的关键．【详解】解：①当0k >时，y kx k =−过一、三、四象限；y =k x 位于一、三象限； ②当0k <时，y kx k =−过一、二、四象象限；y =k x 位于二、四象限． 观察图形可知，只有D 选项符合题意．故选D ．9. 下列说法正确的是（ ）A. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形B. 顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形C. 已知点 C 为线段AB 2AB =，则 1AC =−D. 中午用来乘凉的树影是中心投影【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义，平行投影的含义；本题根据菱形的判定，中点四边形的判定，黄金分割的含义结合线段的黄金分割点有2个，以及太阳光线是平行光线逐一分析判定即可，熟记基础概念是解本题的关键．【详解】解：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A 不符合题意；顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形，表述正确，故B 符合题意；如图，C 是AB 的黄金分割点，则AC AB ′=，则1AC ′=，或BC AB =，则1BC =−，∴)213AC =−−=C 不符合题意； 中午用来乘凉的树影是平行投影，故D 不符合题意；故选B10. 如图，在 ABC 中，9024ACB AC BC ∠=°==，，，ACB 绕顶点C 逆时针旋转得到DEC ，使点 D 落在 AB 边上，连接 EB ，则 BE 的长为（ ）A. B. C. D. 72【答案】A【解析】【详解】现根据旋转证得ECB ACD ，即2BE AD =，然后过点C 作CF AB ⊥于点F ，则2AD AF =，根据三角形的面积求出CF 长，然后利用勾股定理求出AF 即可解题．∴AB ，由旋转可知：42EC BC CD AC ====，，90ECD∠=°， ∵90ECB BCD ACD BCD ∠+∠=∠+∠=°，∴ECB ACD ∠=∠， 又∵2ECBC CD AC==， ∴ECB ACD ∽， ∴2BE BC AD AC==，即2BE AD =， 过点C 作CF AB ⊥于点F ，则2AD AF =， ∵1122ABC S AC BC AB CF =×=× ，∴AC BC CF AB ×==∴AF ，∴2AD AF ==，即2BE AD == 故选：A ．【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造“三线合一”是解题的关键．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11. 已知方程²30x mx ++=的一个根是1，则m 的值是_______【答案】-4【解析】【分析】将x=1代入方程中即可求出m 的值．【详解】解：由题意可知，将x=1代入方程中得到：1²+m+3=0，解得m=-4，故答案为：-4．【点睛】本题考查了一元二次方程方程解得概念，告诉方程的解就是将解代入方程中，等号两边相等即可．12. 如图，ABC 中，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，DE BC ∥，若4=AD ，6BD =，2AE =，则CE 的长是 _____．【答案】3【解析】【分析】根据DE BC ∥，易证AD AE DB EC =，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵DE BC ∥， ∴AD AE DB EC=， ∵4=AD ，6BD =，2AE =， ∴426CE=， 解得：3CE =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练地掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 13. 如图，甲楼AB 高 16 米，乙楼CD 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是2:3， 已知两楼相距BD 为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 DE ＝_______米．【答案】8【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影的知识；过E 作EF AB ⊥，利用平行投影的知识物高与影长的比是2:3，求出AF 的长度，进而求得DE BF AB AF ==−即可得出答案．解题的关键是利用平行投影的知识，求出AF 的长度．【详解】如图，过点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，在Rt ΔAFE 中，90AFE ∠=°，12EF BD ==∵物高与影长的比是2:3 ∴23AF EF =， ∴8AF =∵16AB =，∴1688DE BF AB AF ==−=−=故答案为：8米14. 如图，在 Rt AOB 中，904AOB OB AB ∠=°=，，∥x 轴，双曲线k y x=经过点B ，将AOB 绕点 B 逆时针旋转，使点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上，AB 的对应线段CB 恰好经过点 O ．则 k 的值是_____．【答案】【解析】【分析】先求得BOD 是等边三角形，即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 的值.【详解】∵ AB x 轴,ABO BOD ∴∠=∠，ABO CBD ∠=∠ ，BOD OBD ∴∠=∠，OB BD = ，BOD BDO ∴∠=∠，BOD ∴ 是等边三角形，如图，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，60BOD ∴∠=°，∴30OBE ∠=°， ∴114222OE OB ==×=，∴BE(2B ∴，∵双曲线 k y x=经过点B ，2k ∴=×=故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得 BOD 是等边三角形是解题的关键．15. 如图，四边形ABCD F 是边AB 上的一点，连接DF ，点E 是边BC 延长线上的一点，且 DF DE ⊥，连接AC 交EF 于点Q ，若53AQ QC =，1AF =，则EF 的长为_____．【解析】【分析】过E 点作EG AB 交AC 的延长线于点G ，设EF 于CD 交于点P ，则有ADF CDE ≌，即可得到1AF CE EG ===，再证得QCP QGE QAF ∽∽，可以得到14EC GC BC CA ==，求出BF 和BE 长，利用勾股定理解题即可．【详解】解：过E 点作EG AB 交AC 的延长线于点G ，设EF 于CD 交于点P ，∵ABCD 是正方形，DF DE ⊥，∴90B DAF DCB DCE CEG ADC EDF ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=°，AD DC =，45ACB ECG ∠=∠=°，AB CD ， ∴ADF CDE ∠=∠， ∴ADF CDE ≌， ∴1AF CE ==， 又∵45ECG ∠=°， ∴1EC EG ==， ∵EG AB ，AB CD ， ∴EG AB CD ，∴G CAB ∠=∠，B BEG ∠=∠， ∴QCP QGE QAF ∽∽， ∴35QC PC PC PQ QG EG AF QF ====， ∴2184GC CA ==， 又∵EG AB CD ， ∴14ECGC BC CA ==， ∴4BC AB ==， ∴35BF BE ==，，∴EF ，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题，共55分）16. 解方程：（1）24120x x −−=； （2）22210x x −−=．【答案】（1）16x =，22x =−（2）112x =+，212x =−【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程的配方法和因式分解法，关键是熟练掌握各自的解题方法． （1）利用因式分解法求解，“因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，也就是把原方程进行了降次转化为解一元一次方程”；（2）利用配方法解方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，然后开平方求解即可． 【小问1详解】 解：24120x x −−=，()()260x x +−=， ∴20x +=或60x −=， ∴12x =−，26x =；【小问2详解】解： 22210x x −−=，∴2221x x −=，则212x x −=，∴222111222x x −+=+， 221324x x −+= ，即21324x−=，则12x −，∴112x =+，212x =． 17. 小红爸爸积极参加社区志愿服务工作．根据社区安排，志愿者被随机分到A 组（清除小广告）、B 组（便民代购）和C 组（环境消杀）． （1）小红爸爸被分到B 组概率是____________；（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小红的爸爸被分到同一组的概率． 【答案】（1）13（2）13【解析】【分析】（1）小红爸爸随机分到一组有3种情况，其中1种是分到B 组，根据概率公式可得答案； （2）通过画树状图，得出一共有多少种情况，再从中选出满足条件有多少种情况，最后根据概率公式可得答案． 【小问1详解】解：∵小红爸爸随机分到一组有3种情况，其中1种是分到B 组， ∴小红爸爸被分到B 组的概率为13； 故答案为：13【小问2详解】解：小红爸爸和王老师分组可用树状图表示如下：的的由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小红爸爸和王老师被分到同一组的结果有三种，分别是()()(),,,,,A A B B C C ，∴()3193P ==小红爸爸和王老师被分到同一组． 【点睛】本题考查了利用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在通过画树状图法，得出一共的情况数和满足条件的情况数．18. 已知：ABC 三个顶点的坐标分别为()()()225415A B C −−−，-，，-，，-．（1）画出ABC 关于 x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标______；（2）以点 O 为位似中心，将ABC 放大为原来的 2 倍，得到222A B C △，请在网格中画出222A B C △，并写出点2B 的坐标为______，222ABC A B C S S = ∶______． 【答案】（1）见解析，()115C −， （2）加解析，()2108B ，，14∶【解析】【分析】此题考查了作轴对称图形及位似图形，（1）分别确定对称点111A B C ，，，顺次连线即可；（2）分别连接AO BO CO ，，并延长二倍，确定点222A C B ，，，顺次连线即可得到222A B C △，利用位似图形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图：111A B C △即为所求，()115C −，；故答案为：()115C −，； 【小问2详解】 解：如图：222A B C △即为所求，由图可知：()2108B ，， ABC 与222A B C △位似，位似比12∶，2221ABC A B C S S ∴= ∶∶4． 故答案为：()2108B ，，14∶．19. “荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x 元．（1）当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；（2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？【答案】19. 32；320 20. 5元 【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意：当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克.即可得出结论;（2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．是【小问1详解】解： 由题意得：销售数量为202632+×=千克；利润为()()402462620320−−××+=元； 故答案为：32；320； 【小问2详解】由题意得:()()4024202330x x −−+=， 解得： 1,5,x x ==₁₁ ∵让顾客得到实惠，5x ∴=， 答：销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，每千克应降价5元．20. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF =BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD （2）连接OE ，若AD =5，EC =2，求OE 的长度． 【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD =BC ，等量代换得到BC =EF ，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得AD =AB =BC =10，由勾股定理求出AE =4，AC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC 且AD =BC ， ∵BE =CF ， ∴BC =EF ， ∴AD =EF ，是∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形， ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEF =90°，∴四边形AEFD 是矩形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，AD =5， ∴AD =AB =BC =5， ∵EC =2， ∴BE =5-2=3， 在Rt △ABE 中，4AE ===，在Rt △AEC 中，AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA =OC ，∴OE =12AC【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；根据菱形的性质得到AD ∥BC 且AD =BC ，等量代换得到BC =EF 是解题的关键．21. （1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象交于点()1,2A 和()2,B m −．①直接写出=a ____，b =____，k =____； ②请直接写出不等式kax b x+>的解集____；连接OA 、OB ，则AOB S =△_______．（2）如图 2，直线 :2l y x m =−+与 x ，y 轴分别交于 A 、B 两点，点 M 是双曲()40y x x=>上一点，分别连接MA 、MB ．在双曲线上是否存在点 M ，使得以BM 为斜边的MAB △与AOB 相似？若存在，请求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）①1，1，2；②20x −<<或1x >；32；（2）()4,1M 【解析】【分析】（1）①将()1,2A 代入k y x=求出k 的值，得到2y x =，然后将()2,B m −代入2y x =求出()2,1B −−，然后利用待定系数法将()1,2A ，()2,1B −−代入y ax b =+求解即可； ②根据图象结合A ，B 两点的坐标即可求出不等式kax b x+>的解集；设直线AB 与y 轴交于点C ，首先求出点C 的坐标，得到1OC =，然后利用AOBAOC COB S S S =+ 代数求解即可； （2）首先根据题意求出OB m =，2m=，过点M 作ME x ⊥轴于点M ，过点A 作AF BM ⊥交BM 于点F ，根据相似三角形的性质得到2mAO AF ==，OE OA AE m =+=，然后证明出BOA AEM ∽ ，进而得到,4m M m，然后代入()40y x x =>求解即可．【详解】（1）①根据题意得， 将()1,2A 代入k y x=得，21k=，解得2k =， ∴2y x=， 将()2,B m −代入2y x =得，212m ==−−， ∴()2,1B −−，将()1,2A ，()2,1B −−代入y ax b =+，得221a b a b +=−+=−，解得11a b = = ；故答案为：1，1，2； ②∵()1,2A ，()2,1B −−， ∴根据图象可得，不等式kax b x+>解集20x −<<或1x >； 如图所示，设直线AB 与y 轴交于点C ，∵1a =，1b =， ∴1y x =+，∴当0x =时，11y x =+=， ∴()0,1C ， ∴1OC =，∴1131121222AOB AOC COB S S S =+=××+××= ； 故答案为：20x −<<或1x >；32；（2）∵直线 :2l y x m =−+与 x ，y 轴分别交于 A 、B 两点， ∴当0x =时，2y x m m =−+=， ∴OB m =，当0y =时，02x m =−+，解得2mx =， ∴2m AO =， 如图所示，过点M 作ME x ⊥轴于点M ，过点A 作AF BM ⊥交BM 于点F ，的∵BOA BAM ∽ ，∴ABO ABF ∠=∠，∵AF BM ⊥，AO BO ⊥， ∴2m AO AF ==， ∵BOA BAM ∽ ，∴BAO BMA ∠=∠，90BAM AOB ∠=∠=°， ∴90BAO MAE ∠+∠=°，∵ME x ⊥轴，∴90AME MAE ∠+=°，∴BAO AME ∠=∠，∴BMA AME ∠=∠，∵AF BM ⊥，ME x ⊥轴， ∴2m AF AE ==， ∴OE OA AE m =+=，∵BAO AME ∠=∠，90BOA AEM ∠=∠=°，∴BOA AEM ∽ ， ∴OB AE OA ME =，即2m AE m ME =， ∴124m ME AE ==， ∴,4m M m， ∵点 M 是双曲()40y x x =>上一点， ∴44m m=，即216m =， 解得4m =或4−（舍去），∴()4,1M ．【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，相似三角形的性质和判定等知识，数形结合是解题的关键．相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．22. 综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．【问题发现】（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，6AB BC ==，F 为BC 边的中点，E 为 AB 边上一点，连接 DE DF 、，分别将ADE 和 CDF 沿 DE DF 、翻折，点 A 、C 的对应点分别为点 G 、H ，点 G 与点 H 重合，则EDF ∠=____°，AE =_____；【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，54AB BC ==，，F 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点，连接DE DF 、，分别将ADE 和CDF 沿 DE DF 、翻折，点A 、C 的对应点分别为点G 、H ，且D 、H 、G 三点共线，求AE 的长．【拓展延伸】（3）如图3，在菱形ABCD 中，660AB D ∠==°，，F 为CD 边上的三等分点，E 为BC 边上一点，连接AE AF 、，分别将ABE 和ADF 沿 AE AF 、翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，点G 与点H 重合，直线GE 交直线AB P ，请直接写出PB 的长．【答案】（1）45°，2 （2）45°，127 （3）125或34【解析】 【分析】（1）由翻折可得,3AEEG CF FG ===，在Rt EBF 中利用勾股定理解题即可； （2）延长DG 交AB 于点M ，连接FG ，由翻折可得FGM FBM ≌，即可得到GM BM =，在Rt ADM 中运用勾股定理解题；（3）分2DF =和4DF =两种情况解题解题，如图，当点F 为DC 的三等分点时，4DF =，则2FC =，设直线GE 交直线CD 于点Q ，连接AC ，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，则有FQG EQC ≌，即FQ QE =，再在Rt ENQ 中利用勾股定理求出CQ ，最后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，6,90AD AB BCD ∴==∠=°，∵F 为AD 的中点,3CF BF ∴==，∵将ADE 和CDF 沿CE CF 、翻折, 点A C 、的对应点分别为点G H 、，,3AE EG CF FG ∴===，设 ,AE x =则 6,BE x =−3EF x ∴=+，²²²EF BE BF =+ ，()()3?6?3?x x ∴+=−+，解得2x =2AE ∴=， ∵将ADE 和CDF 沿CE CF 、, 点A C 、的对应点分别为点G H 、，,ADE GDE CDF GDF ∴∠=∠∠=∠，90BCD ∠=° ，11904522EDF ADC ∴∠=∠=×°=°， 故答案为: 45°，2；（2）延长DG 交AB 于点M ，连接FG ，∵F 为BC 边的中点，∴2CF BF ==由翻折可得：2FG CF BF ===，90DGF C B A DHE ∠=∠=∠=∠=∠=°，5DG DC AB ===，AE EH =，又∵FM FM =，∴FGM FBM ≌，∴GM BM =，设MB x =，则5DM x =+，5AM x =−，在Rt ADM 中，222AD AM DM +=，即()()222455x x +−=+， 解得：45x =， ∴295DM =，215AM =， ∵1111122222ADM S AM AD AE AD DM EH AE AD DM AE =×=×+×=×+× ∴21412529745AM AD AE AD DM ××===++；（3）①如图，当点F 为DC 2DF =，则4FC =，设直线GE 交CD 于点Q ， ∵ABCD 是菱形，∴120DAB DCB ∠=∠=°，6AD DC BC ===，60D ABC ∠=∠=°，由翻折可得：DAF GAF ∠=∠，BAE GAE ∠=∠，D AGF ∠=∠=60ABC AGE ∠=∠=°，FG FD =，∴120FGQ QCE ∠=°=∠，60EAF ∠=°连接AC ，则ACD 是等边三角形，60ACE D EAF CAD ∠=∠=∠=∠=°，∴DAF CAE ∠=∠，AD AC =，∴ADF ACE ≌，∴2EC DF FG ===，又∵FGQ QCE FQG EQC ∠=∠∠=∠，， ∴FQG EQC ≌，∴FQ QE =，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，则60ECN ∠=°，∴30CEN ∠=°， ∴112CN CE ==，∴EN =设CQ x =，则4FQ QE x ==−，在Rt ENQ 中，222EN NQ QE +=，即()()22214x x ++=−， 解得：65x =， 又∵ABCD 是菱形，∴AB DC ，∴DCB CBP ∠=∠，CQE P ∠=∠， ∴ECQ EBP ∽， ∴2BP EB CQ EC==， ∴6122255BP CQ ==×=； ②如图，当点F 为DC 的三等分点时，4DF =，则2FC =，设直线GE 交直线CD 于点Q ，连接AC ，过点E 作EN DC ⊥交DC 的延长线于点N ，由①可得，ADF ACE ≌，∴4EC DF FG ===，又∵FGQ QCE FQG EQC ∠=∠∠=∠，，∴FQG EQC ≌，∴FQ QE =，则60ECN ∠=°，∴30CEN ∠=°， ∴122CN CE ==，∴EN ，设CQ x =，则()422FQ QE x x ==−−=+，在Rt ENQ 中，222EN NQ QE +=，即(()()22222x x +−=+， 解得：32x =， 又∵ABCD 是菱形，∴AB DC ，∴DCB CBP ∠=∠，CQE P ∠=∠， ∴ECQ EBP ∽， ∴12BP EB CQ EC ==， ∴11332224BP CQ ==×=； 综上， BP 长为125或34． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，矩形和菱形的性质，能作出辅助线构造直角三角形应用勾股定理计算是解题的关键．。
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
广东省深圳市深圳中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．下列对一元二次方程230x++=根的情况的判断，正确的是（）．有两个不相等实数根．有两个相等实数根A．31︒4．反比例函数k yx =则k的取值是（）A．1B．2A ．3.5B ．27．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能判定（）A ．B D ∠=∠B ．C ∠8．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如直角三角形ABC ，其中C ∠=程的其中一个正根是（）A ．线段AC 的长B ．线段9．已知P 是反比例函数6(y x=上一点，且AP BP ⊥，:AP BP A ．113B 10．矩形ABCD 中，AB =AF 分别交BD 于点M ，①135AFD AEB ∠+∠=︒；A ．1二、填空题11．已知3a b =，则a 12．若2x =是一元二次方程13．如图，在ABC 中，点H 为AF 与DG 的交点．若14．在平面直角坐标系中，点反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过其中两点，则15．如图，在菱形ABCD 中，∠边AB 关于直线MN 作轴对称得到线段三、解答题16．解方程(1)2350x x +-=(2)()22121x x -=-．17．为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮次．现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．(1)九年级（1）班的学生人数m =人，扇形统计图中n =%(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为°；(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．(1)画出ABC 关于x 轴对称的1A B △(2)以原点O 为位似中心在第二象限内画一个五、应用题19．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司在某地试点投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，该试点八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，九、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．(1)若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；(2)现该公司计划扩大市场，经调查发现，每辆车的全天包车租金每降价10元，则全天包车数增加8次，公司决定从11月1日起，降低租金，尽可能地让利顾客，计划11月在该试点获利7920元，应将每辆车的全天包车租金降价多少元？六、证明题20．在锐角三角形ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AF BC ⊥于点F ，AG DE ⊥于点G ，BAF EAG ∠=∠．(1)如图1，请直接写出CB 与AC 的比值是；如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC 七、问答题(1)求反比例函数2y的解析式和点B的坐标；y y>时，x的取值范围；(2)①直接写出当21的面积；②连接OA和OB，求AOB⊥轴交反比例函数于点Q，点(3)点P为线段AC（不含端点）上一动点，过点P作PQ xD为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当C，D，E，F四点构成的四边形为正方形时，写出点P的坐标．。
广东省深圳市龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
广东省深圳市龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A ．主视图与左视图相同B ．主视图与俯视图相同C ．左视图与俯视图相同D ．三种视图都相同2．关于x 的一元二次方程2100x bx +-=的一个根为2，则b 的值为（）A ．3-B ．2C ．3D ．73．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．若50AOB ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A ．65︒B ．50︒C ．25︒D ．20︒4．如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B 和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行，若点A 在数轴上表示的数是-2且点A 与刻度尺上的0刻度重合，则AB 的长度是（）A ．3B ．4C ．5D ．65．宽与长的比等于()10.6182≈的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（）A ．12.36米B ．18.54米C ．21.21米D ．48.54米6．七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，是一个由“七巧板”地砖铺成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地砖上，已知小球停在任意一点的可能性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（）A ．12B ．14C ．16D ．187．如图，ABC V 与DEF 是位似图形，点O 是位似中心．若2OA AD =，ABC V 的周长为4，则DEF 的周长为（）A ．6B ．8C ．9D ．128．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程25140x x +-=即()514x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图面积是()25x x ++的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即2414581⨯+=，因此2x =．则在下列四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知23a b =，则b a a -的值为．10．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图（a ）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图（b ）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为度．11．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．12．图（a ）是燕尾夹，图（b ）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC ，BD 可分别绕点M N ，旋转，不考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C D ，两点重合），20mm AM BN ==，15mm CM DN ==，8mm MN =．如图（c ），当夹子完全张开时（即A B ，两点重合），夹嘴间的距离CD 的长为mm ．13．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点且满足30CBE ∠=︒，将BCE 沿BE 折叠得到BC E '△，C E '与对角线BD 交于点F ，则DFBF 的值为．三、解答题14．解一元二次方程：(1)220x x +=；(2)263910x x --=．15．化学实验课上，杨老师带来了Mg （镁）、Al （铝）、Zn （锌）、Cu （铜）四种金属材料及其元素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg Al Zn 、、可以置换出氢气，而Cu 不能置换出氢气）(1)小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al ”的概率为；(2)小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率．16．如图，在平行四边形ABCD 中，=90BDC ∠︒，E 是AD 边上一点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF．(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF 是矩形的条件，并写出证明过程；①AE DE =；②BF BC =；③AE BE =．(2)若四边形ABDF 是矩形，且3AB =，5AD =，求四边形ABCF 的面积．17．已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．(1)若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？18．综合与实践背景晚上小明在广场上散步，如图（a ）所示，AB ，CD 是广场上的两根电线杆，小明站在点E 处，在两盏路灯B ，D 的照射下，地面上形成了他的两个影子EH ，EG ．素材1两盏路灯B ，D 的高均为10m ，两盏路灯相距40m ，小明的身高EF 为1.5m ．素材2A ，C ，E ，G ，H 在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面．问题提出小明在广场中走动时（始终保证影子EG ，EH 不为0），两个影子端点间的距离GH 是否会发生改变？问题解决任务1计算（1）如图（b ），当小明影子EG 长为4.5m 时，此时小明到电线杆CD 的距离EC 为多少？任务2说理（2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离GH 是否会改变？若GH 的长不变，请求出GH 的长；若GH 的长度发生变化，请说明理由．任务3拓展（3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中GH 最长达到10m ，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度．19．综合与探究【定义】我们把关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=与20cx bx a ++=（0ac ≠，a c ≠）称为一对“友好方程”【示例】如22730x x +-=的“友好方程”是23720x x -++=．（1）写出一元二次方程212710x x -+=的“友好方程”是________．【探究】（2）已知一元二次方程212710x x -+=的两根为113x =，214x =，请求出它的“友好方程”的两个根．【猜想】（3）当240b ac ∆=-≥时，方程20ax bx c ++=的两根1x ，2x 与其“友好方程”20cx bx a ++=的两根3x ，4x 之间存在的一种特殊关系为________．（0ac ≠，a c ≠）【证明】∵方程20ax bx c ++=的两根为1x =2x =方程20cx bx a ++=的两根为32b x c -=，①________；……（4）请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可）【拓展】（5）已知关于x 的方程220240x bx c +-=的两根是11x =-，212024x =．请利用上述结论，直接写出关于x 的方程()212024c x bx b --+=的两根．20．综合与探究如图，在平行四边形ABCD 中，E F ，分别是边BC ，CD 上的点，AE 与BF 交于点P ．（1）【特例感知】如图（a ），若四边形ABCD 是正方形，当APB D ∠=∠时，则线段AE 与BF 的数量关系是________；（2）【深入探究】如图（b ），若四边形ABCD 是菱形，且APB D ∠=∠，则线段AE 与BF 满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．思路一思路二如图，在BC 边上取一点M 使AM AB =，……如图，在CB 的延长线上取一点N 使，AN AE =，……（3）【类比迁移】如图（c ），若四边形ABCD 是菱形，E 为BC 的中点，60APB C ∠=∠=︒，请求出AE BF的值；（4）【联系拓广】如图（d ），在平行四边形ABCD 中，3AD =，4AB =，60C ∠=︒，F 是CD 边的中点，当点E 在直线BC 上运动，且直线AE 与直线BF 所夹的锐角为60°时，请直接写BE 的长．。
广东省深圳市2022-2023学年九年级上学期数学期中考试卷(解析版)
2022-2023学年度第一学期期中学情调查问卷九年级数学考试时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分）1. 在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）A. B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由于平行线的投影是平行或重合，根据这一特征即可作出判断．【详解】由于矩形的两组对边分别平行，且平行线在太阳光下的投影是平行或重合，则A 、B 、D 三个选项中的图形可能是矩形在地面上的投影，而C 选项中的梯形有一组对边不平行，所以它不可能是矩形在地面上的投影．故选：C ．【点睛】本题考查了平行投影，太阳光下的投影是平行投影，关键是掌握平行投影特点：平行物体的影子仍旧平行或重合．2. 解一元二次方程2210x x +−=，配方得到()21x a +=，则a 的值为（ ） A. 1B. 1−C. 2D. 2− 【答案】C【解析】【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【详解】解：方程x 2+2x ﹣1＝0，配方得：x 2+2x +1＝2，即（x +1）2＝2，则a 的值为2．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 对于任意的实数m ，关于x 的方程2102x mx −−=的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【答案】B【解析】 【分析】判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号即可.【详解】解：∵a =1，b =−m ，c =−12∴Δ=b 2−4ac =m 2+2＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．4. 如图，矩形ABCD 中，,AC BD 交于点O ，若60AOB ∠=°，则ACB ∠的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°【答案】A【解析】 【分析】由矩形的性质可得60COD OC OD ∠=°=，，再根据等边三角形的判定与性质可得60OCD ∠=°，最后由角的和差计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，60AOB ∠=°，∴9060BCD COD OD ∠=°∠=°=，，1122BD AC OC ==， ∴COD △是等边三角形，∴60OCD ∠=°，∴ACB ∠9030OCD =°−∠=°，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．5. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 上两点，且DE ∥BC ，若AD ＝2，BD ＝3，BC ＝10，则DE 的长是的（ ）A. 3B. 4C. 5D. 203【答案】B【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案.【详解】 //DE BC ，∴ADE ABC ， ∴AD DE AB BC=， 2AD =，3BD =，10BC =， ∴2510DE =， ∴4DE =.故选：B .【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型. 6. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，已知:1:4OA OD =，ABC 的面积为1，则DEF 的面积是（ ）A. 3B. 4C. 9D. 16【答案】D【解析】 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】因为ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，且:1:4OA OD =，所以211=416ABC DEFS S = （）， 因为ABC 的面积为1，所以DEF 的面积是16，故选D ．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．7. 下列命题是真命题的是（ ）A. 菱形的对角线相等B. 反比例函数6y x =，y 随x 的增大而减小C. 一条线段上只有一个黄金分割点D. 有一个角为120°的两个等腰三角形相似 【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质，反比例函数的增减性，黄金分割的性质，相似三角形的判定，逐项进行判断即可．【详解】解：A.菱形的对角线互相垂直，故A 错误；B.反比例函数6y x=，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故B 错误； C.一条线段上有两个黄金分割点，故C 错误；D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，反比例函数的性质，黄金分割，相似三角形的判定，解题的关键是熟练相关的性质．8. 如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A. ()()40234960x x −−=B. 2403440342960x x x ×−−+=C. ()()40342960x x −−=D. 403440234960x x ×−−×=【答案】A【解析】 【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植区域，然后根据已知条件，列出方程即可．【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为x 米，所以种植区域的长为（402x − ）米，宽为（34x −）米，根据矩形面积公式可得，（40﹣2x ）（34﹣x ）＝960．故选：A ．【点睛】本题考查列一元二次方程解决问题，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程． 9. 如图，在ABCD Y 中，点E 为AD 的中点，点F 为边AB 上一点，且:2:3AF BF =，连接CF ，BE ，相交于点G ，则:BG GE =（ ）A. 6:7B. 7:6C. 3:4D. 4:5【答案】A【解析】 【分析】延长,CF DA 交于点H ，根据平行四边形的性质，证明FAH FBC ∽,GHE GCB ∽,根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，延长,CF DA 交于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，=AD BC ，∴HA BC ∥，∴FAH FBC ∽， ∴AH AF BC FB=， ∵:2:3AF BF =， ∴23AH BC =， 设2AH a =，则3BC a =，∴3AD BC a ==，∵E 为AD 的中点， ∴1322AE AD a ==， ∴72HE AH AE a =+=， ∴HE BC ∥，∴GHE GCB ∽， ∴366:7772BG BC a GE HE a ====， 故选A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10. 如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 在第一象限，BC x ∥轴．直线y x =从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．平行四边形ABCD 的面积为（ ）A. 3B.C. D. 4【答案】D【解析】【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ，当移动距离是6时，直线经过B ，当移动距离是7时经过D ，则743AD =−=，设直线经过点D 时，交BC 于N ，则DN =，作DM BC ⊥于点M ，由2223292DM DN ==； 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ，当移动距离是6时，直线经过B ，当移动距离是7时经过D ，则743AD =−=，设直线经过点D 时，交BC 于N ，则DN =，作DM BC ⊥于点M ，如图所示：∵移动直线为y x =，∴45NDM ∠=°，∵90DMN ∠=°，∴904545DNM ∠=°−°=°，∴NDM DNM ∠=∠，∴DM NM =，∴2223292DM DN ==， ∴43DM =或43DM =−（舍去）， ∴ABCD Y 的面积为：4343AD DM ⋅=×=，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平移变换、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的性质，其中根据函数图象确定AD 的长，是解答本题的关键．二、填空题（每题3分，共15分）11. 如果四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，且4a =，12b =，8c =，那么d 为______．【答案】24【解析】【分析】由题意可得出a c b d=，代入数据，即可求出d 的值． 【详解】∵a ，b ，c ，d 成比例线段， ∴a c b d =，即4812d=， 解得：24d =．故答案为：24．【点睛】本题考查比例线段的定义．注意各个字母的顺序是解题关键．12. 在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为_______．【答案】4【解析】【分析】设袋中红球的个数为x ，根据摸到红球的频率，列出方程，解方程从而可以得到红球的个数．【详解】解：设袋中红球的个数为x 依题意，0.46x x =+ 解得4x =经检验，4x =是方程的解∴估计袋中红球的个数为4个．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．13. 如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）的长度为__________．【答案】8m是【解析】【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．【详解】设长臂端点升高m x ，则0.5116x =，解得8x =． 故答案为：8m【点睛】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，列出比例式是解题关键． 14. 如图，POA 是等腰直角三角形，点P 在函数4(0)y x x=>的图象上，斜边OA 在x 轴上，则点A 的坐标是________．【答案】()4,0【解析】【分析】过P 作PB ⊥x 轴于B ，根据等腰直角三角形的性质得到BP=BO=BA ，设OB=a ，则P 点坐标为（a ，a ），把它代入y=4x（x>0）可求得a 的值，而OA=2a ，从而确定A 点坐标． 【详解】过P 作PB ⊥x 轴于B ，如图∵△POA 是等腰直角三角形，∴BP =BO =BA ，设OB =a ,则P 点坐标为(a ,a )，∵点P 在函数y =4x(x >0)的图象上， ∴2a =4，∴a =2，∴OA =2a =4，∴A 点坐标为(4,0).故答案为(4,0).【点睛】本题主要考查反比例函数综合，求出a 是关键.15. 在ABC 中，6,30AB AC C ==∠=°，E 为BC 中点，D 为AC 边一动点．将DEC 沿DE 翻折得到,DEC BDC ′′△△面积最大值为_____．【答案】272【解析】【分析】连接AE ，由CE ==，BECE ==CED EBC ′∠=∠，所以ED BC ′∥，则BDC BEC S S ′′∆∆=，当点G 、E 重合时，C G C E ′′==G 、E 重合时，C G C E ′′<，进而及可求解；【详解】解：连接AE ，∵6AB AC ==，且E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥，又∵30C ∠=°， ∴132AE AC ==，∴CE =∴BE CE ==由翻折知，C ED CED EC EC ′′∠=∠=，，∴BE EC EC ′==，∴EBC EC B ′′∠=∠，又∵CEC EBC EC B ′′′∠=∠+∠，∴22CED EBC ′∠=∠，∴CED EBC ′∠=∠，∴ED BC ′∥，∴BDC BEC S S ′′∆∆=，过C ′作C G BC ′⊥于G ，则12BEC S BE C G ′∆′=⋅⋅，当点G 、E 重合时，C G C E ′′==当点G 、E 重合时，C G C E ′′<，综上所述，C G C E ′′≤，即C G ′≤，∴′C G 的最大值为∴BEC ′∆的面积最大值为：1127222BE ⋅⋅=⋅=． ∴BDC ′∆的面积最大值为：272．故答案为：272． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理，正确构造辅助线是解本题的关键．三、解答题（共55分）16. 解方程：（1）22(1)180x −−=；（2）(25)410x x x −=−．【答案】（1）124,2x x ==−（2）125,22x x == 【解析】 【分析】（1）先移项，然后用直接开平方法解方程即可求解．（2）先将一元二次根式变为一般形式，然后用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：22(1)180x −−=．()219x −=．∴13x −=±．解得124,2x x ==−．【小问2详解】解：()25410x x x −=−，整理，得229100x x −+=，分解因式，得()()2520x x −−=， ∴250x −=，20x −=， 解得：152x =，22x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般步骤，是解题的关键． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和线段EF 的端点均在小正方形的顶点上．（利用格点和没有刻度的直尺作图，保留作图痕迹）（1）在方格纸1中画出ADC △，使ADC △与ABC 关于直线AC 对称；（2）在方格纸2中画出以线段EF 为一边的平行四边形EFGH （点G ，点H 均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH 的面积为4；（3）在方格纸3中，连接FM ，在FM 上确定一点P ，使得点P 为FM 中点．【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据网格的特点，轴对称的性质，作B 关于AC 的对称点D ，可得ADC △；（2）利用平行四边形的性质即可画出图形；（3）取格点N ，使得,ME FN ME FN =∥，连接NE 交MF 于点P ，则点P 即为所求，根据平行四边形的性质即可求解．【小问1详解】解：如图所示，作B 关于AC 的对称点D ，连接,CD AD ，则ADC △即为所求，【小问2详解】如图所示，取格点,G H ，1GF HE ==，连接,HE GF ，则FG HE ∥∴四边形EHGF 是平行四边形，面积为144×=，则四边形EHGF 即为所求；【小问3详解】如图，取格点N ，使得,ME FN ME FN =∥，连接NE 交MF 于点P ，则点P 即为所求，∴四边形MEFN 是平行四边形，∴MP PF =，即点P 为FM 中点．【点睛】本题考查了画轴对称图形，平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．18. “石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设欢欢、笑笑两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．（1）笑笑每次做出的手势不是“剪刀”的概率为______．（2）用画树状图或列表的方法，求笑笑赢的概率．【答案】（1）23（2）13【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【小问1详解】解：∵共3中手势，∴笑笑每次做出的手势不是“剪刀”的概率为23， 故答案为：23． 【小问2详解】解：画树状图得：共有9种等可能的情况数，其中笑笑赢的有3种，则笑笑赢的概率是31=93． 【点睛】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19. 某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；（2）经调查发现，1条生产线产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？【答案】（1）20%（2）4条【解析】【分析】(1)设求前三季度生产量的平均增长率为x ， 根据第一季度生产200万个，第三季度生产288万的个，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为()60020m −万个/季度，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m 的值．【小问1详解】解：设求前三季度生产量的平均增长率为x ，依题意得：2200(1)288x +=，解得：120.220%, 2.2x x ===− (不合题意，舍去)．答：前三季度生产量的平均增长率20%；【小问2详解】解：设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为()60020m −万个/季度，依题意得：0(160026)(020)m m +−=， 整理得：2291000m m −+=，解得：14m =，225m =，∵在增加产能同时又要节省投入，∴4m =．答：应该再增加4条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 20. 如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC ∥交BE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若7AC =，24AB =，求菱形ADCF 的面积．【答案】（1）见解析 （2）84【解析】【分析】（1）可先证得△AEF ≌△DEB ，可求得AF ＝DB ，可证得四边形ADCF 为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD ＝CD ，可证得结论；（2）根据条件可证得S 菱形ADCF ＝S △ABC ，由三角形面积公式可求得答案．【小问1详解】证明：E 是AD 的中点，AE DE ∴=，AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠，在AEF ∆和DEB ∆中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠ ∠=∠ =，(AAS)AEF DEB ∴∆∆≌，AF DB ∴=，又∵D 是BC 的中点，∴DC DB =AF DC ∴=∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=° ，D 是BC 的中点，12AD BC DC ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形．【小问2详解】解：设AF 到CD 的距离为h ，AF BC ∥，AF BD CD ==，90BAC ∠=°，11124784222ABC ADCF S CD h BC h S AB AC ∆∴=⋅=⋅==⋅=××=菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．21. 在等边ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在射线CB 上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系．（1）特殊情况，探索结论．如图1，当点E 在线段AB 的中点时，线段AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （选填“>”、“<”或“=”）．（2）特例启发，解决问题．如图2，当点E 在线段AB 的延长线上，线段AE 与DB 的大小关系是什么？请说明理由．（3）拓展结论，延伸应用．若直线DE 交直线AC 交于点F ，等边ABC 的边长为2，1AE =，求EF 的长．【答案】（1）=（2）AE DB =；理由见解析（3）EF 【解析】【分析】（1）ABC 为等边三角形，点E 在线段AB 的中点，得出60ABC A ACB ∠=∠=∠=°，1302BCE ACE ACB ∠=∠=∠=°，AE BE =，根据等腰三角形的判定和性质，得出BD BE =，即可得出答案；（2）过点E 作EF CD ⊥于点F ，过点A 作AG CD ⊥于点G ，根据等边三角形的性质，得出1302BAG CAG BAC ∠=∠=∠=°，根据平行线的判定和性质，得出30BEF BAG ∠=∠=°，得出2BE BF =，根据等腰三角形的性质，得出CF DF =，根据线段间的关系，即可得出答案； （3）分点E 在线段AB 上和点E 在线段BA 延长线上两种情况进行讨论，分别画出图形，求出EF 的长即可．【小问1详解】解：∵ABC 为等边三角形，点E 在线段AB 的中点，∴60ABC A ACB ∠=∠=∠=°，1302BCE ACE ACB ∠=∠=∠=°，AE BE =， ∵ED EC =，∴30D ECB ∠=∠=°，∴603030DEB EBC D ∠=∠−∠=°−°=°，DEB D ∴∠=∠，∴BD BE =，∴AE DB =，故答案为：=．【小问2详解】解：AE DB =，理由如下：过点E 作EF CD ⊥于点F ，过点A 作AG CD ⊥于点G ，如图所示：∵ABC 等边三角形，∴60ABC BAC ACB ∠=∠=∠=°，AB BC AC ==， ∵EF CD ⊥， ∴1302BAG CAG BAC ∠=∠=∠=°， ∵EF CD ⊥，AG CD ⊥，∴EF AG ∥，∴30BEF BAG ∠=∠=°，∵90BFE ∠=°，∴2BE BF =，∵ED EC =，EFCD ⊥，∴CF DF =，∵CF BC BF =+，∴DF CF BC BF ==+，∴2DB DF BF BC BF =+=+，为∵AE AB BE =+，AB BC =，2BE BF =，∴AE DB =．【小问3详解】解：①当点E 在线段AB 上时，如图所示：∵等边ABC 的边长为2，1AE =，∴点E 为AB 的中点，∴AE BE =，∵ABC ∆为等边三角形，∴CE AB ⊥，CE 平分ACB ∠， ∴1302BCE ACB ∠=∠=°，90BEC ∠=°，∵DE CE =，∴30D DCE ∠=∠=°，∴180120DEC D DCE ∠=°−∠−∠=°，∴1209030DEB DEC BEC ∠=∠−∠=°−°=°，∴30AEF DEB ∠=∠=°，∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ABC ACB ==°=∠∠∠，2AB BC AC ===， 18090AFE A AEF ∴∠=°−∠−∠=°， ∴1122AF AE ==，∴EF ②当点E 在线段BA 上时，如图所示：连接AD ，过点E 作EG BC ⊥于点G ，交AC 于点H ，连接DH ， 根据解析（2）可知，1BD AE ==，∴211CD BC BD =−=−=，∴AD BC ⊥，1302DAC DAB BAC ∠=∠=∠=°， ∵ED EC =，EG CD ⊥， ∴1122DG CG CD ===， ∴EG 垂直平分CD ，∴DH CH =，∵60DCH ∠=°，∴DCH 为等边三角形，∴60HDC ∠=°，∵60ABC ∠=°，∴ABC HDC ∠=∠，∴DH BE ∥，∵AD BC ⊥，EG CD ⊥，∴AD EG ，∴四边形ADHE 为平行四边形，EF DF ∴=，∵213BE AB AE =+=+=，13122BG BD DG =+=+=， 在Rt BEG △中，根据勾股定理得：EG在Rt DEGV中，根据勾股定理得：DE===，∴12EF DE==综上分析可知，EF．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．22. 如图，四边形OABC为菱形，点A坐标为(2)0，，点C坐标为，点E为对角线OB上一动点．（1）点B的坐标为_______．（2）P为OA边上动点，求AE EP+的最小值；（3）在点E运动的过程中，射线AE与线段OC交于点H，与BC延长线交于点F．当线段HE和线段HF的长度为3倍关系时，求点F的坐标．【答案】（1）(3（2（3）3F【解析】【分析】（1）由四边形OABC为菱形，BC x∥轴，OA BC=，由点A坐标为(2)0，，点C坐标为(1，即可求解；．（2）作AG OC⊥，作点P关于OB的对称点P′，连接PP P E AP′′′，，，则PE P E′=，故AE PE AE P E AP′′+=+≥，即AE PE AG+≥，即可求解；（3）设CF t=，则2BF t=+，证EBF EOA∆∆，FCH AOH∆∆，则22BF EF tOA AE+==，的2FC FH t OA AH ==，即24EF t AF t +=+，2FH t AF t =+，由3HE HF =，即可求解； 【小问1详解】解：∵四边形OABC 为菱形，∴BC x ∥轴，OA BC =∵点A 坐标为(2)0，，点C 坐标为，∴2123B C B C x x y y =+=+==，，∴(3B ．【小问2详解】∵四边形OABC 为菱形，作AG OC ⊥，作点P 关于OB 的对称点P ′，连接PP P E AP ′′′，，，则PE P E ′=，故AE PE AE P E AP ′′+=+≥，∴AP AG ′≥，∴AE PE AG +≥，∵2AC ，2OA OC AC ===∴，∴C AG y ==∴AE PE +≥，∴AE EP +的最小值为：3．【小问3详解】设CF t =，则2BF t =+，∵BF OA ∥，∴F OAE EBF EOA ∠=∠∠=∠，，F OAH FCH AOH ∠=∠∠=∠，，∴EBF EOA ∆∆ ，FCH AOH ∆∆ ，∴22BFEF t OA AE +==，2FC FH t OA AH ==，∴24EF t AF t +=+，2FH t AF t=+， ∵3HE HF =， ∴24412t EF t t FH t++==+，解得：1222t t =−+=−−（舍去），∴3F − ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的证明、勾股定理，掌握相关知识并正确构造辅助线是解题的关键．。
广东省深圳市深圳实验中学中学部2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
广东省深圳市深圳实验中学中学部2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷一、单选题1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．计算3...a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅⋅⋅144424443个的结果是（）A ．5aB ．6a C ．3a a +D ．3a a 3．关于x 的方程2441x x -=-的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根4．若二元一次联立方程式53283x y y x -=⎧⎨=-⎩的解为x a y b =⎧⎨=⎩，则a b +之值为何？（）A ．28-B ．14-C ．4-D ．145．如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点(),1M m ，(),2N n -，若12y y ＜，则x 的取值范围是（）A ．12x -<<B ．1x <-或0<<2C ．10x -<<或0<<2D ．10x -<<或>26．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等7．同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离y （km ）与时间x （h ）的函数关系．下列结论正确的是（）A ．甲车行驶8h 3与乙车相遇B ．A ，C 两地相距220kmC ．甲车的速度是70km /hD ．乙车中途休息36分钟8．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．正十二边形的每一个外角等于度．10．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．11．如图，ABCD 中，2BC =，点E 在DA 的延长线上，3BE =，若BA 平分EBC ∠，则DE =．12．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是．13．如图，ABC V ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC V 面积的2倍，则AD =．三、解答题14．()0π31-+-15．先化简，再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中1a =．16．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图类型人数百分比纯电m 54%混动n %a 氢燃料3%b 油车5%c请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查活动随机抽取了_____人；表中a =______，b =______；(2)请补全条形统计图；(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？17．某商店购进A 、B 两种纪念品，已知纪念品A 的单价比纪念品B 的单价高10元．用600元购进纪念品A 的数量和用400元购进纪念品B 的数量相同．(1)求纪念品A 、B 的单价分别是多少元？(2)商店计划购买纪念品A 、B 共400件，且纪念品A 的数量不少于纪念品B 数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，ABD CDB ∠=∠，BE AC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，且BE DF =．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若AB BO =，当ABE ∠等于多少度时，四边形ABCD 是矩形？19．已知反比例函数(0)k y x x=>的图象与正比例函数()30y x x =≥的图象交于点()2,A a ，点B 是线段OA 上（不与点A 重合）的一点．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，过点B 作y 轴的垂线,l l 与(0)k y x x=>的图象交于点D ，当线段3BD =时，求点B 的坐标；(3)如图2，将点A 绕点B 顺时针旋转90︒得到点E ，当点E 恰好落在(0)k y x x =>的图象上时，求点E 的坐标．20．综合与探究：如图，90AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的平分线上，PA OA ⊥于点A ．(1)【操作判断】如图①，过点P 作PC OB ⊥于点C ，根据题意在图①中画出PC ，图中APC ∠的度数为______度；(2)【问题探究】如图②，点M 在线段AO 上，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交射线OB 于点N ，求证：2OM ON PA +=；(3)【拓展延伸】点M 在射线AO 上，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交射线OB 于点N ，射线NM 与射线PO 相交于点F ，若3ON OM =，求OP OF的值．。
广东省深圳市九年级(上)期中数学试卷(含解析)
广东省深圳市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形2．下列命题错误的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．平行四边形的对角线互相平分C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC丄BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是菱形4．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形5．关于x的方程x2+mx﹣1=0的两根互为相反数，则m的值为（）A．0 B．2 C．1 D．﹣26．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则此三角形的周长是（）A．24 B．24或16 C．16 D．227．若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个解，则6a2﹣3a的值为（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣98．已知x=1是二次方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0的一个根，那么m的值是（）A．0.5或﹣1 B．﹣0.5 C．0.5或1 D．0.59．下列事件中，是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻B．父亲年龄比儿子年龄大C．通过长期努力学习，你会成为数学家D．下雨天，每个人都打着雨伞10．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（）A．B．C．D．11．为了监测PM2.5的值对人民的危害，我市准备成立监测小组，决定从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，则甲一定抽调到监测小组的概率是（）A．B．C．D．12．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6二、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分）13．菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则较长对角线BD的长是．14．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为cm．15．从﹣1、﹣2、3三个数字中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第三象限的概率是．16．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=．三、解答题（本题有7小题，共52分）17．（6分）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．18．（6分）解下列方程：（1）（y+2）2=（3y﹣1）2（2）4x2﹣3=12x（用公式法解）19．（6分）九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一样），表示两次摸出小球上的标号的所有结果；（2）规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．21．（8分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．23．（10分）泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：月份九月十月清仓销售单价（元）100 50销售量（件）200（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？参考答案与试题解析一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分别根据矩形的判定以及正方形的判定判定各选项进而得出答案．【解答】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确不合题意；B、对角线相等的菱形是正方形，此选项正确不合题意；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形形，此选项不正确符合题意；D、一组邻边相等的矩形是正方形，此选项正确不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了正方形的判定，熟练根据①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2，进行判定是解题关键．2．下列命题错误的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．平行四边形的对角线互相平分C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据特殊四边形的对角线的性质进行分析A、B、C；根据矩形的判定分析D，即可解答．【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；B、平行四边形的对角线互相平分，正确；C、矩形的对角线相等，正确；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是熟记菱形的性质、矩形、平行四边形的性质与判定定理．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC丄BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是菱形【分析】直接利用菱形与矩形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC丄BD，∴四边形ABCD是菱形，故正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，四边形ABCD是矩形，故错误．故选：D．【点评】此题考查了菱形与矩形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．4．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．【解答】解：如图；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB+∠ADC=180°；∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，∴∠HAD+∠HDA=90°，即∠EHG=90°；同理可证得：∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°；故四边形EFGH是矩形．故选：D．【点评】本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形．5．关于x的方程x2+mx﹣1=0的两根互为相反数，则m的值为（）A．0 B．2 C．1 D．﹣2【分析】由题意“两实数根互为相反数”，得方程的两根之和就为0．利用根与系数的关系列方程，解方程即可求出m的结果．【解答】解：设方程x2+mx﹣1=0的两根分别为α、β．根据两根之和公式可得：α+β=﹣m．又∵方程x2+mx﹣1=0的两实数根互为相反数，∴α+β=﹣m=0解得m=0．故选：A．【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与符号，然后确定选择哪一个根与系数的关系式．6．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则此三角形的周长是（）A．24 B．24或16 C．16 D．22【分析】把方程左边因式分解得到（x﹣10）（x﹣2）=0，再把方程化为两个一元一次方程x﹣10=0或x﹣2=0，解得x1=10，x2=2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为10，然后计算三角形的周长．【解答】解：x2﹣12x+20=0，∴（x﹣10）（x﹣2）=0，∴x﹣10=0或x﹣2=0，∴x1=10，x2=2，而三角形两边的长分别是8和6，∵2+6=8，不符合三角形三边关系，x=2舍去，∴x=10，即三角形第三边的长为10，∴三角形的周长=10+6+8=24．故选：A．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系．7．若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个解，则6a2﹣3a的值为（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【分析】将a代入方程2x2﹣x﹣3=0中，再将其变形可得所要求代数式的值．【解答】解：若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个根，则有2a2﹣a﹣3=0，变形得，2a2﹣a=3，故6a2﹣3a=3×3=9．故选：C．【点评】此题主要考查了方程解的定义及运算，此类题型的特点是，直接将方程的解代入方程中，再将其变形即可求出代数式的值．8．已知x=1是二次方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0的一个根，那么m的值是（）A．0.5或﹣1 B．﹣0.5 C．0.5或1 D．0.5【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，再用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：把x=1代入方程可得m2﹣1﹣m+m2=0，解得：m=﹣0.5或m=1，∵m2﹣1≠0∴m=﹣0.5．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一道比较基础的题．9．下列事件中，是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放新闻B．父亲年龄比儿子年龄大C．通过长期努力学习，你会成为数学家D．下雨天，每个人都打着雨伞【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：A、C、D选项都是不确定事件；B、是必然事件．故选：B．【点评】关键是理解必然事件是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．10．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（）A．B．C．D．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为=，故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．11．为了监测PM2.5的值对人民的危害，我市准备成立监测小组，决定从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，则甲一定抽调到监测小组的概率是（）A．B．C．D．【分析】由从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵从包含甲的5位技术人员中抽调3人组成监测小组，∴甲一定抽调到监测小组的概率是：．故选：C．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【分析】由一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，根据根与系数的关系求得x1+x2=3，x1•x2=﹣1，又由x12x2+x1x22=x1x2•（x1+x2），即可求得答案．【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1，∴x12x2+x1x22=x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，则x1+x2=﹣p，x1x2=q．二、填空题（本题有4小题，每小题3分，共12分）13．菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则较长对角线BD的长是6．【分析】首先证明△ABC，△ADC是等边三角形，在Rt△AOB中，求出OB，利用菱形的性质可得DB，根据菱形的面积公式计算即可．【解答】解：解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠ADC=60°，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴AC=6，OD=OC=3，在Rt△AOB中，BO==3，∴BD=2OB=6，故答案为6．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为2cm．【分析】根据矩形的性质（对角线相等且互相平分），求解即可．【解答】解：矩形的两条对角线交角为60°的三角形为等边三角形，又因为两条对角线的和为8cm，故一条对角线为4cm，又因为矩形的对角线相等且相互平分，故矩形的一条较短边为2cm．故答案为：2．【点评】本题考查的是矩形的性质（矩形的对角线相等且相互平分），本题难度一般．15．从﹣1、﹣2、3三个数字中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第三象限的概率是．【分析】列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：画树形图得：∵共有6种等可能的结果，该点在第三象限的有2种情况，∴该点在第二象限的概率是：=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．解题时注意，第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，得到在第三象限的情况数是解决本题的关键．16．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=3或﹣3．【分析】首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．三、解答题（本题有7小题，共52分）17．（6分）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．【解答】证明：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．18．（6分）解下列方程：（1）（y+2）2=（3y﹣1）2（2）4x2﹣3=12x（用公式法解）【分析】（1）移项后将右边化为0，再提取公因式将左边因式分解，继而可得方程的解；（2）先将方程化为一般形式，利用公式法计算可得．【解答】解：（1）（y+2）2=（3y﹣1）2（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，∴4y+1=0或﹣2y+3=0，解得：y1=﹣，y2=；（2）原方程可化为：4x2﹣12x﹣3=0，∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，b2﹣4ac=144﹣4×4×（﹣3）=192，∴x==，∴x1=+，x2=﹣．【点评】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19．（6分）九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一样），表示两次摸出小球上的标号的所有结果；（2）规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出两次摸出小球标号相同的情况数，即可求出中奖的概率．【解答】解：（1）列表得：1 2 31 （1，1）（2，1）（3，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）所有等可能的情况数有9种；（2）可能出现的结果共9种，它们出现的可能性相同，两次摸出小球标号相同的情况共3种，分别为（1，1）；（2，2）；（3，3），则P==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．【分析】（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．【解答】（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠FEA=∠CAE，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠EC A．在△AEC和△EAF中，∵∴△EAF≌△AEC（AAS），∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB，∵DE垂直平分BC，∴∠BDE=90°∴∠BDE=∠ACB∴ED∥AC又∵BD=DC∴DE是△ABC的中位线，∴E是AB的中点，∴BE=CE=AE，又∵AE=CE，∴AE=CE=AB，又∵AC=AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．21．（8分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？【分析】（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；（2）假设取走了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，∴摸出一个球摸是黄球的概率为：=；（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，由题意，得≥，解得：x≥，∵x为整数，∴x的最小正整数解是x=9．答：至少取走了9个黑球．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．22．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．【分析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．【点评】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段．23．（10分）泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：月份九月十月清仓销售单价（元）100 50销售量（件）200（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？【分析】（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；（2）利用“获利9200元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．【解答】解：（1）填表如下：时间九月十月清仓时销售单价（元）100 100﹣x50销售量（件）200 200+2x800﹣200﹣（200+2x）（2）根据题意，得100×200+（100﹣x）（200+2x）+50[800﹣200﹣（200+2x）]﹣60×800=9200解这个方程，得x1=20 x2=﹣70当x=20时，100﹣x=80＞50．答：第十个月的单价应是80元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价﹣进价．。
广东省深圳市深圳中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)
2022-2023年度第一学期期中考试初三年级数学试卷一、单选题（本部分共10小题，每小题3分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正．确．的） 1. 下列各数是负数的是（ ）A. 2(1)−B. |3|−C. (5)−−D.【答案】D【解析】【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可 【详解】解：2(1)1−=，是正数，故 A 选项不符合题意； |3|3−=，是正数，故 B 选项不符合题意；(5)5−−=，是正数，故 C 选项不符合题意；2=−，是负数，故 D 选项符合题意．【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．2. 不等式432x x <+的解集是（ ）A. 2x >−B. <2x −C. 2x >D. 2x < 【答案】D【解析】【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．【详解】解：432x x <+，移项，合并同类项得：2,x <故选D【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键． 3. 若分式||11x x −+的值为零，则x 的值为（ ） A. 1B. 1−C. 1±D. 0【答案】A【解析】【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：10x −=且10x +≠， 解得：1x =．故选：A【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．4. 如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【详解】解：A 、影子的方向不相同，故本选项错误；B 、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；C 、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误；D 、影子的方向不相同，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．5. 由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，如图示：故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握“从左边看得到的图形是左视图”是解本题的关键． 6. 关于x 的一元二次方程260x x m −+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【答案】A【解析】【分析】先根据判别式＞0，求出m 的范围，进而即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程260x x m −+=有两个不相等的实数根，∴()26410m ∆=−−××>，解得：m ＜9，m 的值可能是：8．故选：A .【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则240b ac ∆=−>，是解题的关键．7. 如果|x +y -1|和2（2x +y -3）²互为相反数，那么x ,y 的值为（ ）A. 12x y = =B. 12x y =− =−C. 21x y = =−D. 21x y =− =−【答案】C【解析】 【分析】根据非负数的性质，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可． 【详解】解：∵21(23)0x y x y +−++−=， ∴10230x y x y +−= +−= ，解得：21x y = =−， 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，|x +y -1|和2（2x +y -3）2都是非负数，所以这个数都是0． 8. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC= 【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A ，根据相似三角形的性质即可判断B 、C 、D ．【详解】解：∵DE BC ∥， ∴AD AE BD EC=，△DEF ∽△CBF ，△ADE ∽△ABC ，故A 不符合题意； ∴DEDF EF CB CF BF==，DE AE CB AC =，故B 不符合题意，C 符合题意； ∴EF AE BF AC=，故D 不符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．9. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax +b 与=b y ax（其中a ，b 是常数，ab ≠0）的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．【详解】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数=byax（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数=byax（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数=byax（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数=byax（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．10. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD 上的动点，60BAC MAN∠=∠=°，连接MN、OM．以下结论中正确的个数是（）①AMN是等边三角形；②MN MN最小时18CMN ABCDS S=△菱形；④当OM BC⊥时，2OA DN AB=⋅．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出MAC DAN ∠=∠，然后证CAM DAN △≌△，得到AM AN CM DN ==，，即可证出．②当MN 最小值时，即AM 为最小值，当AM BC ⊥时，AM值最小，利用勾股定理求出AM =MN 的值．③当MN 最小时，点M 、N 分别为BC CD 、中点，利用三角形中位线定理得到MN BD ∥，即可证明CMN CBD ∽△△，得到214CMN CBD S CM S CB == △△，则128CMN CMN CBD ABCDS S S S ==△△△菱形，．④当OM BC ⊥时，可证OCM BCO △∽△，利用相似三角形对应边成比例可2OC CM BC =⋅，根据等量代换，最后得到答案．【详解】解：如图：在菱形ABCD 中，ABBC AD CD OA OC AC BD ====⊥，，，∵60BAC MAN ∠=∠=°， ∴ABC 为等边三角形，∴60ACB ADC ∠=∠=°，∴ADC △为等边三角形，又∵60MAC MAN CAN CAN ∠=∠−∠=°−∠，60DAN DAC CAN CAN ∠=∠−∠=°−∠，∴MAC DAN ∠=∠， 在CAM V 与DAN 中CAM DAN AC AD ACM ADN ∠=∠ = ∠=∠∴()ASA CAM DAN △≌△，∴AM AN CM DN ==，，∴AMN 为等边三角形，故①正确；∵AC BD ⊥，当MN 最小值时，即AM 为最小值，而当AM BC ⊥时，AM 值最小， ∵1212AB ,BM BC ===，∴AM =即MN =，故②正确；当MN 最小时，点M 、N 分别为BC CD 、中点，∴MN BD ∥，∴CMN CBD ∽△△，∴214CMN CBD S CM S CB == △△， ∴128CMN CMN CBD ABCD S S S S ==△△△菱形，故③正确； 当OM BC ⊥时，90BOC OMC OCM BCO ∠=∠=° ∠=∠∴OCM BCO △∽△ ∴OC CM BC OC= ∴2OC CM BC =⋅，∵CM DN BC AB ==，∴2OA DN AB =⋅故④正确；故选：D ．【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 因式分解：2312m −=__________．【答案】3(2)(2)m m +−【解析】【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)；故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 12.有意义，则实数x 的取值范围是______． 【答案】x ＞3，【解析】【分析】根据分式和二次根式的定义，列式运算求解即可．【详解】解：由题意得，2x ﹣6＞0，解得，x ＞3，故答案为：x ＞3．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的取值，熟悉掌握分式和二次根式的定义是解题的关键． 13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______． 【答案】35【解析】【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的，任意摸出1个，摸到红球的概率是35． 故答案为：35． 【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14. 如图所示，已知矩形ABCD ，24BC AB ==，将矩形绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，点D 恰好落在边EF 上，则GD =______．【答案】−##−+【解析】【分析】在Rt AED △中，由勾股定理求出DE 的长，进而得到DF 的长，在Rt GDF △中，由勾股定理求出GD 的长即可．【详解】解：∵矩形ABCD ，24BC AB ==，将矩形绕点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ， ∴2490AE AB GF EF BC AD E F ========°，，∠∠，在Rt AED △中，由勾股定理得：DE =，∴4DF EF DE =−=−，在Rt GDF△中，由勾股定理得：2GD===−=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出DE的长，进而得到DF的长是解题的关键．15. 如图，点A、B在反比例函数()30y xx=>的图像上，连接OB、AB，以AB、OB为边作平行四边形ABOC．若点C恰好落在反比例函数()20y xx=−<的图像上，则ABOCS=______．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点B作BD x⊥轴于B，过点C作CE x⊥轴于E，连接BC，设点C的坐标为2mm−，，点B的坐标为3nn，，利用平行四边形对角线中点坐标相同求出点A的坐标为23m nm n+−+，，再根据点A在反比例函数()30y xx=>上，推出n=，根据BOC COE BODCEDBS S S S=−−△△△梯形求出BOCS即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B作BD x⊥轴于B，过点C作CE x⊥轴于E，连接BC，设点C的坐标为2mm−，，点B的坐标为3nn，，∴BC中点的坐标为2322m n m n−++，，∵四边形ABOC平行四边形，∴OA与BC的中点坐标相同，是∴点A 的坐标为23m n m n +−+ ，， 又∵点A 在反比例函数()30y x x =>上， ∴323m n m n =−++， ∴223220m mn n −−=，∴n =（正值不合题意已舍）， ∴BOC COE BOD CEDB S S S S =−−△△△梯形 3122CE BD DE +⋅−− ()132 2.52n m n m =−−−12 2.52m m=−−−)123 2.54 ++−)113 2.54=++−=，∴2ABOC BOC S S ==△故答案为：【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题11分，第22题8分，共55分）16. 解方程：（1）2560x x −+=；（2）2210x x −−=．【答案】（1）1223x x ==，（2）1211x x +−【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可【小问1详解】解：∵2560x x −+=，∴()()230x x −−=， ∴20x −=或30x −=， 解得1223x x ==，； 【小问2详解】解：∵2210x x −−=，∴221x x −=，∴2212x x −+=，∴()212x −=，∴1x −=，解得1211x x +【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．17. 先化简，后求值：22111x x x x −− −÷ ，其中2022x =． 【答案】11x +，12023【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：22111x x x x −− −÷ 2211x x x x x −−⋅− ()()111x x x x x −⋅−+ 11x =+， 当2022x =时，原式11202212023=+． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解题的关键．18. 如图，矩形ABCD 中，点E 在DC 上，DE BE =，AC 与BD 相交于点O ．BE 与AC 相交于点F ．（1）证明：OBF ECF ∽△△；（2）若3OF =，2EF =，求BF 的长度．【答案】（1）证明见解析（2）1BF =+【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OA OC =，则ODC OCD ∠=∠，由DE BE =，得到EDB EBD ∠=∠，则ECF OBF =∠∠，再由EFC OFB =∠∠，即可证明OBF ECF ∽△△； （2）由相似三角形的性质得到BF OF CF EF=，推出32BF CF =，再证明FBO FAB △∽△，推出2133OA BF =−，再由3CF OC OF OA OF OA =−=−=−，得到233OA BF =+，则2123333BF BF −=+，由此求解即可． 【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AC 与BD 相交于点O ，∴OA OC =，∴ODC OCD ∠=∠，∵DE BE =，∴EDB EBD ∠=∠，∴ECF OBF =∠∠，又∵EFC OFB =∠∠，∴OBF ECF ∽△△；【小问2详解】解：∵OBF ECF ∽△△， ∴BF OF CF EF=，即32BF CF =， ∴32BF CF =， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，OA OC =，∴OAB OCD ∠=∠，∴FBO FAB =∠∠，∴FBO FAB △∽△， ∴OF BF BF AF=， ∴()()233BF OF AF OF OF OA OA =⋅=⋅+=+， ∴2133OA BF =−， ∵3CF OC OF OA OF OA =−=−=−， ∴233OA BF =+，∴2123333BF BF −=+， ∴22180BF BF −−=，解得1BF =+（负值已舍去）．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．19. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO ⊥OD ，EF ⊥FG ．已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB ．【答案】旗杆的高AB 为3米．【解析】【分析】证明△AOD ∽△EFG ，利用相似比计算出AO 的长，再证明△BOC ∽△AOD ，然后利用相似比计算OB 的长，进一步计算即可求解．【详解】解：∵AD ∥EG ，∴∠ADO =∠EGF ．又∵∠AOD =∠EFG =90°，∴△AOD ∽△EFG ． ∴AO OD EF FG=． ∴ 1.820152.4EF OD AOFG ⋅×===． 同理，△BOC ∽△AOD ． ∴BO OC AO OD=． ∴15161220AO OC BOOD ⋅×===． ∴AB =OA −OB =3（米）．∴旗杆的高AB 为3米．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．20. 预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教窒内每立方米空气中含药量y （mg ）与时间t （h ）成正比例；药物释放完毕后，y 与t 成反比例，如图所示，根据图象信息，解决以下问题：（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数解析式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg 以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？【答案】（1）23032y t t =≤≤ ；3322y t t =≥（2）6【解析】 【分析】(1) 首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小为时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为m y t=（m 常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；(2)当y =0.25mg 时，利用反比例函数解析式即可求解． 小问1详解】解：设正比例函数解析式是y ＝kt ，反比例函数解析式是m y t =， 把点（3，12）代入反比例函数的解析式，得：13322m =×=， ∴反比例函数的解析式是32y t =． 当y ＝1时，代入32y t =得32t =， 把32t =，y ＝1代入正比例函数的解析式是y kt =，得：23k =， ∴正比例函数解析式是23032y t t =≤≤ ； 【小问2详解】 解：由题意得，30252.y t=＜， 解得6t ＞， ∴从药物释放开始，至少需要经过6小时，学生才能进入教室．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．21. 如图，一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),3A a ，与y 轴交于点B ．【（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC AD =，连接CB ．求ABC 的面积；（3）以线段AB 为对角线做正方形AEBF （如图），点G 是线段BF （不与点B 、F 重合）上的一动点，M 是EG 的中点，MN EG ⊥交AB 于N ，当点G 在BF 上运动时，请直接写出线段MN 长度的取值范围．【答案】（1）412a k ==，（2）8 （3MN << 【解析】【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A 的坐标，再把A 的坐标代入反比例函数解析式即可得到答案； （2）如图所示，过点C 作CF x ⊥轴于E 交AB 于F ，根据中点坐标公式求出点C 的纵坐标，进而求出点C 的坐标和点F 的坐标，再由ABCBCF ACF S S S =+△△△进行求解即可； （3）如图所示，过点A 作AH x ⊥轴于H ，连接NG NE ，，证明AHE EOB △≌△，得到OE AH =，求出点E 的坐标为()30，，同理可得点F 的坐标为()14，，求出直线BF 的解析式为31y x =+；证明NG NE =，设()13112G m m N n n ++，，，， 利用勾股定理得到()()22221131131022m n m n n n −++−−=−++− ，推出22n m =+则()222N m m ++，，求出33122m m M ++ ，，利用勾股定理得到22552m MN +=，据此求解即可． 小问1详解】 解：∵一次函数112y x =+的图象与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点(),3A a ， ∴对于函数112y x =+，当3y =时，1132y x =+=，解得4x =， ∴4a =，∴点A 的坐标为()43，， ∴4312k =×=；【小问2详解】解：如图所示，过点C 作CF x ⊥轴于E 交AB 于F ，【∵AC AD =，∴A 为CD 的中点，∵点D 在x 轴上，点A 的坐标为()43，， ∴点C 的纵坐标为6，∴点C 的横坐标为1226=， ∴点C 的坐标为()26，， ∴点F 的坐标为()22，， ∴4CF =， ∴114242822ABC BCF ACF S S S =+=××+××=△△△； 【小问3详解】解：如图所示，过点A 作AH x ⊥轴于H ，连接NG NE ，，∴90AHE =°∠，∵四边形AEBF 是正方形，∴90AE EB AEB ==°，∠，∴90HEA OEB HEA HAE +=°=+∠∠∠∠，∴HAE OEB =∠∠，又∵90AHE EOB ∠=∠=°，∴()AAS AHE EOB △≌△，∴OE AH =，∵点A 的坐标为()43，， ∴点E 的坐标为()30，，∵直线112y x =+与y 轴交于B ， ∴点B 的坐标为()01，， 同理可得点F 的坐标为()14，， 设直线BF 的解析式为y kx b =+， ∴41k b b += =， ∴31k b = =， ∴直线BF 的解析式为31y x =+； ∵MN GE ⊥，M 是EG 的中点，∴MN 是EG 的垂直平分线，∴NG NE =，设()13112G m m N n n ++ ，，，， ∴()22213112NG m n m n =−++−− ，()22213102NE n n =−++− ， ∴()()22221131131022m n m n n n −++−−=−++−， ∴22222229369144n n m mn n m mn n n n −++−+=−++++， ∴2105105m mn n −=−，∴22n m =+，∴()222N m m ++，，∵M 是GE 的中点， ∴33122m m M ++，， ∴22233122222m m MN m m ++ =+−++−2231322m m +− + 22961964m m m m +++−+= 2552m +=， ∵G 在BF 上（不包括B 、F ）， ∴01m <<，∴201m <<， ∴2552MN <<，MN <<．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．22. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点E 从点A 出发，沿边AD ，DC 向点C 运动，A ，D 关于直线BE 的对称点分别为M ，N ，连接MN ．（1）如图，当E 在边AD 上且2DE =时，证明：EM BC ⊥；（2）当N 在BC 延长线上时，求EN 的长；（3）当直线MN 恰好经过点C 时，请直接写出DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）103（3）【解析】 【分析】（1）只需要证明四边形AEMB 是正方形，即可证明EM BC ⊥；（2）利用勾股定理和轴对称的性质得到由轴对称的性质可知10BN BD ==，BDE BNE =∠∠，再证明BCD ECN △∽△，得到6210EN=，据此求解即可； （3）分当E 在AD 上，当E 在CD 上，两种情况利用轴对称和相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：∵2DE =，四边形ABCD 是矩形，∴8AD BC ==，90A ∠=°∴6AE AD DE =−=，由轴对称的性质可知AB MB AE ME ==，，∴6AB AE MB ME ====，∴四边形AEMB 正方形，∴EM BC ⊥；【小问2详解】解：∵在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，6890AB CD AD BC BCD =====°，，∠，∴10BD ,∴由轴对称的性质可知10BN BD ==，BDE BNE =∠∠，∴2CN BN BC =−=，又∵90BCD ECN ∠=∠=°， 是∴BCD ECN △∽△， ∴CD CN BD EN =，即6210EN=， ∴103EN =； 【小问3详解】解：如图3所示，当E 在AD 上时，由折叠的性质可知690MB AB BME BAE ====°，∠∠，∴90BMC ∠=°，∴CM ==，∵AD BC ∥，∴DEC MCB =∠∠，在DEC 和MCB △中，90D BMC DEC MCB DC MB ∠=∠=° ∠=∠ =， ∴()AAS DEC MCB △≌△，∴DE MC ==；如图4所示，当E 在CD 上时，同理可得CM =，∴8CN MN CM AD CM =−=−=−，∵90BMC CNE BCD ===°∠∠∠，∴90NEC NCE NCE MCB +=°=+∠∠∠∠，∴NEC MCB =∠∠，∴NEC MCB △∽△，∴BM CN CM NE ==∴DE NE ==综上所述，DE 的长为【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质等等，正确画出图形利用相似三角形的性质与判定求解是解题的关键．。
广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若关于x 的方程()2210m x x -++=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．2m ≠B ．0m >C ．0m ≥且2m ≠D ．m 为任何实数2．如图所示的几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上，若线段3AB =，则线段BC 的长是（）A ．12B ．34C ．1D ．324．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（）A ．B ．C ．D ．5．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b 为2米，则a 约为（）A ．1.236米B ．0.764米C ．1.412米D ．1.632米6．在长为30m ，宽为20m 的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为2468m ，求道路的宽度．设道路的宽度为(m)x ，则可列方程（）A ．(302)(20)468x x --=B ．(202)(30)468x x --=C ．302023020468x x ⨯-⋅-=D ．(30)(20)468x x --=7．已知一次函数()10y kx k =+≠与反比例函数()0k y k x =≠，则其图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，在正方形ABCD 与等边DEF 中，,,A D F 三点在一条直线上，且8AD =，DF =．若有一动点P 沿着ED 由E 往D 移动，则当CP 的长度最小时，EP 的长为（）A ．2B ．C ．D ．4二、填空题9．一元二次方程26x x =的解是．10．为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约条．11．如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的眼睛到地面的距离DE 为1.6米，则假山AC 高度为米．12．如图，BD CF 、将长方形ABCD 分成四块，DEF 的面积是24cm ，CED △的面积是26cm ，则四边形ABEF 的面积是平方厘米．13．如图，点A 是双曲线y =连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt ABC △，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．三、解答题14．关于x 的一元二次方程24250x x m --+=有两个实数根1x ，2x ，并且12x x ≠．(1)求实数m 的取值范围；(2)满足212126x x x x m ++=+，求m 的值．15．10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A ．三阶6面魔方挑战赛；B ．科技知识竞赛；C ．环保调查；D ．自制地球仪；E ．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．AI根据上述信息，解决下列问题．(1)本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；(2)我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；(3)该校从C 类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．16．如图，ABC V 中，(4,4)A -，(4,2)B --，(2,2)C -．(1)以O 为位似中心，将ABC V 缩小为原来的12，得到111A B C △，请在y 轴右侧画出111A B C △．(2)ABC V 的面积为______．(3)在网格中找一点D ，使得BCD △是以BC 为底边的等腰直角三角形，则点D 的坐标为______．17．云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．(1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．(2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？18．如图，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD ==，，E F ，分别是边CD BC ，上的点，连接BE DF ，交于点G ，BE DF =．添加下列条件之一使四边形ABCD 成为菱形：①CE CF =；②BE CD DF BC ⊥⊥，．(1)你添加的条件是______（填序号），并证明．(2)在（1）的条件下，连接CG ，若2CG BC BG ===，ABCD 的面积．19．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽16AB =米时，桥洞顶部离水面距离4CD =米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD 对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH ，测得8EH =米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h （米）与货船增加的载重量t （吨）满足函数表达式110h t =．(1)问题解决：确定桥洞的形状．建立平面直角坐标系如图3所示，CD 落在第一象限的角平分线上．设点C 为(),m m ，①点A 的坐标为______．（用m 的代数式表示）；②求出经过点A 的双曲线的函数表达式．(2)探索应用：这艘货船运载货物高3米（即3EF =米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；3.2≈ 3.6≈．）20．综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动．【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，12BC =，P 为AD 边上的一动点，以PC 为边向右作等边PCE ，连接BE ，如何求BE 的最小值？【探究发现】小亮发现：如图4所示，以BC 为边向下构造一个等边BCM ，便可得到PCM ECB △△≌，进而将BE 的最小值转化为PM 的最小值的问题．（1）按照小明的想法，求证：PCM ECB △△≌；并求出BE 的最小值．【拓展应用】（2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以PC 为边向右构造正方形PCFG ，在运动过程中，求出BG 的最小值．（3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以PC 为边向右构造菱形PCHI ，使120CPI ∠=︒，也可求得BI 的最小值．请你直接写出BI 最小值为______．。
广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
高级中学2024-2025学年第一学期期中测试初三数学注意事项：1、答题前，考生务必在答题卡写上姓名、班级，准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡收回。
第一部分选择题一.选择题：（每小题只有一个选项，每小题3分，共计24分）1.如图所示，该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.2.若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）A. B. C. D.3.下列说法错误的是（ ）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形B.四条边都相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形D.四个角都相等的四边形是矩形4.在一幅长为、宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）A. B. C. D.5.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点.若，，则（）1:41:21:41:81:1650cm 30cm 22400cm cm x x 2402250x x +-=2802250x x +-=2402250x x --=2802250x x --=E ABCD AC EF AB ⊥F DE BC M AB G 4AF =2FB =MG =A. B. C. D.6.如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿A →B →C →D →A 运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A. B. C. D.7.如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接.以下结论不正确的是（ ）A. B. C.D.8.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为21，则该菱形的边长为（ ）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共计15分）9.方程的根是_____.2+ABCD P P y P s ABC AB AC =36BAC ︒∠=C BC AC D B D 12BD P CP AB E DE 36BCE ︒∠=BC AE =BE AC =AEC BEC S S =△△x 2140x x m -+=22x x =10.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点.测得，，，则树高___.11.如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同.现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是_____.火柴燃烧水结成冰玻璃杯破碎铁锅生锈12.边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_____.13.如图，在四边形中，，对角线，相交于点.若，，，则的长为_____.三、解答题（共计61分）14.（6分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）.15.（7分）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据：ABC B Q ABC ∠AQP ∠AP BC D 40cm AB =20cm BD =10m AQ =PQ =m ABCD 90BCD ︒∠=AC BD O 5AB AC ==6BC =2ADB CBD ∠=∠AD 2290x x +-=()()251315x x -=-转动转盘的次数n1002004005008001000落在“可乐”区域的次数m60122240295a 604落在“可乐”区域的频率0.60.610.6b 0.590.604（1）完成上述表格，其中_____，_____；（2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1）（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°；（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付.请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率.16.（8分）如图，在正方形格纸中.（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，，并写出点坐标_____；（2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点的对应点的坐标_____；（3）若线段绕原点旋转后点的对应点为，写出点的坐标_____.17.（8分）如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，.（1）下列条件：①点是的中点；②平分；③点A 与点关于直线对称.请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程.m na =b =n A B C ABC △()2,3A ()6,2C B O ABC △111A B C △A 1A AB O 90︒B 2B 2B ABCD E CD F DC AE BF E CD BE ABF ∠F BE ABFE选择条件：_____（填序号），理由如下.（2）若，，，求四边形的面积是多少.18.（8分）2024年奥运会在巴黎顺利召开，奥运会吉祥物“弗里热”爆红.（1）据统计某“弗里热”玩偶在某电商平台7月份的销售量是5万件，9月份的销售量是7.2万件，问月平均增长率是多少?（2）市场调查发现，某实体店“弗里热”玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售“弗里热”玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元?19.（12分）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究.下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：BEF DAE ∠=∠6AE =8BE =ABFE20.（12分）阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角.根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的打“×”.（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形.（_____）（2）两个等腰三角形是共角三角形.（_____）问题提出：小明在研究图1的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现.以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程.证明：分别过点，作于点，于点，得到图2，，又，（_____），.，，即.延伸探究：如图3，已知，请你参照小明的证明方法，求证：.D E AB AC ADE △ABC △ADE ABC S AD AE S AB AC⋅=⋅△△E C EG AB ⊥G CF AB ⊥F AGE AFC ∠=∠ A A ∠=∠ GAE ∴△∽()_____EG AE CF ∴=②1212ADE ABCAD EG S S AB CF ⋅=⋅ △△ADE ABC S AD EG AD AE S AB CF AB AC⋅∴==⋅⋅△△ADE ABC S AD AE S AB AC⋅=⋅△△180BAC DAE ︒∠+∠=ADE ABC S AD AE S AB AC ⋅=⋅△△结论应用：（1）如图4，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为60，则的面积是_____.（2）如图5，的面积为2，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为_____.ABCD G BC 2BG GC =GA E DE BA F 6AB =5AG = 2.5AE =ABCD AEF △ABCD ABCD BE AB =2CF BC =3DG CD =4AH AD =EFGH。
广东省深圳市宝安区2024-2025学年上学期九年级期中数学复习训练试卷
广东省深圳市宝安区2024-2025学年上学期九年级期中数学复习训练试卷一、单选题1．下列几何体中，主视图是三角形的为（）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程2450x x +-=经过配方后,可变形为（）A ．()221x -=B ．()2 21x +=-C ．()229x +=D ．()229x -=3．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，AB ＝8，BC ＝12，EF ＝9，则DE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．84．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A ，B ，C 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（）A ．12B ．13C ．16D ．295．已知：如图()4,2E -，()1,1F --，以O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E '的坐标为（）A ．()8,4-B ．()8,4-或()8,4-C ．()2,1-D ．()2,1-或()2,1-6．在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是（）A ．12B ．9C ．4D ．37．如图，小明在A 时测得某树的影长为8m ，B 时又测得该树的影长为2m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）A ．2mB ．4mC ．6mD ．8m8．如图，小树AB 在路灯O 的照射下形成投影BC ．若树高AB=2m ，树影BC=3m ，树与路灯的水平距离BP=4.5m ．则路灯的高度OP 为（）A ．3mB ．4mC ．4.5mD ．5m9．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG=2，则线段AE 的长度为（）A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，在矩形ABCD 中，点F 是C 边上的一点，把矩形ABCD 沿BF 折叠，点C 落在C 边上的点E 处，54AD AB ==，，点M 是线段C 上的动点，连接B ，过点E 作B 的垂线交BC 于点N ，垂足为H ．以下结论：①ABE DEF ∽；②AE BE =DE EF ；③2CF =；④BM EN =54．其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．若53a b =，则a b b -的值为．12．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，经过大量摸球试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有个．13．如图，已知路灯离地面的高度AB 为4.8m ，身高为1.6m 的小明站在D 处的影长为2m ，那么此时小明离电杆AB 的距离BD 为m ．14．如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，则金色纸边的宽为cm ．15．如图，四边形ABCD 是正方形，AB ＝6，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB 、DE 、CD 于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF ⊥EN 交AB 于F ．下列结论中，正确结论是．（填序号）①△BEF ∽△CNE ；②MN ＝；③BF ＝52AF ；④△BEF 的周长是12．三、解答题16．解方程：(1)2450x x --=(2)()()231231x x -=-，17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE =∠B ．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)若AC =12，BC =11，CE =2，求BD 的长.18．为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：(1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；(2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？19．已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱．AB=7m ，某一时刻AB 在太阳光下的投影BC=4m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为8m ，计算DE 的长．20．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？21．在Rt ABC ∆中，90,20cm,15cm ∠=︒==C AC BC ，现有动点P 从点A 出发，沿AC向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点O 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（05t ≤≤）．设运动时间为t 秒，求：(1)用含t 的代数式表示CQ ，CP ；(2)当t 为多少时，PQ的长度等于？(3)当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？22．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO ：CO=1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB=°，AB=．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO ：OD=1：3，求DC 的长．。