高考数学一轮复习对数与对数函数课时作业8 文北师大版

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2023年高考数学(文科)一轮复习——对数与对数函数

第6节对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1，N>0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6答案 C解析由题意知，4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0. ∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________. 答案 4解析 ∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴lg(xy )＝lg(x －2y )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝（x －2y ）2，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2y ，y >0，（x －y ）（x －4y ）＝0，则x ＝4y >0，∴xy ＝4.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案 2或12解析当0<a <1时，f (x )＝log a x 在[2，4]上单调递减，故f (x )max ＝f (2)，f (x )min ＝f (4)，则f (2)－f (4)＝log a 12＝1，解得a ＝12.当a >1时，f (x )在[2，4]上单调递增，此时f (x )max ＝f (4)，f (x )min ＝f (2)，则f (4)－f (2)＝log a 2＝1，解得a ＝2.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19C.18D.16答案 B解析法一因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19. 法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1.3.(2021·天津卷)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝( ) A.－1 B.lg 7 C.1 D.log 710答案 C解析 ∵2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.4.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用例1 (1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.答案 (1)A (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析 (1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称.设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 感悟提升对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.训练1 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1 比较大小例2 (1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c 1.∴c >a >b .(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c a >c . 角度2 解对数不等式例3 (1)(2022·太原质检)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________.(2)不等式log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________. 答案 (1)(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 (1)设x <0，则－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.当x >0时，f (x )<－1，即log 2x <－1＝log 212，解得0<x <12. 当x <0时，f (x )<－1，即－log 2(－x )<－1，则log 2(－x )>1＝log 22，解得x <－2. 当x ＝0时，f (x )＝0<－1显然不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a .又log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，所以0<a <1，所以2a >1，即a >12. 综上，12<a <1.角度3 对数型函数性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－13.感悟提升 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.训练2 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c 0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)A (2)[1，2) (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 (1)显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1log 24＝2，所以a >2.故c 0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).(3)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c 答案 B解析 ∵log 5b ＝a ，lg b ＝c ，∴5a ＝b ，10c ＝b .又∵5d ＝10，∴5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ，∴a ＝cd .2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数.又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4.∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A 解析由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5.所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( )A.c 0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C 项不符合，因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在(－12，＋∞)上单调递减.因此，选项D 中的两个图象符合.6.已知函数f (x )＝log 2(1－|x |)，则关于函数f (x )有下列说法：①f (x )的图象关于原点对称；②f (x )的图象关于y 轴对称；③f (x )的最大值为0；④f (x )在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是( )A.①③B.①④C.②③D.②④答案 C解析f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴①错误，②正确；根据f(x)的图象(图略)可知④错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.答案 4解析原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.答案－1 4解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a <log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log21－ax－x－1＝－log21＋axx－1，即log2ax－1x＋1＝log2x－11＋ax，所以a＝1，f(x)＝log21＋x x－1，令1＋xx－1>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)()A.11 hB.21 hC.31 hD.41 h答案 B解析由已知得1－15＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln 45＝－10k，所以k＝2ln 2－ln 5－10≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则12＝e－0.022 3t，方程两边同取自然对数得ln 12＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（x －1），x >1，2x ，x ≤1，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实数根，则实数a 的取值范围为( )A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]答案 D解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，方程f (x )－a ＝0有两个实数根，即y ＝f (x )与y ＝a 有两个交点，由图知，0<a ≤2.14.(2022·郑州调研)在①f (x )＋f (－x )＝0，②f (x )－f (－x )＝0，③f (－2)＝－f (2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ＋x )(a ∈R )满足________.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝2f (－x )＋1－x 2＋1，证明：g (x 2－x )≤54. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解若选择②f (x )－f (－x )＝0，因为f (x )－f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )－log 2(x 2＋a －x )＝0，所以x 2＋a ＋x ＝x 2＋a －x ，所以x ＝0，a ≥0，此时求不出a 的具体值，所以不能选②. 若选择①f (x )＋f (－x )＝0，(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )＋log 2(x 2＋a －x )＝0，所以log 2[(x 2＋a ＋x )(x 2＋a －x )]＝0，所以x 2＋a －x 2＝1，解得a ＝1. 若选择③f (－2)＝－f (2)，(1)因为f (－2)＝－f (2)，所以log 2(4＋a －2)＝－log 2(4＋a ＋2)，所以(4＋a －2)(4＋a ＋2)＝1，所以4＋a －4＝1，所以a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )， f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )，所以g (x )＝2log2(x 2＋1－x )＋1－x 2＋1 ＝x 2＋1－x ＋1－x 2＋1＝－x ＋1，所以g (x 2－x )＝－(x 2－x )＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54≤54.。

高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-对数运算与对数函数(含解析)

一、单项选择题1．(2023·哈尔滨模拟)函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为()A ．[1，＋∞)B.34，1C.34，1 D.0，342．若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于()A ．－1B ．1C ．2D ．33．若12log 0.8log 0.8x x <<0，则x 1与x 2的关系正确的是()A ．0<x 2<x 1<1B ．0<x 1<x 2<1C ．1<x 1<x 2D ．1<x 2<x 14.已知函数f (x )＝log a (x －b )(a >0，且a ≠1，a ，b 为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()A ．a >0，b <－1B ．a >0，－10且a ≠1)在x ∈(1,2]内恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(2，2)二、多项选择题7．(2024·永州模拟)若10a ＝5，10b ＝20，则()A ．a ＋b ＝4B ．b －a ＝lg 4C ．ab <2(lg 5)2D ．b －a >lg 58．(2023·吕梁模拟)已知函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是()A ．x 1＋x 2＝－4B ．x 3x 4＝1C ．1<x 4<4D ．0<x 1x 2x 3x 4≤2三、填空题9．计算：lg 25＋23lg 8－log 227×log 32＋2log 32＝.10．(2023·绍兴模拟)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >y 时，f (x )<f (y )，请你写出一个符合上述条件的函数f (x )＝.11．设p >0，q >0，若log 4p ＝log 6q ＝log 9(2p ＋q )，则p q ＝.12．(2023·龙岩模拟)已知函数y ＝f (x )，若在定义域内存在实数x ，使得f (－x )＝－f (x )，则称函数y ＝f (x )为定义域上的局部奇函数．若函数f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是．四、解答题13．已知f (x )＝213log (5)x ax a -+．(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．14．(2024·株洲模拟)已知函数f (x )＝log 9(9x ＋1)－kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 9m 的取值范围．15．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则()A．x>y>zB．x<y<zC．x，y，z可能构成等比数列D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解16．(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝log a x－(a)x－log a2(a>1)有两个零点，则实数a的取值范围是．§2.8对数运算与对数函数1．C 2.B 3.C 4.D 5.D 6．B [若0<a <1，此时x ∈(1,2]，log a x <0，而(x －1)2>0，故(x －1)2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈(1,2]，log a x >0，而(x －1)2>0，令f (x )＝log a x ，g (x )＝(x －1)2，画出函数f (x )与g (x )的图象，如图，若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2]内恒成立，则log a 2>1，解得a ∈(1,2)．]7．BC [由10a ＝5，10b ＝20，得a ＝lg 5，b ＝lg 20，则a ＋b ＝lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝2，故A 错误；b －a ＝lg 20－lg 5＝lg 205＝lg 4<lg 5，故B 正确，D 错误；ab ＝lg 5×lg 20＝lg 5×(lg 4＋lg 5)＝lg 5×lg 4＋(lg 5)2，∵lg 4<lg 5，∴lg 5×lg 4＋(lg 5)2<lg 5×lg 5＋(lg 5)2＝2(lg 5)2，∴ab <2(lg 5)2，故C 正确．]8．AB [函数f (x )x 2－4x ，x ≤0，2x |，x >0的图象如图所示，设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)＝t ，则0<t <4，则直线y ＝t 与函数y ＝f (x )图象的4个交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4.对于A ，函数y ＝－x 2－4x 的图象关于直线x ＝－2对称，则x 1＋x 2＝－4，故A 正确；对于B ，由图象可知|log 2x 3|＝|log 2x 4|，且0<x 3<1<x 4，所以－log 2x 3＝log 2x 4，即log 2(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4＝1，故B 正确；对于C ，由图象可知log 2x 4∈(0,4)，则1<x 4<16，故C 错误；对于D ，由图象可知－4<x 1<－2，当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，所以x 1x 2x 3x 4＝x 1(－4－x 1)＝－x 21－4x 1＝－(x 1＋2)2＋4＝f (x 1)∈(0,4)，故D 错误．]9．210.12log x (答案不唯一)11.1212．(2，5]解析因为f (x )＝log 3(x ＋m )是[－2,2]上的局部奇函数，所以x ＋m >0在[－2,2]上恒成立，所以m －2>0，即m >2，由局部奇函数的定义，存在x ∈[－2,2]，使得log 3(－x ＋m )＝－log 3(x ＋m )，即log 3(－x ＋m )＋log 3(x ＋m )＝log 3(m 2－x 2)＝0，所以存在x ∈[－2,2]，使得m 2－x 2＝1，即m 2＝x 2＋1，又因为x ∈[－2,2]，所以x 2＋1∈[1,5]，所以m 2∈[1,5]，即m ∈[－5，－1]∪[1，5]，综上，m ∈(2，5]．13．解(1)当a ＝2时，f (x )＝213log (-210)x x ，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u ＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u 为减函数，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴u ＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，1，4a ≥0，解得－14≤a ≤2，∴a 的取值范围是－14，2.14．解(1)因为9x ＋1>0，所以f (x )的定义域为R ，又因为f (x )是偶函数，所以∀x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即log 9(9－x ＋1)＋kx ＝log 9(9x ＋1)－kx 对∀x ∈R 恒成立，则2kx ＝log 9(9x ＋1)－log 9(9－x＋1)＝log 99x ＋19－x ＋1＝log 99x ＝x 对∀x ∈R 恒成立，即x (2k －1)＝0对∀x ∈R 恒成立，因为x 不恒为0，所以k ＝12.(2)由(1)得f (x )＝log 9(9x ＋1)－12x ＝log 9(9x ＋1)－129log 9x ＝log 99x ＋13x ＝log x则方程f (x )＝log log x log 不相等的实数解，所以方程3x ＋13x ＝m 3x ＋1有两个不相等的实数解，令t ＝3x ，且t >0，方程化为t ＋1t ＝m t＋1，即方程m ＝t 2－t ＋1在(0，＋∞)上有两个不相等的实数解，令g (t )＝t 2－t ＋1，则y ＝m 与y ＝g (t )在(0，＋∞)上有两个交点，如图所示，又g (t )所以g (t )≥＝34，且g (0)＝1，所以m 15．D [令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ≠0，则x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，令g(k)＝k t，由幂函数图象的性质可知，当t>0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z，当t<0时，g(k)＝k t在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确；假设x，y，z成等比数列，则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t，则t＝0，与已知矛盾，故C错误；因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即1，令f(t)1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数，注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即1只有一个解t＝1，所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确．]16．(1，1 e e)解析由题知，x>0，f(x)＝log a x－(a)x－log a2＝log a x2－2x a，令t＝x2，t>0，则y＝log at与y＝a t的图象在(0，＋∞)上有两个交点，又y＝log a t与y＝a t互为反函数，所以交点在直线y＝t上，设y＝log a t，y＝a t的图象与直线y＝t相切时，切点坐标为(m，n)，m>0，a m ln a＝1，a m，解得m＝e，又1m ln a＝1，所以a＝1e e>1，所以当a＝1e e时，y＝log a t和y＝a t只有一个交点，如图1；当a>1e e时，y＝log a t和y＝a t无交点，如图2；当1<a<1e e时，y＝log a t和y＝a t有两个交点，如图3.综上，a的取值范围为(1，1e e)．。

高考数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数课时作业理含解析北师大版

第六节对数与对数函数授课提示：对应学生用书第281页〖A 组基础保分练〗1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设a log 34＝2，则4－a ＝（） A.116 B.19 C.18 D.16〖解析〗法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝＝9－1＝19.〖答案〗B2.函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是（） A.〖1，2〗 B.〖1，2） C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 〖解析〗由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3（2x －1）≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.〖答案〗C 3.（2021·吕梁模拟）已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是（） A.c ＜a ＜b B.c ＜b ＜a C.a ＜c ＜b D.a ＜b ＜c〖解析〗1＜a ＝log 35＝12log 325＜12log 327＝1.5，b ＝1.51.5＞1.5，c ＝ln 2＜1，所以c ＜a ＜b .〖答案〗A4.已知x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，那么（）A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a〖解析〗由于12＜x ＜1，故x ＞x 2，故ln x ＞ln x 2＝2ln x ，所以a ＞b .c －a ＝ln 3x －ln x ＝ln x （ln 2x－1），由于ln x ＜0，|ln x |＜ln 2＜1，ln 2x －1＜0，所以ln x （ln 2x －1）＞0，故c ＞a . 〖答案〗C5.若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝log 2a （x ＋1）满足f （x ）＞0，则实数a 的取值范围是（）A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.（0，＋∞）〖解析〗因为－1＜x ＜0，所以0＜x ＋1＜1.又因为f （x ）＞0，所以0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.〖答案〗A 6.（2021·西安模拟）设方程10x ＝|lg （－x ）|的两个根分别为x 1，x 2，则（） A.x 1x 2＜0 B.x 1x 2＝0 C.x 1x 2＞1 D.0＜x 1x 2＜1 〖解析〗作出y ＝10x 与 y ＝|lg （－x ）|的大致图像，如图所示.显然x 1＜0，x 2＜0. 不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg （－x 1），10x 2＝－lg （－x 2），此时10x 1＜10x 2，即lg （－x 1）＜－lg （－x 2），由此得lg （x 1x 2）＜0，所以0＜x 1x 2＜1. 〖答案〗D7.已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是__________.〖解析〗由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A ＞0，故A ＝98＝7 2.〖答案〗7 28.已知函数f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在〖2，＋∞）上单调递减，则a 的取值范围为__________. 〖解析〗令g （x ）＝x 2－ax ＋3a ，因为f （x ）＝log 0.5（x 2－ax ＋3a ）在〖2，＋∞）上单调递减，所以函数g （x ）在区间〖2，＋∞）内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g （2）＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4. 〖答案〗（－4，4〗9.设f （x ）＝log a （1＋x ）＋log a （3－x ）（a ＞0，且a ≠1），且f （1）＝2. （1）求a 的值及f （x ）的定义域；（2）求f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值. 〖解析〗（1）因为f （1）＝2，所以log a 4＝2（a ＞0，且a ≠1），所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，所以函数f （x ）的定义域为（－1，3）.（2）f （x ）＝log 2（1＋x ）＋log 2（3－x ）＝log 2〖（1＋x ）（3－x ）〗＝log 2〖－（x －1）2＋4〗，所以当x ∈（－1，1〗时，f （x ）是增函数；当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，故函数f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f （1）＝log 24＝2. 10.已知函数f （x ）＝log 4（ax 2＋2x ＋3）. （1）若f （1）＝1，求f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 〖解析〗（1）∵f （1）＝1，∴log 4（a ＋5）＝1，得a ＝－1，故f （x ）＝log 4（－x 2＋2x ＋3）.由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数定义域为（－1，3）. 令g （x ）＝－x 2＋2x ＋3，则g （x ）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减，又y ＝log 4x 在（0，＋∞）上递增，所以f （x ）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数a 使f （x ）的最小值为0，则h （x ）＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此⎩⎨⎧a ＞0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f （x ）的最小值为0.〖B 组能力提升练〗1.函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|（a ＞0，且a ≠1）的图像大致是（）〖解析〗函数f （x ）＝|log a （x ＋1）|的定义域为{x |x ＞－1}，且对任意的x ，均有f （x ）≥0，结合对数函数的图像可知选C. 〖答案〗C2.函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）〖解析〗当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图像为选项B ，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B ，D 中的图像都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图像为选项A ，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图像与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图像符合要求. 〖答案〗A3.已知函数f （x ）＝|ln x |.若0＜a ＜b ，且f （a ）＝f （b ），则a ＋4b 的取值范围是（） A.（4，＋∞） B.〖4，＋∞） C.（5，＋∞） D.〖5，＋∞）〖解析〗由f （a ）＝f （b ）得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图像及0＜a ＜b ，得－ln a ＝lnb ，0＜a ＜1＜b ，1a ＝b .令g （b ）＝a ＋4b ＝4b ＋1b ，易得g （b ）在（1，＋∞）上单调递增，所以g （b ）＞g （1）＝5，即a ＋4b ＞5.〖答案〗C4.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则（） A.2x ＜3y ＜5z B.5z ＜3y ＜2x C.3y ＜2x ＜5z D.5z ＜2x ＜3y〖解析〗设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .〖答案〗B 5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知55＜84，134＜85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则（） A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜a D.c ＜a ＜b〖解析〗∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝⎛⎭⎫log 52422－1log 58＜⎝⎛⎭⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53＜log 85.∵55＜84，134＜85，∴5log 85＜4，4＜5log 138，∴log 85＜log 138，∴log 53＜log 85＜log 138，即a ＜b ＜c . 〖答案〗A6.（2021·黄石模拟）已知x 1＝log 132，x 2＝2，x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3，则（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2 〖解析〗由题意可知x 3是函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x 与y 2＝log 3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝⎛⎭⎫13x与y 2＝log 3x 的图像，如图所示，由图像可知x 3＞1，而x 1＝log 132＜0，0＜x 2＝2＜1，所以x 3＞x 2＞x 1.〖答案〗A7.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ＜3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f （a ）＝f （b ）＝f（c ）＝f （d ），其中d ＞c ＞b ＞a ＞0，则abcd 的取值范围__________.〖解析〗由题意可得－log 3a ＝log 3b ＝13c 2－103c ＋8＝13d 2－103d ＋8，可得log 3（ab ）＝0，故ab ＝1.结合函数f （x ）的图像，在区间〖3，＋∞）上，令f （x ）＝1可得c ＝3，d ＝7，cd ＝21. 令f （x ）＝0可得c ＝4，d ＝6，cd ＝24. 故有21＜abcd ＜24.〖答案〗（21，24）〖C 组创新应用练〗 1.（2020·新高考全国卷）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I （t ）＝e rt 描述累计感染病例数I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（） A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天〖解析〗由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病倒数增加1倍，则I （t 2）＝2I （t 1），即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38（t 2－t 1）＝2，即0.38（t 2－t 1）＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.〖答案〗B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作〖H ＋〗）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位mol/L ，记作〖OH －〗）的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg 〖H ＋〗，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（） A.12 B.13 C.16 D.110〖解析〗由题意可得pH ＝－lg 〖H ＋〗∈（7.35，7.45），且〖H ＋〗·〖OH －〗＝10－14，∴lg [H ＋][OH －]＝lg[H ＋]10－14[H ＋]＝lg 〖H ＋〗2＋14＝2lg 〖H ＋〗＋14.∵7.35＜－lg 〖H ＋〗＜7.45，∴－7.45＜lg 〖H ＋〗＜－7.35，∴－0.9＜2lg 〖H ＋〗＋14＜－0.7，即－0.9＜lg[H ＋][OH －]＜－0.7.∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误；lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误；lg 16＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故C 正确；lg 110＝－1，故D 错误.〖答案〗C3.已知函数f （x ）＝ln x1－x，若f （a ）＋f （b ）＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是__________.〖解析〗由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ·b 1－b ＝0，从而a 1－a ·b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a （1－a ）＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝⎛⎭⎫a －122＋14＜14，即ab ∈⎝⎛⎭⎫0，14. 〖答案〗⎝⎛⎭⎫0，14。

高三数学一轮复习 2.7《对数与对数函数》课时作业

对数与数函数一、选择题三、解答题10．已知f x＝log a a x－1a＞0，且a≠1．1求f x的定义域；2讨论函数f x的单调性.解析：1由a x－1＞0，得a x＞1.当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.∴当a＞1时，f x的定义域为0，＋∞；当0＜a＜1时，f x的定义域为－∞，0．2当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜ax1＜ax2，故0＜ax1－1＜ax2－1，∴log a ax1－1＜log a ax2－1，∴f x1＜f x2，故当a＞1时，f x在0，＋∞上是增函数．类似地，当0＜a＜1时，f x在－∞，0上为增函数．12．已知函数f x＝log4ax2＋2x＋3．1若f1＝1，求f x的单调区间；2是否存在实数a，使f x的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析：1∵f1＝1，∴log4a＋5＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f x＝log4－x2＋2x＋3．由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，函数定义域为－1,3．令g x＝－x2＋2x＋3.则g x在－∞，1上递增，在1，＋∞上递减，又y＝log4x在0，＋∞上递增，所以f x的单调递增区间是－1,1，递减区间是1,3．来源12．已知函数f x＝log4ax2＋2x＋3．1若f1＝1，求f x的单调区间；2是否存在实数a，使f x的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析：1∵f1＝1，∴log4a＋5＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f x＝log4－x2＋2x＋3．由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，函数定义域为－1,3．来源来源令g x＝－x2＋2x＋3.则g x在－∞，1上递增，在1，＋∞上递减，又y＝log4x在0，＋∞上递增，所以f x的单调递增区间是－1,1，递减区间是1,3．。

2024届新高考一轮复习北师大版 11 对数与对数函数作业

课时规范练11 对数与对数函数基础巩固组1.设9-log 3√a =3,则8a =( ) A.4 B.3 C.2 D.1答案:C 解析:因为9-log 3√a=3-2log 3√a=3log 3(√a )-2=(√a )-2=(a 12)-2=a-1=1a =3,所以a=13,故8a=813=(23)13=2.2.已知a=log 32,那么log 38-2log 36用a 表示是 ( )A.5a-2B.a-2C.3a-(1+a )2D.3a-a 2-1答案:B解析:log 38-2log 36=log 323-2(log 32+log 33)=log 32-2=a-2.3.函数y=log a (x-1)+4的图象恒过定点P ,点P 在幂函数y=f (x )的图象上,则f (4)=( ) A.16 B.8 C.4 D.2答案:A解析:当x=2时,y=log a 1+4=4,所以函数y=log a (x-1)+4的图象恒过定点(2,4).记f (x )=x m ,则有2m =4,解得m=2,所以f (4)=42=16.4.(2023·广东中山模拟)已知3x =5,log 39√55=y ,则x+2y=( )A.3B.4C.5D.6答案:B解析:∵3x =5⇔x=log 35,y=log 39√55, ∴x+2y=log 35+2log 39√55=log 35×815=log 381=4.5.(2023·江西宜春上高模拟)已知1a =ln 3,b=log 35-log 32,c=2ln √3,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a答案:C解析:c=2ln √3=ln3,1=lne <ln3<lne 2=2,即1<c<2,又1a =ln3,所以a=1ln3=lne ln3=log 3e,12=log 3√3<log 3e <log 33=1,即12<a<1,b=log 35-log 32=log 352,12=log 3√3<log 352<log 33=1,即12<b<1.又e >52,所以log 3e >log 352,即a>b.综上,c>a>b.6.已知函数f (x )=log a (x-b )(a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则以下结论一定正确的是( )A.a+b<0B.ab<-1C.0<a b <1D.log a |b|>0 答案:C解析:由图象可知f (x )在定义域内单调递增,所以a>1.令f (x )=log a (x-b )=0,即x=b+1,所以函数f (x )的零点为b+1,结合函数图象可知0<b+1<1,所以-1<b<0,因此a+b>0,故A 错误;-a<ab<0,又因为a>1,所以-a<-1,因此ab<-1不一定成立,故B 错误;因为a -1<a b <a 0,即1a <ab <1,且0<1a <1,所以0<ab <1,故C 正确;因为0<|b|<1,所以log a |b|<log a 1,即log a |b|<0,故D 错误. 7.(2023·北京朝阳高三检测)若m ln 2=1,则2-m = . 答案:1e解析:因为m ln2=1,所以m=1ln2=log 2e,所以2-m=2-log 2e=2log 21e=1e .8.(2023·河北邢台高三检测)已知函数f (x )=9+x 2x ,g (x )=log 2x+a ,若存在x 1∈[3,4],任意x 2∈[4,8],使得f (x 1)≥g (x 2),则实数a 的取值范围是 . 答案:-∞,134解析:设f (x )在[3,4]上的最大值为f (x )max ,g (x )在[4,8]上的最大值为g (x )max ,由题意知,只需f (x )max ≥g (x )max 即可.在[3,4]上,f (x )=9x+x ≥2√9x·x =6,当且仅当x=3时,等号成立,由对勾函数的性质知f (x )在[3,4]上单调递增,故f (x )max =254.在[4,8]上,g (x )单调递增,则g (x )max =3+a ,所以254≥3+a ,解得a ≤134.9.若x 1满足2x =5-x ,x 2满足x+log 2x=5,则x 1+x 2等于 . 答案:5解析:由题意5-x 1=2x 1,5-x 2=log 2x 2,故x 1和x 2是直线y=5-x 和曲线y=2x 、曲线y=log 2x 交点的横坐标.根据函数y=2x 和函数y=log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称,故曲线y=2x 、曲线y=log 2x 与y=5-x 的图象的交点关于直线y=x 对称.即点(x 1,5-x 1)和点(x 2,5-x 2)构成的线段的中点在直线y=x 上,即x 1+x 22=5-x 1+5-x 22,解得x 1+x 2=5.10.(2022·陕西安康高三期末)已知函数f(x)=(log a x)2+2log a x+3(a>0,a≠1).(1)若f(3)=2,求a的值;(2)若对任意的x∈[8,12],f(x)>6恒成立,求a的取值范围.解:(1)因为f(3)=2,所以(log a3)2+2log a3+3=2,所以(log a3+1)2=0,所以log a3=-1,解得a=13.(2)由f(x)>6,得(log a x)2+2log a x-3>0,即(log a x+3)(log a x-1)>0,即log a x<-3或log a x>1.当0<a<1时,log a12≤log a x≤log a8,则log a8<-3或log a12>1,因为log a12<log a1=0,则log a12>1不成立,由log a8<-3可得1a 3<8,得12<a<1;当a>1时,log a8≤log a x≤log a12,则log a12<-3或log a8>1,因为log a12>log a1=0,则log a12<-3不成立,所以log a8>1,解得1<a<8.综上,a的取值范围是12,1∪(1,8).综合提升组11.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,当x<0时,f(x)=8x3-log2(-x),则满足f(log4x)≥0的x的取值范围是()A.12,+∞ B.12,2C.12,1∪[2,+∞) D.1,12∪[1,2]答案:C解析:令t=log4x,先考虑f(t)≥0的解.若t=0,因为f(t)为R上的奇函数,所以f(0)=0≥0,故t=0为f(t)≥0的解.若t<0,此时f(t)=8t3-log2(-t),因为y=8t3,y=-log2(-t)在(-∞,0)上均单调递增,故f(t)=8t3-log2(-t)在(-∞,0)上单调递增,而f-12=-1+1=0.故f(t)≥0在(-∞,0)上的解为-12≤t<0.因为f(t)为R上的奇函数,故f(t)≥0在(0,+∞)上的解为t≥12,故f(t)≥0的解为-12≤t≤0或t≥12,故-12≤log4x≤0或log4x≥12,所以12≤x≤1或x≥2.12.若关于x的不等式log14(3x+λ·2x)≤1对任意的x∈[0,+∞)恒成立,则实数λ的取值范围是.答案:-34,+∞解析:关于x的不等式lo g14(3x+λ·2x)≤1对任意的x∈[0,+∞)恒成立,则3x+λ·2x≥14对任意的x∈[0,+∞)恒成立,即λ≥14·2x -32x对任意的x∈[0,+∞)恒成立.令g(x)=14·2x-32x,x∈[0,+∞),由于y=14·2x在[0,+∞)上单调递减,y=-32x在[0,+∞)上单调递减,故g(x)=14·2x-32x在[0,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(0)=-34,故λ≥-34.创新应用组13.(多选)(2023·湖北黄冈中学模拟)已知正数x,y,z满足3x=4y=12z,则()A.1x +1y=1zB.6z<3x<4yC.xy<4z2D.x+y>4z 答案:ABD解析:设3x=4y=12z=t,t>1,则x=log3t,y=log4t,z=log12t,所以1x +1y=1log3t+1 log4t =log t3+log t4=log t12=1z,A正确;因为6z3x=2log12tlog3t=2log t3log t12=log129<1,则6z<3x,因为3x4y=3log3t4log4t=3log t4 4log t3=log t64log t81=log8164<1,则3x<4y,所以6z<3x<4y,B正确;因为x+y-4z=log3t+log4t-4log12t=1log t3+1log t4−4log t12=log t3+log t4log t3log t4−4log t3+log t4=(log t3-log t4)2log t3log t4(log t3+log t4)>0,则x+y>4z,D正确;因为1z =1x+1y=x+yxy,则xyz=x+y>4z,所以xy>4z2,C错误.故选ABD.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)计算:lg4+2lg5+log28+823=()A.8B.9C.10D.12.(5分)函数f(x)=log0.5(2 -1)的定义域为()A.(12,1]B.[12,1)C.(-∞,12]D.[1,+∞)3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.12C.lo g12x D.2x-24.(5分)设a=14log213,b=(12)0.3,则有()A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=a x的图象如图所示,则函数f(x)=log a(-x+1)的部分图象大致为()6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减C.函数f(x)在区间[-12,1]上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]7.(5分)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是.9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是.10.(10分)已知f(x)=log a x+log a(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;(2)求f(x)在[1,72]上的值域.11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;(2)当14≤x≤8时,求函数f(x)的值域.【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则()A.f(ln2)=ln52B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln213.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc 的取值范围是.14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.2025年高考数学一轮复习课时作业-对数与对数函数【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)计算:lg4+2lg5+log28+823=()A.8B.9C.10D.1【解析】选B.因为lg4+2lg5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg100=2,log28=log223=3, 823=(23)23=22=4,所以lg4+2lg5+log28+823=2+3+4=9.2.(5分)函数f(x)=log0.5(2 -1)的定义域为()A.(12,1]B.[12,1)C.(-∞,12]D.[1,+∞)【解析】选A.由题意,要使函数f(x)=log0.5(2 -1)有意义,则满足log0.5(2x-1)≥0,所以0<2x-1≤1,解得12<x≤1,即函数f(x)的定义域为(12,1].3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于()A.log2xB.12C.lo g12x D.2x-2【解析】选A.函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=log a x,又f(2)=1,即log a2=1,所以a=2.故f(x)=log2x.4.(5分)设a=14log213,b=(12)0.3,则有()A.a+b>abB.a+b<abC.a+b=abD.a-b=ab【解析】选A.因为a=14log213=-14log23,32<log23<2,所以-12<-14log23<-38,即-12<a<-38,b=(12)0.3>(12)1=12,所以a+b>0,ab<0,所以a+b>ab.5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=a x的图象如图所示,则函数f(x)=log a(-x+1)的部分图象大致为()【解析】选D.由函数y=a x的图象可判断出a>1.当a>1时,y=log a x的图象经过定点(1,0),且为增函数.因为y=log a x与y=log a(-x)的图象关于y轴对称,所以y=log a(-x)的图象经过定点(-1,0),为减函数.而f(x)=log a(-x+1)可以看作y=log a(-x)的图象向右平移1个单位长度得到的.所以f(x)=log a(-x+1)的图象经过定点(0,0),为减函数.6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),下列说法正确的是()A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减C.函数f(x)在区间[-12,1]上的最小值为0D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]【解析】选ACD.将(0,0)代入函数f(x)=|log a(x+1)|(a>1),成立,故A正确;当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1)单调递增,故B错误;当x∈[-12,1]时,x+1∈[12,2],所以f(x)=|log a(x+1)|≥log a1=0,故C正确;当x∈[1,2]时,f(x)=|log a(x+1)|=log a(x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知log a2≥1,解得1<a≤2,故D正确.7.(5分)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1815=.【解析】log1815=lg15lg18=lg3+lg5lg2+2lg3= - +12 + .lg2+2lg3=lg3+1-lg2答案: - +12 +8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是.【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以f(x)=log5x,则f(x2-2x)=log5(x2-2x).设μ=x2-2x,则f(μ)=log5μ,由x2-2x>0,解得x<0或x>2,因为f(μ)=log5μ在其定义域上单调递增,又μ=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以y=f(x2-2x)的单调递减区间是(-∞,0).答案:(-∞,0)9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)的值域为R,所以x2+2x+m取遍大于0的所有实数,则4-4m≥0,解得m≤1,所以实数m的取值范围是(-∞,1].答案:(-∞,1]10.(10分)已知f(x)=log a x+log a(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域;【解析】(1)由f(2)=2得,log a2+log a(4-2)=2,解得a=2,所以f(x)=log2x+log2(4-x).由 >0,4- >0,解得0<x<4,故f(x)的定义域为(0,4).(2)求f(x)在[1,72]上的值域.【解析】(2)由(1)及条件知f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4],设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[1,72],则当x=2时,t(x)max=4;当x=1时,t(x)=3;当x=72时,t(x)=74,所以当x∈[1,72]时,t(x)∈[74,4],所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log274=log27-2,所以f(x)在[1,72]上的值域为[log27-2,2].11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;【解析】(1)令log2x=t,则y=t2-t-2,t∈R,由f(x)≤0得t2-t-2≤0,解得-1≤t≤2,所以-1≤log2x≤2,解得12≤x≤4,即x的取值范围为[12,4].(2)当14≤x≤8时,求函数f(x)的值域.【解析】(2)当14≤x≤8时,-2≤t≤3,因为y=t2-t-2,则当t=12时,有最小值-94;当t=-2或3时,有最大值4.所以函数f(x)的值域为[-94,4].【能力提升练】12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则()A.f(ln2)=ln52B.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+∞)上单调递增D.f(x)的最小值为ln2【解析】选ACD.f(ln2)=ln(e2ln2+1)-ln2=ln52,A正确;f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln e x=ln e2 +1e =ln(e x+e-x),所以f(-x)=ln(e x+e-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误;当x>0时,y=e x+e-x在(0,+∞)上单调递增,因此y=ln(e x+e-x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln2,D正确.13.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a<b<10,则abc 的取值范围是.【解析】由题意知,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点(如图),所以ab=1,0<c<lg10=1,所以abc的取值范围是(0,1).答案:(0,1)14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;【解析】(1)当x<0时,-x>0,由题意知f(-x)=log a(-x+1),又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x).所以当x<0时,f(x)=log a(-x+1),所以函数f(x)的解析式为f(x)=log ( +1), ≥0,log (- +1), <0.(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.【解析】(2)因为-1<f(1)<1,所以-1<log a2<1,所以log a1 <log a2<log a a.①当a>1时,<2,>2,解得a>2;②当0<a<1时,>2,<2,解得0<a<12.综上,实数a的取值范围为(0,12)∪(2,+∞).。

高三数学一轮复习课时作业(8)指数函数、对数函数、幂函数理北师大版

课时作业(八) [第8讲指数函数、对数函数、幂函数][时间：45分钟分值：100分]基础热身 1．[2011·沈阳模拟] 集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞) D．R2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是( )①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x是增函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图像对称于y 轴．A ．①②④B ．④⑤C ．②③④D ．①⑤3．[2011·郑州模拟] 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图像的大致形状是( )图K8－4．[2011·聊城模拟] 若函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m ＜0C ．m ≥1 D．0＜m ≤1 能力提升5．[2010·湖北卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4 B.14C ．－4D ．－146．[2011·郑州模拟] 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>07．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a b )的图像如图K8－2所示，则函数g (x )＝ax＋b 的图像是( )图K8－39．[2011·锦州一模] 设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x－2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)10．[2011·济宁模拟] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样．污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的34.若过滤n 次后，流出的水中有害物质在原来的1%以下，则n 的最小值为________(参考数据lg2≈0.3010)．11．若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则a 的取值范围为________．12．若函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．13．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，则f (x )＝2x ＋2－3×4x的最大值为________．14．(10分)(1)已知f (x )＝23x －1＋m 是奇函数，求常数m 的值；(2)画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x－1|＝k 无解？有一解？有两解？15．(13分)设a >0，f (x )＝e xa ＋aex 是R 上的偶函数(其中e≈2.71828)．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．难点突破16．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23，且对任意x，y∈R都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．课时作业(八)【基础热身】1．B [解析] ∵y ＝b x＋1>1，如果A ∩B 只有一个子集，则A ∩B ＝∅，∴a ≤1. 2．B [解析] 利用指数函数的性质判断． 3．D [解析] x >0时，y ＝a x ；x <0时，y ＝－a x .即把函数y ＝a x (0<a <1，x ≠0)的图像在x >0时不变，在x <0时，沿x 轴对称．4．A [解析] ∵|1－x |≥0，∴2|1－x |≥1.∵y ＝2|1－x |＋m ≥1＋m ，∴要使函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则1＋m ≤0，即m ≤－1. 【能力提升】5．B [解析] 根据分段函数可得f 19＝log 319＝－2，则ff 19＝f (－2)＝2－2＝14，所以B正确．6．D [解析] 由于x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，所以f (x )在区间(0,1)上单调递增且f (x )>0，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )在区间(－1,0)上单调递减且f (x )>0，又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x )在区间(1,2)上递减且f (x )>0，故选D.7．B [解析] log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝535＝5125>532＝2>log 49. 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (0.2－0.6)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123<f (log 47)，即c 1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x<－1(舍去)，因此x <log a 3，故选C.10．4 [解析] 设原有的有害物质为a ，则过滤n 次后有害物质还有⎝ ⎛⎭⎪⎫14n a ，令⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＜1%，则n ＞1lg2，即n ≥4，所以n 的最小值为4.11．a >1 [解析] 函数f (x )是由φ(x )＝ax 2－x 和y ＝log a φ(x )复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．(1)当a >1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2－x 在[2,4]上是增函数且大于零．故有⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，φ＝4a －2>0，解得a >12，∴a >1.(2)当a <1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2－x 在[2,4]上是减函数且大于零.⎩⎪⎨⎪⎧12a≥4，φ＝16a －4>0，不等式组无解．综上所述，存在实数a >1使得函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数．12．a >1 [解析] 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x－x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点．由图像可知，当0<a <1时，两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x(a >1)的图像过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a >1.13.2512[解析] 由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}．f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x＜2，∴当2x＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512.14．[解答] (1)常数m ＝1.(2)y ＝|3x －1|的图像如下：当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．15．[解答] (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e xa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立．由此得到a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1. (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－x 1－1>0,1－e x 2＋x 1<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．【难点突破】16．[解答] (1)证明：由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)f (3)＝log 23>0，即f (3)>f (0)，又f (x )是R 上的单调函数，所以f (x )在R 上是增函数．又由(1)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0⇔f (k ·3x )<f (9x －3x ＋2)⇔k ·3x <9x －3x ＋2，即(3x )2－(1＋k )3x ＋2>0对任意x ∈R 恒成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令g (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为t ＝1＋k 2，当t ＝1＋k 2≤0，即k ≤－1时，g (0)＝2>0，符合题意；当t ＝1＋k 2>0，即k >－1时，则需满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 2>0，解得－1<k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x)＋f (3x－9x－2)<0对任意x ∈R 恒成立．本题还有更简捷的解法：分离系数由k <3x ＋23x －1，令u ＝3x＋23x －1，u 的最小值为22－1，则要使对任意x ∈R 不等式k <3x＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.。

高考数学一轮复习课时训练对数与对数函数北师大版

2013年高考数学一轮复习课时训练对数与对数函数北师大版A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)f一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )． A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x＋2－xD ．y ＝lg1x ＋1解析依次根据函数奇偶性定义判断知，A ，C 选项对应函数为偶函数，B 选项对应函数为奇函数，只有D 选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．答案 D2．(2012·长安一中月考)下列四个数中最大的是( )． A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析 0<ln 2<1，则ln(ln 2)<0，(ln 2)2<ln 2， ln 2＝12ln 2<ln 2.答案 D3．(2012·太原十五中月考)设f (x )＝lg(21－x ＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1，∴－1＜x ＜0. 答案 A 4．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )．A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 ∵1e <x <1∴－1<a ＝ln x <0. 2ln x <ln x ，即b <a ，又a －c ＝ln x －ln 3x ＝ln x (1－ln x )(1＋ln x )<0 则a <c ，因此b <a <c . 答案 C5．(2011·新余模拟)函数y ＝log 0.5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋1(x ＞1)的值域是( )． A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2] D ．[2，＋∞)解析 ∵x ＋1x －1＋1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4.∴y ≤－2. 答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．若f (x )＝ax －12，且f (lg a )＝10，则a ＝________.解析 f (lg a )＝a lg a －12＝a lg aa ＝10，∴a lg a ＝(10a )12，两边取常用对数，得(lg a )2＝12(1＋lg a )，∴2(lg a )2－lg a －1＝0，解得lg a ＝1或lg a ＝－12.∴a ＝10或a ＝1010. 答案 10或10107．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析 ∵log 2x ≤2，∴0＜x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a ＞4，∴c ＝4. 答案 48．(★)函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析 (等价转化法)令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案 (－∞，0)【点评】本题采用了等价转化法(换元法)，把问题转化为关于x 的二次函数的单调区间问题，但应注意定义域的限制．三、解答题(共23分)9．(11分)设函数f (x )＝|lg x |，若0<a f (b )，证明：ab <1.证明法一由题设f (a )>f (b )，即|lg a |>|lg b |. 上式等价于lg 2a >lg 2b ，即：(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )>0，lg(ab )lg a b >0，由已知b >a >0，得0<a b <1.∴lg a b<0，故lg(ab )<0，∴ab <1.法二数形结合，函数y ＝|lg x |的图象如图，由0<a f (b )可得两种情况，①0<a 1，则lg a <0，lg b >0.故f (a )>f (b )等价于－lg a >lg b ，即lg a ＋lg b <0，可得lg(ab )<0，故ab <1.10．(12分)若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0，解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}，f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)．由二次函数性质可知：当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43，当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝43.综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为43，无最小值．B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2010·湖北)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x ＞0)2x(x ≤0)则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )．A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.答案 B2．(2010·全国)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a 3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·上饶质检)函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6. 答案 [－8，－6]4．(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≥2)，f (x ＋2) (x ＜2)，则f (log 23)＝________.解析 ∵1＜log 23＜2， ∴log 23＋2＞2∴f (log 23)＝f (log 23＋2)＝f (log 212) ＝2log 212＝12. 答案 12三、解答题(共22分)5．(10分)若函数f (x )满足对于(0，＋∞)上的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且x >1时f (x )>0，试证：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )；(2)f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(3)f (x )在(0，＋∞)上递增．证明 (1)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋f (y )＝f (x )，即f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y .(2)令x ＝y ＝1，则f (1)＝2f (1)．因此f (1)＝0.∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (1)＝0，即f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.因此f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(0，＋∞)上递增．6．(12分)已知函数f (x )＝log a x ＋bx －b(a ＞0，b ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性；解 (1)令x ＋bx －b＞0，解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)． (2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1＝－log ax ＋bx －b＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则函数u (x )＝1＋2bx －b在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．。

2021版高考数学一轮复习核心素养测评八对数与对数函数理北师大版

核心素养测评八对数与对数函数(25分钟50分)一、选择题(每题5分,共35分)1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.那么以下各数中与最接近的是( )(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【解析】选D.设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg 3361-lg1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x=1093.28,即与最接近的是1093.2.(2021·上饶模拟)设函数f(x)=假设f(a)>f(-a),那么实数a的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)【解析】选C.由题意得或解得a>1或-1<a<0.3.(2021·吕梁模拟)函数y=ln sin x(0<x<π)的大致图像是( )【解析】选C.因为0<x<π,所以0<sin x≤1,所以ln sin x≤0,排除选项A,B,D.4.(2021·新乡模拟)假设log2(log3a)=log3(log4b)=log4(log2c)=1,那么a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a【解析】选D.由log2(log3a)=1,可得log3a=2,故a=32=9;由log3(log4b)=1,可得log4b=3,故b=43=64;由log4(log2c)=1,可得log2c=4,故c=24=16.所以b>c>a.5.假设函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1},那么函数y=log a|x|的图像大致是( )【解析】选B.由于y=a|x|的值域为{y|y≥1},所以a>1,那么y=log a|x|在(0,+∞)上是增函数,又函数y=log a|x|的图像关于y轴对称.因此y=log a|x|的图像应大致为选项B.6.f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),那么( )A.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是增函数B.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是增函数C.f(x)是奇函数,且在(0,10)上是减函数D.f(x)是偶函数,且在(0,10)上是减函数【解析】选D.由得x∈(-10,10),且f(x)=lg(100-x2).所以f(x)是偶函数,又t=100-x2在(0,10)上单调递减,y=lg t在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,10)上单调递减. 7.(2021·宁德模拟)函数f(x)=lg(|x|+1),记a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f(1),那么a,b,c的大小关系为( )A.b<c<aB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a【解析】选A.f(x)是偶函数,在[0,+∞)上单调递增,所以b=f(log0.23)=f(-log0.23)=f.因为50.2>50=1,0<log0.2<log0.20.2=1,所以0<log0.2<1<50.2,所以f<f(1)<f(50.2),所以b<c<a.二、填空题(每题5分,共15分)8.函数f(x)=,那么f=____________.【解析】f=log3=-2,f=f(-2)=2-2=.答案:9.(2021·深圳模拟)函数f(x)=ln 的定义域为________________,值域为________________.【解析】使f(x)有意义,那么>0.所以x>1或x<-1,所以定义域为{x|x>1或x<-1}.又因为ln =ln =ln ,因为1+>0且1+≠1,所以ln ≠0,所以f(x)的值域为∪.答案:{x|x>1或x<-1}∪【变式备选】函数f(x)=的定义域为________________.【解析】由题意得解得0<x≤,故函数f(x)的定义域为(0,].答案:(0,]10.函数f(x)=假设a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),那么abc的取值范围是________________.【解析】作出函数f(x)的大致图像如图.由图像知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设0<a<b<c,那么-lg a=lg b=-c+6.所以lg a+lg b=0,所以ab=1,所以abc=c.由图知10<c<12,所以abc∈(10,12).答案:(10,12)(15分钟35分)1.(5分)(2021·长春模拟)x=ln π,y=log52,z=, 那么( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x【解析】选D.ln π>ln e=1,即x>1,0=log51<log52<log55=1,即0<y<1,0<<<1,即0<z<1,=====log5,因为e<4,所以<4,所以log5<log54<1,所以y<z.综上所述:y<z<x,应选D.2.(5分)(2021·威海模拟)函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图像关于直线x=1对称,那么函数f(x)的值域为( )A.(0,2)B.[0,+∞)C.(-∞,2]D.(-∞,0]【解析】选D.因为函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图像关于直线x=1对称,所以f(1-x)=f(1+x),即ln(1-x)+ln(a-1+x)=ln(1+x)+ln(a-1-x),所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),整理得(a-2)x=0恒成立,所以a=2,所以f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2).又f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-x2),因为0<x<2时,0<2x-x2≤1,所以ln(2x-x2)≤0,所以函数f(x)的值域为(-∞,0].应选D.3.(5分)(2021·蚌埠模拟)假设函数f(x)=log a(x2-2x+a)(a>0,且a≠1)有最小值,那么实数a的值等于________________.【解析】令g(x)=x2-2x+a,那么f(x)=log a[g(x)].①假设a>1,由于函数f(x)有最小值,那么g(x)应有最小值,而g(x)=x2-2x+a=(x-)2+a-6,当x=时,取最小值a-6,因此有解得a=9.②假设0<a<1,由于函数f(x)有最小值,那么g(x)应有最大值,而g(x)不存在最大值,不符合题意.综上,实数a=9.答案:94.(10分)设f(x)=log a(1+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域.(2)求f(x)在区间上的最大值.【解析】(1)因为f(1)=2,所以log a4=2(a>0,a≠1),所以a=2.由得-1<x<3,所以函数f(x)的定义域为(-1,3).(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],所以当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,故函数f(x)在上的最大值是f(1)=log24=2.5.(10分)函数f(x)=log a(3-ax).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,那么t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0.所以a<.又a>0且a≠1,所以a的取值范围是(0,1)∪.(2)t(x)=3-ax,因为a>0,且a≠1,所以函数t(x)为减函数.因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以y=log a t为增函数,所以a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=log a(3-a),所以即故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.。

全国通用2018版高考数学一轮复习第二章对数与对数函数课时作业文北师大版

第6讲对数与对数函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( ) A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.答案 A2．(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c 的大小关系是( ) A．a＝b<c B．a＝b>cC．a<b<c D．a>b>c解析因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32<log33＝1.答案 B3．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )解析由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称，显然不符．故选B. 答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72解析由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5. 答案 A5．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a>0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0a >1或00. 答案 D 二、填空题 6．设f (x )＝log ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________．解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.答案 (－1,0)7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f (2)＝________. 解析由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.答案 328．(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．答案 (1,2] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10．(2016·榆林月考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝(－x )，所以函数f (x )的解析式为(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·长沙质检)设f (x )＝ln x,0<a pD ．p ＝r >q解析 ∵0<a ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r <q . 答案 B12．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________．解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1413．(2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4. 答案 4 214．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2，此时f (x )取得最小值时，x ＝＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。

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高考数学一轮复习对数与对数函数课时作业8 文北师大版
一、选择题
1．在同一坐标系内，函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象可能是(
)
解析：A 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知a >1，由y ＝log a x 的图象可知0<a <1，故矛盾； B 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知0<a <1，由y ＝log a x 的图象可知a >1，故矛盾； C 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知0<a <1，由y ＝log a x 的图象可知0<a <1，故正确； D 图中，由y ＝x ＋a 的图象可知a <0，由y ＝log a x 的图象可知a >1，故矛盾．答案：C
2．（2011年广东高考文4））函数
1
()lg(1)1f x x x =
++-的定义域是（）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,)+∞
C ．(1,1)(1,)-+∞
D ．(,)-∞+∞
解析：由10
10
x x -≠⎧⎨+>⎩解得1x >-且1x ≠。

答案：C
3．设函数 f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝ f (x )，且当x ≥1时， f (x )＝ln x ，则有( )
A ．f (13)<f (2)<f (12)
B ．f (12)<f (2)<f (13)
C ．f (12)<f (1
3)<f (2)
D ．f (2)<f (12)<f (13
)
解析：由f (2－x )＝ f (x )得x ＝1是函数 f (x )的一条对称轴，又x ≥1时， f (x )＝ln x 单调递增， ∴x <1时，函数单调递减． ∴f (12)<f (1
3)<f (2)．
答案：C
4．若函数y ＝log 2(x 2
－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．－2<a <2 C ．1<a <2
D ．a ≥2或a ≤－2
解析：∵y ＝log 2(x 2
－ax ＋1)有最小值，
∴t ＝x 2
－ax ＋1恒大于0，∴a 2
－4<0，∴－2<a <2. 答案：B
A ．(－1,0)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0,1)
答案：C
6．设函数 f (x )定义域为D ，若满足① f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]D 使
f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，那么就称y ＝ f (x )为“成功函数”．若函数
g (x )＝log a (a 2x
＋t )(a >0且a ≠1)是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．[0，1
4
]
D ．(0，1
4
)
答案：D 二、填空题
7．[2011·陕西卷] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
lg x ，x ＞0，10x
，x ≤0，则f (f (－2))＝________.
解析：因为f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg x ，x >0，
10x
，x ≤0，－2<0，f (－2)＝10－2,
10－2>0，f (10－2)＝lg10－2
＝－2.
答案：－2
解析：当x ≤0时，3x ＋1
>1⇒x ＋1>0，
∴－1<x ≤0；
当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2. 综上所述：－1<x ≤0或x >2. 答案：－1<x ≤0或x >2
答案：(2,3) 三、解答题
在同一坐标系内作出y ＝log 8x ，y ＝log 7x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，当x ＝9时，由图象知log 29>log 79>log 89>1＝log 88，∴log 22
9>log 79>log 89>1，
11．(2011年浙江杭州高级中学高三第一次月考数学试题)已知函数 f (x )＝log 4(4x
＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数
(1)求k 的值；
(2)设g (x )＝log 4(a ·2x
－43a )，若函数 f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实
数a 的取值范围．
解：(1)∵函数 f (x )＝log 4(4x
＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数
∴ f (－x )＝log 4(4－x
＋1)－kx ＝log 4(1＋4x
4
x )－kx ＝log 4(4x ＋1)－(k ＋1)x ＝log 4(4x
＋1)
＋kx 恒成立
∴－(k ＋1)＝k ，则k ＝－1
2
(2)g (x )＝log 4(a ·2x
－43
a )，
函数 f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程 f (x )＝g (x )只有一个解由已知得log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x
－43a )
∴log 44x
＋12x ＝log 4(a ·2x
－43
a )
设2x ＝t (t >0)，则(a －1)t 2
－43
at －1＝0有一解
若a －1>0，设h (x )＝(a －1)t 2
－43at －1，∵h (0)＝－1<0，∴恰好有一正解
∴a >1满足题意
若a －1＝0，即a ＝1时，不满足题意
若a －1<0，即a <1时，由△＝(－43a )2＋4(a －1)＝0，得a ＝－3或a ＝3
4
当a ＝－3时，t ＝1
2满足题意
当a ＝3
4
时，t ＝－2(舍去)
综上所述实数a 的取值范围是{a |a >1或a ＝－3}．
12．若 f (x )＝x 2
－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求 f (log 2x )的最小值及对应的x 值；
(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)．解：(1)∵ f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，
由已知(log 2a )2
－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.
∴a 2
－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2
＋a ＝2.故 f (x )＝x 2
－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2
－log 2x ＋2 ＝(log 2x －12)2＋7
4
.
∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值7
4
.。