江苏高考立体几何典型题(学生)
高考十分项版 专题10 立体几何(江苏专版)(原卷版)
一．基础题组1. 【2005江苏，理4】在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ）（A ）34 （B ）32 （C ）334（D 32. 【2005江苏，理8】设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n . 其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 【2006江苏，理9】两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个4. 【2007江苏，理4】已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.其中正确命题的序号是 （ ）A.①、③B.②、④C.①、④D.②、③5. 【2007江苏，理14】正三棱锥P －ABC 的高为2，侧棱与底面ABC 成45°角，则点A 到侧面P BC 的距离为__________.6. 【2009江苏，理12】设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
专题14：立体几何江苏卷高考真题赏析(解析版)
专题14：立体几何江苏卷高考真题赏析（解析版）1．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．2．2019年江苏省高考数学试卷如图，长方体1111ABCD A B C D-的体积是120，E为1CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.【答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.二、解答题3．2020年江苏省高考数学试卷在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ,由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.4．2019年江苏省高考数学试卷如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.5．2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥．求证：（1）11//AB A B C 平面；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.6．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ， 在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.8．2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得试题解析：（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以．考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理。
压轴题06 立体几何小题常考全归类(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题06立体几何小题常考全归类高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．考向一：外接球、内切球、棱切球与截面面积问题考向二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题考向三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题考向四：立体几何中的交线问题考向五：空间线段以及线段之和最值问题考向六：空间角问题考向七：轨迹问题1、几类空间几何体表面积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13V Sh =，在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．4、球的截面问题球的截面的性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为=+222R r d ．注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模θαβ=cos cos cos （θ为平面的斜线与平面内任意一条直线l 所成的角，α为该斜线与该平面所成的角，β为该斜线在平面上的射影与直线l 所成的角）．7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．一、单选题1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2,,AD AB AB PD PA PD ==⊥=，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为（）A ．B ．36πC ．D ．256π3【答案】B 【解析】如图，在矩形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，记AC BD F ⋂=，则点F 为矩形ABCD 的外接圆圆心，取AD 的中点E ，连接,PE EF ，记PAD 的外接圆圆心为G ，易知1//,1,2EF AB EF AB PE AD ==⊥，且,,P E G 共线.因为,,AB PD AB AD AD PD D ⊥⊥⋂=，,AD PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以EF ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，EF PE ⊥，EF AD E = ，,EF AD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以PE ，所以PA PD ===120APD ∠= ，所以由正弦定理得PAD 的外接圆半径为2sin AD APD∠=GP =过G 作GO ⊥平面PAD ，且1GO EF ==，连接FO ，由GO ⊥平面PAD ，可知GO EF //，则四边形EFOG 为矩形，所以//FO PG ，则FO ⊥平面ABCD .根据球的性质，可得点O 为四棱锥P ABCD -的外接球的球心.因为3PO ===，所以四棱锥P ABCD -的外接球的体积为34π336π3⨯=.故选：B2．（2023·河南·校联考二模）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，AB PD ⊥，AB =PA PD =，120APD ∠=︒．若四棱锥P ABCD -的外接球的体积为5003π，则该球上的点到平面PAB 的距离的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】如图，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，记AC BD F ⋂=，则点F 为矩形ABCD 的外接圆圆心，设PA PD a ==，在PAD 中，由余弦定理得：22222212cos 2()32AD PA PD PA PD APD a a a a a =+-⋅⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅-=，即AD ，PAD 的外接圆半径为2sin AD a APD=∠，记PAD 的外接圆圆心为G ，则GP a =，取AD 的中点E ，连接PE ，EF ，显然//EF AB ，12EF AB ==，PE AD ⊥，且P ，E ，G 共线，因为AB PD ⊥，AB AD ⊥，AD PD D =I ，于是AB ⊥平面PAD ，即EF ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，有PE EF ⊥，而,,EF AD E EF AD =⊂ 平面ABCD ，因此PE ⊥平面ABCD ，过G 作GO ⊥平面PAD ，使GO EF =，连接FO ，于是//GO EF ，则四边形EFOG 为矩形，有//FO PG ，则FO ⊥平面ABCD ，根据球的性质，得点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，因为球O 的体积为5003π，则3450033PO ππ⨯=，解得5PO =，而AB =Rt PGO ，PG a ===因此PAB 外接圆直径8PB =，取PB 的中点H ，连接OH ，显然H 为PAB 外接圆圆心，则OH ⊥平面PAB ，且3OH =，所以四棱锥P ABCD -的外接球上的点到平面PAB 的距离的最大值为8．故选：C3．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在三棱锥P －ABC 中，AB BC ⊥，BC CP ⊥，且1BC =，2CP =，3AB =，AP =）AB ．714π3C ．π3D ．【答案】B【解析】如图1，因为AB BC ⊥，1BC =，3AB =，所以2210AC AB BC +=又2CP =，14AP =所以在APC △中，有22214CP AC AP +==，所以，π2ACP ∠=，即AC PC ⊥.又BC CP ⊥，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AC BC C = ，所以PC ⊥平面ABC .则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2其中，1BC =，2CP =，3AB =，则22214AP AB BC CP =++=所以此三棱锥外接球的半径为142AP R ==所以，此三棱锥外接球的体积为33144π14π34π33R V ⋅⎝⎭===.故选：B.4．（2023·江西·校联考模拟预测）在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 中点，点Q 满足1DQ DC DD λμ=+，（[]0,1λ∈，[]0,1μ∈）.下列结论不正确．．．的是（）A ．若1λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若//AQ平面1A BP ，则AQ C ．若1A BQ △的外心为M ，则11A B A M ⋅ 为定值2D ．若1AQ =Q 的轨迹长度为2π3【答案】C【解析】对于A ，因为][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，1λμ+=，所以1,,Q C D 三点共线，所以点Q 在1CD ，因为1//CD 1A B ，1CD ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，所以点Q 到平面1A BP 的距离为定值，因为1A BP 的面积为定值，所以四面体1A BPQ 的体积为定值，所以A 正确；对于B ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，则//AM BP ，因为AM ⊄平面1A BP ，BP ⊂平面1A BP ，所以//AM 平面1A BP ，因为//MN 1CD ，1//A B 1CD ，所以//MN 1A B ，因为MN ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，//MN 平面1A BP ，因为MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面AMN ，所以平面//AMN 平面1A BP ，因为AQ ⊂平面AMN ，所以//AQ 平面1A BP ，所以当AQ MN ⊥时，AQ 最小，因为160,2BAD AB AD AA ∠==== ，所以AM MN ==AN =所以222AM MN AN +=，所以,Q M 重合，所以AQ B 正确，对于C ，若1A BQ △的外心为M ，过M 作1MH A B ⊥于H ，因为1A B == ，所以2111142A B A M A B ⋅== ，所以C 错误，对于D ，过1A 作111AO C D ⊥于点O ，因为则可得1DD ⊥平面1111D C B A ，1AO ⊂平面1111D C B A ，所以11DD AO ⊥，因为1111C D DD D = ，111,C D DD ⊂平面11DD C C ，所以1A O ⊥平面11DD C C ，111πcos 13OD A D ==，在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13121D A D A ==，则1312322A A A A OA OA ===，所以若1AQ =，则Q 在以O 为圆心，2为半径的圆弧23A A 上运动，因为1131,D O D A =32π3A OA ∠=，则圆弧23A A 等于2π3，所以D 正确，故选：C.5．（2023·四川达州·统考二模）三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，6AB AD =AB AD ⊥，260BDC DBC ∠∠==︒，则球O 的体积为（）A ．43πB ．323πC ．493πD ．3π【答案】A 【解析】如图所示：取BD 的中点O ，因为AB AD ⊥则ABD △是直角三角形，因为260BDC DBC ∠∠==︒。
江苏省高考数学 真题分类汇编 立体几何
OD1A1C1B1ACD B七、立体几何（一）填空题 1、（2009江苏卷8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【解析】 考查类比的方法。
体积比为1：82、（2009江苏卷12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。
真命题．．．的序号是(1)(2)3、（2012江苏卷7）．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为32cm BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为22cm ，从而四棱锥D D BB A 11-的体积313226cm 32V =⨯=.DABC1C 1D 1A1B【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.4、（2013江苏卷8）8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。
专题14 立体几何江苏卷高考真题赏析(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题14：立体几何江苏卷高考真题赏析（解析版）1．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．2．2019年江苏省高考数学试卷如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10. 【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.二、解答题3．2020年江苏省高考数学试卷在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1； （2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析. 【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB . 【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C . （2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C , 由于AB平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 4．2019年江苏省高考数学试卷如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E . 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.5．2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷） 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥． 求证：（1）11//AB A B C 平面； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.6．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 7．2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DEAC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ， 所以直线DE//平面11AC F .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.8．2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得试题解析：（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以．考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理。
江苏十年高考试题汇编第一部分+立体几何
第一讲立体几何一．填空题（共12小题）1．下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a不在平面α内，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α；④若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；⑤若直线a∥b，b∥α，则a∥α；⑥过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；⑦过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；⑧若一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行．其中正确的命题是．（填序号）2．（2018•铜山区三模）已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是（填写所有真命题的序号）．3．（2014秋•涟水县校级期末）设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β其中命题正确的是．（填序号）4．（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．5．（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．6．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．7．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．8．（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．9．（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．10．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．11．（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．12．（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．二．解答题（共4小题）13．（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：侧棱B（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．14．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．15．（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（2013•南京一模）如图，在四面体A﹣BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD．（1）求证：平面ABD⊥平面EFC；（2）如图，求证：直线MN∥直线GH．第一讲立体几何参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a不在平面α内，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α；④若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；⑤若直线a∥b，b∥α，则a∥α；⑥过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；⑦过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；⑧若一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行．其中正确的命题是③⑥⑦．（填序号）【解答】解：在①中，若直线l平行于平面α内的无数条直线，当这无数条直线不相交时，则直线l与α相交、平行或l⊂α，故①错误：在②中，若直线a在平面α外．则a与α平行或相交，故②错误；在③中，若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α，正确；在④中，若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线，不正确；在⑤中，若直线a∥b，b∥a，则a∥α或a⊂α，故⑤错误；在⑥中，因为过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，因为只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可，正确；在⑦中，因为过平面外一点可作一个平面与这个平面平行，只是在这个平面内的直线都与这个平面平行，正确；在⑧中，如果一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故错误．故答案为③⑥⑦2．（2018•铜山区三模）已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是③④（填写所有真命题的序号）．【解答】解：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β或α、β相交，是假命题；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n或m，n相交或异面，是假命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，是真命题；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，是真命题，故答案为：③④．3．（2014秋•涟水县校级期末）设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β其中命题正确的是②④．（填序号）【解答】解：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；②若α∥β，l⊂α，则，利用平面与平面平行的性质，可得l∥β，正确；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m，n不一定相交，则α∥β不正确；④由题意l⊥α，当l∥β时，必存在β内的直线l′，使l∥l′，可得l′⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确．故答案为：②④．4．（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．5．（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．6．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．7．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．8．（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．9．（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：410．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．11．（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．【解答】解：将三棱锥D 1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：12．（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8二．解答题（共4小题）13．（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．14．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．15．（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．16．（2013•南京一模）如图，在四面体A﹣BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD．（1）求证：平面ABD⊥平面EFC；（2）如图，求证：直线MN∥直线GH．【解答】证明：（1）∵CB=CD，E为BD的中点，∴CE⊥BD．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CE⊥平面ABD，∵CE⊂平面EFC，∴平面ABD⊥平面EFC；（2）∵点E、F分别为BD，AB的中点，∴EF∥AD．∵MN∥平面ABD，平面CEF∩平面ABD=EF，∴MN∥EF，∴MN∥AD，而MN⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴MN∥平面ACD，∵平面BMN∩平面ACD=GH，∴MN∥GH．。
高三精选立体几何大题30题(含详细解答)
A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。
2020年高考数学三轮专项提升07 空间几何体的平行于垂直(学生版)江苏
专题07 空间几何体的平行于垂直1、【2019年江苏卷】.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．2、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．3、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ,AB =3,求四棱锥11E BB C C -的体积．4、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°．将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2． （1）证明：图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.5、【2019年高考北京卷文数】如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底部ABCD 为菱形,E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°,求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ,使得CF ∥平面PAE ？说明理由．6、【2019年高考天津卷文数】如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PCD △为等边三角形,平面PAC ⊥平面PCD ,,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ,H 分别为PB ,AC 的中点,求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.一、平行问题1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 失误与防范1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”；而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规范. 二、垂直问题1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a∥b,a⊥α⇒b⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.2.证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α,b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α,b∥α⇒a⊥b.3.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交,所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.4.转化思想：垂直关系的转化(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.（4）判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).(5)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.垂直关系综合题的类型及解法①三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.②垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.③垂直与体积结合问题,在求体积时,可根据线面垂直得到表示高的线段,进而求得体积.三、解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论.第二步：证明探求结论的正确性.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”,“只需使……成立”.四、证明面面关系的核心是证明线面关系,证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.五、垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．题型一、线线与线面的平行于垂直线线与线面的平行于垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。
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江苏高考数学例题几何题型解析
1．(徐州2013.二检)如图，在三棱柱111A B C ABC -中， 已知E ，F ，G 分别为棱AB ，AC ，11A C 的中点， 090ACB ∠=，1A F ⊥平面ABC ，CH BG ⊥，H 为垂足．
求证：（1）1//A E 平面GBC ； （2）BG ⊥平面ACH ．
2．（徐州2012年考前信息卷）如图，四棱锥P ABCD -的 底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PA
的中点．
⑴求证：PC P 平面BDE ；
⑵求证：平面PAC ⊥平面BDE ；
⑶若PA a =，求三棱锥C BDE -的体积．
1
A
B D
P
E
C
3. （徐州2012.一检）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC=5,BB 1=BC=6,D,E 分别是AA 1和B 1C 的中点， （1）求证：D E ∥平面ABC ； （2）求三棱锥E-BCD 的体积。
4. （徐州2012.二检）如图，已知正方形ABCD 和 直角梯形BDEF 所在平面互相垂直，BF ⊥BD ，
1
2
EF BF BD ==．
（1）求证：D E ∥平面ACF （2）求证：BE ⊥平面ACF
E
D
B 1
C 1
A 1
C
B
A
F
E
D
C
B
A
B
A
D
C
F
E
5.（徐州2011.一检）如图，在四棱锥E ABCD -中， 底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面
ABE ，
90AEB ∠=o ,BE BC =,F 为CE 的中点，
求证：（1）AE ∥平面BDF ； （2）平面BDF ⊥平面ACE ．
6(徐州2011.三检)在直角梯形ABCD 中，A B ∥CD, AB=2BC=4，CD=3，E 为AB 中点，过E 作EF ⊥CD,垂足为F, 如（图一），将此梯形沿EF 折成二面角A-EF-C,如（图二）， （1）求证BF ∥平面ACD; (2)求多面体ADFCBE 的体积。
7(宿迁2013.三检). 如图，AB，CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF CE
P.
求证：⑴平面BCEF⊥平面ACE；
⑵直线DF∥平面ACE．
8(宿迁2013.二检).如图，四边形ABCD是正方形，
PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA. 求证：（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．
9(苏锡常镇四市2012二检)如图，在三棱锥ABC
S-中，
平面EFGH分别与BC，CA，AS，SB交于点E，F，G，H，
且⊥
FG
EF⊥
SA⊥，.
SA平面EFGH，AB
求证：（1）//
AB平面EFGH；
（2）EF
GH//；
（3）⊥
GH平面SAC.
10.（2010江苏）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
（1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离。
11．（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中， 平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，60BAD ∠=o ， ,E F 分别是,AP AD 的中点． 求证：（1）直线//EF 平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD ．
12．（2012江苏）如图，在直三棱柱11
1
ABC A B C -中，11
11A B
AC =，D E ，
分别是棱1
BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为1
1
B C 的中
点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11
BCC B ；（2）直线1
//A F 平面ADE ．
P
E
F
A
B
C
D
13.（2013江苏）如图，在三棱锥ABC
S-中，平面⊥
SAB平面SBC，BC
AB⊥，AB
AS=，过A作SB
AF⊥，垂足为F，点G
E，分别是棱SC
SA，
的中点．求证：
A
B C
S
G
F
E。