数量积与向量积
向量的数量积与向量积
2
z
b +b +b
2 x y
z
(二)、两向量的向量积 二、 1、定义 、
c = a × b，它的模为 | c |=| a || b | sinθ
c 的方向既垂直于 又垂直于b，指向符合右手系 a .
2、向量积的坐标计算式
a × b = (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
a⊥b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0
1 a 例 已知 = i + j , b = i + k,求a ⋅ b,cos(a, b)及ab.
解
a ⋅ b = {1,1,0} ⋅ {1,0,1} = 1 + 0 + 0 = 1,
1 a⋅b = cos(a, b) = 2 + 12 + 02 12 + 02 + 12 a⋅b 1 1 = 2 1 2 . ab = a cos(a, b) = 2 ⋅ = 2 2
= (a ybz − azby )i + (azbx − axbz ) j + (axby − a ybx )k
向量积还可用三阶行列式表示
i bx
按第一行展开就得到
j by
k az bz
a ×b = ax ay
a × b = (aybz − az by )i + (az bx − axbz ) j + (axby − aybx )k
仅就下图所示的情形给出证明， 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c;
空间向量的数量积与向量积练习题
空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。
下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。
解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。
练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。
解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。
将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。
练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。
解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。
然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。
向量叉乘与乘法
向量叉乘与乘法一、向量的乘法在数学中，向量是一个有方向和大小的量，可以用箭头表示。
向量的乘法是指两个向量之间的乘法运算，主要有两种方式：数量积和向量积。
1. 数量积（点乘）数量积，也称为点乘或内积，是指两个向量相乘后再求和的运算。
假设有两个向量A和B，它们的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
数量积的计算方法很简单，将两个向量的相应分量相乘后再求和即可。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相关程度。
例如，当两个向量的夹角为0度时，它们的数量积最大；而当夹角为90度时，数量积为0，表示两个向量正交。
数量积在几何中有着重要的应用，可以用来判断两个向量是否垂直、平行，以及计算向量的投影等。
2. 向量积（叉乘）向量积，也称为叉乘或外积，是指两个向量相乘后得到一个新的向量的运算。
假设有两个向量A和B，它们的向量积定义为：A×B =|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A 和B之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量。
向量积的计算方法比较复杂，需要通过行列式的形式进行计算。
向量积的结果是一个新的向量，它的方向垂直于A和B所在的平面，并遵循右手定则。
向量积的模长等于|A||B|sinθ，表示A和B所构成的平行四边形的面积。
向量积在几何中也有着重要的应用，可以用来计算平面的法向量、求解三角形的面积、计算力矩等。
二、向量叉乘与乘法的区别向量叉乘和乘法在计算方法、结果类型和应用领域上存在一些明显的区别。
1. 计算方法向量叉乘的计算方法较为复杂，需要通过行列式的形式进行计算，涉及到向量的分量和行列式的展开计算。
而数量积的计算方法较为简单，只需要将两个向量的相应分量相乘后再求和即可。
2. 结果类型向量叉乘的结果是一个新的向量，它的方向垂直于原始向量所在的平面，并遵循右手定则。
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
向量的数量积和向量积
向量的数量积和向量积向量是数学中一个重要的概念，它具有大小和方向两个属性。
在向量运算中，有两种主要的运算：数量积和向量积。
一、向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角以及它们的长度之积。
设有两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)数量积有许多应用，例如用来计算向量的投影、判断两个向量是否垂直、计算力的功等。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个向量，其方向垂直于参与运算的两个向量所构成的平面，并遵循右手定则。
设有两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示向量a和b的向量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角，n为单位向量，其方向垂直于向量a和b所构成的平面，并符合右手定则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：(λa)×b = λ(a×b)向量积也有许多应用，例如用来计算向量的面积、判断两个向量是否平行、计算力矩等。
综上所述，向量的数量积和向量积是两种不同的运算。
数量积的结果是一个标量，表示了夹角及长度之间的关系，而向量积的结果是一个向量，表示了向量所在平面的法向量。
高考数学中向量的化简与计算技巧
高考数学中向量的化简与计算技巧向量是高考数学中的一个重要概念，也是很多考生在数学复习中难以掌握的内容之一。
向量的化简与计算是向量知识的基础，掌握好这些技巧，有助于提高高考数学的得分率。
一、向量的表示向量有多种表示方法，其中用坐标表示是最为常见的一种方式。
设向量AB的坐标为(x1,y1)，向量CD的坐标为(x2,y2)，则向量AB和CD的关系可以表示为AB=CD，即(x1,y1)=(x2,y2)。
在一般情况下，也可以用字母表示向量的大小和方向，如表示向量AB为a，表示向量CD为b，则a=b。
二、向量的加减法向量的加减法是向量计算的基础。
设向量AB的坐标为(x1,y1)，向量CD的坐标为(x2,y2)，则向量AB+CD的坐标为(x1+x2,y1+y2)，向量AB-CD的坐标为(x1-x2,y1-y2)。
如果用字母表示向量，向量加减法的计算就是将两个向量的大小和方向相加或相减。
三、向量的数量积与向量积向量的数量积也叫点积，用符号“·”表示。
设向量AB的坐标为(x1,y1)，向量CD的坐标为(x2,y2)，则向量AB·CD的值为x1x2+y1y2。
向量的数量积计算出的结果是一个实数。
向量的向量积也叫叉积，用符号“×”表示。
设向量AB的坐标为(x1,y1,z1)，向量CD的坐标为(x2,y2,z2)，则向量AB×CD的坐标为(y1z2-z1y2,x1z2-z1x2,x1y2-y1x2)。
向量的向量积计算出的结果是一个向量。
四、向量的化简向量的化简是指将向量表示为标准形式或简化形式的过程。
在化简过程中，需要掌握以下技巧：1. 化简向量的大小设向量AB的坐标为(x,y)，则向量AB的大小为|AB|=√(x²+y²)。
2. 化简向量的方向设向量AB的坐标为(x,y)，则向量AB的方向角为α=tan⁻¹(y/x)。
3. 将向量表示为标准形式标准形式指的是将向量表示为以i、j、k为基向量的线性组合的形式。
数量积 向量积 混合积
关于这一类运算，在实际问题中很多，为此，给出向量数量积 的定义．
一、向量的数量积
定义1
设有两个非零向量a与b，它们正向间的夹角为 θ(0≤θ≤π)，则称|a|·|b|·cosθ为两向量a与b的数量积（又称 点积），记为a·b，即
【例1】
已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求 解 因为
所以
一、向量的数量积
【例2】
设力F={1,3,5}作用在一物体上，物体的位移是 s={2,－1,3}，求力F对物体做的功W．
解 W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．
一、向量的数量积
【例3】
已知三角形的三个顶点为 A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求证：△ABC为直角三角形， 并求∠A．
而M的方向（按右手系法则确定）垂直于OA和F所确定的平面． 根据此类实际问题研究的需要，我们引入向量积的定义．
二、向量的向量积
图 7-19
二、向量的向量积
定义2
设a，b为两个非零向量，我们定义向量a与b的向量积（又称叉 积）．向量积是满足下面条件的一个向量，记为a×b，它的模和方向分别为
（1）|a×b|=|a|·|b| ·sinθ(θ为a与b夹角). （2） a×b垂直于a与b所确定的平面，且a，b，a×b符合右手规则（见 图7-20），从几何上看|a×b|等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
三、向量的混合积
事实上，由图7-21可知 ［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ为a与b×c 的夹角，h为两平行底面间的距离．显然a在b×c方向的投影为 ±h，θ为锐角时取正，θ为钝角时取负．注意到|b×c|等于以b， c为邻边的平行四边形的面积，所以|b×c|h 为以a，b，c为棱的 平行六面体的体积的值．如果a，b，c符合右手系法则，θ为锐 角，［abc］>0；否则，θ为钝角，［abc］<0．
数量积 向量积 混合积
一向量 M ，它的 模
F
|
M || OQ || F | | OP || F | sin
M 的方向垂直于OP 与F 所决
O
P
L 定的平面, 指向符合右手系.
⑵c定µÄ| c义· ½|Ïò|向a¼ÈQ量|| ´¹ba|± Ö与siÚÓnb的a £¬向(其ÖÓ量中´¹积± Ö为为ÚÓacb与£¬ab¸Ö的Ïòb夹· û角Ϻ )ÒÓ ÊÖ Ïµ .
a
b
c
a
b
平行六面体的体积.
(2)
[abc]
(a
b)
c
(b
c)
a
(c
a
)
b.
（3）三向量a
、b
、c
共面
[abc] 0.
8.2
2020年1月29日星期三
18/20
例6 已知[abc] 2，
计算[(a
[(a
c)b
c
(b
c)a
c]
(c b)[a c a c]
0
[(a
c)b
(b
c)a]c
8.2
2020年1月29日星期三
9/20
2.1、定义
⑴实例 设O 为一根杠杆L的支点，有一力F 作用于这杠杆
上P 点处．力F 与OP的夹角为 ，力F 对支点O 的力矩是
bz 2
1, 2
3 .
(3)
a
b
向量的数量积与向量积
向量的数量积与向量积向量是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
本文将详细介绍向量的数量积和向量积的定义、性质和应用。
一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。
给定两个向量a和b，向量的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a·b = b·a，即数量积满足交换律。
2. 对于任意向量a，a·a = |a|^2，其中|a|^2表示向量a的长度的平方。
3. 如果两个向量a和b垂直（夹角为90度），则a·b = 0，即垂直向量的数量积为零。
4. 对于任意向量a和b，有a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。
数量积的应用非常广泛，例如在力学中，可以通过计算向量的数量积来求解两个力的合力和共线力。
在几何学中，可以利用数量积的性质来证明两个向量是否垂直或平行。
二、向量的向量积向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，向量的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角，n表示垂直于a和b所在平面的单位法向量。
向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，a×b = -b×a，即向量积满足反交换律。
2. 对于任意向量a，a×a = 0，即向量与自身的向量积为零。
3. 对于任意向量a和b，有|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角，|a×b|表示向量a和b的向量积的长度。
向量积在物理学、几何学和工程学等领域中被广泛应用。
利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角
利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角向量是数学中非常重要的概念，它在物理学、几何学和工程学等领域发挥着重要的作用。
利用向量的数量积和向量积，我们可以求解向量的模和夹角，下面将详细介绍这两个概念及其应用。
一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。
给定两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角。
从公式中可以看出，向量的数量积可以帮助我们求解向量的模和夹角。
二、向量的模向量的模表示向量的长度或大小，并且始终为非负数。
根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算向量模的公式：|a| = √(a·a)这个公式表示，向量a的模等于向量a与自身的数量积的平方根。
通过这个公式，我们可以求解任意向量的模。
三、向量的夹角向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。
根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算夹角的公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)根据这个公式，我们可以通过求解向量的数量积来计算向量之间的夹角。
进一步地，通过取反余弦函数，我们可以得到夹角的具体数值。
四、向量的向量积另一方面，向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
从公式中可以看出，向量的向量积可以帮助我们求解向量所在平面的法向量。
五、应用举例下面通过一个例子来演示如何利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角。
假设有两个向量a = (3, 4)和b = (2, 6)，我们要求解它们的模和夹角。
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cos
axbx a yby azbz
两向量夹角
ax2 ay2 az2
bx2 by2 bz 2
余弦的坐标 表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
7-2-10
数量积 向量积 *混合积
例
已知a
(1,1,4),b
(1,2,2),
求
(1) a b;
a a 2a b b b a a 2a b b b
2
|
a
|2
2
|
b
|2
7-2-8
数量积 向量积 *混合积
3. 用坐标表示式计算数量积
设
a
a
x
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
ay
j
az
k)
(bx
i
by
j
bzk )
0,
b 0)
7-2-14
数量证积(2向)(量a积/)/*b混合a积 b
a
0
b
|
0 a
|
(a 0,
() | asai/n/bb||0a,||b0|0或 s,in
0, b 0)
|
,
b|0, a// b
sin
0.
0
2.
((向12))量反分积交配符换律合律(下aa列b运b)算 c规b律aa;
§7.2 数量积 向量积 *混合积
两向量的数量积
两向量的向量积 两向量的混合积
7-2-1
数量积 向量积 *混合积
一、数量积
1. 定义
实移例动W到一点| 物FM |体2|,s在s| c表常os示力位F移作,用力F下F与 所沿s的作直夹的线角功从为点 M1
定义
向量 a与b的数量积
a
b
|
a
||
b
|
cos
7-2-5
数量积 向量积 *混合积
2. 数量积符合下列运算规律
（1）交换律：
a
b
b
a
(可用定义证)
（2）分配律：
(a b) c a c b c
（3）若λ为数
(a )
b
a
(b )
(a
b
)
若λ 、μ为数： (a) (b) (a b )
(4)a a | a |2 . 此外,a a 0 a 0
(2) a与b的夹角;
(3) a在b上的投影.
解
(1)
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
1
(2)
(4)
2
9.
(2) cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
1 , 3 .
2
(3) a b | b | Pr jba
Pr
4 jba
a
b
|b|
3.
7-2-11
L 所决定的平面, 指向符合 右手系.
7-2-13
数量积 向量积 *混合积
定义
向量 大小
a与| cb|的| a向||量b |积sin为c
a
b
a与b的夹角
方向
c
的方向既垂直于
a,
又垂直于
b,
指向符合右手系.
关于向量积的说明
(1)
a
a
0
( 0 sin 0)
(2)
a //b
a
b
0
(a
c
b
c;
(3) 若 为数 (a ) b a (b ) (a b ).
7-2-15
数量积 向量积 *混合积
向量的向量积是否满足消去律 注 向量的向量积不满足消去律, 即在一般情况下,
分 配 律
i j k i j j k k i 0
| i || j || k | 1
i i j j k k 1
a b axbx a yby azbz
数量积的坐标表达式
7-2-9
数量积 向量积 *混合积
4a.两 b向量| a的|| b夹 | 角cos(数量积co在s几何|中aa|的|bb应| 用)
7-2-12
数量积 向量积 *混合积
二、两向量的向量积
1. 定义
实例 设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这杠杆上P点处.力F 与OP 的夹角为 , 力F 对支点O的力矩是一 向量 M , 它的模为
| M || OQ || F |
F
| OP || F | sin
OP Q
M 的方向垂直于OP与F
注 平行于c 的向量≠平行于 b的向量
7-2-7
数量积 向量积 *混合积
|用a 向 b量 |的2 数| 量a 积b,证|2明 2恒|等a |式2 : 2
|
b
|2
即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方
和(如图).
证
|
a
b
|2
|
a
b
|2
b
a
a ab
b
(a b) (a b) (a b) (a b)
为a
b a与b的夹角
7-2-2
数量积 向量积 *混合积
b
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
| b | cos
Pr
jab
|a
| cos
Pr
jba
a b
重要
| b | Pr
Pr jab
jba
a b
|a|
|
a
|
Pr Pr
jab
jba
a b |b|
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. (两向量的数量积的几何意义)
2
记a a为 a .
7-2-6
数量积 向量积 *混合积
向量的数量积是否满足消去律？
注 a向 量b 的 a数 量c,积a不 满0足消去b 律 c,即. 在一事般实情上况, 下,
a
b
a
c,是
说
a
(b
c
)
0.
即b
c与a垂
直,
未必b c 0.
c(a b) ? (c a)b.
7-2-3
数量积 向量积 *混合积
注 对非零向量a、b,有：
a
b
|
a
||
b
|
cos
(1) 为锐角 a b 0;
(2) 为钝角 a b 0.
关于数量积的说明：
(1)
a
a
|
a
|2
.
证 0,
a a
| a || a | cos
|
a
|2
.
7-2-4
数量积 向量积 *混合积 (2) a b 0
数量积 向量积 *混合积
例
证明向量 c
与向量(a
c)b
(b
c )a
垂直.
证
[(a c)b (b c)a] c
(由分配律)
[(a c )b c (b c )a c]
(b c)[a c a c]
0 0
[(a c)b (b c)a]c
证 () a
ab.
b 0, | a |
此时也称 a
0, | b | 0,
与
b
正交.
cos 0,
,
ab.
()
ab,
2
, cos 0,
ab
| a
|| b
2
| cos
0.
说明
i 、j、k互相正交 i j 0, j k 0, k i 0.
i i 1, j j 1, k k 1,