离散数学ch1[2讲义]命题演算
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离散数学第1章 命题演算
所以这句话没有办法判断真假，所以不是命题！
8
命题符号化
为了能用数学方法来研究命题之间的逻辑关系和推理， 需要将命题符号化。
一个任意的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
定义：以“真” 、“假”为其变域的变元称为命题
变元。
常用大写的英文字母A，B，C，…P，Q，R，…等来表 示一个命题或命题变元。
定义 对于命题公式中各命题变元（分量）指派所有可能 的真值，以及由此而确定的命题公式的真值汇列成表，称 为真值表。
38
例1:命题公式P∧﹁ Q的真值表如下所示。
Ｐ F F T T
这组命题变 元的确定值 称为该公式 的一个指派
Ｑ F T F T
﹁Ｑ T F T F
P∧﹁ Q F F T F
整个表即为该公式 的真值表
34
§1-2
命题公式
将由命题变元和联结词组成的复杂的命题 变元称为命题公式。各个命题变元称为命题公 式的分量。
35
§1-2
命题公式
定义:命题逻辑公式(公式)可按如下法则生成: (1)命题是公式;
(2)如果P是公式,则(﹁ P)是公式;
(3)如果P,Q是公式,则(P ∧ Q),(P∨Q),(P→Q),
26
例如：
因为2<3，所以1+1=2。 在通常意义下2<3与1+1=2没有存在任 何联系，我们一般不会做如此推理。 但在数理逻辑下，设P:2<3; Q:1+1=2 这句话可以形式化为P→Q; 并且真值为T
27
联结词
5.双条件 定义 设P，Q是命题，P和Q的等价命题记
作 P Q ，读作“P当且仅当Q”，或 “P等 价 PQ Q”，当P和Q的真值都为T和F时， 的真 PQ
离散数学第二章 命题演算的推理理论-假设推理系统
则称A是由 A1，A2，…，An实施规则R而得。 设Γ=A1，A2，…，An，则上述规则R可以记为 Γ├ A
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设 公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离 代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离 公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语
其中Γ为形式前提，A为形式结论。
肯定前提律
A1，A2，A3，…，An ├ Ai (i=1，2，…，n)， 即前提中的任何命题均可作为结论。
二、假设推理过程
1， 2， …，k├ B
定义: 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2, A3, …，An， 它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
例 ((PQ)((PR)(QS)))(SR)
解: (1) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) (2) P∧Q →P (3) P∧Q→Q (4) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) →(P∧Q) (5) (P∧Q) ∧((PR) ∧(QS)) → (PR) ∧(QS) (6) P∧Q (7) (PR) ∧(QS) (8) ((PR) ∧(QS)) →(P→R) (9) ((PR) ∧(QS)) →(Q→S) (10) P→R (11) Q→S (12) P (13) Q (14) R (15) S (16) S→(R→(S∧R)) (17) R→(S∧R) (18) S∧R 假设 公理8 公理9 代入(2) 代入(3) (1)(4)分离 (1)(5)分离 代入(2) 代入(3) (7)(8)分离 (7)(9)分离 (2)(6)分离 (3)(6)分离 (10)(12)分离 (11)(13)分离 公理10 (15)(16)分离 (14)(17)分离
例 QQ心情谜语
离散数学及其应用第3章-命题演算与推理(上)
离散数学
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学计算机与信息学院
20210/3/7
计算机应用技术研究所
1
第3章 命题演算与推理 （上）
2020/3/7
计算机应用技术研究所
2
命题演算与推理(上)
2020/3/7
1 命题的概念与运算
2 命题公式与等值演算
33
联结词的完备集
2020/3/7
计算机应用技术研究所
14
弗雷格
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
1879年的重要著作：
概念文字:一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言
是第一个公理化谓词逻辑系统 是自Aristotle以来逻辑的最重要进展 基本实现了Leibniz梦想
命题的概念与运算
2020/3/7
计算机应用技术研究所
4
命题的概念与运算
☺ 逻辑与命题逻辑 命题的基本概念 命题的常用联结词
逻辑学
逻辑学--是一门研究思维形式和思维规律的科学， 包含：
辩证逻辑：研究人的思维中的辩证法。例如：用全 面的和发展的观点观察事物；具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
形式逻辑：研究人的思维的形式和一般规律。本课 程只关心形式逻辑。
2020/3/7
计算机应用技术研究所
6
人类的思维规律
人类的思维过程：通过学习掌握概念和判断，然 后进行推理，即： 概念 判断 推理
推理：由若干个已知的判断(前提)，推出新的判 断(结论)的思维过程。
正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑
数理逻辑包括： 命题逻辑、谓词逻辑、公理化集合论、
Discrete Mathematics
汪荣贵 教授
合肥工业大学计算机与信息学院
20210/3/7
计算机应用技术研究所
1
第3章 命题演算与推理 （上）
2020/3/7
计算机应用技术研究所
2
命题演算与推理(上)
2020/3/7
1 命题的概念与运算
2 命题公式与等值演算
33
联结词的完备集
2020/3/7
计算机应用技术研究所
14
弗雷格
Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)
1879年的重要著作：
概念文字:一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言
是第一个公理化谓词逻辑系统 是自Aristotle以来逻辑的最重要进展 基本实现了Leibniz梦想
命题的概念与运算
2020/3/7
计算机应用技术研究所
4
命题的概念与运算
☺ 逻辑与命题逻辑 命题的基本概念 命题的常用联结词
逻辑学
逻辑学--是一门研究思维形式和思维规律的科学， 包含：
辩证逻辑：研究人的思维中的辩证法。例如：用全 面的和发展的观点观察事物；具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
形式逻辑：研究人的思维的形式和一般规律。本课 程只关心形式逻辑。
2020/3/7
计算机应用技术研究所
6
人类的思维规律
人类的思维过程：通过学习掌握概念和判断，然 后进行推理，即： 概念 判断 推理
推理：由若干个已知的判断(前提)，推出新的判 断(结论)的思维过程。
正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑
数理逻辑包括： 命题逻辑、谓词逻辑、公理化集合论、
《离散数学》讲义 - 2
离散数学 22
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
23
小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
32
小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
33
2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
离散数学
34
2－4 变元的约束
离散数学
35
1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
29
附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
离散数学
38
2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
23
小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
32
小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
33
2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
离散数学
34
2－4 变元的约束
离散数学
35
1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
29
附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
离散数学
38
2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
离散数学第一章第二节
2
2、命题符号化
将一个命题表示成符合规定的命题公式叫命题符
号化。步骤如下： (1) 找出各简单命题，分别用命题标识符表示； (2) 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起 来，便得到复合命题的符号化表示。
五种联结词又叫逻辑运算符。联结词运算的优先
级顺序为：,∧,∨,,
例2 将下列命题符号化： (1) 如果我下班早，就去商店看看，除非我很累。 (2) 只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 解：(1) Ｐ→(Ｑ→Ｒ)。 其中 Ｐ：我很累。Ｑ：我下班早。Ｒ：我去商店看看。 (2) Ｐ→Ｑ或Ｑ→Ｐ。 其中P：三角形有一个角是直角。Ｑ：三角形是直角三角形。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1 （P∨Q） 1 0 0 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧Q 1 0 0 0
例4 构造命题公式（P∨Q）和P∧Q的真值表。
对于Ｐ、Ｑ的任一种真值指派，（P∨Q）与P∧Q 都有相同的真值，所以这两个命题公式是等价的。 6
常用的等价公式：
E1对合律 PP E2幂等律 PPP PPP E3结合律 (PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) E4交换律 PQQP PQQP E5分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) E6吸收律 P(PQ) P P(PQ) P E7德.摩根律 (PQ) PQ (PQ) PQ E8同一律 PFP PTP E9零 律 PTT PFF E10否定律 PPT PPF E11 P→QP∨Q E12 P→QQ→P E13 PQ (P→Q)∧(Q→P) E14 PQPQ E15 (P→Q)∧(P→Q)P
证明：Ａ与Ｂ除替换部分外均相同，又由于替换部分Ｘ Ｙ，即是说对任一指派，Ｘ与Ｙ真值相同，那么Ａ与 Ｂ对任一真值指派也应有相同的真值。故ＡＢ。
2、命题符号化
将一个命题表示成符合规定的命题公式叫命题符
号化。步骤如下： (1) 找出各简单命题，分别用命题标识符表示； (2) 使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起 来，便得到复合命题的符号化表示。
五种联结词又叫逻辑运算符。联结词运算的优先
级顺序为：,∧,∨,,
例2 将下列命题符号化： (1) 如果我下班早，就去商店看看，除非我很累。 (2) 只有一个角是直角的三角形才是直角三角形。 解：(1) Ｐ→(Ｑ→Ｒ)。 其中 Ｐ：我很累。Ｑ：我下班早。Ｒ：我去商店看看。 (2) Ｐ→Ｑ或Ｑ→Ｐ。 其中P：三角形有一个角是直角。Ｑ：三角形是直角三角形。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1 （P∨Q） 1 0 0 0 P 1 1 0 0 Q 1 0 1 0 P∧Q 1 0 0 0
例4 构造命题公式（P∨Q）和P∧Q的真值表。
对于Ｐ、Ｑ的任一种真值指派，（P∨Q）与P∧Q 都有相同的真值，所以这两个命题公式是等价的。 6
常用的等价公式：
E1对合律 PP E2幂等律 PPP PPP E3结合律 (PQ)RP(QR) (PQ)RP(QR) E4交换律 PQQP PQQP E5分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) E6吸收律 P(PQ) P P(PQ) P E7德.摩根律 (PQ) PQ (PQ) PQ E8同一律 PFP PTP E9零 律 PTT PFF E10否定律 PPT PPF E11 P→QP∨Q E12 P→QQ→P E13 PQ (P→Q)∧(Q→P) E14 PQPQ E15 (P→Q)∧(P→Q)P
证明：Ａ与Ｂ除替换部分外均相同，又由于替换部分Ｘ Ｙ，即是说对任一指派，Ｘ与Ｙ真值相同，那么Ａ与 Ｂ对任一真值指派也应有相同的真值。故ＡＢ。
离散数学 第一章 命题演算及其形式系统
第一章命题演算及其形式系统1.1 命题与联结词内容提要1.1.1 命题我们把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。
“真、假”常被称为命题的真值。
自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当” 这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。
通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions）。
1.1.2 联结词否定词(negation)“并非”（not），用符号┐表示。
设p表示一命题，那么┐p表示命题p的否定。
p真时┐p假，而p假时┐p真。
┐p读作“并非p”或“非p”。
合取词(conjunction)“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p且q”。
析取词(disjunction)“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q的析取，即当p和q有一为真时，p∨q为真，只有当p和q 均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”、“p或q”。
蕴涵词(implication)“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p→q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
双向蕴涵词(two-way implication)“当且仅当”（if and only if），用符号表示之。
离散数学讲义第2章
例2：H(x, y)：“x比y长得高”，l：“李四”，c：“张 三则” H(l, c)：“李四不比张三长得高”； H(l, c) H(c, l)：“李四不比张三长得高且张三不比 李四长得高”，即“李四与张三一样高”。
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：