离散数学试题带答案(七)

离散数学考试题(后附详细答案)

一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）

1.用命题逻辑把下列命题符号化

a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（⌝P⇄Q）∧(P⇄R∨S)

b)我今天进城，除非下雨。

设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：⌝Q→P或⌝P→Q

c)仅当你走，我将留下。

设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P

2.用谓词逻辑把下列命题符号化

a)有些实数不是有理数

设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：

∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))

b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.

设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))

二、简答题（共6道题，共32分）

1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋

值。（5分）

(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔（⌝P∨⌝Q∨R）↔(P∨⌝Q∨⌝R)

⇔(（⌝P∨⌝Q∨R）→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →（⌝P∨⌝Q∨R）).

⇔(（P∧Q∧⌝R）∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨（⌝P∨⌝Q∨R）)

⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式

公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为

（⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨（⌝P∧⌝Q∧R)∨（⌝P∧Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧R)∨（P∧Q∧R)

2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）

a)∀x∃y(x+y=4)

b)∃y∀x (x+y=4)

a) T b) F

3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。（4分）

∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x)) ⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y∃z(F(y)→G(z)) ⇔∃x∀y∃z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))

4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分） a) （A ⋃B ）－C=(A-B) ⋃(A-C)

b) 若f 是从集合A 到集合B 的入射函数，则|A |≤|B|

a) 真命题。因为（A ⋃B ）－C=（A ⋃B ）⋂~C=（A ⋂~C ）⋃（B ⋂~C ）=（A-C ）⋃（B-C ）

b) 真命题。因为如果f 是从集合A 到集合B 的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranf ⊆B,故命题成立。

5. 设A 是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分） a) A 上有多少种不同的等价关系？ b) 从A 到A 的不同双射函数有多少个？ a) 52 b) 5!=120

6. 设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、

极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分) f g

图1

B 的最小元是b ，无最大元、极大元是d 和e 、极小元是b 、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g 、下确界是b.

7. 已知有限集S={a 1,a 2,…,a n },N 为自然数集合，R 为实数集合，求下列集合的基数

S;P(S);N,N n

;P(N);R,R ×R,{o,1}N

（写出即可）(6分)

K[S]=n; K[P(S)]=n

2; K[N]=ℵ0,K[N n

]=ℵ0, K[P(N)]=ℵ; K[R]=ℵ, K=[R ×R]= ℵ,K[{0,1}N

]=

ℵ

三、证明题（共3小题，共计40分）

1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分） a) A →(B ∧C),(E →⌝F)→⌝C, B →(A ∧⌝S)⇒B →E

b) ∀x(P(x)→⌝Q(x)), ∀x(Q(x)∨R(x))，∃x ⌝R(x) ⇒∃x ⌝P(x) a) 证 （1）B P(附加条件) （2）B →(A ∧⌝S) P

(3) A ∧⌝S T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A →(B ∧C) P

(6) B ∧C T(4)(5) I (7) C T(6) I

(8) (E →⌝F)→⌝C P

(9) ⌝(E →⌝F) T(7)(8) I (10) E ∧F T(9) E (11) E T(10) I (12) B →E CP b) 证 (1) ∃x ⌝R(x) P (2) ⌝R(c) ES(1) (3) ∀x(Q(x)∨R(x)) P (4) Q(c)∨R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) ∀x(P(x)→⌝Q(x)) P

(7) P(c)→⌝Q(c) US(6) (8) ⌝P(c) T(5)(7) I (9) ∃x ⌝P(x) EG(8)

2. 设R 1是A 上的等价关系，R 2是B 上的等价关系，A ≠∅且B ≠∅，关系R 满足：

<,>∈R ，当且仅当< x 1, x 2>∈R 1且∈R 2。试证明：R 是A ×B 上的等价关系。（10分） 证 任取,

∈A ×B ⇒x ∈A ∧ y ∈B ⇒∈R 1∧∈R 2⇒<,>∈R ，故R 是自反的 任取<,>,

<,>∈R ⇒∈R 1∧∈R 2⇒∈R 1∧∈R 2⇒<,>∈R.故R 是对称的。

任取<,>,<,>∈R

<,>,<,>∈R ⇒∈R 1∧∈R 2∧∈R 1∧∈R 2⇒(∈R 1∧∈R 1)∧(∈R 2∧∈R 2)⇒ R 1∧∈R 2⇒<,>∈R, 故R 是传递的。

综上所述R 是A ×B 上的等价关系。

3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1]和(a,b)等势。（10分） 证 构造函数f ：（0,1]→(a,b)，f(x)=

2

2b

x a +,显然f 是入射函数 构造函数g: (a,b)→（0,1]，a

b a

x x g --=)(,显然g 是入射函数， 故（0,1]和(a,b)等势。

由于2

2122

221⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++≥+++r m m m r m m m r r ，所以22

r n r s ≥

4. 设R 是集合A 上的等价关系，A 的元素个数为n ，R 作为集合有s 个元素，若A 关于R

的商集A/R 有r 个元素，证明：rs ≥n 2。（10分）

证 设商集A/R 的r 个等价类的元素个数分别为m 1,m 2,…,m r ，由于一个划分对应一个等价