离散数学试卷二十三试题与答案

试卷二十三试题与答案一、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分）1．命题公式)(P Q P ∨→是（ ）。

A 、 矛盾式；B 、可满足式；C 、重言式；D 、等价式。

2．下列各式中哪个不成立（ ）。

A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀；B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。

3．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是（ ）。

A 、自由变元；B 、约束变元；C 、既是自由变元又是约束变元；D 、既不是自由变元又不是约束变元。

4．在0 Φ之间应填入（ ）符号。

A 、= ；B 、⊂；C 、∈；D 、∉。

5．设< A ， > 是偏序集，A B ⊆，下面结论正确的是（ ）。

A 、B 的极大元B b ∈且唯一； B 、B 的极大元A b ∈且不唯一；C 、B 的上界B b ∈且不唯一；D 、B 的上确界A b ∈且唯一。

6．在自然数集N 上，下列（ ）运算是可结合的。

（对任意N b a ∈,）A 、b a b a -=*；B 、),max(b a b a =*；C 、b a b a 5+=*；D 、b a b a -=*。

7．Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ,则<Q ，*>的幺元为（）。

A 、a ； B 、b ； C 、1； D 、0。

8．给定下列序列，（ ）可以构成无向简单图的结点度数序列。

A 、（1，1，2，2，3）；B 、（1，1，2，2，2）；C 、（0，1，3，3，3）；D 、（1，3，4，4，5）。

9．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列 （ ）关系。

A 、点与边；B 、边与点；C 、点与点；D 、边与边。

10．一颗树有两个2度结点，1个3度结点和3个4度结点，则1度结点数为（）。

A 、5；B 、7；C 、9；D 、8。

二、填空：（每空1分，本大题共15分）1．在自然数集中，偶数集为1N 、奇数集为2N ，则21N N ⋂= ；21N N ⋃ = 。

2．设}3,34,2,2,1{,}4,3,2,1{><><><==，R X ，则r (R) = ；s (R) = ；t (R) = 。

3．设R 为集合A 上的等价关系，对A a ∈∀，集合R a ][= ， 称为元素a 形成的R 等价类，Φ≠R a ][，因为 。

4．任意两个不同小项的合取为 ，全体小项的析取式为 。

5．设为偶数x x Q :)(，为素数x x P :)(，则下列命题：（1）存在唯一偶素数；（2）至多有一个偶素数；分别形式化：（1） ；（2） 。

6．设T 为根树，若 ，则称T 为m 元树；若 则称T 为完全m 叉树。

7．含5个结点，4条边的无向连通图（不同构）有 个，它们是 。

三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分）1．命题公式B B A A →→∧))((是一个矛盾式。

（ ）2．任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。

（ ）3．根树中最长路径的端点都是叶子。

（ ）4．若集合A 上的关系R 是对称的，则1-R 也是对称的。

（ ）5．数集合上的不等关系（≠）可确定A 的一个划分。

（ ）6．设集合A 、B 、C 为任意集合，若A×B = A×C ，则B = C 。

（ ）7．函数的复合运算“。

”满足结合律。

（ ）8．若G 是欧拉图，则其边数e 合结点数v 的奇偶性不能相反。

（ ）9．图G 为（n , m ）图，G 的生成树G T 必有n 个结点。

（ ）10．使命题公式)(R Q P ∨→的真值为F 的真值指派的P 、Q 、R 值分别是T 、F 、F 。

（ ）四、简答题（每小题5分，本大题共25分）1．设>< ,H 和>< ,K 都是群>< ,G 的子群，问>⋂< ,K H 和>⋃< ,K H 是否是>< ,G 的子并说明理由。

2．设}9432{，，，=A ，}12,10742{，，，=B ，从A 到B 的关系 },,,{b a B b A a b a R 整除且∈∈><=，试给出R 的关系图和关系矩阵，并说明此关系是否为函数？为什么？3．设>*<,S 是半群，L O 是左零元，对任L O x S x *∈,是否是左零元？为什么？4．某次会议有20人参加，其中每人至少有10个朋友，这20人拟围一桌入席，用图论知识说明是否可能每人邻做的都是朋友？（理由）5．通过主合取范式，求出使公式R Q P ∨→⌝⌝)(的值为F 的真值指派。

五、证明题：（共30分）1．设R 为集合A 上的二元关系，如果R 是反自反的和可传递的，则R 一定是反对称的。

2．试证明若>*<,G 是群，G H ⊆，且任意的H a ∈，对每一个G x ∈，有a x x a *=*，则>*<,H 是>*<,G 的子群。

3．设G 是每个面至少由k （3≥k ）条边围成的连通平面图，试证明2)2(--≤k v k e ，其中v为结点数，e 为边数。

4．符号化下列各命题，并说明结论是否有效（用推理规则）。

任何人如果他喜欢美术，他就不喜欢体育。

每个人或喜欢体育，或喜欢音乐，有的人不喜欢音乐，因而有的人不喜欢美术。

答案 一、单项选择题：1．Φ;2N 。

2．}4,4,2,2,1,1,3,3,4,2,2,1{)(><><><><><><=R r ， }2,4,1,2,3,3,4,2,2,1{)(><><><><><=R s ， }3,3,4,1{2><><==R R R ，}3,3{23><==R R R ，}3,3{34><==R R R ，所以， }4,1,3,3,4,2,2,1{)(><><><><=R t 。

3．},{][aRx A x x a R ∈=；R a a ][∈。

4．永假式（矛盾式），永真式（重言式）。

5．（1）)))()(())()(((y x y P y Q y x P x Q x =→∧∃∧∧∃。

（2）))()()()((y x y P y Q x P x Q y x =→∧∧∧∀∀。

6．每个结点的出度都小于等于m ；除叶子外，每个结点的出度都等于m 。

7．3。

三、判断改正题：1．× 命题公式B B A A →→∧))((是一个重言式。

2．× 任何循环群必定是阿贝尔群，但反之不真。

3．× 根树中最长路径的端点不都是叶子。

4．√ 5．× ≠不能确定A 的一个划分。

6．√ 7．√8．× 欧拉图其边数e 和结点数v 的奇偶性可以相反。

9．√ 10．√四、简答题1．解：>⋂< ,K H 是 >< ,G 的子群，>⋃< ,K H 不一定是>< ,G 的子群。

><><∈∈⋂∈∀ ,,,,,,,,K H K b a H b a K H b a 和由则都是>< ,G 的子群， ><>⋂<⋂∈-∈-∈-∴∴∴ ,,,1,11G K H K H b a K b a H b a 是且 的子群。

如：G = {1，5，7，11}， ：模12乘，则>< ,G 为群。

且H = {1，5}，K = {1，7}， ><>< ,,K H 和皆为>< ,G 的子群，但}7,5,1{=⋃K H ，>⋃< ,K H 不是>< ,G 的子群。

因为 K H ⋃∉=1175 ，即运算不封闭。

2．解：}12,4,4,4,12,3,12,2,10,2,4,2,2,2{><><><><><><><=R 则R 的关系图为：R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000100101000011011RM 关系R 不是A 到B 的函数，因为 元素2，4的象不唯一（或元素9无象）3．解：L O x *仍是左零元。

因为S y ∈∀，由于L O 是左零元，所以，L L O y O =*，又 >*<,S 为半群，所以*可结合。

所以，L L L O x y O x y O x *=**=**)()(，所以，L O x *仍是左零元。

4．解：可能。

将人用结点表示，当两人是朋友时相应结点间连一条边，则得一个无向图>=<E V G ,，20人围一桌，使每人邻做都是朋友，即要找一个过每个点一次且仅一次得回路。

由题已知，10)deg(,10)deg(,,≥≥∈∀v u V v u ，20)deg()deg(≥+∴v u ，由判定定理，G 中存在一条汉密尔顿回路。

即所谈情况可能。

5．解：010110100)()()()()()()()(M M M R Q P R Q P R Q P R Q P R Q R P R Q P R Q P ∧∧⇔∨⌝∨⌝∧∨⌝∨∧∨⌝∨⌝∧∨∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝⇔∨⌝∧⌝⇔∨∨⌝⇔原式∴使公式R Q P ∨→⌝⌝)(的值为F 的真值指派为：⎪⎩⎪⎨⎧0:0:1:R Q P ； ⎪⎩⎪⎨⎧0:1:1:R Q P ； ⎪⎩⎪⎨⎧0:1:0:R Q P 。

五、证明题：1．证明：假设R 不是反对称的，则 y x R x y R y x ≠>∈<>∈<∃,,,, 由R 的传递性，∴ R x x >∈<, 此与R 反自反矛盾，∴R 反对称。

2．证明：（1）设群>*<,G 的幺元为e ，则G x ∈∀有 x e e x *=*，∴H e ∈即H 非空。

（2）H b a ∈∀,，则 G x ∈∀ 有 b x x b a x x a *=**=*,，从而H b a b a x b x a bx b b a b b x ba xb a ∈*∴**=**=****=****=**--------11111111,)()()()()()(故 >*<,H 是>*<,G 的子群。