离散数学试卷及答案(1)

一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则=⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 。

二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。

D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t spR=t s∈=则P（A）/ R=（）<>∧A)(||||}(,{t,|sA．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。

A．0；B．1；C．2；D．3。

9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ ）个4度结点。

A ．1；B ．2；C ．3；D ．4 。

三、证明 26%１、R 是集合X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当< a, b> 和<a , c>在R 中有<.b , c>在R 中。

（8分）２、f 和g 都是群<G 1 ,★>到< G 2, *>的同态映射，证明<C , ★>是<G 1, ★>的一个子群。

其中C=)}()(|{1x g x f G x x =∈且 (8分)３、G=<V, E> (|V| = v ，|E|=e ) 是每一个面至少由k （k ≥3）条边围成的连通平面图，则2)2(--≤k v k e ， 由此证明彼得森图（Peterson ）图是非平面图。

（11分）四、逻辑推演 16%用CP 规则证明下题（每小题 8分） 1、F A F E D D C B A →⇒→∨∧→∨, 2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀五、计算 18%1、设集合A={a ，b ，c ，d}上的关系R={<a , b > ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算求出R 的传递闭包t (R)。

（9分）2、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。

（９分）一、 填空 20%（每空2分）1、2(x+1)；2、}a , c ,a , b ,c , c ,c , a ,b , a ,a , a {><><><><><>< ；3、>}<><><><><><3,6,2,6,2,4,5,1,3,1,2,1{；4、反对称性、反自反性；4、}}}2{},2,{{}},2{{}},2,{{,{ΦΦΦ；5、1；6、)()()(R Q P R Q P R Q P ∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨；7、任意x ，如果x 是素数则存在一个y ，y 是奇数且y 整除x ；8、)),,(),(),((u y x Q z y P z x P u z y x ∨⌝∨⌝∃∀∀∀。

二、 选择 20%（每小题 2分）三、 证明 16%(每小题8分) 1、 ①A P （附加前提） ②B A ∨T ①I ③D C B A ∧→∨P④D C ∧ T ②③I ⑤D T ④I ⑥E D ∨ T ⑤I ⑦F E D →∨ P ⑧F T ⑥⑦I ⑨F A → CP2、)()(())()(()()()()()(x xQ x xP x Q x P x x xQ x P x x xQ x xP ∃→∀⌝⇒∨∀∃→∀⌝⇔∃∨∀本题可证① ))((x xP ∀⌝ P （附加前提） ②))((x P x ⌝∃ T ①E ③)(a P ⌝ES ② ④))()((x Q x P x ∨∀ P ⑤)()(a Q a P ∨ US ④ ⑥)(a Q T ③⑤I ⑦)(x xQ ∃EG ⑥ ⑧)()((x xQ x xP ∃→∀⌝ CP四、 14% 1、 证明：（1） 自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,（2） 对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,, 21121221y x y x y x y x +=++=+也即即有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,（3） 传递性：X y x X y x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上的先等价关系。

2、X/R=}]2,1{[R >< 五、 10%1、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ； 关系图 2、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M 2340000000010100101R R R R M M M M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ,,4635R R R R M M M M == ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M ∴ t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > }。

六、 20%1、（1）)}()(|,{)}()(|,{x g x f y domg domf x y x x g y x f y domg x domf x y x g f ==∧⋂∈><==∧=∧∈∧∈><=⋂)}()(,|{x g x f domg domf x x domh g domf gf h =⋂∈==⋂∴⋂=令（2）)}()()(|,{x g x f x h y domg domf x y x h ===∧⋂∈><=使得若有对21,y y domh x ∈ )()()(,)()()(21x g x f x h y x g x f x h y ======21,)(y y g f =有是函数或由于)(x h y y domh x =∈∀使得有唯一即 也是函数g f ⋂∴。

2、证明：t t f g T t g f =∈∀⇒)(,"" 则对有一左逆若是入射所以是入射故f f g , 。

的左逆元是故则且若或只有一个值则对令若此时令使入射由定义如下是入射f g t s g t f g s t f c t s g S s T c s g T f s t s g s t f T t f T f s S T f f ,)()()()(,)()(,)()(,|,),(::,""===∈∀∈=∉==∈∃∈∀→⇐左逆函数为使必能构造函数入射即若f g g f ,,。