人教版初中数学第二十二章二次函数知识点汇总
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.
22.1.2 二次函数2
y ax =的图象和性质
1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小.
例1.若抛物线y=ax 2经过P (1,
﹣2),则它也经过 ( )
A .(2,1)
B .(﹣1,2)
C .(1,2)
D .(﹣1,﹣2) 【答案】 【解析】
试题解析:∵抛物线y=ax 2经过点P (1,-2), ∴x=-1时的函数值也是-2, 即它也经过点(-1,-2). 故选D .
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
例2.若点(2,-1)在抛物线2
y ax =上,那么,当x=2时,y=_________
【解析】
试题分析:先把(2,-1)直接代入2
y ax =即可得到解析式,再把x=2代入即可.
由题意得14-=a ,41-=a ,则2
4
1x y -=, 当2=x 时,.144
1-=?-=y 考点:本题考查的是二次函数
点评:解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式. 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减.
例1.若抛物线
y=ax 2+c 经过点P (l ,-2),则它也经过 ( )
A .P 1(-1,-2 )
B .P 2(-l , 2 )
C .P 3( l , 2)
D .P 4(2, 1) 【答案】A 【解析】
试题分析:因为抛物线y=ax 2+c 经过点P (l ,-2),且对称轴是y 轴,所以点P (l ,-2)的对称点是(-1,-2),所以P 1(-1,-2)在抛物线上,故选:A. 考点:抛物线的性质.
例2.已知函数y=ax+b 经过(1,3),(0,﹣2),则a ﹣b=( ) A .﹣1 B .﹣3 C .3 D .7 【答案】D . 【解析】
试题分析:∵函数y=ax+b 经过(1,3),(0,﹣2),
∴a b 3b 2+=??=-?,解得a 5b 2=??=-?
.
∴a ﹣b=5+2=7.
考点:1.直线上点的坐标与方程的关系;2.求代数式的值.
例3.两条直线y 1=ax +b 与y 2=bx +a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的 ( )
【答案】无正确答案
【解析】分析:首先根据两个一次函数的图象,分别考虑a ,b 的值,看看是否矛盾即可. 解:A 、由y 1的图象可知,a <0,b <0;由y 2的图象可知,a>0,b<0,两结论矛盾,故错误; B 、由y 1的图象可知,a >0,b >0;由y 2的图象可知,a >0,b<0,两结论相矛盾,故错误; C 、由y 1的图象可知,a>0,b<0;由y 2的图象可知,a <0,b <0,两结论相矛盾,故错误; D 、由y 1的图象可知,a >0,b >0;由y 2的图象可知,a<0,b<0,两结论相矛盾,故错误. 故无正确答案.
点评:此题主要考查了一次函数的图象性质,要掌握它的性质才能灵活解题.一次函数y=kx+b 的图象有四种情况: ①当k >0,b >0,函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限; ②当k >0,b <0,函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限; ③当k <0,b >0时,函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限; ④当k <0,b <0时,函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限.
22.1.3 二次函数()2y a x h k =-+的图象和性质
左加右减.
()2
y a x h k =-+的性质:
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()0h ,
X=h
x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随
x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0.
0a <
向下
()0h ,
X=h
x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随
x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a > 向上
()h k ,
X=h
x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随
x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值k .
例1.将二次函数y=x 2﹣2x ﹣3化成y=(x ﹣h )2+k 形式,则h+k 结果为( ) A .﹣5 B .5 C .3 D .﹣3 【答案】D . 【解析】
试题分析:y=x 2-2x-3=(x 2-2x+1)-1-3=(x-1) 2-4. 则h=1,k=-4, ∴h+k=-3. 故选D .
考点: 二次函数的三种形式.
例2.把二次函数y=x 2+6x+4配方成y=a (x-h )2+k 的形式,得y=___,它的顶点坐标是___. 【答案】(x+3)2-5,(-3,-5) 【解析】
试题分析:y=2x +6x+4=2(3)5x +-,则顶点坐标为(-3,-5). 考点:二次函数的顶点式. 例3.把二次函数432
12
+-=
x x y 配方成y =a (x -k )2+h 的形式,并写出它的图象的顶点坐标、对称轴. 【答案】y= 顶点坐标(3,-),对称轴方程x =3 【解析】
试题分析:y=x 2﹣3x+4=(x ﹣3)2﹣, 则顶点坐标(3,﹣),对称轴方程x=3, 考点:二次函数的图像及性质
1、二次函数图象的平移
(1)平移步骤:
方法一:(1)将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,
; 0a <
向下
()h k ,
X=h
x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随
x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值k .
(2)保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,
处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
(2)平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:
(1)c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)
(2)c bx ax y ++=2
沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2
变成c
m x b m x a y ++++=)()(2
(或c m x b m x a y +-+-=)()(2
)
例1.将二次函数y =x 2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为( ) A .y =x 2-1 B .y =x 2+1 C .y =(x -1)2 D .y =(x +1)2 【答案】A
【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可,将二次函数y =x 2的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为:y =x 2-1.故选A.
例2.将二次函数y=x 2的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,所得图象的函数表达式是 A .y=(x –1)2+2 B .y=(x+1)2+2 C .y=(x –1)2–2 D .y=(x+1)2–2 【答案】A . 【解析】
试题分析:原抛物线的顶点为(0,0),向右平移1个单位,再向上平移2个单位,那么新抛物线的顶点为(1,2).可设新抛物线的解析式为y=(x ﹣h )2+k ,代入得y=(x ﹣1)2+2. 故选A .
考点:二次函数图象与几何变换.
例3.将二次函数2
x y =的图象如何平移可得到342
++=x x y 的图象( )
A .向右平移2个单位,向上平移一个单位
B .向右平移2个单位,向下平移一个单位
C .向左平移2个单位,向下平移一个单位
D .向左平移2个单位,向上平移一个单位 【答案】C
【解析】2
2
43(2)1y x x x =++=+-,根据二次函数的平移性质得:向左平移2个单位,向下平移一个单位.故选C.
例4.已知点P (﹣1,m )在二次函数y=x 2﹣1的图象上,则m 的值为 ;平移此二次函数的图象,使点P 与坐标原点重合,则平移后的函数图象所对应的解析式为 . 【答案】0,y=x 2﹣2x . 【解析】
∵点P (﹣1,m )在二次函数y=x 2﹣1的图象上, ∴(﹣1)2﹣1=m , 解得m=0,
平移方法为向右平移1个单位,
平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为(1,﹣1),
平移后的函数图象所对应的解析式为y=(x ﹣1)2﹣1=x 2﹣2x , 即y=x 2﹣2x .
故答案为:0,y=x 2﹣2x .
2、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即
2
2424b ac b y a x a a -??=++
???
,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 3、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及
顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,
关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
4、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.
当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b
x a
=-时,y 有最小值244ac b a -.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.当2b
x a <-
时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值244ac b a -.
例1.当a < 0 时,方程ax 2+bx+c=0无实数根,则二次函数y=ax 2+bx+c 的图像一定在 ( ) A 、x 轴上方 B 、x 轴下方 C 、y 轴右侧 D 、y 轴左侧 【答案】B 【解析】
试题分析:∵方程ax 2+bx+c=0无实数根,∴b 2+4ac<0,即函数图形与x 轴没有交点 又∵a < 0,∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图像一定在x 轴下方 故选B .
考点:二次函数的性质
例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图,则a 、b 、c 满足 ( )
A 、a <0,b <0,c >0
B 、a <0,b <0,c <0
C 、a <0,b >0,c >0
D 、a >0,b <0,c >0 【答案】A 【解析】
试题分析:由于开口向下可以判断a <0,由与y 轴交于正半轴得到c >0,又由于对称轴x=-2b
a
<0,可以得到b <0,所以可以找到结果.
试题解析:根据二次函数图象的性质, ∵开口向下, ∴a <0,
∵与y 轴交于正半轴, ∴c >0, 又∵对称轴x=-
2b
a
<0,
所以A 正确.
考点:二次函数图象与系数的关系.
例3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图,其对称轴x=﹣1,给出下列结果: ①b 2>4ac ;②abc >0;③2a+b=0;④a+b+c >0;⑤a ﹣b+c <0, 则正确的结论是( )
A.①②③④
B.②④⑤
C.②③④
D.①④⑤ 【答案】D 【解析】
试题分析:根据抛物线与x 轴有两个交点,可得△=b 2﹣4ac >0,即b 2>4ac ,故①正确;
根据抛物线对称轴为x=﹣
2b
a <0,与y 轴交于负半轴,因此可知a
b >0,
c <0,abc <0,故②错误; 根据抛物线对称轴为x=﹣2b
a
=﹣1,∴2a ﹣b=0,故③错误;
当x=1时,y >0,即a+b+c >0,故④正确; 当x=﹣1时,y <0,即a ﹣b+c <0,故⑤正确; 正确的是①④⑤. 故选D .
考点:二次函数图象与系数的关系
例4.如果二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示,那么( )
A .a <0,b >0,c >0
B .a >0,b <0,c >0
C .a >0,b >0,c <0
D .a >0,b <0,c <0 【答案】D
试题分析:因为抛物线开口向上,所以a >0,又对称轴在y 轴右侧,所以2b
a
->0,所以b <0,又因为抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,所以c <0,所以a >0,b <0,c <0,故选:D . 考点:抛物线的性质.
例5.已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点是(﹣4,0),(2,0),则这条抛物线的对称轴是直线 . 【答案】x=-1. 【解析】
试题分析:因为点(-4,0)和(2,0)的纵坐标都为0,所以可判定是一对对称点,把两点的横坐标代入公式x=12
2
x x +求解即可.
试题解析:∵抛物线与x 轴的交点为(-4,0),(2,0), ∴两交点关于抛物线的对称轴对称, 则此抛物线的对称轴是直线x=42
12
-+=-,即x=-1. 考点:抛物线与x 轴的交点.
5、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线
与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
6、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
当0b >时,02b
a
-
<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧;
当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
>,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b
a
->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0 ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 7、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2 y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) 2 y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n , 对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 22.2二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况): 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数: ① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x , ,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程 ()2 00ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=. ② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 例1.已知函数k x x y +-=632 (k 为常数)的图象经过点A (0.8,1y ),B (1.1,2y ), C (2,3y ),则有( ) A .1y <2y <3y B .1y >2y >3y C .3y >1y >2y D .1y >3y >2y 【答案】C 【解析】 试题分析:因为函数k x x y +-=632 的对称轴是6126 b x a -=- =-=,且抛物线开口向上,所以可以画出函数图象的草图, 观察图象可得:3y >1y >2y ,故选:C . 考点:二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点. 例2.已知二次函数y=x 2+2mx +2,当x >2时,y 的值随x 的增大而增大,则实数m 的取值范围是 . 【答案】m≥-2. 【解析】 试题分析:根据二次函数的性质,利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解. 试题解析:抛物线的对称轴为直线x=- 221 m ?=-m , ∵当x >2时,y 的值随x 值的增大而增大, ∴-m≤2, 解得m≥-2. 考点:二次函数的性质. 例3.函数c bx x y -+=2 的图象经过点(1,2),则b-c 的值为 . 【答案】1 【解析】 试题分析:把点(1,2)代入c bx x y -+=2 ,得:12b c +-=,所以1b c -=. 考点:函数图象上的点. 例4.已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1. (1)求证:2a+b=0; (2)若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4,求方程的另一个根. 【答案】(1)见解析;(2)x=-2 【解析】 试题分析:直接利用对称轴公式代入求出即可;根据(1)中所求,再将x=4代入方程求出a ,b 的值,进而解方程得出即可. 试题解析:(1)证明:∵对称轴是直线x=1=﹣ 2b a ,∴b=-2a ∴2a+b=0; (2)∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4,∴16a+4b ﹣8=0,∵b=﹣2a ,∴16a ﹣8a ﹣8=0, 解得:a=1,则b=﹣2,∴a 2x +bx ﹣8=0为:2x ﹣2x ﹣8=0, 则(x ﹣4)(x+2)=0,解得:1x =4,2x =﹣2, 故方程的另一个根为:﹣2. 考点:二次函数的性质;二次函数图象与系数的关系;抛物线与x 轴的交点 例5.已知函数2 1y x bx =+-的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)当0x >时,求使2y ≥的x 的取值范围. 【答案】(1)221y x x =--;(2)3x ≥. 【解析】 试题分析:(1)把(3,2)代入函数解析式求出b 的值,即可确定出解析式; (2)利用二次函数的性质求出满足题意x 的范围即可. 试题解析:(1)∵函数2 1y x bx =+-的图象经过点(3,2),∴9312b +-=,解得:2b =-, 则函数解析式为:2 21y x x =--; (2)当3x =时,2y =,根据二次函数性质当3x ≥时,2y ≥,则当0x >时,使2y ≥的x 的取值范围是3x ≥. 考点:待定系数法求二次函数解析式. 22.3 实际问题与二次函数 例1.在同一坐标系内,一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是( ) 【答案】C 【解析】 试题分析:A 、对于一次函数a <0,对于二次函数a >0,则不正确;B 、对于一次函数b <0,对于二次函数b >0,则不正确;C 、正确;D 、对于一次函数b <0,对于二次函数b >0,则不正确. 考点:函数图象 例2.学生校服原来每套的售价是100元,后经连续两次降价,现在的售价是81元,则平均每次降价的百分数是 ( ) x A.9% B.8.5% C.9.5% D.10% 【答案】D. 【解析】 试题分析:设平均每次降价的百分数是x,根据等量关系“校服原来每套的售价是100元×(1-下降率)2=每套校服现在的售价是81元”,列出方程100(1-x)2= 81元,解得x即可,故答案选D. 考点:一元二次方程的应用. 侧面是曲面 底面是圆面圆柱,:???侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体 ,:侧面是曲面底面是圆面圆锥,:?? ?侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体,:????? ?? ? ?有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?? ???----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数人教版初中数学知识点汇总中考复习用 人教版初中数学定理知识点汇总七年级上册 第一章 丰富的图形世界 ¤1. ¤2. ¤3. 球体:由球面围成的(球面是曲面) ¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。 ①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。几何的表面有平面和曲面; ②面与面相交得到线; ③线与线相交得到点。 ※5. 棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线都叫做棱.。 ※6. 侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱.. ,所有侧棱长都相等。 ¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同,侧面的形状都是长方形。 ¤8. 根据底面图形的边数,人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、 四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。 ¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 ¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。 ※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3,且n 为整数),从一个顶点出发的对角线有(n-3)条;可以把n 边形成(n-2)个三角形; 这个n 边形共有 2 ) 3(-n n 条对角线。 ◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧. ,弧是一条曲线。 ◎14. 扇形,由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。 ¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。有弧或不封闭图形都不是多边形。 第二章 有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。 ※任何一个有理数,都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来,不能说数轴上所有的点都表示有理数) ※如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。(0的相反数是0) ※在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的侧,且到原点的距离相等。 ¤数轴上两点表示的数,右边的总比左边的大。正数在原点的右边,负数在原点的左边。 ※绝对值的定义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 ※正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的数;0的绝对值是0。 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 北师大版初中数学七年级(上册)各章标题 第一章丰富图形世界 第二章有理数 第三章字母表示数 第四章平面图形及位置关系 第五章一元一次方程 第六章生活中的数据 第七种可能性 北师大版初中数学七年级(下册)各章标题 第一章:整式的运算 第二章平行线与相交线 第三章生活中的数据 第四章概率 第五章三角形 第六章变量之间的关系 第七章生活中的轴对称 北师大版初中数学八年级(上册)各章标题 第一章勾股定理 第二章实数 第三章图形的平移与旋转 第四章四边形性质探索 第五章位置的确定 第六章一次函数 第七章二元一次方程组 第八章数据的代表 北师大版初中数学八年级(下册)各章标题 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 第二章分解因式 第三章分式 第四章相似图形 第五章数据的收集与处理 第六章证明 北师大版初中数学九年级(上册)各章标题 第一章证明(二) 第二章一元二次方程 第三章证明(三) 第四章视图与投影 第五章反比例函数 第六章频率与概率 北师大版初中数学九年级(下册)各章标题 第一章直角三角形边的关系 第二章二次函数 第三章圆 第四章统计与概率 北师大版初中数学七年级(上册)各章知识点 第一章丰富图形世界 1、生活中常见的几何体:圆柱、、正方体、长方体、、球 2、常见几何体的分类:球体、柱体(圆柱、棱柱、正方体、长方体)、锥体(圆锥、棱锥) 3、平面图形折成立体图形应注意:侧面的个数与底面图形的边数相等。 4、圆柱的侧面展开图是一个长方形;表面全部展开是两个和一个;圆锥的表面全部展开图是一个和一个;正方体表面展开图是一个和两个小正方形,;长方形的展开图是一个大和两个。 5、特殊立体图形的截面图形: (1)长方体、正方形的截面是:三角形、四边形(长方形、正方形、梯形、平行四边形)、五边形、。 (2)圆柱的截面是:、圆 (3)圆锥的截面是:三角形、。 (4)球的截面是: 6、我们经常把从看到的图形叫做主视图,从看到的图叫做左视图,从看到的图叫做俯视图。 7、常见立体图形的俯视图 几何体长方体正方体圆锥圆柱球 主视图正方形长方形 俯视图长方形圆圆 左视图长方形正方形 8、点动成,线动成,面动成。 第二章有理数 1 、正数与负数 在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。 初中数学知识点汇总(最新版) 初中数学知识点总汇 一、数与代数A:数与式: 1:有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。 在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算:加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2:实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 七年级数学(上)知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章、有理数 知识概念 1.有理数: (1)凡能写成形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、)0p q ,p (p q ≠为整数且负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;- a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类: ① ② ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数???????????????负分数正分数分数负整数 零正整数整数有理数2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2) 绝对值可表示为:或 ;绝对值的问题经常分类讨论;?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a ???<-≥=)0a (a )0a (a a 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a≠0,那么的倒数是;若ab=1? a 、b 互为倒数;若ab=-1? a 、b 互为负倒数.a a 17. 有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)一个数与0相加,仍得这个数. 8.有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b )+c=a+(b+c ). 9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b ). 10 有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零; (3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba ;(2)乘法的结合律:(ab )c=a (bc ); (3)乘法的分配律:a (b+c )=ab+ac . 12.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,.无意义即0 a 13.有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数; 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0人教版初中数学知识点汇总中考复习用(最新最全)
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