梁的强度校核
《工程力学》参考习题解析
2011年课程考试复习题及参考答案工程力学计算题：1.梁结构尺寸、受力如图所示，不计梁重，已知q=10kN/m，M=10kN·m，求A、B、C处的约束力。
2.铸铁T梁的载荷及横截面尺寸如图所示，C为截面形心。
已知I z=60125000mm4，y C=157.5mm，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa。
试求：①画梁的剪力图、弯矩图。
②按正应力强度条件校核梁的强度。
3.传动轴如图所示。
已知F r=2KN，F t=5KN，M=1KN·m，l=600mm，齿轮直径D=400mm，轴的[σ]=100MPa。
试求：①力偶M的大小；②作AB轴各基本变形的内力图。
③用第三强度理论设计轴AB的直径d。
4.图示外伸梁由铸铁制成，截面形状如图示。
已知I z=4500cm4，y1=7.14cm，y2=12.86cm，材料许用压应力[σc]=120MPa，许用拉应力[σt]=35MPa，a=1m。
试求：①画梁的剪力图、弯矩图。
②按正应力强度条件确定梁截荷P。
5.如图6所示，钢制直角拐轴，已知铅垂力F1，水平力F2，实心轴AB的直径d，长度l，拐臂的长度a。
试求：①作AB轴各基本变形的内力图。
②计算AB轴危险点的第三强度理论相当应力。
6.图所示结构，载荷P=50KkN，AB杆的直径d=40mm，长度l=1000mm，两端铰支。
已知材料E=200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，稳定安全系数n st=2.0，[σ]=140MPa。
试校核AB杆是否安全。
7.铸铁梁如图5，单位为mm，已知I z=10180cm4，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa，试求：①画梁的剪力图、弯矩图。
②按正应力强度条件确定梁截荷P。
8.图所示直径d=100mm的圆轴受轴向力F=700kN与力偶M=6kN·m的作用。
平衡梁计算及校核
平衡梁计算及校核3.5.2场地基础的处理1．在吊机定位，吊机作业周围的其他钢结构设备基础暂缓施工，待设备吊装结束后进行施工。
2．300吨吊机的每个支腿与处理过的路基上放上四块双面路基板，在此路基板上再设置300吨吊机的专用路基板。
3．300吨吊机与150吨吊行车范围及设备进场的场地道路应加固处理，采用换垫层法使其具有一定的地耐力，开挖一定的面积，开挖深度约1米，以除去松软的回填土，挖至老土为准，再在上面铺设大石块约800毫米厚，并用压路机压实压平，然后再在大石块上铺约200毫米厚，再用压路机来回数次的压实压平，表面一定要处理平整，具体要求详见(图8)。
4．150吨履带吊的定位与行走区域范围场地道路处理后，并在处理过的路基上要铺设双面路基板，以增强和扩大地基的承载能力和受力面。
5．根据吊机的有关资料及设备重量和吊索的重量300吨吊机每个支腿最大的承载148吨。
P1+P2+P3+P4+P5+P64（79+120+124.9+1+3.8+0.34）/ 4 = 329/4=82.3吨P1：主吊机的自重量79吨P2：主吊机的配重重量120吨P3：设备的重量124.9吨P4：吊索具的重量1吨P5：吊钩的重量 3.8吨P6：设备群座支撑用钢管的重量Ø219×10 0.34吨3.6吊机性能选用详见氧氯化反应器吊装立面图（6、7）3.6.1主吊机选用DEMAG-TC2000型300吨桁架式汽车吊。
1)吊装总重量的计算G1.设备重量G1 =124.9吨2.吊钩重量G2 =3.8吨3.主吊索具的重量Ø60.5-6×37-170 G3 =1.027吨4.群座支撑钢管的重量Ø219×10 G4 =0.35吨5.底部吊索具的重量Ø56-6×37-170 G5 =0.23吨6.卸扣的重量75吨级5只G6 =0.72吨7.吊梁重量G7=1.5吨8.G=G1+G2+G3+G4+G5+G6+G7=132.5吨符合吊机性能要求。
梁弯曲时的强度计算
max
2、正应力强度条件
max
M max Wz
3、正应力强度计算 ①强度校核： M
max
max
Wz
②设计截面：
Wz
M max
max
③确定许可荷载：MFra bibliotek Wz
三、正应力强度条件
1、危险点的应力——最大正应力 弯矩绝对值最大的截面称为危险截面，危 险截面上最大正应力的点（截面的上下边缘） 称为危险点。 Iz 令： Wz 则： M
max
Wz ymax 式中 Wz 称为抗弯截面模量，它是一个与截面形状和 3 mm3 尺寸有关的几何量，单位为 m 或
工程中常见弯曲实例
中 性 层 与 中 性 轴 图 示
二、梁横截面上的正应力 梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性 轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高 度按线性规律分布。中性轴上各点的正应力为 零。上、下边缘正应力最大。
My Iz
——梁横截面上的正应力
y——所求正应力的点到中 性轴的垂直距离 I z ——横截面对中性轴的惯性矩
梁横截面上的正应力y所求正应力的点到中性轴的垂直距离横截面对中性轴的惯性矩三正应力强度条件1危险点的应力最大正应力弯矩绝对值最大的截面称为危险截面危险截面上最大正应力的点截面的上下边缘称为危险点
§6—7 梁弯曲时的强度计算
水利工程系 丁灿辉
一、基本概念
1、纯弯曲与横力弯曲 平面弯曲时，某梁段各横截面上只有弯矩而没有 剪力，这种弯曲称为纯弯曲。如果既有弯矩又有剪 力则称为横力弯曲。 2、中性层与中性轴 假设梁是由无数层纵向纤维组成的，且各层纤维 互不挤压。发生纯弯曲时，上部各层纤维缩短，下 部各层纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长也不 缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中 性轴。中性轴将横截面分为受压区和受拉区。
梁的强度校核
Wz
M max
62.4103 N m 170106 Pa
367106
m3
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5
而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需 的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应
力[]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。
现加以检验：
max
62.4103 N m 2 178106 m3
175106 Pa 175 MPa
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，q 0.005 ~ 0.001 rad 。
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2
例题1 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既
满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
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(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增 大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截 面。
.梁、楼板处铝合金模板抗弯强度以及挠度校核
铝合金模板安全专项施工方案- 1 -．梁、楼板处铝合金模板抗弯强度以及挠度校核（1）结合本项目结构施工图，以及广亚铝模板特点，选出梁尺寸200mm*1000 m m ，跨度为1200mm 最不利情况进行梁底处铝合金模板抗弯强度以及挠度校核 梁截面（b*h ）为200*1000mm ，跨度为1200mm 。
模板及支架的强度验算时按简支受力计算，计算简图如下：S=1.2（NG1k + NG2k ）+0.9*1.4∑NQK P=1.2*（24*0. 2 +1.1*1）+0.9*1.4*(1+2) =10.86KN/m2梁底板处铝合金模板最大支撑间距为跨度1200，跨中弯矩M 为： M=1*ql2/8=2.17*0.82/8=0.173K.m其中，q 为恒荷载均布线荷载标准值；对于200mm 标准板均布线荷载q=10.86*0.2=2.17KN/m. 最大弯曲应力：f= M/W=0.173*106/12571=13.81 N/mm2 <[f]=200N/mm2, 模板及支架的强度满足设计要求。
铝合金模板挠度应满足： v=5qgL4/384EIx<= [v]其中，为恒荷载均布线荷载标准值；[v]为允许挠度。
由规范可知[v]=L/250=1200/250=4.8mm计算得v=5qgL4/384EIx=5*2.17*8004/(384*70000*609925) =0.27m m<4.8mm ，满足要求。
抗剪强度计算T=3Q/2bh<[T]由于是简支梁均布加载，故面板抗剪强度必定满足设计要求！ （2）楼板处铝合金模板抗弯强度以及挠度校核针对广亚铝模板的特点，以及本项目的需要，这里主要校核：规格为Ｐ400，长度为1100 mm这种最不利的情况，楼板厚度取120m m。
楼板模板规格为Ｐ400，长度为1100mm。
模板及支架的强度验算时按简支受力计算，计算简图如下：S=1.2（NG1k + NG2k）+0.9*1.4∑NQKP=1.2*（24*0. 12 +1.1*0.12）+0.9*1.4*(1+2)=7.39KN/m2楼板处铝合金模板最大支撑间距为跨度1100，跨中弯矩M为：M=1*ql2/8=2.96*1.1^2/8=0.447 KN.m其中，q为恒荷载均布线荷载标准值；对于400mm标准板均布线荷载q=7.39*0.4=2.96 KN/m最大弯曲应力：f= M/W= 0.447*10^6/24786 =18.03 N/mm2 <[f]=200N/mm2,模板及支架的强度满足设计要求。
梁的强度校核
wD
wE
qa4 8EI
q(l 2a)3 24EI
a
qa2 2
(l
2a)
2EI
a
0.000 207 ql4 ()
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EI
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所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加 梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自 由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰 支座。
其值小于许用切应力[]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
2019/7/29应力强度条件。
8
3. 按刚度条件校核
此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截
面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座
的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计
要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，q 0.005 ~ 0.001 rad 。
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2
例题1 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既
满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
于是
max
(
FS,m
ax
/
2)S
z,m
扁担梁的强度校核与优化
５ ０卷
增 刊
宫
晨 ， 等 ： 扁 担 梁 的 强 度 校 核 与优 化
３３ ４
１ 牵 引方 案 ． １ 该上部模 块 设计 吊重 为 ５ ５，每 根扁 担梁 重约 ３ ． 。该模 块 在滑道 上 的跨距 、重心位 置 、两滑 ２ｔ ６４ ｔ
道 的 反力见 图 ｌ 。
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，
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，
Ｌ 。 ：
法 ，都要进行 牵 引作业 。在牵 引之 前都 要编 制一个 工艺方 案 ，以便 牵 引工 作顺利 进行 。
导 管架 或组 块 的牵 引工 具有 两种 ：一种 是线性 绞 车 ，另 一种 是卷 扬机 配 合滑 轮组 。线 性绞 车输 出的牵 引力 比较大 ， 一般 用 于较重 的 导管架 或组块 直接将 其 牵 引上 船 。 用卷 扬机配 合滑轮 组作业 时， 使
一
般会 选择 扁担梁 使导 管架 或组 块产 生整体 平移 。
ｌ 扁担梁 的校核
青 岛场 地部分 已完 成项 目的牵 引 量 以及 所使用 的 设备见 表 １ 下面 对青 岛公 司建造 的某上 部模 块 ， 牵 引中使 用的扁 担梁强 度进 行校 核 。
表 ｌ海 工 青 岛 公 司 己完 成 的项 目所 用 的牵 引设 备
宫 晨 、李黎 霞、谢媛媛 、刘全刚 、卫旭敏
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
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σ max
(
)
超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。
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6
2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为
[σ ]
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而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需 的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应 力[σ]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验： 62.4 × 103 N ⋅ m = = 175 ×106 Pa = 175 MPa 2 × 178 × 10 −6 m 3
其值小于许用切应力[τ]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切
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应力强度条件。
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3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截 面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录Ⅳ序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座 的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计 算公式为 Fb 3l 2 − 4b 2 wC = 48EI
§5-5梁的刚度校核 .提高弯曲刚度的措施
Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)：
wmax w ≤ l l
θ max ≤ [θ ]
w 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠 l 跨比)，[θ]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度
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每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 于是
τ max =
( FS,max / 2) S z∗,max Izd
(69 × 103 N) × 104 × 10-6 m 3 = (1780 ×10-8 m 4 )(7 × 10 −3 m)
= 57.6 × 106 Pa = 57.6 MPa
条件。
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1
1 1 w ~ 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， = 。在 l 250 1000 机械工程中，对于主要的轴， w = 1 ~ 1 ；对于传动轴还 l 5000 10000
要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，θ ] = 0.005 ~ 0.001 rad 。 [
2 = 104 000 mm 3
7
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* S z ,max 的值也可按下式得出： 当然，
* z , max
S
(100 − 11) mm 11 = 73 mm × 11 mm × 100 − mm + (100 − 11) mm × 7 mm × 2 2 = 104000 mm 3
(
) )
9
可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为 Fa 3l 2 − 4a 2 wC = 48EI
(
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于是由叠加原理可得 1 wmax ≈ wC = [ 120 × 103 N (0.4 m )× 3 × 2.4 2 m 2 − 4 × 0.4 2 m 2 + 48EI 30 ×103 N (0.8 m )× 3 × 2.4 2 m 2 − 4 × 0.82 m 2 +
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2
例题1 例题1 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既 满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[σ]=170
1 w 。 MPa，[τ]=100 MPa，E=210 GPa， = l 400
•
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3
•
解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型 号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然 后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作 更改。
而此时外伸端D和E的挠度也仅为
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qa 2 2 (l − 2a ) 4 3 qa q (l − 2a ) wD = wE = − ×a + ×a 8 EI 24 EI 2 EI ql 4 = −0.000 207 (↑) EI
14
所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加 梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂11-11-7
4
1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩 图如图c和图e。最大弯矩 在距左支座0.8 m处， Mmax=62.4 kN·m。梁所需 的弯曲截面系数为 Wz ≥ M max 62.4 × 103 N ⋅ m = = 367 × 10 −6 m 3 170 × 106 Pa
(
)(
)
而许可挠度为
1 w [w] = × l = × 2.4 m = 6 ×10−3 m 400 l
由于wmax<[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。
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Ⅱ. 提高梁的刚度的措施 (1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增 大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截 面。
FS,max 2 138 kN = = 69 × 103 N 2
每根20a号槽钢其横截面在中性轴一 侧的面积对中性轴的静矩，根据该号 槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：
S
* z , max
(100 − 11) mm = (73 mm ×100 mm × 50 mm ) − (100 − 11) mm × (73 − 7 ) mm ×
(
)
(
)
( ) ( (40 ×10 N )(0.9 m)× (3 × 2.4 m (12 ×10 N )(0.6 m)× (3 × 2.4 m
3 2 3 2
2
2
) − 4 × 0.9 m ) + − 4 × 0.6 m )]
2 2 2 2
1671× 103 N ⋅ m 2 = = 4.66 ×10 −3 m 48 210 ×109 Pa 2 ×1 780 × 10 −8 m 4
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(2) 调整跨长和改变结构的体系 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 ql 2 = = 0.125ql 2 8 5ql 4 ql 4 = = 0.0130 384 EI EI
M max
wmax
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如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所 示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为
(a)
M max = M C = M A = M B qa 2 = = 0.0214ql 2 2
而且跨中挠度减小为
wmax = wC
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(l − 2a )4 5q =
384 EI
qa 2 (l − 2a )2 2 − 2× 16 EI
13
ql 4 = 0.000 616 EI