高中数学人教A版必修第一册《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》课件PPT
新知探究
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么． （1）y＝cos x＋1，x∈R； （2）y＝－3sin 2x，x∈R． 解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． 就是使函数y＝cos x，x∈R取得最小值的x的集合
（1）sin( π )与sin( π ) ；
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（1）因为 π π π 0 ， 2 18 10
正弦函数y＝sinx在区间 π2，0 上单调递增，
所以 sin( π ) sin( π ) ．
18
10
新知探究
例2 不通过求值，比较下列各数的大小：
{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z}；
函数y＝cos x＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
新知探究
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么． （1）y＝cos x＋1，x∈R； （2）y＝－3sin 2x，x∈R． 解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
（2）令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合，
就是使y＝sin
z，z∈R取得最小值的z的集合
z
z
π 2
2kπ，k
Z．
新知探究
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．
（1）y＝cos x＋1，x∈R；
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第二课时
新知探究
问题1 对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观
察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．
正弦函数
余弦函数
定义域 值域
R [－1，1]
R [－1，1]
图象
周期 奇偶性
2π 奇函数
2π 偶函数
新知探究
问题1 对于一般的函数，我们一般要研究其哪些性质？观
45
5
4
新知探究
例3
求函数
y
sin
1 2
x
π 3
，x
2π，2π
的单调递增区间．
解：令
z
1 2
x
π ，x 3
2π，2π
，则 z
2π ，4π 33
．
因为
y
sin
z，z
2π 3
，4π 3
的单调递增区间是
z
π 2
，π 2
，
且由 π ≤ 1 x π ≤ π 得 5π ≤ x ≤ π ，
22 32 3
（2）y＝－3sin 2x，x∈R．
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
由 2x z π 2kπ ，得 x π kπ ．
2
4
所以y＝－3sin
2x，x∈R取得最大值的x的集合是 x
x
π 4
kπ，k
Z．
新知探究
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．
π ，3π 22
，π，π
，这两个区间Βιβλιοθήκη 距离原点最近，我们相对更熟悉一点．
新知探究
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么． （1）y＝cos x＋1，x∈R； （2）y＝－3sin 2x，x∈R． 解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值． （1）使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最大值的x的集合， 就是使函数y＝cos x，x∈R取得最大值的x的集合{x｜x＝2kπ，k∈Z}； 使函数y＝cos x＋1，x∈R取得最小值的x的集合，
察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格．
对称轴 对称中心 单调递增区间 单调递减区间 最大值点 最小值点
正弦函数 x π kπ，k Z
2 (kπ，0) ，k Z
π 2
2kπ，π 2
2kπ ，k
Z
π 2
2kπ，3π 2
2kπ ，k
Z
x π 2kπ，k Z 2
x 3π 2kπ，k Z 2
3
所以，函数
y
sin
1 2
x
π 3
，x
2π，2π 的
单调递增区间是
5π ，π 33
．
新知探究
变式
求函数
y
sin
π 3
1 2
x ，x
2π，2π 的单调递增区间．
解：令
z
π x，x 2π，2π
32
，则
z
2π 3
，4π 3
．
因为
y
sin
z，z
2π ，4π 33
的单调递增区间是
z
2π ， 3
（1）sin( π )与sin( π ) ；
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（2）cos( 23π ) cos 23π cos 3π ，cos(17π ) cos17π cos π，
5
5
5
4
4
4
且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，
所以 cos π >cos 3π，cos( 23π ) cos(17π) ．
x
，x
2π，2π
的单调递增区间是
5π 3
，2π
，2π，π3
．
归纳小结
问题3 教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的 问题： （1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状？它们具有什么性质？ 请结合一个具体的函数谈一谈．
（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的？又是如何研究 它的性质的？余弦函数呢？
（1）y＝cos x＋1，x∈R；
（2）y＝－3sin 2x，x∈R．
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值．
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是
x
x
π 4
kπ，k
Z．
函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．
新知探究
例2 不通过求值，比较下列各数的大小：
（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认 识？对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会？
π 2
π ，4π 23
，
且由 2π ≤ π 1 x ≤ - π 或 π ≤ π 1 x ≤ 4π 得
3 32
2 2 32 3
2π ≤ x ≤ π 或 5π ≤ x ≤ 2π ， 33
新知探究
变式
求函数
y
sin
π 3
1 2
x ，x
2π，2π 的单调递增区间．
所以，函数
y
sin
π 3
1 2
余弦函数 x kπ，k Z ( π kπ，0) ，k Z 2
(2k 1)π，2kπ，k Z
2kπ，(2k 1)π，k Z
x 2kπ，k Z x (2k 1)π，k Z
新知探究
问题2 教科书分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函 数的单调性？为什么？
正弦、余弦函数选择的区间分别为
合集下载
高一上学期数学人教A版必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件
1
1
其值从____增大到____；
2k, 2k,k Z
在每个闭区间____________________上都是减函数，
1
1
其值从____减小到____.
探 索 新 知
正弦函数的最大值与最小值
y sin x
y
1
-3
5
2
-2
3
2
-
o
2
x
2
3
2
2
5
偶函数
2
对称轴：
x k , k Z
对称中心：(
2
k , 0) k Z
2
2
值从1减小到-1.
余弦函数可以得到怎样类似的结论呢？
探 索 新 知
余弦函数的单调性
= cos
1
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
2k,2k,k Z
余弦函数在每个闭区间____________________上都是增函数，
当x 2k (k z )时，
cos x有最小值 1，
此时，y cos x 1有最小值 1 1 0.
所以，当x x | x 2k , k z，y cos x 1有最大值2；
当x x | x 2k , k z, y cos x 1有最小值0.
） = cos
， cos
4
4
4
5
5
3
又∵0< <
1
其值从____增大到____；
2k, 2k,k Z
在每个闭区间____________________上都是减函数，
1
1
其值从____减小到____.
探 索 新 知
正弦函数的最大值与最小值
y sin x
y
1
-3
5
2
-2
3
2
-
o
2
x
2
3
2
2
5
偶函数
2
对称轴：
x k , k Z
对称中心：(
2
k , 0) k Z
2
2
值从1减小到-1.
余弦函数可以得到怎样类似的结论呢？
探 索 新 知
余弦函数的单调性
= cos
1
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
2k,2k,k Z
余弦函数在每个闭区间____________________上都是增函数，
当x 2k (k z )时，
cos x有最小值 1，
此时，y cos x 1有最小值 1 1 0.
所以，当x x | x 2k , k z，y cos x 1有最大值2；
当x x | x 2k , k z, y cos x 1有最小值0.
） = cos
， cos
4
4
4
5
5
3
又∵0< <
新教材人教A版必修第一册 5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一) 课件(32张)
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第五章 三角函数
基础自测
1．下列函数中，周期为π2的是( D )
A．y＝sin2x
B．y＝sin2x
C．y＝cos4x
D．y＝cos4x
数学(必修 · 第一册 · RJA)
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[解析] A 项中，sin2x＋2π＝sinx＋24π＝sin2x，故 T＝4π；B 项中， sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故 T＝π；
关键能力·攻重难
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
题型一 三角函数的周期
题型探究
例 1 求下列函数的周期： (1)y＝sin12x；(2)y＝2sin3x－π6；(3)y＝|cosx|，x∈R. [分析] 可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式 T＝|2ωπ|直接求 解．
2
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第五章 三角函数
(2)解法 1：∵2sin3x－π6＋2π＝2sin3x－π6， ∴2sin31x＋6π－π6＝2sin3x－π6， ∴y＝2sin3x－π6的周期是 6π. 解法 2：∵ω＝13，∴T＝21π＝6π.
3
数学(必修 · 第一册 · RJA)
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第五章 三角函数
(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，
数学(必修 · 第一册 · RJA)
由图象可知，y＝|cosx|的周期为 π.
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第五章 三角函数
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都 满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
高中数学人教A版必修第一册课件5.4.2 正、余弦函数的性质 课件(共15张PPT)
到1。即正弦函数
在区间
上单调递增;
所以，正弦函数 上单调递减.
在区间
上单调递增，在区间
正弦函数的单调区间：
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：
正弦函数在每一个闭区间
上都单调递增，其值从-1增
大到1；在每一个闭区间
上都单调递减，其值从1减小到-1.
3
所以，函数
y
sin
1 2
x
π 3
，x
2π，2π 的
单调递增区间是
5π ，π 33
．
练习
1. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值.
(1) y=-3sin 2x，x∈R；
(2) y=cos x+1，x∈R；
解： (1)令z=2x，使函数y=-3sin z取得最大值z的集合，就是使y=sin z取得最
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（1）因为 π π π 0 ， 2 18 10
正弦函数y＝sinx在区间 π2，0 上单调递增，
所以 sin( π ) sin( π ) ．
18
10
例1 不通过求值，比较下列各数的大小：
（1）sin( π )与sin( π ) ；
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（2）cos( 23π ) cos 23π cos 3π ，cos(17π ) cos17π cos π，
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
y=sinx
1
9 2
7 2
5 2
3 2
2
o
-1
2 3
4 x
正弦曲线
-2
-
余弦曲线
-2
-
y y sinx , x R
1
x
o
2 3
4
-1 y1
定义域：R
y cosx , x R 值域：[-1,1]
o
2
3
x
-1
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应该抓住哪些关键点？
y
1
o
2
3 2
2 x
-1
五个关键点:
3 5 11 2
6
3
2
36
6
3
2
3
6
-1
y
1
x
o1
o
632
2 5 36
7 4 3 5 11 2
6
3
23
6
-1
y
1
x
o1
o
632
2 5 36
7 4 3 5 11 2
6
3
23
6
-1
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
sin(x+2k)=sinx, kZ
y=sinx， x[0,2]
2
1 画出 y＝sin x 的图象和直线 y＝ .
2
1
1
可知 sin x≥ 的解集为 y＝sin x 图象与直线 y＝ 的交点及上方部分的集合，即
2
2
π
5π
函数定义域为{x| ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}．
6
6
02
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)高一数学(人教A版必修第一册)课件
求的是x的范围
∈
[−, ]的单调递增区间是[− , ].
小结
正弦函数 = ( ∈ )的单调性、最值
∈
∈
− + ， +
+ ， +
−
上单调递增;
上单调递减
当 = + ，取到最大值：1
当 =
+ ，取到最小值：-1
第五章 三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函
数的性质（第二课时）
课程标准
借助单位圆理解三角函数的定义，能画出三角
函数的图像，了解三角函数的周期性、奇偶性、
单调性、最大（小）值。
复习回顾
回顾1 正弦函数、余弦函数的图像是怎样的？请大家在草稿纸上画
出简图。
复习回顾
回顾2 什么是周期函数？正弦函数、余弦函数的周期是多少？它们
∴∈
∈
− + ， + 上单调递增;
+ ， + 上单调递减
最大值：1
最小值：-1
概念生成
正弦函数 = ( ∈ )的单调性
∴∈
∈
− + ， + 上单调递增;
+ ， + 上单调递减
正弦函数 = ( ∈ )的最值
2
是使 = ， ∈ 取得最小值的的集合{| = − + 2, ∈ }.由
高一上学期数学人教A版必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件
=
是否成立？如果这个成立，能否说 是正弦函数
= ∈ 的一个周期？为什么？
【解】等式
+ = 成立，但不能说 是正弦函数 = ∈
的一个周期，因为对定义域内任意，
如
对周期函数与周期定义中的
4
5
3
∴ cos 4 >cos 5
23
17
即cos(− 5 ) < cos( 4 )
(2) cos(−
x在区间0[, ]上单调递减
①可利用三角函数的
单调性比较大小
②如果不在同一个单
调区间，先将两个角
化为同一单调区间
PART 03
课堂练习
题型一 利用函数周期性解决问题
1、求下列函数的周期
隔（2）个单位长度，函数值相等.
那么我们怎样从函数表达式，发现函数的周期性呢？
【定义】一般地，设函数f(x) 的定义域都有为D，如果存在
一个非零常数T，使得对每一个x∈ , 都有x+TD, 且
f(x+T)=f(x).那么函数f(x) 就叫做
周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
示例：说出y=cos x的周期并说明理由.
所以f(x)为奇函数.
2、同理，观察图像或定义可
得：
余弦函数y=cos x为
偶函数
1、函数f(x)=sin x，x∈ 的图像
y
f(x)=sin x
1
−2
−
−1
2
由图像观察，正弦函数是奇函数.
高中数学人教A版必修第一册《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》课件
2
1
0
第四组
5
4
3
2
1
0
5
4
3
2
1
0
5
4
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第五组
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第六组
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第七组
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4
探究一
探究二
7分钟
1.观察正弦函数的图像它的周期是什么？
y= sinx，xR
1
1
0
第四组
5
4
3
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1
0
5
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第五组
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第六组
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第七组
5
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5
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2
1
0
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5
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3
4
探究一
探究二
7分钟
1.观察正弦函数的图像它的周期是什么？
y= sinx，xR
1
高一上学期数学人教A版必修第一册5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件
正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数y=sinx的图象（正弦曲线）：
y
1
-4 -3 -2
- o -1
2
3 4
余弦函数y=cosx的图象（余弦曲线）：
y
1
-4 -3 -2
- o -1
2
3 4
5 x 5 x
“周而复始”的变化规律 sin(x 2k ) sin x(k Z )
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，
2
2.函数f (x)为偶函数且f (x ) f (x), f ( ) 1,则f (5 ) ___ .
2
3
3
若f (x t) f (x),则函数的周期为2t.
《三维设计》通性通法
2.推得函数周期的若干情势
(1)若f (x t) f (x),则函数周期T t. (2)若f (x t) f (x),则函数周期T 2t. (3)若f (x t) 1 ,则函数周期T 2t.
正、余弦函数是周期函数，2k (k Z, 且k 0)都是它的周期
最小正周期 2
如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
二、奇偶性
-4 -3 -2 -4 -3 -2
y
1
- oBiblioteka -1y1- o
-1
2
3 4
5 x
2
3 4
5 x
图象
sin(x) sin x cos(x) cos x
诱导公式
正弦函数y sin x是奇函数，余弦函数y cos x是偶函数.
T 2 | |
练习1：求下列函数的周期
(1) y sin 3 x 4
(4) y sin(1 x )
34
正弦函数y=sinx的图象（正弦曲线）：
y
1
-4 -3 -2
- o -1
2
3 4
余弦函数y=cosx的图象（余弦曲线）：
y
1
-4 -3 -2
- o -1
2
3 4
5 x 5 x
“周而复始”的变化规律 sin(x 2k ) sin x(k Z )
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，
2
2.函数f (x)为偶函数且f (x ) f (x), f ( ) 1,则f (5 ) ___ .
2
3
3
若f (x t) f (x),则函数的周期为2t.
《三维设计》通性通法
2.推得函数周期的若干情势
(1)若f (x t) f (x),则函数周期T t. (2)若f (x t) f (x),则函数周期T 2t. (3)若f (x t) 1 ,则函数周期T 2t.
正、余弦函数是周期函数，2k (k Z, 且k 0)都是它的周期
最小正周期 2
如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
二、奇偶性
-4 -3 -2 -4 -3 -2
y
1
- oBiblioteka -1y1- o
-1
2
3 4
5 x
2
3 4
5 x
图象
sin(x) sin x cos(x) cos x
诱导公式
正弦函数y sin x是奇函数，余弦函数y cos x是偶函数.
T 2 | |
练习1：求下列函数的周期
(1) y sin 3 x 4
(4) y sin(1 x )
34
人教A版高中数学必修一《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》精品课件(共2课时72页)
4．若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(－1)＝2 021，则f(2)＝________. 解析：因为函数f(x)是周期为3的周期函数， 所以f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝2 021. 答案：2 021
题型一 三角函数的周期 【学透用活】
1．对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数， 这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋ 2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，任意一 个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
2.会求正弦函数、余弦函数的周期， 推理和数学抽象素养．
并会应用．
2.通过奇偶性的应用，提升数学运算
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性， 素养.
会判断简单三角函数的奇偶性.
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(一)教材梳理填空 1．函数的周期性：
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T ， 使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周 期函数． 非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那 么这个最小 正数 就叫做f(x)的 最小正周期 ．
题型一 三角函数的周期 【学透用活】
1．对函数最小正周期的两点说明 (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数， 这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋ 2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c，任意一 个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
2.会求正弦函数、余弦函数的周期， 推理和数学抽象素养．
并会应用．
2.通过奇偶性的应用，提升数学运算
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性， 素养.
会判断简单三角函数的奇偶性.
第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(一)教材梳理填空 1．函数的周期性：
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T ， 使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周 期函数． 非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那 么这个最小 正数 就叫做f(x)的 最小正周期 ．