自控原理中高次代数方程近似求根法共21页
自动控制原理简明版根轨迹法ppt课件
n1
i1 s zi j1 s pi
8
仍以上例说明: R(s)
K1(s 2)
C(s)
s2 2s 2
因为
1 1 1
s2 s1 j s1 j
消去分母 s2 4s 2 0
解上式得到 s1 0.586（舍去） s2 3.414
经检验，s2是根轨迹在实轴上的分离点。 对于采用上述三种方法，所得结果完全一致。由于后面
n
pi / n
j1
18
当K1变化时，极点的重心 保持不变。所以，为了平衡
“重心”的位置，当一部分根 轨
迹随着的增加向左方移动时，
另一部分根轨迹将向右方移动.
例
G(s)H(s)
K1
s(s P2 )( s P3 )( s P4 )
Im p4
p2 p3
0 p1 Re
19
10. 根轨迹上K1值的计算
（2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）；
9 走向
当 n m 2, K1 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。
令 dK1 0
ds
s2 2s 2 K1 s 2 s2 4s 2 0
求得 s1 0.586 (舍去)
s2 3.414
C(s)
7
(2)
m 1
n1
i1 s zi j1 s pi
因为
P(s)Q(s) P(s)Q(s) 0
即
P(s) Q(s) P(s) Q(s)
d [ln P(s)] d [lnQ(s)]
d[G1(s)H1(s)] 0或 dK1 0
ds
ds
7 出射角
入射角
复极点处的出射角：
m
n
a 180 (2k 1) i j
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
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第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
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第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
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第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
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第4章 根轨迹法
高次方程求解技巧
高次方程求解技巧高次方程是指多项式方程中最高次项的次数大于1的方程。
求解高次方程有很多技巧和方法，本文将介绍几种常用的高次方程求解技巧。
一、根的性质在求解高次方程时，首先可以利用根的性质来推导方程的解。
多项式方程的根是指使方程成立的数值，也就是多项式方程的解。
根的性质有以下几点：1. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)是方程P(x)的一个因式。
2. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)是方程P(x)的一个因式。
3. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a-x)^2是方程P(x)的一个因式。
4. 如果a是方程P(x)的一个根，那么(a+x)^2是方程P(x)的一个因式。
利用这些根的性质，可以将高次方程进行因式分解，从而求解方程。
二、二次方程求解对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。
求根公式是：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，可以得到二次方程的两个实根或共轭复根。
三、配方法对于形如ax^2+bx+c=0的二次方程，如果无法直接使用求根公式求解，可以使用配方法进行转化。
配方法的基本思想是通过添加或减少一个合适的数使得方程左边变成一个完全平方。
具体步骤如下：1. 如果a不等于1，可以将方程两边同时乘以1/a，得到x^2+(b/a)x+c/a=0。
2. 将方程右边的常数项移到左边，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
3. 添加一个数，使得方程左边变成一个完全平方，即加上(b/2a)^2，得到x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。
4. 将方程左边进行因式分解，得到(x+b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2。
5. 平方根运算，得到x+b/2a=±√(-c/a+(b/2a)^2)。
6. 移项，得到x=-b/2a±√(-c/a+(b/2a)^2)。
通过配方法，可以将二次方程转化为一元二次方程，进而求解方程。
高次方程的解法
高次方程的解法高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程、四次方程等。
解高次方程是数学中的基本技能之一，能够帮助我们研究各种实际问题。
本文将介绍几种解高次方程的方法，包括因式分解、配方法、提取公因式和根的公式等。
一、因式分解法当高次方程可因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程。
举个例子，考虑解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0。
首先，我们观察方程中的常数项6，寻找其因数。
可以得知6的因数有1、2、3和6。
然后我们将这些因数带入方程，并观察是否能够满足等式。
不难发现，当将2和3带入方程时，等式成立。
因此，我们可以得出以下因式分解形式：(x - 2)(x - 3) = 0。
由因式分解的性质可知，当一个方程的乘积等于0时，其中一个因式等于0。
因此，我们可以得到两个解：x - 2 = 0 和 x - 3 = 0。
进一步求解可得x的值，即x = 2和x = 3。
因此，原方程的解为x = 2和x = 3。
二、配方法对于一些特殊的高次方程，我们可以通过配方法来求解。
配方法适用于二次方程以及一些特殊的三次方程，例如x^2 + bx + c = 0。
我们仍以二次方程为例进行讲解。
考虑解方程x^2 - 8x + 12 = 0。
首先，我们观察方程中的系数，将常数项12分解为两个数的乘积，这里可以分解为2和6。
然后我们观察方程中的一次项系数-8，将其写成-2和-6之和。
然后将方程重新写成完全平方的形式：(x - 2)(x - 6) = 0。
继续通过因式分解的性质可以得到x的两个解：x - 2 = 0 和 x - 6 = 0。
求解可得x = 2和x = 6。
因此，原方程的解为x = 2和x = 6。
三、提取公因式法当高次方程中存在公因式时，我们可以通过提取公因式的方式简化方程，并进一步求解。
举个例子，考虑解方程x^3 - 4x^2 + 4x = 0。
首先，我们观察方程中的每一项，可以发现每一项都含有x。
自动控制原理 根轨迹法
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三、根轨迹增益 K r与开环系统增益K的关系 由第三章，系统的开环增益（或开环放大 倍数）为
K lim s G (s) H (s)
s 0
（4-6）
式中 是开环传递函数中含积分环节的个数， 由它来确定该系统是零型系统（ 0）,Ⅰ型系 统（ 1 ）或Ⅱ型系统（ 2 ）等。 将（4-4）代入（4-6）可得
11
根轨迹法的基本任务在于：如何由 已知的开环零、极点的分布及根轨迹增 益，通过图解的方法找出闭环极点。一 旦闭环极点被确定，闭环传递函数的形 式便不难确定，因为闭环零点可由式 （4-5）直接得到。在已知闭环传递函 数的情况下，闭环系统的时间响应可利 用拉氏反变换的方法求出，或利用计算 机直接求解。
5
j
Kr
[s]
P K r 0 1
-2
K r 1
-1
P2 K r 0
0
Kr
图4-1 例4-1的根轨迹
6
当系统参数 K r 为某一确定的值时，闭环系 统特征方程的根在S平面上变化的位臵便可确定， 由此可进一步分析系统的性能。 K r值的变化对闭 环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到， 因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所 以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的 在上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于 二阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征 方程的根就比较困难了。 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征 方程根的影响，就需要大量反复的计算。 1948年伊万斯（W· EVANS）解决了这个问题， R· 提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的 特征方程，只需依据开环传递函数便可会绘制系 统的根轨迹图。
图4-2 控制系统
9高次方程的求根
3
初 等 数
3
学 专 题 研 究
x3 = ω
23
q q q p q p 3 + + +ω + 2 2 2 3 2 3
其中 ω =
2
1 + 3i 2
3
q p 这里 + 叫做方程（2）的判别式。 2 3
（1）当
q p + > 0 时， 2 3
第九讲 高次方程的求根 对于一元方程，人们在获得一次方程、二次方程的求根 公式后，便想寻找一般的n次方程的公式解法，通过努力，在 获得三次、四次方程的求根公式后，寻找五次方程的根式解 法的努力失败了，后来法国年轻的数学家伽罗华证明了次数高 于五次（含五次）的代数方程不可能有求根公式的结论后，人 们才停止了这种搜寻。因此对于高次方程，只能对一些结构 特殊的方程我们可以求出它的初等解，一般的高次方程只能 寻求它的近似解。 本讲主要介绍三次方程的求根公式和称为倒数方程的 求解方法。
a0 ( x 3 +
…③ ③
（次数是最高次数的一半）去除方程③的两边， x3
1 1 1 ) + a1 ( x 2 + 2 ) + a 2 ( x + ) + a 3 = 0 x3 x x
初 等 数 学 专 题 研 究
由于
1 1 3 1 x + 3 = ( x + ) 3( x + ) x x x 1 1 2 2 x + 2 = (x + ) 2 x x 1 所以 作变数替换 y = x + 可以使方程的次数降低一半。 可以使方程的次数降低一半 x
f ( 2) = 3 > 0
高次方程的解法
高次方程的解法高次方程是指次数大于或等于2的方程。
解高次方程是数学中一项重要的技巧和方法，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的高次方程解法，包括因式分解、配方法、代数求解和数值近似等方法。
一、因式分解法因式分解法是解高次方程的一种常见且直接的方法。
当高次方程具有可因式分解的特点时，我们可以通过因式分解将方程化简为一系列一次或二次方程，进而求解。
例如，我们考虑解方程x^2 + 5x + 6 = 0。
我们尝试将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
由此可得x = -2和x = -3，这两个值即为方程的解。
二、配方法配方法是一种常用的解二次方程的方法，但在一些高次方程中同样适用。
配方法的基本思想是通过变量代换和配方，将高次方程转化为一次或二次方程，进而求解。
例如，我们考虑解方程2x^2 + 7x + 3 = 0。
我们可以通过配方法将其转化为(2x + 1)(x + 3) = 0。
由此可得x = -1/2和x = -3，这两个值即为方程的解。
三、代数求解对于一些特定的高次方程，可以通过代数求解的方法来确定其解。
代数求解常用于解三次方程和四次方程等高次方程。
例如，我们考虑解方程x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0。
通过代数求解的方法，我们可以得到方程的一个解x = 1。
然后，我们可以通过带入的方式或使用“辗转相除法”等方法继续求解得到方程的其他解。
四、数值近似对于一些高次方程，特别是次数较高，无法直接求解的情况，我们可以使用数值近似的方法来求解。
数值近似方法可以通过迭代计算和数值逼近等技巧，得到方程的近似解。
例如，我们考虑解方程x^5 + 2x^3 - x - 1 = 0。
由于此方程的次数较高，无法通过常规的代数方法求解。
我们可以通过使用牛顿法或二分法等数值方法，逐步逼近解的数值。
通过多次迭代计算，我们可以得到方程的近似解。
综上所述，高次方程的解法可以通过因式分解、配方法、代数求解和数值近似等多种方法来实现。