专题1.4 函数的周期性、对称性(学生版)

第四讲函数的周期性与对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。

前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx │就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称（二）中心对称1.概念：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，即f(a －x)＝f(a ＋x)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称； (2)若对于R 上的任意x 都有f(2a －x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称； (3)若函数y ＝f(x ＋b)是奇函数，即f(－x ＋b)＋f(x ＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 二、．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．考向一 周期性【例1】（1）若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.（2）已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x 都有f(x ＋2)＝1－f (x )，则f(2 020)＝________.（3）已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x ＋4)＝f(x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________【举一反三】1．设定义在R 上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x ＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f(1)＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f(2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 2.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f(6)＝( )A.－2B.－1C.0D.23．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)等于( )A ．336B ．339C ．1678D ．20124.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x<0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．考向二 对称性【例2】（1）已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x),且y =f(x +3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ． f(−4.5)<f(3.5)<f(12.5)B ． f(3.5)<f(−4.5)<f(12.5)C．f(12.5)<f(3.5)<f(−4.5) D．f(3.5)<f(12.5)<f(−4.5)（2）已知函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，当(−∞,1]时，函数f(x)单调递减，设a=f(log412),b=f(log133),c=f(log39)，则a,b,c的大小关系是（）A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．c<b<a（3）已知函数f(x−1)(x∈R)是偶函数，且函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，当x∈[−1,1]时，f(x)= x−1，则f(2019)=()A．−2 B．−1 C． 0 D． 2【举一反三】1．设函数f(x)的定义域为[0,4]，若f(x)在[0,2]上单调递减，且f(x+2)为偶函数，则下列结论正确的是A．f(e)<f(√5)<f(1) B．f(1)<f(√5)<f(e)C．f(√5)<f(e)<f(1) D．f(√5)<f(1)<f(e)2．定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f(x +1)=f(x −1)； ②函数y =f(x +1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1,x 2∈[0,1]，都有(f (x 1)−f (x 2))(x 1−x 2)>0 则f (32)、f(2)、f(3)从小到大的关系是（ ）A ．f (32)>f(2)>f(3)B ．f(3)>f(2)>f (32) C ．f (32)>f(3)>f(2)D ．f(3)>f (32)>f(2)3．已知f （x ）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f （1-x ）=f （1+x ），f （1）=2，则f （-1）+f （3）=（ ） A ．4B ．0C ．−2D ．−44．已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足g(x)=f (|x −1|)，则函数y =g(x)的图象关于（ ） A ．直线x =−1对称 B ．直线x =1对称C ．原点对称D ．y 轴对称5．已知函数f (x )={sin (π2x)−1,x <0log a x(a >0,且a ≠1),x >0 的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√33) B ．(√55,1) C ．(√33,1) D ．(0,√55) 考向三 函数基本性质的综合运用【例3】 (1)设f(x)是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x<0，ax －1，0<x ≤2，则f(2 021)＝________.（2）已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.（3）已知函数f (x )满足：f (2−x )=f (x )，当x ≥1时，f (x )={2−x,x ∈[1,2),x 2−4,x ∈[2,+∞),若不等式f (x )≥6x +a 恒成立，则实数a 的取值范围是 。

【举一反三】1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为________．2.已知函数g(x)是R 上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x>0，若f(6－x 2)>f(x)，则实数x 的取值范围是________．3.若函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f(ln t)＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f(1)，那么t 的取值范围是________． 4.已知函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f(1－x 2)＋f(5x －7)<0的解集为________．1．若函数f (x )的图像与函数g (x )=10x 的图像关于直线y =x 对称，则f (100)=（ ） A ．10 B ．-1 C ．2 D ．-22．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ．f(2)<f(−1)<f(1) B ．f(1)<f(2)<f(−1) C ．f(1)<f(−1)<f(2)D ．f(2)<f(1)<f(−1)3．函数f(x)满足：①y =f(x +1)为偶函数：②在[1,+∞)上为增函数.若x 2>−1，且x 1+x 2<−2，则f(−x 1)与f(−x 2)的大小关系是( ) A ．f(−x 1)>f(−x 2) B ．f(−x 1)<f(x 2) C ．f(−x 1)≤f(−x 2)D ．不能确定4．已知函数f (x)=f (π−x ),且当x ∈(−π2,π2)时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则 A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<b<aD ．c<a<b5．已知函数f(x)=x 2+log 2|x |，则不等式f(x +1)−f(2)<0的解集为（ ）A ．(−3,−1)∪(−1,1)B ．（−3,1）C ．(−∞,−1)∪(3,+∞)D ．(−1,1)∪(1,3)6．已知函数y =f(x +1)关于直线x =−1对称，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，a =f (−log 315)，b =f (−2−0.3)，c =f (2log 32)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a7．已知函数f (x )为偶函数，且函数f (x )与g (x )的图象关于直线y =x 对称，若g (2)=3，则f (−3)= A ．−2 B ．2 C ．−3 D ．38．已知定义在R 上的函数f (x )在[1,+∞)上单调递减，且f (x +1)是偶函数，不等式f (m +2)≥f (x −1)对任意的x ∈[−1,0]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[−3,1]B ．[−4,2]C ．(−∞,−3]∪[1,+∞)D ．(−∞,−4]∪[2,+∞) 9．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x ≥1时，f(x)＝lnx ，则有A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13)10．已知函数f (x )的定义域为R 的奇函数，当x ∈[0,1]时， f (x )=x 3，且∀x ∈R ， f (x )=f (2−x )，则f (2017.5)= A ．−18B ．18C ．0D ．111．函数y =f(x)的图象关于直线x =2对称，如图所示，则方程(f(x))2−5f(x)+6=0的所有根之和为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．212．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．613．已知函数f(x)=m3x −1−52的图象关于(0,2)对称，则f(x)>11的解集为（ ） A ．(−1,0)B ．(−1,0)∪(0,1)C ．(−1,0)∪(0,+∞)D ．(−1,0)∪(1,+∞)14．已知定义域R 的奇函数f (x )的图像关于直线x =1对称,且当0≤x ≤1时,f (x )=x 3,则f (52)=（ ）A ．−278B ．−18C ．18D ．27815．已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减，且f(x +3)是偶函数，则a =f(0.31.1)，b =f(30.5)，c =f(0)的大小关系是（ ） A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c16．若函数y =6lnx 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的λ(λ>0)倍，所得函数的图象与函数y =−(x +2)2+a 图象上存在关于原点对称的点，且a 的最小值为1−3ln3，则实数λ=( ) A ．√3B ．2C ．3D ．917．已知函数f(x)=e x+a+e−x−a2(a∈R)满足f(x+2)=f(2−x)，则f(0)=()A．e 2+12eB．e4+12e2C．e2+12D．e4+1218．已知函数f(x)=log2|2x−a|(a∈R)满足f(x+1)=f(1−x)，则f(0)=()A．2 B．1 C．0 D．−119．已知函数y=f(x+1)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[1,+∞)上单调递减，则不等式f(2x−1)>f(x+2)的解集为（）A．(−∞,3) B．(12,3) C．(−13,3) D．(13,3)20．已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(2018)的值为()A．−2 B．−1 C．0 D．121．已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减，且f(x+3)是偶函数，则a=f(log32)，b=f(30.5)，c=f(log264)的大小关系是()A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c22．已知函数f(x)=1x+1+x+a−1是以(−1,−1)为中心的中心对称图形，g(x)=e bx+ax2+bx，曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的切线互相垂直，则a+b=__________．23．已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f (x)，且f (x＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x)＜e x的解集为________．24．已知定义在R上的偶函数y=f(x+2)，其图像连续不间断，当x>2时，函数y=f(x)是单调函数，则满足f(x)=f(1−1x+4)的所有x之积为______．25．已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)，当x1,x2∈[0,3]，且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>0，给出如下命题：①f(3)=0；②直线x=−6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；③函数y=f(x)在[−9,−6]上为增函数；④函数y=f(x)在[−9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为。