二次函数临界问题(教师版)
第二讲 临界知识问题
为等边 ( )
三角形”的 A．必要不充分条件 C．充要条件 B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
临界知识问题
结
束
a b c 解析：注意到0＜a≤b≤c，则有 b ≤1， c ≤1， a ≥1， max
临界知识问题
结
束
2．最值函数 定义1：最大值、最小值 设a，b∈R，记min{a，b}为
a，b中较小的数，max{a，b}为a，b中较大的数．若a＝b， 则min{a，b}＝max{a，b}＝a＝b. 定义2：最大函数、最小函数 设f(x)，g(x)均为定义在I
上的函数，记min{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较小的函数， max{f(x)，g(x)}为f(x)，g(x)中值较大的函数．若f(x)＝g(x)， 则min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)．
临界知识问题
结
束
解析：对于①，取Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，a＝(1,0)，则a为Ω的 向量周期，但－a＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题； 易知②是真命题； 对于③，任取点P(xP，yP)∈Ω，则存在点Q(xP＋1，yP＋2)∈Ω， 所以b是Ω的一个向量周期，故③是真命题； 对于④，任取点P(xP，yP)∈Ω，则[yP]－[xP]＝0，存在点Q(xP＋ 1，yP＋1)，所以[yP＋1]－[xP＋1]＝[yP]＋1－([xP]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c是Ω的一个向量周期，故④是真命题． 综上，真命题为②③④.
[答案] B
临界知识问题
结
束
[点评]
本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新
二次函数临界问题(教师版)
二次函数临界问题一、内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。
重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形结合的数形结合能力。
本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问题的数学经验是核心。
二、典型例题例1. 在平面直角坐标系中，已知A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：（1）若一次函数y=-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为___1≤b≤5__.（2）若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_k≤-1/3或k≥1（3）若二次函数y=ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为___a≥2/9______.（4）若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为__-7≤c≤2___.小结：以上四个问题具有什么共同点？区别又是什么?解题过程中有哪些相同的步骤？都有线段AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。
相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态4、代入临界点求出范围5、检验临界点合理性思考：以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化？例2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=m(x-1)2-1（m＞0）与x轴的交点为A，B．定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段AB上（包括端点）恰有5个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．分析：临界位置（1）与x轴两交点为x=-1或x=3，可以取到x=3时,y=4m-1≤0, m≤1/4（2）与x轴两交点为x=-2或x=4，不可以取到x=3时,y=9m-1>0, m>1/9 综上，1/9<m ≤1/4例3：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），记抛物线在D 、F 之间的部分为图象G （包含D 、F 两点），若直线y=kx -1与图象G 有两个公共点，请结合函数图象，求k 的值或取值范围.分析：临界位置（1） 平行于x 轴，k=0, 不可以取到 （2） 过点（3,0），k=1/3，可以取到 综上：0<k ≤1/3变式：抛物线 y=x 2-4x+3 与 y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x 轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y =x +b 与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b 的值或取值范围.b<-13/4或 b>-3例4：（1）已知：21223,y x x y kx b =--=+，若只有当22x -<<时，12y y <，则2y 解析式为 __2y = -2x+1________．（2）将223(0)y x x y =--≤的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y kx b =+.设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当13m <<时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出b 的值____6或-6______________．（3）已知：221223,(0)y x x y ax bx c a =--=++≠，设点H(m,0)是x 轴上一动点，过点H 作x 轴的垂线，交1y 于点P ，交2y 于点Q ．若只有当13m -<<时，点P 在点Q 下方，请写出一个符合题意的2y 解析式_2y _= -x 2+2x+3__（满足y=a(x+1）(x-3),其中a<0开口向下或者0<a<1开口大于y 1即可)． （4）已知：1221,y x y x m =+=+，若当1x >时，12y y >，请写出一个符合题意的m 的值__m=0 (只需交点横坐标m-1≤1即可，即m ≤2)_________．小结解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形；2、对于不确定的图形，确定其运动方式；3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）；4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）；5、检验边界合理性.三、真题演练1（2016北京27题）27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为A ,B .(1)求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
临界条件-教师版
临界条件和极值（教师版）授课时间：授课教师：卢老师教学重点：高考提示：教学过程：1.当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。
2.解答临界问题的关键是找临界条件。
许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。
3.有时，有些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。
4.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力求准确把握题目的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。
题型一：竖直平面内作圆周运动的临界问题解决这类问题需要注意：我们不能只盯着最高点，而要对小球作全面的、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能保证它在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。
这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。
［例1］如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h 的A 处静止开始下滑，沿轨道ABC 运动后进入圆环内作圆周运动。
已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R ，斜面倾角为θ，s BC =2R 。
若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？［解析］小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F ，如图所示。
可知F ＝1.25mg ，方向与竖直方向左偏下37º，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D 点，若恰好能通过D 点，即达到D 点时球与环的弹力恰好为零。
由圆周运动知识得：R v m FD 2= 即：R v m mg D225.1=由动能定理有：221)37sin 2cot (43)37cos (D mv R R h mg R R h mg =︒++⨯-︒--θ联立①、②可求出此时的高度h 。
微专题(四) 二次函数的交点问题 课件 2025年九年级中考数学人教版一轮复习(广西)
2025版
数学
②当抛物线经过点B时，
将点B(3，3)代入y＝x2－2bx＋b2－1中，得
3＝9－6b＋b2－1，解得b＝1或b＝5，
∵抛物线与线段AB有两个交点，
∴抛物线对称轴在点B左侧．
∴b<3，∴b＝1.
综上所述，b的取值范围为0≤b≤1.
广西专版
2025版
数学
广西专版
当点D位于点D1处时，线段CD与该抛物线只有一个交点，当点D位于D1
点上方，即点D2处时，线段CD与该抛物线没有交点，
当点D位于点D1下方，即点D3处时，线段CD与该抛物线只有一个交点，
当x＝3时，y＝4，∴D1(3，4)，
∴m的取值范围为m≤4.
2025版
数学
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(2)点E(2，－4)和点F(t，4)，若线段EF与此抛物线只有一个交点，则t的
(2)若抛物线与线段AB有两个交点，求b的取值范围．
2025版
数学
广西专版
解：(2)如图，分两种情况：
抛物线的对称轴为x＝b，
①当抛物线经过点A时，
将点A(－2，3)代入y＝x2－2bx＋b2－1中，得
3＝4＋4b＋b2－1，解得b＝0或b＝－4，
∵抛物线与线段AB有两个交点，
∴抛物线对称轴在点A右侧，
1 2 3
则P(a，－ a ＋
2
2
1
S△PBC＝
2
数学
1 2
a＋2)，∴PD＝－ a ＋2a，
2
PD•(xB－xC)
1 2
(－ a ＋2a)×4
2
＝－(a－2)2＋4，
当a＝2时，△PBC面积有最大值，
中考专题复习20(临界问题)
中考数学专题（图形运动过程中的临界问题）一、题型特点1.图形位置不确定；2.图形运动具有连续性；3.多以求某一变量的取值范围或最值为主．二、涉及的主要知识点1.几何作图或画函数图象；2.几何计算；3.方程或不等式（组）；三、主要解题思路1.通过画图（或示意图）或直观操作把问题直观化；2.确定运动的起始位置、终止位置或某些特殊位置，化动为静；3.计算临界位置的相应结果，得到相应变量的取值范围或最值．四、例题讲解例1 在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图1所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ＇处，折痕为PQ ，当点A ＇在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则BA ＇的取值范围是 ．例2 已知二次函数y = x 2+2x +c ．（1）当c ＝－3时，求出该二次函数的图象与x 轴的交点坐标；（2）若－2＜x ＜1时，该二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围．P图1例3如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，3），动圆D 经过A 、O ，分别与两轴的正半轴交于点E 、F ，求直径EF 的范围.（参考图1） （参考图2）五、练习题1．如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，21OB 长为半径作⊙O ，若射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转至BA '，若BA '与⊙O 有公共点，则旋转的角度α（0° ＜α＜180°）的范围是 ．2．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．把二次函数y ＝2x 2＋4x －6的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=21与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．（第2题图）图1x图3x图23．已知二次函数21322y x x =-++和一次函数46y x =+，设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将直线46y x =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．4.如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ，当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．5.在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．6．已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数．(1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=21(b ＜k)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．7．已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++在0x =和2x =时的函数值相等。
人教版初三数学：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习(提高)
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1. 定义[,,]a b c 为函数2y ax bx c =++的特征数，下面给出特征数为[2,1,1]m m m ---的函数的一些结 论：①当3m =-时，函数图象的顶点坐标是18,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m >时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于32；③当0m <时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）．A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④2．（2015•南昌）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.A ．只能是x=﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x=2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 3．（2016•毕节市）一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的 是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 25．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h第5题 第6题6．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值-1，有最大值0 C ．有最小值-1，有最大值3 D ．有最小值-1，无最大值 二、填空题 7．（2016•金山区二模）如果抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a= ． 8．如图所示，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c ＞0；②a+b+c ＜0；③2a-b ＜0；④284b a ac +>中正确的是________（填写序号）．9．已知点(1，4)、(3，4)在二次函数232y x kx k =+-的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标是_________．10．抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值是_____.11．抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.12．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y=x 2﹣2x+2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为 ．三、解答题 13．（2015•北京）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，点A 关于直线x=1的对称点为B ，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过点A ，B ． （1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C 2：y=ax 2（a ≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．14．已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围；（3）当12≤x ≤2时，求y 的最大值．15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.(1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】理解题意是前提，当3m =-时，6a =-，4b =，2c =．所以2218642633y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以函数图象的顶点坐标是18,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，①正确排除选项D ；因为当0m <时，对称轴11244b m x a m -=-=->，所以③错误．排除选项A 、C ．所以正确选项为B ．2.【答案】D ；【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x 2满足：﹣2＜x 2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D ．3.【答案】C ．【解析】A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．故选C ．4.【答案】B ；【解析】由表可知1＜x 1＜2，∴ 0＜y 1＜1，3＜x 2＜4，∴ 1＜y 2＜4，故y 1＜y 2. 5.【答案】A ；【解析】由顶点(n ，k)在(m ，h)的上方，且对称轴相同，∴ m ＝n ，k ＞h. 6.【答案】C ；【解析】观察图象在0≤x ≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3. 二、填空题 7.【答案】1.【解析】∵抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣1=﹣解得：a=1．8．【答案】②④；【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，故①是错误的；当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则02ba->， ∵ 0a >，∴ 0b <，故20a b ->，故③是错误的；∵ 0a >，240b ac ->， ∴ 284b a ac +>，故④是正确的．9．【答案】(2，12)；【解析】由点(1，4)、(3，4)的纵坐标相同，可知它们是抛物线上的两个对称点，如果设抛物线的顶点坐标为(x ，y)，则1322x +==，2322212y k k =⨯+-=． 故二次函数图象的顶点坐标为(2，12)． 10．【答案】-3；【解析】设抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x 1、x 2，则x 2- x 1=1，△ABC 的面积为1得c=2,由根与系数关系化为123x x +=±， 即=3b a -±，由20b a -＞得=3ba-，3b =-. 11．【答案】(2，4)；【解析】若抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x 2+kx-2k 得y=x 2+k （x-2），x-2=0，解得x=2,代入y=x 2+k （x-2），y=4,所以过点(2，4). 12．【答案】1；【解析】∵y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．三、解答题13.【答案与解析】解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，解得：x=3，∴A（3，2），∵点A关于直线x=1的对称点为B，∴B（﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：解得：∴y=x2﹣2x﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴14.【答案与解析】（1）将（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c得103b c c --+⎧⎨⎩＝＝，， 解得23.b c ⎧⎨⎩＝＝， 所以二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3；（2）把y=0代入y=-x 2+2x+3得-x 2+2x+3=0， 解得x 1=-1，x 2=3，所以当-1＜x ＜3，y ＞0；（3）y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4， 抛物线的对称轴为直线x=1， ∵12≤x ≤2， ∴当x=1时，y 的最大值为4． 15.【答案与解析】 (1)直线与坐标轴的交点，.则 解得此抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.设，则.化简得.当，得或.或当时，即，此方程无解. 综上所述，满足条件的点的坐标为或.附录资料：《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．（2015•乐山）如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．已知，则的值为（ ）A．B．C．D．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。
中考数学复习压轴题突破之二次函数临界点讨论解析版
临界点讨论
例1：（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴
交于点B，与滑道y=（x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．
（1）求k，并用t表示h；
（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．
∴k=18，
设h=at2，把t=1，h=5代入，
∴a=5，
∴h=5t2；
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，
∴y=﹣5t2+18，
由x=5t+1，
则t=（x-1），
∴y=﹣（x-1）2+18=，
当y=13时，13=﹣（x-1）2+18，
解得x=6或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
把x=6代入y=，
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；。
与二次函数有关的临界点问题教案
2017 至2018 学年度第一学期初三年级数学学科，集体备课时间： 9月 22 日备课组长：主备人：参与人课题二次函数专题: 与二次函数有关的临界点问题（1）课型新授课课时三维度四水平教学目标水平1会求二次函数图象与x轴、y轴的交点及顶点坐标、对称轴方程水平2能够根据二次函数图象的对称轴、顶点、与x轴、y轴交点画出该抛物线的示意图水平3理解与二次函数有关的临界点问题解法的基本思路和方法水平4能够用转化的观点认识函数综合题，体会化繁为易，增强自信心，进一步提高解决数学问题的兴趣教学重点掌握解与二次函数有关的临界点问题的基本思路和方法教学难点综合运用所学知识解决二次函数临界点问题，增强解决函数综合压轴题的信心教学方法启发探究教学用具教具几何画板，实物投影， ppt学具学案和数学习用具教学过程知识与技能活动与任务反馈与评价学生教师一、课前作业展示学生回答解题思路和答案与x轴交点；y轴交点；对称轴方程；顶点坐标公式；直线解析式的求法教师倾听学生发言并追问第（5）问的解题策略教师对学生发言和答案的正确率进行评价二、合作探究变式提升1：（题干同上题）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点11(,)P x y，22Q(,)x y，与直线BC交于点33(,)N x y，若312x x x<<，结合函数的图象，求的312x x x++的取值范围．学生独立思考后，小组交流小组代表发言答案：31278x x x<++<教师给出变式提升问题，关注小组讨论时组员的参与度教师几何画板演示分界点情况追问解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形2、对于不确定的图形，确定其运动方式3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围教师对小组讨论的参与度以及小组代表发言进行评价学生独立完成第一问，小组交流及答案，小组长检查指导（1） 当y=2时，2=x-1，解得 x=3，所以A （3,2）；因为点A 关于直线x=1的对称点为点B ，所以 B （-1,2） （2）229+321221y x bx c b c b c y x x =+++=⎧⎨-+=⎩⎧⎨⎩∴=--1把点A(3,2)，B(-1,2)代入抛物线C ：得b=2解得c=-1抛物线的解析式为顶点为（1，-1）2,(1,2),2229C A B A B a a -=∴≤<当过点，点时为临界代入（3,2），则9a=22a=代入则9教师给出变式练习： 变式提升2：1. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B . (1)求点A ，B 的坐标； (2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.教师带领学生反思解决最后一问的特点及策略教师对学生找的临界点进行评价三、反思总结学生说收获，教师补充说说本节课的收获对学生发言进行评价四、课后作业1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A，B(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当m=1时，求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围.2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2 -(2m + 1)x + m-5的图象与x轴有两个公共点.（1）求m的取值范围；（2）若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y的取值范围是-6 ≤ y ≤ 4-n，求n的值；③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O.设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x-h)2 + k，当x < 2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围.板书设计二次函数专题：与二次函数有关的临界点问题（1）作业完成情况及存在的问题教学反思。
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4、代入临界点求出范围
5、检验临界点合理性
思考：以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化？
例 2：在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=m(x-1)2-1（m＞0）与 x 轴的交点为 A，B．
定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段 AB 上（包括端点）恰有 5 个整点， 结合函数的图象，求
m 的取值范围． 分析：临界位置
二、典型例题
例 1. 在平面直角坐标系中，已知 A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：
（1）若一次函数 y=-x+b 的图象与线段 AB 有交点，则 b 的取值范围为___1≤b≤5__.
（2）若一次函数 y=kx+3 的图象与线段 AB 有交点，则 k 的取值范围为_k≤-1/3 或 k≥1 （3）若二次函数 y=ax2 的图象与线段 AB 有交点，则 a 的取值范围为___a≥2/9______.
三、真题演练 1（2016 北京 27 题）27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线
与 x 轴的交点为 A,B.
(1)求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
①当 m＝1 时，求线段 AB 上整点的个数； ②若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点，结合函数的图象，求 m 的取值范围。
二次函数临界问题
一、内容分析： 函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位 置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。 重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形 结合的数形结合能力。本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问 题的数学经验是核心。
（4） 若二次函数 y=x2+c 的图象与线段 AB 有交点，则 c 的取值范围为__-7≤c≤
2___.
小结：以上四个问题具有什么共同点？区别又是什么?解题过程中有哪些相同的步骤？
都有线段 AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。
相同步骤：1、画出不动图形 2、确定动图形运动方式 3、画出临界状态
分析：临界位置 （1） 平行于 x 轴，k=0, 不可以取到 （2） 过点（3,0），k=1/3，可以取到
综上：0<k≤1/3
变式：抛物线 y=x2-4x+3 与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于点 E、F（点 E 在点 F 的左侧）， 将抛物线对称轴右侧函数值大于 0 的部分沿 x 轴翻折，得到一个新的函数图象，若直 线 y=x+b 与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求 b 的值或取值范围.
b<-13/4 或 b>-3
例 4：（1）已知： y1 x2 2x 3, y2 kx b ，
若只有当 2 x 2 时， y1 y2 ，则 y2 解析式为 __ y2 = -2x+1________．
（2）将 y x2 2 x 3 ( y 0) 的函数图象记为图象 A，图象 A 关于 x 轴对称的图象
（3）已知： y1 x2 2x 3, y2 ax2 bx c(a 0) ，设点 H(m,0)是 x 轴上一动点，过点
H 作 x 轴的垂线，交 y1 于点 P，交 y2 于点 Q．若只有当 1 m 3 时，点 P 在点 Q 下 方，请写出一个符合题意的 y2 解析式_ y2 _= -x2+2x+3__（满足 y=a(x+1）(x-3),其中
解析：（1）解：将抛物线表达式变为顶点式
，则抛物线顶点坐标
为(1,-1).
（2）解：①
时，抛物线表达式为
，因此 A、B 的坐标分别为(0,0)
和(2,0)，则线段 AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共 3 个； ②抛物线顶点为(1,-1)，则由线段 AB 之间的部分及
线段
AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1 或者 0，所以即要求 AB 线段上（含
记为图象 B．已知一次函数 y kx b .设点 H(m,0)是 x 轴上一动点，过点 H 作 x 轴 的垂线，交图象 A 于点 P，交图象 B 于点 Q，交一次函数图象于点 N．若只有当1 m 3
时，点 Q 在点 N 上方，点 N 在点 P 上方，直接写出 b 的值____6 或-6______________．
a<0 开口向下或者 0<a<1 开口大于 y1 即可)．
（4）已知： y1 2x 1, y2 x m ，若当 x 1时， y1 y2 ，请写出一个符合 题意的 m 的值__m=0 (只需交点横坐标 m-1≤1 即可，即 m≤2)_________．
小结解题策略： 1、根据已知条件画出确定的图形； 2、对于不确定的图形，确定其运动方式； 3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）； 4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）； 5、检验边界合理性.
AB 两点）必须有 5 个整点；又有抛物线表达式，令
，
得到 A、B 两点坐标分别为
，即 5 个整点是以(1,0)为中心向两
侧分散，进而得到
，
。
2.（2015 北京 27 题）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 (0, 2) 且平行于 x 轴的直线，
与直线 y x 1交于点 A，点 A 关于直线 x 1 的对称点为 B，抛物线 C1 : y x2 bx c 经过点 A，B。 (1)求点 A，B 的坐标； (2)求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标； (3)若抛物线 C2 : y ax2 (a 0) 与线段 AB 恰有一个公共 点，结合函数的图象，求 a
（1）与 x 轴两交点为 x=-1 或 x=3，可以取到 x=3 时,y=4m-1≤0, m≤1/4
（2）与 x 轴两交点为 x=-2 或 x=4，不可以取到 x=3 时,y=9m-1>0, m>1/9 综上，1/9<m≤1/4
例 3：抛物线 y=x2-4x+3 与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于点 E、F（点 E 在点 F 的左侧），记抛物线在 D、F 之间的部分为图象 G（包含 D、 F 两点），若直线 y=kx -1 与图象 G 有两个公共点，请结合函数图象，求 k 的值或取 值范围.