复递增年金和每年支付m次的变额年金
复递增年金和每年支付m次的变额年金
时,V0存在,可以计算 i
•若
,即
时,1式发散.
• 若 i 付款额为 5000元,以后每期付款额是前一期付款 额的1.05倍.当利率分别为0.04、0.05和 0.08时,计算该永续年金的现值.
每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金
付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变.若m
次的付款的每次付款额相等,则其和为1单
位付款的倍数.付款的增长发生在每个计
息期期初.增长幅度为1/m,故增长后本付
款期付款总额要比上一次付款期付款额增
长1单位.从计息期看,每个计息期付款总额
成等差数列,但每个计息期内的付款总额
却保持不变,这种变化年金的现值用符号
表示
,且有( Ia ) (m ) n
• 例3-9某项年金在第1年的每月末支付 2000元,在第2年的每月末支付2100元, 在第3年的每月末支付2200元,…在第10 年的每月末支付3000元.假设年实际利 率为5%,计算该年金的现值.
• 练习某期末付年金每年付款4次,首次付 款为1000元,以后每次付款较前一次付款 增加1000元,共付款5年,年实际利率为 8%.计算第5年年末的年金积累值.
每年支付m次的递减年金
(Da)(m) n
na n i(m)
(Ds)(m) n
n(1i)n
i(m)
s n
(Da)(m)
na n
n
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(Ds)(m)
n(1i)n
s n
n
d(m)
• 若 i k ,则
PV n
• 例3-8投资者拥有一份20年期的期初付 递增年金,该年金在第一年初给付200元, 以后给付今额按10%的复利递增,假设年 实际利率为5%,请计算此项年金在时刻 零时的现值.
复递增年金和每年支付m次的变额年金
nm
m
1
1
m 1[vm 1( 1 vm 1vn)]nm vnv1 m (1vm 1v)1vni (mn )ivn1
(Ia)(m) n
1
vn nivn1 ivi(m)
1vn nvn iv i(m)
a (1i) nvn a&&nvn
n i(m)
n
i(m)
(Is)(nm) (Ia)(nm)(1i)n-& s& n i(m )n
-
付款频率大于计息频率的等差递
增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个 计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后 本付款期付款总额要比上一次付款期付款 额增长1单位。从计息期看，每个计息期 付款总额成等差数列，但每个计息期内的 付款总额却保持不变，这种变化年金的现 值用符号表示( Ia )(m ) ，且有
n
-
(Ia)(m) 1(vm 1vm 2Lv)2(v1m 1v1m 2Lv2)L
nm
m
n(vn1m 1vn1m 2Lvn) m
v(Ia)(m)1(v1m 1v1m 2Lv2)2(v2m 1v2m 2Lv3)L
nmபைடு நூலகம்
m
n(vnm 1vnm 2Lvn1) m
-
iv(Ia)(m)1(vm 1vm 2Lvv1m 1v1m 2Lvn)n(vnm 1vnm 2Lvn1)
-
• 若 i k ，则
PV n
-
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期 初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递 增，假设年实际利率为5%，请计算此项 年金在时刻零时的现值。
年金基础知识
年金基础知识年金是一种财务安排，通常与退休规划相关，涉及一系列定期支付。
了解年金的基础知识对于个人财务规划非常重要。
下面是年金的一些关键概念：1.定义：年金是一种合同，通常是与保险公司签订的，根据该合同，个人在一段时间内支付一定金额的资金，以换取未来的定期收入。
2.类型：●即期年金：投资后立即开始收到支付。
●延期年金：在一定期限后开始收到支付。
●固定年金：提供固定金额的定期支付。
●变动年金：支付额基于投资表现而变化。
3.支付方式：●终身支付：支付持续到保单持有人去世。
●确定期限支付：支付在预设的时间内进行，无论保单持有人是否在世。
●灵活支付：根据特定的合同条款，支付方式可以更加灵活。
4.投资特点：年金可以被视为投资工具，尤其是在退休规划中，可以提供稳定的收入来源。
5.税务优势：许多年金计划提供税收优惠，如税前投资或税收延迟增长。
6.风险和回报：●固定年金提供较低的风险和稳定的回报。
●变动年金则与市场表现相关，可能提供更高的回报，但也伴随更高的风险。
7.使用目的：年金常被用于退休规划，为退休后的生活提供稳定的收入来源。
8.费用和开销：年金合同可能涉及各种费用和开销，包括管理费、投资费用、提前撤回费等。
9.购买考虑因素：在购买年金时，需要考虑个人的财务状况、收入需求、风险承受能力以及税务状况。
年金是一个复杂的财务产品，涉及多种选择和因素。
因此，在决定是否购买年金时，最好咨询财务规划师或保险专家，以确保选择最适合个人需求和目标的产品。
增长年金名词解释
增长年金名词解释增长年金也称增长期权，是投资者买入一种股票并希望在股价上升时获得好处的权利。
增长期权是指在期权有效期内每次执行时，除了可以获得履约所得之外，还会自动增加新的期权费收入，而且这种额外的收入会越来越多。
比如当期权到期日的时候，投资者买入了10份看涨期权，合计费用为1000元，然后股票市场又上升了15%，那么该投资者的期权费收入就变成了2000元，而且还在继续不断地上升，因为他每次在执行期权时，还要交纳新的期权费。
增长年金的概念很简单，其原理就是根据期权费与期权有效期的关系。
举个例子来说，假设某投资者买入一张看涨期权，初始期权费用为1000元，假设期权合约为6个月有效期，那么此人在执行合约时，除了可以获得每份期权费1000元之外，还可以获得额外的一笔期权费收入，即6月份之前的期权费用，总共有3份。
比如合约到期日为6月12日，那么此人总共能获得3000元期权费收入，扣除6月份应缴纳的期权费2000元，再扣除交易手续费300元，最终到手为2000元。
从图中我们可以看出， 6月份之前期权费逐月递增，一直到第三个月达到最高值。
由于未来的时间不确定性，只要股票市场走势向好，那么在每个月都会增加期权费，所以该投资者的投资收益会非常稳定，远远大于目前的年化收益率。
相反，如果股票市场继续下跌，则可能亏损本金，投资者则需要提前止损，以规避更大的风险。
假设一个投资者购买了一份看涨期权，但是投资收益情况不尽人意，预期收益率低于10%，甚至低于5%。
对于此类投资者，也可以考虑购买增长年金。
只要没有投资亏损，那么每个月都会自动增加新的期权费收入。
这样，随着投资期限的增加，投资者的期权费收入也会越来越多。
如果没有考虑市场波动，可以把时间轴拉长到20年，因为增长年金是一项长期投资，而市场中短期波动可能影响投资收益。
以20年为例，如果以每个月1%-2%的速度增加收入，那么到第20年时期权费收入将会接近40%。
而目前该投资者的期权费收入已经达到了年化10%，投资年化收益超过了30%。
《利息理论》等额年金知识分析
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到 时刻 k 这段时间的利率， i1，i2， ，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|
各种年金的计算公式梳理及推导过程
各种年金的计算公式梳理及推导过程年金是指在一定期限内，等额、定期的系列收支。
在财务和经济领域，年金有着广泛的应用，不同类型的年金，其计算公式和推导过程也有所不同。
接下来，咱们就一起梳理梳理各种年金的计算公式，并看看它们是怎么推导出来的。
先来说说普通年金。
普通年金就是从第一期期末开始，每期期末等额收付的年金。
比如说，咱们每个月月底发工资，这就可以近似看作是一个普通年金。
普通年金的终值计算公式是：F = A×[(1 + i)^n - 1]/i 。
这里的 F 表示年金终值，A 表示年金数额，i 表示利率，n 表示期数。
咱们来推导一下这个公式。
假设每年年末存入 A 元，年利率为 i ，存了 n 年。
第一年的 A 元到第 n 年末的本利和是 A×(1 + i)^(n - 1) ；第二年的 A 元到第 n 年末的本利和是 A×(1 + i)^(n - 2) ；以此类推，第 n 年的 A 元到第 n 年末的本利和就是 A 元。
把这些加起来，就得到了普通年金终值的计算公式。
再看看普通年金现值的计算公式：P = A×[1 - (1 + i)^(-n)]/i 。
这个 P 表示年金现值。
推导过程是这样的：假设未来 n 年内每年年末有 A 元的现金流入，年利率为 i 。
第 1 年年末的 A 元折合到现在的价值是 A/(1 + i) ；第 2 年年末的 A 元折合到现在的价值是 A/(1 + i)^2 ；一直到第 n 年年末的A 元折合到现在的价值是 A/(1 + i)^n 。
把这些现值加起来，就得到了普通年金现值的计算公式。
接着说预付年金。
预付年金是在每期期初等额收付的年金。
比如说，年初交房租，这就是预付年金。
预付年金终值的计算公式是：F = A×[(1 + i)^n - 1]/i ×(1 + i) 。
推导的时候，咱们可以把预付年金看成是普通年金，先计算出在 n - 1 期末的普通年金终值，然后再乘以 (1 + i) ，就得到了预付年金的终值。
年金的公式总结范文
年金是指按照一定的时间间隔、一定的利率和一定的期限，定期支付的一笔固定金额的现金流。
年金的计算可以使用不同的公式，下面将总结一些常用的年金公式。
1.普通年金公式：普通年金是指在一定的时间间隔内，每期支付相同数额的现金流。
普通年金公式包括PV（现值）、FV（未来值）、PMT（每期支付金额）、n （总期数）、i（利率）五个变量。
普通年金公式如下：PV=PMT×[(1-(1+i)^(-n))/i]FV=PMT×[((1+i)^n-1)/i]其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；PMT是每期支付金额；n是总期数；i是利率。
2.分期付款公式：分期付款是一种特殊的年金，在分期付款中，每期支付的金额是不同的。
分期付款公式包括PV（现值）、FV（未来值）、n（总期数）三个变量，公式如下：PV=C1/(1+i)^1+C2/(1+i)^2+…+Cn/(1+i)^nFV=C1×(1+i)^1+C2×(1+i)^2+…+Cn×(1+i)^n其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；C1、C2、…、Cn是每期支付的金额；n是总期数；i是利率。
3.延期年金公式：延期年金是指在一定的时间间隔内，推迟一段时间后开始支付的现金流。
延期年金公式包括PV（现值）、FV（未来值）、PMT（每期支付金额）、d（延迟期数）、n（总期数）、i（利率）六个变量，公式如下：PV=PMT×[(1-(1+i)^(-n))/i]×(1+i)^-dFV=PMT×[((1+i)^n-1)/i]×(1+i)^-d其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；PMT是每期支付金额；d是延迟期数；n是总期数；i是利率。
第三章变额年金(1)
mn v
n
令 R v 2v 3v
1 m
1 m
2 m
3 m
mn v n
在式两边同时乘以(1 i) ，则有
R(1 i) 1 2v 3v
R 1 i
1 m 1 2 1 1 v m v m
50 eu du
0
0.5
2 50 exp 0.1 t 0.06 t 0
0.5
2.68
25
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0， 结束时刻为b，计算在0点的现值：
方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
1 m
1 m
2 m
mnv
v
n 1 m
n
1 m
n ( m) n mn v ma mn v n
5
1 ( m) m R 1 i 1 man mn v n
上式两边同时乘以m，则有
( m) m2 an m2 n v n
a b t exp s ds rt exp s ds dt 0 a a
方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在
时刻零的现值：
t rt exp s ds dt a 0
b
26
例：一个连续支付现金流的支付率为 rt = 3 元，支付期限从 时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力t = 0.05，试计算 此现金流在时刻零的现值。 解： 改变对利息力积分的积分限，有：
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复递增年金
• 复递增年金，是指付款金额按照某一固 定比例增长的年金。 • 用来分析通货膨胀下的现金流。
期末付递增年金
• 各年付款额成等比数列关系。若某期末付 年金各期付款额成等比数列，即各期付款 额为： , (1 r ) , (1 r ) , , (1 r ) 。则该年金 1 现值为：
(m ) n
( Ia ) n
(m )
1 m n m
1 m
2 m
(v v v )
n 1 1 m
2 m
1
1 m
(v
n
v
1
2 m
v )
2
(v
v
n 1
2 m
v )
v ( Ia ) n
(m )
1 m n m
1
1 m
(v
n
v v
1
2 m
v )
2
2 m
2
1 m
(v
v
2
2 m
v )
3
1 m
n
2 m
(v
v
n 1
)
iv ( Ia ) n
(m )
1 m
1
2
(v m v m v v
1 n n
1
1 m
v
1
2 m
v )
n n
n m
n
1 m
(v
v
n
2 m
• 若 ，即
1 k 1 i 1
时，（1）式发散。
k i
• 若i
k
时，永续年金的现值不存在的。
• 【练习】某期末付永续年金首期付款额 为5000元，以后每期付款额是前一期付 款额的1.05倍。当利率分别为0.04、 0.05和0.08时，计算该永续年金的现值。
每年支付m次的变额年金
• 每年支付m次的递增年金 • 每年支付m次的递减年金
• 【练习】某期末付年金每年付款4次，首 次付款为1000元，以后每次付款较前一 次付款增加1000元，共付款5年，年实 际利率为8%。计算第5年年末的年金积 累值。
每年支付m次的递减年金
(D a )n
(m )
n an i
(m )
(D s)n
(m )
n (1 i ) s n
n
i
(m )
(m ) n
iv i an nv i
(m )
a n (1 i ) n v i
(m )
( Is ) n
(m )
( Ia ) n (1 i )
(m ) n
n sn i
(m )
• 【例3-9】某项年金在第1年的每月末支 付2000元，在第2年的每月末支付2100 元，在第3年的每月末支付2200元，… 在第10年的每月末支付3000元。假设年 实际利率为5%，计算该年金的现值。
(i r )
• 若
i k
，则
n 1 i
PV nv
• 【例3-7】投资者拥有一项10年期期末 付的递增年金，第一年末付1000元，此 后的给付金额按复利5%递增，假设年实 际利率为11.3%，请计算这项年金时刻0 的现值
期初付递增年金
• 假设一项期初付年金各期付款额成 等比数列，即各期付款额依次 为：1 , (1 r ) , (1 r ) , , (1 r ) 。则该 年金现值为：
2 n 1
P V v v (1 r ) v (1 r ) v (1 r )
2 3 2 n
n 1
v [1
1 r 1 i
(
n
1 r 1 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) (
2
1 r 1 i
)
n 1
]
•
1 r 1 1 i ir
（1）
2 n 1
P V 1 v (1 r ) v (1 r ) v
2 2
n 1
(1 r )
n 1
•
1 [ v (1 r )] 1 v (1 r )
n
1 (
1 r
1 i ir
)
n
(i r )
（1）
1 i
• 若
i k
，则
PV n
付款频率大于计息频率的等差递 增型年金
• 每个计息期内的m次付款额保持不变。若 m次的付款的每次付款额相等,则其和为1 单位付款的倍数。付款的增长发生在每个 计息期期初。增长幅度为1/m，故增长后 本付款期付款总额要比上一次付款期付款 额增长1单位。从计息期看，每个计息期 付款总额成等差数列，但每个计息期内的 付款总额却保持不变，这种变化年金的现 值用符号表示 ( Ia ) ，且有
v
n 1
)
1 n 1
1 v m (1 v ) n v v m (1 v ) 1 v n iv [ ] 1 1 (m ) m m i 1 vm 1 vm
1 v ( Ia ) n
(m )
n
1 v n iv
n
n 1
nv
(m ) n
n
iv i
• 【例3-8】投资者拥有一份20年期的期 初付递增年金，该年金在第一年初给付 200元，以后给付今额按10%的复利递 增，假设年实际利率为5%，请计算此项 年金在时刻零时的现值。
• 当 n
时，上述年金变为永续年金。
• 若 1 k ，即 时，V(0)存在，可 1 k i 以计算出该年金的现值； 1 i
(D a )n
(m )
n an d
(m )
( D ) n s
(m )
n (1 i ) s n
n
d
(m )