高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2课时达标训练新人教A版选修2_3
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1课时达标训练新人教A选修2-3
1.3 二项式定理 1.3.1
课时达标训练
1.的展开式共有11项,则n等于( )
A.9
B.10
C.11
D.8
【解析】选B.的展开式共有n+1项,所以n+1=11,故n=10.
2.(y-2x)8展开式中的第6项的二项式系数为( )
A. B.(-2)5
C. D.(-2)6
【解析】选C.第6项的二项式系数为.
3.(x+2)6的展开式中x3的系数是( )
A.20
B.40
C.80
D.160
【解析】选D.设含x3的为第r+1,则T r+1=x6-r·2r,
令6-r=3,得r=3,故展开式中x3的系数为·23=160.
4.若的展开式中x3的系数是-84,则a的值为________.
【解析】展开式的通项为T r+1=x9-r(-a)r
=·(-a)r x9-2r(0≤r≤9,r∈N),
当9-2r=3时,解得r=3,代入得x3的系数,
根据题意得(-a)3=-84,解得a=1.
答案:1
5.(1+)7展开式中有理项的项数有________个.
【解析】通项T k+1=()k=,当k=0,2,4,6时,均为有理项,故有理项的项数为4个.
答案:4
6.求的展开式中的常数项.
【解析】展开式的通项
T r+1=(r=0,1,2,…,9)=··(-1)r··由9-r=,得r=6,所以展开式的常数项为第7项.
T6+1==.。
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 新人教A版选修2-
二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。
高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理练习含解析新人教A版选修2
1.3.1 二项式定理一、选择题1．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( )A ．－27C 610B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410 【答案】 D【解析】 ∵T r ＋1＝C r 10x 10－r (－3)r .令10－r ＝6，解得r ＝4.∴系数为(－3)4C 410＝9C 410. 2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3B ．5C ．8D ．10 【答案】 B【解析】 T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n x 3n －5r .令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z . ∴n 的最小值为5. 3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】 D【解析】 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x )r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.4．(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1B.12 C ．1 D ．2 【答案】 D【解析】 C r 5·x r (a x )5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4，由C 45·a ＝10，得a ＝2. 5．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112＜x ＜15B.16＜x ＜15C.112＜x ＜23D.16＜x ＜25【答案】 A【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2>T 1T 2>T 3得⎩⎪⎨⎪⎧ C 162x >1C 162x >C 26(2x )2∴112＜x ＜15. 6．在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】 A【解析】 T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r3均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除，故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20.∴r ＝2,8,14,20.二、填空题7．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 【答案】 2【解析】 C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3＝20a3x 3＝52x 3，∴a ＝2. 8．(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________． 【答案】 －5【解析】 (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x 6－2r ， 令6－2r ＝0，∴r ＝3，令6－2r ＝－1，无解．令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.三、解答题9．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．【解析】 由题设m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝17，…，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝18n ＝1. x 2的系数C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156. 10．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．【解析】 通项为：T r ＋1＝C r n ·(x )n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r . 由已知条件知：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得：n ＝8. 记第r 项的系数为t r ，设第k 项系数最大，则有：t k ≥t k ＋1且t k ≥t k －1.又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有：⎩⎪⎨⎪⎧ C k －18·2－k ＋1≥C k 8·2－k C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2即⎩⎪⎨⎪⎧ 8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 29－k ≥1k ，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.∴系数最大项为第3项T 3＝7·x 35和第4项T 4＝7·x 74.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修23
1．3.1 二项式定理[学习目标]1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．[知识链接]1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？答不同．(a＋b)n展开式中第r＋1项为C r n a n－r b r，而(b＋a)n展开式中第r＋1项为C r n b n－r a r. [预习导引]1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．2．二项式系数及通项(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中各项的系数C k n(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数．(2)(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.要点一二项式定理的正用、逆用例1 (1)求(3x＋1x)4的展开式；(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解(1)法一(3x＋1x)4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·(1x)2＋C34(3x)·(1x)3＋C 44·(1x)4＝81x 2＋108x ＋54＋12x＋1x2.法二 (3x ＋1x)4＝（3x ＋1）4x 2＝1x 2[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 跟踪演练1 (1)展开(2x ＋1x)6；(2)化简：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n C nn . 解 (1)(2x ＋1x)6＝1x3(2x ＋1)6＝1x3[C 06(2x )6＋C 16(2x )5＋C 26(2x )4＋C 36(2x )3＋C 46(2x )2＋C 56(2x )＋C 66]＝64x 3＋192x 2＋240x ＋160＋60x ＋12x 2＋1x3.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n. 要点二 二项展开式通项的应用 例2 若(x ＋124x)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x 的一次项； (2)展开式中的所有有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，或n ＝1(舍去)．T k ＋1＝C k 8(x )8－k·(124x)k ＝C k 8·2－k·x 4－34k ，令4－34k ＝1，得k ＝4.所以x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x .(2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0，4，8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2. 规律方法 利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等等．其通常解法就是根据通项公式确定T k ＋1中k 的值或取值范围以满足题设的条件． 跟踪演练2 已知二项式(x 2＋12x)10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．解 (1)(x 2＋12x )10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·(12x )4＝C 410·(12)4·x 12·(1x)4＝1058x 10.(2)设第k ＋1项为常数项， 则T k ＋1＝C k10·(x 2)10－k·(12x)k ＝C k 10·x 20－52k ·(12)k (k ＝0，1，2，…，10)，令20－52k ＝0，得k ＝8，所以T 9＝C 810·(12)8＝45256，即第9项为常数项，其值为45256.要点三 二项式定理的应用 例3 (1)用二项式定理证明：34n ＋2＋52n ＋1能被14整除；(2)求9192除以100的余数． (1)证明 34n ＋2＋52n ＋1＝92n ＋1＋52n ＋1＝[(9＋5)－5]2n ＋1＋52n ＋1＝(14－5)2n ＋1＋52n ＋1＝142n ＋1－C 12n ＋1×142n×5＋C 22n ＋1×142n －1×52－…＋C 2n 2n ＋1×14×52n －C 2n ＋12n ＋1×52n ＋1＋52n ＋1＝14(142n－C 12n ＋1×142n －1×5＋C 22n ＋1×142n －2×52－…＋C 2n 2n ＋1×52n)． 上式是14的倍数，能被14整除，所以34n ＋2＋52n ＋1能被14整除．(2)解 法一 9192＝(100－9)92＝10092－C 192×10091×9＋C 292×10090×92－…－C 9192×100×991＋992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数． ∵992＝(10－1)92＝1092－C 192×1091＋C 292×1090－…＋C 9092×102－C 9192×10＋(－1)92＝1092－C 192×1091＋C 292×1090－…＋C 9092×102－920＋1＝(1092－C192×1091＋C292×1090－…＋C9092×102－1 000)＋81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.法二由9192＝(90＋1)92＝C092×9092＋C192×9091＋…＋C9092902＋C9192×90＋1，可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9192×90＋1＝8 281＝8 200＋81，故9192除以100的余数为81.规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪演练3 求证：5151－1能被7整除．证明∵5151－1＝(49＋2)51－1＝C0514951＋C1514950×2＋…＋C5051×49×250＋C5151×251－1.∴易知除(C5151×251－1)以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017×717＋C117×716＋…＋C1617×7＋C1717－1＝7(C017716＋C117715＋…＋C1617)，显然能被7整除，所以(5151－1)能被7整除.1．若(1＋2)4＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b等于( )A．33 B．29 C．23 D．19答案 B解析∵(1＋2)4＝1＋42＋12＋82＋4＝17＋122＝a＋b2，又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.∴a＋b＝29.2．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )A．－5 B．5 C．－10 D．10答案 D解析(1－x)5中x3的系数－C35＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－C36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x3的系数为10.3．求(2x－32x2)5的展开式．解 先化简再求展开式，得(2x －32x 2)5＝（4x 3－3）532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋C 15(4x 3)4(－3)＋C 25(4x 3)3(－3)2＋C 35(4x 3)2(－3)3＋C 45(4x 3)(－3)4＋C 55(－3)5] ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.一、基础达标1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是 ( )A ．20B ．40C ．80D ．160答案 D解析 法一 设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6x 6－r·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二 根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160. 2．(2013·江西理)(x 2－2x3)5展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k(－2x3)k ＝C k 5x 10－5k (－2)k .由10－5k ＝0，得k ＝2，所以常数项为T 2＋1＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是 ( )A ．840B ．－840C ．210D ．－210答案 A解析 在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x 10－r中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840. 4．(2013·辽宁理)使得(3x ＋1x x)n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n (3x )n －k·(1x x)k ＝C k n 3n －kxn －5k 2.由n －5k 2＝0得n ＝5k2，所以当k ＝2时，n 有最小值5.5．求(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数为________，二项式系数为________． 答案 4 860 156．(2013·四川理)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________(用数字作答)． 答案 10解析 设二项式(x ＋y )5的展开式的通项公式为T r ＋1，则T r ＋1＝C r 5x 5－r y r，令r ＝3，则含x 2y 3的项的系数是C 35＝10.7．已知在(x ＋2x2)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项． 解 T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2， 令10－5k 2＝0，解得k ＝2，∴展开式中的常数项为C 21022＝180. 二、能力提升8．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于 ( )A ．(x －1)3B ．(x －2)3C ．x 3D ．(x ＋1)3答案 C解析 S ＝C 03(x －1)3＋C 13(x －1)2×1＋C 23(x －1)×12＋C 33×13＝[(x －1)＋1]3＝x 3，故选C.9．(2013·新课标Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1答案 D解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为C 25＋a ·C 15＝5，解得a ＝－1. 10．对于二项式(1x＋x 3)n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________． 答案 ①与④解析 二项式(1x＋x 3)n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项． 11．(x ＋23x)n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．解 C 8n ＝C 9n ，∴n ＝17，T r ＋1＝C r 17x 17－r 2·2r·x －r 3，∴17－r 2－r3＝1，∴r ＝9，∴T 10＝C 917·x 4·29·x －3＝C 917·29·x ， 其一次项系数为C 91729.12．已知在(12x 2－1x )n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数．解 已知二项展开式的通项T k ＋1＝C k n (12x 2)n －k ·(－1x )k ＝(－1)k (12)n －k C kn x 2n －52k .(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6(12)4C 610＝1058.(3)要使2n －52k ，即40－5k2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．三、探究与创新13．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解 (1＋2x )m ＋(1＋4x )n展开式中含x 的项为 C 1m ·2x ＋C 1n ·4x ＝(2C 1m ＋4C 1n )x ， ∴2C 1m ＋4C 1n ＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为t ＝C 2m 22＋C 2n 42＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ， ∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612＝16(n 2－374n ＋1534)， ∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272.。
高中数学第一章计数原理13131二项式定理同步课件新人教A版选修2
2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与 二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
[变式训练] (1)x＋ax5展开式中 x3 的系数为 10，则 a 的值等于( )
17·山东卷)已知(1＋3x)n 的展开式中含有 x2 项
(2)因为第 3r 项的二项式系数为 C31r0－1， 第 r＋2 项的二项式系数为 C1r＋0 1， 所以 C310r－1＝Cr1＋0 1，故 3r－1＝r＋1 或 3r－1＋r＋1＝ 10， 解得 r＝1 或 r＝2.5(不合题意，舍去)，所以 r＝1.
1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记 Cknan－kbk 是展开式的第(k＋1)项，不要误 认为是第 k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其为特定值．
解得 n＝4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中 Tr＋1＝Crnx4－r(－ 2)r.
由 4－r＝2，得 r＝2. 故(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为 T3＝C24x2(－ 2)2＝ 12x2. 答案：12x2
[类题尝试] 已知二项式x－ 2x10. (1)求展开式中含 x4 项的系数； (2)如果第 3r 项和第 r＋2 项的二项式系数相等，求 r 的值． 解：(1)设第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ck10(－2)kx10－32k. 令 10－32k＝4，解得 k＝4， 故展开式中含 x4 项的系数为 C410(－2)4＝3 360.
类型1 求二项展开式中的特定项或其系数(自主研析)
[典例❶]
已知在
12x2－
1 x
n
的展开式中，第9项为常
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理目标导引素
1.3二项式定理一览众山小三维目标1.熟练掌握二项式定理、二项式展开式及二项式系数的性质，并能利用其解决相关问题，掌握二项式定理应用题的解题思路和基本方法.2.了解杨辉三角，从不同的角度得出二项式系数的性质.感受我国古代数学的研究成就，增强民族自豪感.3.通过本节的学习，培养观察、分析、归纳和总结的能力，并且在学习中体验“发现”的乐趣，培养学习数学的兴趣，通过对“杨辉三角”的认识，激发我们的爱国热情. 学法指导二项式定理是多项式乘法的继续，研究的是(a+b)n 的展开式，而展开式的得出要依赖于分类加法计数原理和分步乘法计数原理以及排列组合的知识.所以在学习本节前，要对本章前两节的内容进行重点复习，以推导出二项式的展开式.通过对ｎ=2、3、4等特殊数的情况分析，猜想出相应公式并证明之.再由这一公式借助杨辉三角总结二项式系数的性质.在学习中要注意区别二项式系数的最大项与项的系数的最大项不一定相同.诱学导入材料：杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图1-3-1：图1-3-1杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.问题：认真观察并分析杨辉三角，你能发现它的哪些数字特征规律？看看你能写出多少？ 导入：杨辉三角是我们本节的一个重要内容.杨辉三角表中蕴含着许多的规律，我们通过认真观察就不难发现.下面仅列举部分相关特征:①杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第2k-1行中的各个数字都是奇数;②在相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和;③杨辉三角中，质数P 行中，P 整除除1以外的所有数;④杨辉三角中，第n 行中，n n n n n n C C C C 2210=++++ ;⑤杨辉三角中，有：1121+-++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (n>r).。
2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课后课时精练课件新人教A版选修2_3
二、填空题 6．已知ax－
x9 2
的展开式中
x3
的系数为49，则常数
a
的值为________．
答案 4
答案
解析 Tr＋1＝Cr9a9－r·(－1)r·2－2rx32r－9， 令32r－9＝3，得 r＝8.依题意，得 C98(－1)8×2－4·a9－8＝94，解得 a＝4.
7．设 a≠0，n 是大于 1 的自然数，1＋axn 的展开式为 a0＋a1x＋a2x2＋… ＋anxn.若点 Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则 a＝________.
答案
解析
三、解答题 9．求(1＋x)2(1－x)5 的展开式中 x3 的系数．
解 ∵(1＋x)2 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr2xr，(1－x)5 的展开式的通项为 Tk＋1＝(－1)kC5kxk，
其中 r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4,5}． 令 k＋r＝3，则有kr＝＝21， 或kr＝＝12， 或kr＝＝03，， ∴x3 的系数为－C22C51＋C21C25－C02C53＝5.
答案 3
答案
解析 由题意知 A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．由 a0＝1，a1＝3，a2＝4.
由1＋axn 的展开式的通项公式知 Tr＋1＝Cnraxr(r＝0,1,2，…，n)． 故Ca1n＝3，Ca22n＝4，解得 a＝3.
8．(x＋1)4(x－1)的展开式中 x3 的系数是________．
A．3 B．6 C．9 D．21
答案 B
解析 ∵x3＝(x－2＋2)3＝C30(x－2)3＋C31(x－2)2·2＋C23(x－2)·22＋C33·23＝ 8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.
(优选)2019年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理优化练习新人教A版选修2-3
1.3.1 二项式定理[课时作业][A 组 基础巩固]1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2(n ＋1) 解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．答案：B2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5 解析：原式＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5.答案：D3．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 解析：先求出(1＋x )5含有x 与x 2的项的系数，从而得到展开式中x 2的系数．(1＋x )5中含有x与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1，故选D. 答案：D4．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：T r ＋1＝C rn (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x 5r 2n -，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．答案：B5．(x 2＋2)(1x2－1)5的展开式的常数项是( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：(1x 2－1)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(1x2)5－r ·(－1)r ，r ＝0,1,2,3,4,5.当因式(x 2＋2)提供x 2时，则取r ＝4；当因式(x 2＋2)提供2时，则取r ＝5.所以(x 2＋2)(1x 2－1)5的展开式的常数项是5－2＝3. 答案：D6．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：利用二项展开式的通项公式求解． x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－207．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．解析：二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k 20x 20－k ·(43y )k ＝C k 20(43)k x 20－k y k (0≤k ≤20)．要使系数为有理数，则k 必为4的倍数，所以k 可为0,4,8,12,16,20共6项，故系数为有理数的项共有6项．答案：68．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为14∶3，则展开式中的常数项为________．解析：由已知条件得：C 4n ∶C 2n ＝14∶3，整理得：n 2－5n －50＝0，所以n ＝10，所以展开式的通项为：T k ＋1＝C k 10(x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝C k 10·2k ·x 1052k -，令10－5k 2＝0，得k ＝2， 所以常数项为第三项T 3＝22C 210＝180.答案：1809．用二项式定理证明1110－1能被100整除．证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C 110×109＋…＋C 910×10＋1)－1＝1010＋C 110×109＋C 210×108＋…＋102＝100×(108＋C 110×107＋C 210×106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．10.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数． 解析：由题意知C 8n ＝C 9n ，∴n ＝17，T r ＋1＝C r 17x172r -·2r ·x 3r -，∴17－r 2－r 3＝1， ∴r ＝9，∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3，∴T 10＝C 917·29·x ，其一次项系数为C 91729.[B 组 能力提升] 1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2B.54 C ．1D.24 解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1.故选C.答案：C 2．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中，若x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：二项式(1＋3x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n 1n －r ·(3x )r ＝C r n ·3r ·x r .依题意得C 5n ·35＝C 6n ·36，即n n －n －n －n －5！＝3×n n －n －n －n －n －6！(n ≥6)，得n ＝7.答案：B3．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________. 解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3，∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a .答案：1a4．(2015年高考福建卷)(x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________(用数字作答)． 解析：T r ＋1＝C r5x 5－r ·2r ，令5－r ＝2，得r ＝3，所以x 2的系数为C 35×23＝80.答案：805．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，求a 的值．解析：∵T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－a )r C r6x 362r－，令r ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令r ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0，所以a ＝2.6．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．解析：T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12rC r n x 1233n r－.由前三项系数的绝对值成等差数列，得C 0n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ，解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)展开式的第4项为： T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.。