数字信号处理 答案 第三章
jω jω jω
X ( z) =
n =−∞
∑
∞
RN (n) z − n = ∑ z − n =
n =0 N −1 −k N
N −1
1− z−N 1 − z −1
N −1 −k N N −1 j 2π k N
=
∏ (z −W ) ∏ (z −W ) ∏ (z − e z N −1 k =0 = = k =1 N −1 = k =1 N −1 N −1 N −1 z ( z − 1) z ( z − 1) z z
j 2π k N
)
极点： z0 = 0( N − 1阶) ；零点： z pk = e 图 P3.11_1(1)是极-零点分布图。
, k = 1, 2,..., N − 1
（2） X (e
jω
) = X ( z ) |z =e jω =
1− e (e e −e = 1 1 1 − jω j ω −j ω −j ω 1− e 2 2 e (e − e 2 )
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
图 P3.11_1(2)所示的是频谱幅度 | X (e ) | 的函数曲线。
jω
（3）
X ( k ) = ∑ RN ( n)W
n =0
N −1
nk N
1 − WNNk 1 − e − j 2π k N ,k =0 = = = X (e jω ) 2π = { 0, k =1,2,..., N −1 2π k ω= k k −j 1 − WN N N 1− e
2π (k = 0,1, 2,..., N − 1) 上的取样值。 N
r =−∞
∞
∞
n + rN
an u (n + rN ) = , n = 0,1,..., N − 1 1− aN
3.11 若长为 N 的有限长序列 x( n) 是矩阵序列 x( n) = RN ( n) 。 （1）求 Ζ[ x( n)] ，并画出及其-零点分布图。 （2）求频谱 X (e ) ，并画出幅度 | X (e ) | 的函数曲线。 （3）求 x(n) 的 DFT 的闭式表示，并与 X (e ) 对照。 解： （1）
证明： （1）
(− k ) = ∑ x ( n )WN− nk X
n =0
N −1
* (− k ) = [∑ x (k ) ( n )WN− nk ]* = ∑ x ( n )W Nnk = X X
n=0 n=0
N −1
N −1
(n) 为实函数，故由（1）知有 （2）因 x (k ) = X * (−k ) 或 X (−k ) = X * (k ) X (n) 为偶函数，即 x (n) = x (− n) ，所以有 又因 x
nk nk (k ) = ∑ x (n)WN (−n)WN X = ∑x = n =0 n =0 N −1 N −1 − ( N −1)
∑
n =0
− nk (−k ) = X * (k ) (n)WN x =X
3.3
(n) 。利用 DFS 的特性及 3.2 题的结果，不直接计算其傅里叶级 图 P3.3 所示的是一个实数周期信号 x (k ) ，确定以下式子是否正确。 数的系数 X (k ) = X (k + 10) ，对于所有的 k； （1） X (k ) = X (− k ) ，对于所有的 k； （2） X (0) = 0 ； （3） X
3.9 x( n) 是一个长度为 N 的序列，试证明 x[(− n)]N = x[( N − n)]N 。 证明：因为 x[( − n)]N 是由 x( n) 周期性重复得到的周期序列，故可表示为 x[(− n)]N = x[( − n + rN )]N 取 r＝1，上式即为 x[(− n)]N = x[( N − n)]N 。 3.10 已 知 序 列 x( n) = a u ( n), 0 < a < 1 。 现 在 对 其 Z 变 换 在 单 位 圆 上 进 行 N 等 分 取 样 ， 取 值 为
( k )e （4） X
jk
2π 5
，对所有的 k 是实函数。
(k ) 也是一个周期为 N＝10 的周期序列。 (n) 一个周期为 N＝10 的周期序列，故 X 解： （1）正确。因为 x (k ) 是共轭对称的，即应有 (n) 一个实数周期序列，由例 3.2 中的（1）知， X （2）不正确。因为 x (k ) 不一定是实数序列。 (k ) = X * (− k ) ，这里 X X ( n) 在 一 个 周 期 内 正 取 样 值 的 个 数 与 负 取 样 值 的 个 数 相 等 ， 所 以 有 （3）正确。因为 x
n
X (k ) = X ( z ) |z =W − k ，求有限长序列的 IDFT。
N
解：在 z 平面的单位圆上的 N 个等角点上，对 z 变换进行取样，将导致相应时间序列的周期延拓，延 拓周期为 N，即所求有限长序列的 IDFT 为
x p ( n) =
r =−∞
∑ x(n + rN ) = ∑ a
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
3.1
(k ) 。 (n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X 图 P3.1 所示的序列 x
(n)WNnk = ∑ x (−n)WNnk = 解： X ( k ) = ∑ x
n =0 n =0
N −1
N −1
− ( N −1)
∑
n =0
(−k ) = X * (k ) (n)WN− nk = X x
*
3.2
(k ) = X (−k ) 。 (k ) 是共轭对称的，即 X (n) 为实周期序列，证明 x (n) 的傅里叶级数 X （1）设 x (k ) 也是实偶函数。 (n) 为实偶函数时， X （2）证明当 x
(0) = 1 X (2) = X (4) = 0 X 2 = 1− j 3 1 − (1 − j 3) / 2 (3) = 2 = 1 X 1 − e − jπ (1) = X (5) = X 2 = 1+ j 3 1 − (1 + j 3)
(k ) 的图形如图 3.4_1 所示： ( n) 和 X x
解： （1）图 P3.8_1（1）所示的是 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 （2）图 P3.8_1（2）所示的 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）图 P3.8_1（3）所示的 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形。 可以看出， x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形与（1）中 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果 的图形相同。
解： x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 （1）绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 （1） x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
（2） x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
3.5 计算下列序列的 N 点 DFT： (1) x(n) = δ (n) (2) x(n) = δ [( n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N (3) x(n) = a , 0 ≤ n ≤ N − 1
n
(4) x(n) = cos(
2π nm), 0 ≤ n ≤ N − 1, o < m < N N
n n =0
N −1
nk N
1 − a NWNNk 1− aN = = , 0 ≤ k ≤ N −1 k 1 − aWNk 1 − aWN
π 2π 2π nm − j nm ⎞ − j nk 2π 1 N−1⎛ j 2N nk +e N ⎟e N X(k) = ∑cos( nmW ) N = ∑⎜e N 2 n=0 ⎝ n=0 ⎠
N−1 − j 2π (k−m) − j 2π (k+m) ⎞ − − e e 1⎛ 1 1 ⎟ = ⎜ + 2π 2π − j (k+m) ⎟ 2⎜ − j N (k−m) 1−e N ⎝1−e ⎠ N+1 N+1 ⎞ − jπ (k−m) − jπ (k+m) jπ (k−m) jπ (k+m) −j −j (k+m)π (k−m)π − − e e e e 1⎛ N N ⎟ = ⎜ π + π e e π π j (k+m) − j (k+m) ⎟ 2⎜ j N(k−m) − j N(k−m) −e e N −e N ⎝e ⎠ N+1 N+1 sin ⎡ −j (k−m)π −j (k+m)π ⎫ ( k −m) π⎤ ( k +m) π⎤ 1⎧ ⎪ sin ⎡ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ N N e e = ⎨ + ⎬ 2⎪ k m N k m N sin π / sin π / − + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ) ⎦ ) ⎦ ⎪ ⎣( ⎩ ⎣( ⎭
数字信号处理 Chapter03答案
11
3.2 Properties of the z-Transform
Ex. ( linearity) x(n) = [3(2n) – 4(3n)] u(n) 3 4 – 1 – 2z –1 1 – 3z –1
X(z) =
ROC: |z| > 3
12
3.2 Properties of the z-Transform
z = re
jθ
=
n =−∞
∑ x ( n )r
−n
∞
− n − jθ n
e
X ( z) ≤
n =−∞
∞
∑
−1
x (n) r
+∑
n=0
∞
∞
x ( n) rn
x (n) rn
≤ ∑ x ( −n ) r + ∑
n n =1 n =0
7
3.1 The z-Transform
3.1.1 The Direct z-Transform
3.2 Properties of the z-Transform
X(z) = ∑ x(n) z – n
14
3.2 Properties of the z-Transform
X(z) = ∑ x(n) z – n
15
X(z) = ∑ x(n) z – n
16
3.3 Rational z-Transforms
1 2 −1 1 2 2
X ( z ) = 1+ z + (
X ( z) = 1 1− z
1 2 −1
)
z + .... + (
−2
1 n 2
)
z −n
数字信号处理课后第三章习题答案
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
题3解图
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
4． 证明DFT的对称定理， 即假设X(k)=DFT［x(n)］， 证明 DFT［X(n)］=Nx(N－k) 证： 因为
kn X (k ) x(n)WN n 0 N 1
1 x(n) N
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
n 0
N 1
n( m k ) WN
N 0
m N k m N k , 0≤ m ≤ N 1
k=0, 1, …, N－1
所以 DFT［X(n)］=Nx(N－k)
5． 如果X(k)=DFT［x(n)］， 证明DFT的初值定理
证: 由IDFT定义式
1 N 1 x(0) X (k ) N k 0
- j mn - j kn 1 j N mn 2π kn (6) X (k ) cos mn WN (e e N )e N 2 N n 0 n 0
N 1
N 1
2π
2π
2π
1 e 2 n 0
N 1
j
2π ( mk ) n N
1 e 2 n 0
1knnknnnnknnnnknnwkx2j2j102j10e1e1e1??????????????????????12100nkkn?离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章211001011nnknnnnxknwnkn????????????30010010011nknnnnknknnnxknnwwnnwkn?????????????00nnn??1j10sin1e1sinkmmmkknnnnnknnmkwnxkwrkwkn??????????????????????4离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章52j2j102j102je1eekmnkmnnnnkmnknnnnmnnwkx??????????????je1kmn?????????mkmkn00kn1离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章6knnnnnnmnnmnnknnwmnnkx2j10102j2jeee212cos????????????????2211jj0011ee22nnmknmknnnnn?????????????????????????????????2j2j2j2je1e1e1e121kmnnkmnkmnnkmn离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章20nkmknmkmknm????????????0kn170002j211jj71eeeknnnnknnknnnxkw?????????????072j00ee1enknnnxkw???????0210j202sin2e0112sin2nknnknknkn???????????????????????离散傅里叶变换dft及其快速算法fft第3章或110e1e12jj700??????nkkxknn????8解法一直接计算
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题8解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(5) 画x3(n)时， 先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（二）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题2解图（三）
分别求出输出y(n)。
（1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)
解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
3.1 图 P3.1 所示的序列 x(n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X (k) 。
∑ ∑ ∑ 解： X (k)
=
N −1
x(n)WNnk
=
N −1
x(−n)WNnk
=
−( N −1)
x(n)WN−nk
=
X (−k)
解：图 P3.5_1 所示的是计算这两个序列的周期卷积 x3 (n) 的过程，可以看出，x3 (n) 是 x1 (n) 延时 1 的结果， 即 x3(n) = x1(n −1) 。
3.6 计算下列序列的N点DFT：
(1) x(n) = δ (n)
(2) x(n) = δ [(n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N
总计需要时间： (105 + 21)s = 126s
用 FFT 计算 DFT：
复数乘法：
N 2
log2
N
=
5120次, 5120 ×100μ s
≈
0.512s
复数加法： N log2 N = 10240次,10240× 20μs ≈ 0.2048s
总计需要时间： (0.512 + 0.2048)s = 0.7168s
（2） x2 (n) = x ⎡⎣(2 − n)⎤⎦4 R4 (n)
解： x1(n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示：
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x(n) 。 （1）绘出 x(n) 与 x(n) 的线性卷积结果的图形。 （2）绘出 x(n) 与 x(n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 （3）绘出 x(n) 与 x(n) 的 8 点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷
数字信号处理(方勇)第三章习题答案
数字信号处理(方勇)第三章习题答案3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz z z z z H 级联型网络结构。
解：23－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z z H z z z z --------+=--+级联型网络结构。
解：()x n ()y n 243－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322z z H z z z z -----++=-++，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z z z z ----+=+-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：)题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR 滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z zz z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()x n 1-1-1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。
而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。
)(z H 中包含11-+z 项。
所以：11()()(1)H z H z z -=+。
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第三章
第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列(xn 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数(X k。
解:(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.2 (1设(xn 为实周期序列,证明(x n 的傅里叶级数(X k 是共轭对称的,即*((X k X k =− 。
(2证明当(xn 为实偶函数时,(X k 也是实偶函数。
证明:(1 111**((([(]((N nk N n N N nk nkNNn n Xk x n W Xk x n W xn W X−−=−−−==−=−===∑∑∑ k(2因(xn 为实函数,故由(1知有 *((Xk X k =− 或*((X k X k −= 又因(xn 为偶函数,即((x n x n =− ,所以有(111*0((((((N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k −−−−−=====−= =−=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号(xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果,不直接计算其傅里叶级数的系数(Xk ,确定以下式子是否正确。
(1,对于所有的k; ((10Xk X k =+ (2((Xk X k =− ,对于所有的k; (3; (00X=(425(jkX k eπ,对所有的k是实函数。
解:(1正确。
因为(x n 一个周期为N =10的周期序列,故(X k 也是一个周期为N=10的周期序列。
(2不正确。
因为(xn 一个实数周期序列,由例3.2中的(1知,(X k 是共轭对称的,即应有*((Xk X = k −,这里(X k 不一定是实数序列。
(3正确。
因为(xn (0n ==在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等,所以有 10(0N n Xx −=∑ (4不正确。
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理英文版课后答案（3）
Chapter 3 Solutions3.1 (a) (i) x[0] = 3(ii) x[3] = 5(iii) x[–1] = 2(b) (i)(ii) The sketch for x[n+1] does not show the value of the sample x[5], since this information is not provided in the question.3.2 The impulse function is zero everywhere except n = 0.(a) δ[–4] = 0(b) δ[0] = 1(c) δ[2] = 03.3 (a) This function is a mirror image of the impulse function across the verticalaxis, which means no change occurs.(b) This function shifts the impulse two steps to the right and increases its amplitude to 2.(c) This function is the sum of two impulse functions.3.4 The step function is zero for n < 0 and one everywhere else.(a) u[–3] = 0(b) u[0] = 1(c) u[2] = 13.5 (a) x[n] = 4u[n–1](b) x[n] = –2u[n](c) x[n] = 2u[–n](d) x[n] = u[n–2](e) x[n] = u[2–n]3.6(a)(b)3.7 (a) This signal is a sum of shifted step functions, each with amplitude one. x[n] = 0.1u[n –1] + 0.1u[n –2] + 0.1u[n –3] + …(b) This signal is a sum of impulse functions with increasing amplitude. x[n] = 0.1δ[n –1] + 0.2δ[n –2] + 0.3δ[n –3] + …3.8 x[n] = (u[n] – u[n –2]) + (u[n –5] – u[n –7]) + (u[n –10] – u[n –12])3.9 x[n] = 2δ[n] – 3δ[n –1] + δ[n –2] – δ[n –3] + 3δ[n –4]3.10 (a)x[n] = δ[n –3] + δ[n –4] + δ[n –5] + δ[n –6] – δ[n –7] – δ[n –8] – δ[n –9] – δ[n –10] – δ[n –11] ∑∑==-δ--δ=117k 63k ]k n []k n [(b) x[n] = u[n –3] – 2u[n –7] + u[n –12] 3.11 x[n] = u[n] + 2u[n –4]3.123.13 The signal has values 1, 0.5, 0.25, 0.125, etc. These values can be generated from the function 0.5n , where each value is the amplitude of an impulse function. The signal may be expressed as ∑∞=-δ=0k k ]k n [)5.0(]n [x = δ[n] + 0.5δ[n –1] + 0.25δ[n –2] + 0.125δ[n –3] + …3.14 (a)By Euler’s identity, ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π==π-4n sin j 4n cos e]n [x 4n j(b)From (a), 4π=Ω. Therefore, 18422=ππ=Ωπ. The digital period is 8 samples.3.15 (a)⎪⎭⎫⎝⎛π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π==π-3n sin j 3n cos e ]n [x 3n j(b) The magnitude of any complex number is the square root of the sum of the squares of the real and imaginary parts. The magnitudes in the last column in (a) show that 3n j eπ- = 1. This equation is true for all n.3.16 The frequency of the analog signal is f = ω/2π = 200/2π Hz. The samplingfrequency f S = 1/T S = 1/(25x10–3) = 40 Hz. The digital frequency is Ω = 2πf/f S = 200/40 = 5 rads. The sampled signal is x[n] = 5sin(n Ω) = 5sin(5n).3.17 Check 2π/Ω for each function. The function is periodic if this ratio is rational. (a) 2π/Ω = 2π/(4/5) = 10π/4 = 5π/2This ratio is not rational, so the sinusoid is not periodic. (b) 2π/Ω = 2π/(6π/7) = 14/6 = 7/3This ratio is rational, and in lowest terms. The number in the numerator, 7, is the number of samples before the sequence repeats. (c) 2π/Ω = 2π/(2π/3) = 3This result may be seen as 3/1. Thus, the sinusoid is periodic with period 3.3.18 (a) From the equation for x(t), ω = 2πf = 1000π, so f = 500 Hz. Since seven samples are collected every three cycles, N = 7 and M = 3, so37M N 2==ΩπThis means SS f 5002f f 276π=π=π=Ω. Solving S f 500276π=π gives f S = 1167 Hz. (b) Since f S > 2f, the sampling rate is adequate to avoid aliasing.3.19 (a) The following samples are graphed below.(b) The ratio 2π/Ω is 2π/(4π/5)=10/4 = 5/2. The numerator, 5, indicates the sinusoidal sequence repeats every five samples. Because the denominator of the ratio is 2, these five samples are collected over two analog periods.(c) The analog signal is superimposed over the digital signal with a dashed line in the figure below.3.20 The analog frequency of x(t) is f = ω/(2π) = 2500π/(2π) = 1250 Hz. The digital frequency of x[n] is π/3 radians. These frequencies must be related through the equationSS f 12502f f 23π=π=π=ΩThe solution to this equation is f S = 7500 Hz. One other solution is possible, since⎪⎭⎫⎝⎛π=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π=⎪⎭⎫ ⎝⎛π3n 5cos 3n n 2cos 3n cos . This view givesSf 1250235π=π=Ωor f S = 1500 Hz. At this frequency, aliasing occurs. The signal appears at a frequency of 250 Hz. This explains why this second sampling rate works:315002502f f 2S π=π=π=Ω3.21 (a) From 052n 92=π+π, n = 59-. The shift moves the function left by 9/5samples. (b) The samples in the two signals do not match, because the shift is not an integer.(c) 951.052)0(92sin ]0[x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π=927.052)1(92sin ]1[x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+π=(d) For a phase shift of two samples to the right,0)2(92n 92=θ+π=θ+π, so 94π-=θ. Thus, ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-π=94n 92sin ]n [x 1. One period of this signal contains the same sample values as one period of x 2[n]. 3.22 (a)(b)(c)(d) 3.23(a)Since the digital sinusoid is periodic,M 10M N 2==Ωπ. Since Sf f 2π=Ω, M10f f S =. Therefore, 10Mf f S=. Possible frequencies f of the analog signal are defined by M = 1, 3, 7, 9, 11, …, that is, all integers that do not share any factors with 10. Other integers M result in a digital period less than 10. For 4 kHz sampling, the possible frequencies f are 400, 1200, 2800, 3600, 4400, … Hz. (b) The only two frequencies from (a) that lie within the Nyquist range are 400 Hz and 1200 Hz. All other frequencies f, when sampled at 4 kHz, produce aliases at 400 or 1200 Hz.3.24 A 16-bit image uses 16 bits to represent the gray scale level for each pixel in the image. A total of 65,536 gray scale values can be represented with 16 bits.3.25 Each square on the checkerboard is recorded by a 16 x 16 block of pixels. All pixels in the white squares have gray scale value 255. All pixels in the black squares have gray scale value 0.。
第三章数字信号处理课后答案刘顺兰版
第三章数字信号处理课后答案刘顺兰版第三章部分习题解答（数字信号处理（第二版），刘顺兰，版权归作者所有，未经许可，不得在互联网传播）3.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs ，每次复加需20μs ，今用来计算N=1024点的)]([n x DFT ，问用直接运算需要多少时间，用FFT 运算需要多少时间？解：∑?=====101010,21024,)()(N n nk N M N Wn x k X直接运算所需的总时间为s N N s N T d μμ20)1(1002×?+×=秒分62126201023102410010242=≈××+×=s s s μμFFT 运算所需总时间为s NM s M N T F μμ201002×+×=s s s 717.02010102410010102421=××+×××=μμ3.2在基-2FFT 算法中，最后一级或开始一级运算的系数10==N p N W W ，即可以不做乘法运算。
问（1）乘法可节省多少次，所占百分比为多少？解：可节省2N 次，所占百分比为 %100log 1%100log 2222×=×N N N N 如 8=N 则为%3.33%10031≈×3.11以20kHz 的采样率对最高频率10kHz 的带限信号()a x t 采样，然后计算)(n x 的1000N =个采样点的DFT ，即210()()N j nk N n X k x n eπ??==∑，1000N =.（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?（2）在()X k 中，200k =对应的模拟频率是多少?（3）在()X k 中，700k =对应的模拟频率是多少?解:（1）频谱采样点之间的频率间隔为:20000201000s f f Hz N Δ=== （2）200k =对应的模拟频率为20000200400041000s k f f k Hz kHz N ==×== （3）因700k =大于N/2,故其对应的模拟频率为 20000()300600061000s k f f N k Hz kHz N =?=×== 3.12 对一个连续时间信号)(t x α采样1s 得到一个4096个采样点的序列：(1) 若采样后没有发生频谱混叠，)(t x α的最高频率是多少？(2) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT 系数之间的频率间隔是多少Hz?(3) 假定我们仅仅对Hz f Hz 300200≤≤频率范围所对应的DFT 采样点感兴趣，若直接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT 则需要多少次？解：（1）由题意可知：4096s f Hz =，故)(t x α的最高频率/22048h s f f Hz == （2）409614096s f f Hz N Δ=== （3）直接用DFT 计算，所需要的复乘次数为(3002001)1014096413696d M N =?+=×=若用按时间抽取FFT 则需要的复乘次数为10log 204812245762F N M N ==×= 3.17若给定两个实序列)(1n x 、)(2n x ，令：)()()(21n jx n x n g +=，)(kG 为其傅里叶变换，可以利用快速傅里叶变换来实现快速运算，试利用傅里叶变换的性质求出用)(k G 表示的)(1n x 、)(2n x 的离散傅里叶变换)(1k X 、)(2k X 。
数字信号处理第三章习题作业答案
1 e 当 k 2, 4, 6,... 时，X 1 (k ) 0
序列3:
x3 (n) x1 (n) x1 (n 4)
根据序列移位性质可知
X 3 (k ) X1 ( k ) e j k X1 ( k ) (1 e j k )
即 x(n) 是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
（3）由于是8点周期序列，其DFS:
nk X (k ) x(n )WN x (n )e n 0 n 0 N 1 7 j 2 nk 8
序列1:
X 1 (k ) e
n 0
3
y 解: 序列 x(n) 的点数为 N1 6 ， (n) 的点数为 N 2 15， 故 x(n) y (n) 的点数应为
N N1 N 2 1 20
是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列 19( N 1) 0
15 ( L)
又 f (n) 为 x(n) 与 y (n) 的15点的圆周卷积，即L＝15。
第三章习题讲解
n 1, 0 n 4 h(n) R4 (n 2) 3．设 x(n) 其他n 0, h 令 x(n) x((n))6 ， ( n) h((n)) 6 ，
试求 x(n) 与 h (n) 的周期卷积并作图。
解：
y ( n ) x ( m )h ( n m )
4 ( L N 1)
15 ( L)
34 ( L N 1)
混叠点数为N－L＝20－15＝5 n 0 ~ n 4( N L 1) 故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y (n)