中考数学25题专题训练
重庆市中考数学25题
重庆市中考数学专题1、（一中2019级初三下入学考试）《见微知著》读到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思维阀门发现新问题、新结论的重要方法。
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思维难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等。
例如：11111,1=+++=ba ab 求证：证明：111111=+++=+++=b b b b a ab ab 原式 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到一个蘑菇或者作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题：我们有更多的式子满足以上特征。
阅读材料二： 基本不等式()0,02 b a b a ab +≤，当且仅当b a =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具；例如：在0 x 的条件下，当x 为何值时，xx 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵0 x ，01 x ，∴xx x x 121⋅≥+，即2121=⋅≥+x x x x ，∴21≥+x x 当且仅当x x 1=，即1=x 时，x x 1+有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知1=ab ，求下列各式的值： ①=+++221111b a ； ②=+++n n b a 1111 ；（2）若1=abc ，解方程.1151515=++++++++c ca cx b bc bx a ab ax（3）若正数b a 、满足1=ab ，求ba M 21111+++=的最小值。
2、（巴蜀2019级初三下开学考试）材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子。
在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与划归的目的。
例如在求解一元四次方程,012,0122224=+-==+-t t t x x x 则原方程变为时，令解得,1=t ，从而解得原方程的解为.1±=x材料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。
精品 九年级数学 中考集训题 25
中考集训题251.如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是（ ） A ．北 B ．京C ．精D ．神2.如图，三个方格代表三位数的数字，且甲、乙两人分别将3、6的号码排列如下，然后等机会在1-9的9个号码中选出一个数，将它在两个空格中填上，则排出的数甲大于乙的概率是（ ）。
A ．21 B. 31 C ．32D ．913.已知5个正数1234a a a a a，，，，的平均数是a ，且12345a a a a a >>>>，则数据12340a a a a a ，，，，，的平均数和中位数是（ ） A ．3a a ，B ．342a aa +， C ．23562a a a +，D ．34562a a a +， 4.函数y ＝ax ＋1与y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象可能是( )5.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,∠ABC=60°，AB= DC=2, AD=1，R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）6.已知，△ABC 中，∠A=600，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连接DE ，OE ，下列结论：①BC=2DE ，②D 到OE 的距离不变；③BD+CE=2DE 。
其中结论正确的是（ ）。
A. ①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③7.如图，在正方形ABCD 中，AB=3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （cm 2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）8.直线25y x =-+分别与x 轴，y 轴交于点C 、D ，与反比例函数3y x=的图象交于点A 、B.过点A 作AE ⊥y 轴与点E ，过点B 作BF ⊥x 轴与点F ，连结EF ，下列结论：○1AD ＝BC ；○2EF ∥AB ；○3四边形AEFC 是平行四边形；○4AODBOCSS=.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.如图，矩形ABCG （BC AB ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310.如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（ ）A ．132π平方厘米B ．312π平方厘米C ．25π平方厘米D ．无法计算11.设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 12＋3x 1x 2＋x 22的值为_______ 12.当整数x=______时，分式13+-x x的值是非负整数。
2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．24．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x =>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为 ．25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠= ．26．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为 ．27．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点()0,2A −，()1,0B ，将线段AB 平移得到线段DC ，若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点D 的坐标是 ．28．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，53AC BD =．线段AB 与A B ''关于过点O 的直线l 对称，点B 的对应点B '在线段OC 上，A B ''交CD 于点E ，则B CE '与四边形OB ED '的面积比为29．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．三、解答题30．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 31．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出AD AB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）32．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A −，()2,3B −，()5,2C −．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π） 34．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．35．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 36．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；(2)已知P 是直线y =且存在O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm【答案】A【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，由此解答即可．【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，∴阴影图形的周长是：480280220440cm⨯+⨯−⨯=，故选：A．6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD与BC交于点O，ABO和CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；B．图案成轴对称，故符合题意；C．图案不成轴对称，故不符合题意；D．图案不成轴对称，故不符合题意；故你：B．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：B ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒ 由对称的性质得OAB ODC ≌，由全等三角形的性质即可判断；OH ，可得 GOD ∠=，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．A.OE OF ⊥，90︒，点的中点，OAB 与ODC 都是等腰三角形，由对称得OAB ODC ≌，F 分别是底边AB ，，结论正确，故不符合题意；O 作GM OH ⊥，90GOD DOH ∴∠+∠=︒，90BOH DOH ∠+∠=︒，GOD BOH ∴∠=∠，由对称得GOD COH ∴∠=∠，同理可证AOD ∠∴故选：B 17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1【答案】D【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照16Q 的反向运动理解去分类讨论：①16Q 先向右1个单位，不符合题意；②16Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1．【详解】解：由点()32,2P 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到()42,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到()41,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则按照“和点”16Q 反向运动16次求点Q 坐标理解，可以分为两种情况：①16Q 先向右1个单位得到()150,9Q ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是15Q 向右平移1个单位得到16Q ，故矛盾，不成立；②16Q 先向下1个单位得到()151,8Q −，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到16Q ，故符合题意，那么点16Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()17,98−+−，即()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1，故选：D ．二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．【答案】()3,4【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B 的坐标． 【详解】解：∵点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ， ∴点B 的坐标为()12,13++，即()3,4．故答案为：()3,4．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．【答案】()1,4【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出()1,4D ．【详解】解：∵点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，∴AD BC =，AC BD =，∴可画图形如下，由图可知点C 、D 关于线段AB 的垂直平分线2x =对称，则()1,4D ．故答案为：()1,4．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设CE x =，则8AE BE x ==−，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由折叠的性质，得AE BE =，设CE x =，则8AE BE x ==−，由勾股定理，得222BC CE BE +=，∴()22248x x +=−，解得3x =.故答案为：3．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．出A EF A B C ''''∽，根据对应边上的中线比等于相似比，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，30ABC ∠=︒，AD 为中线，AD BC ⊥，BD CD =，∵将ABC 沿其底边中线,C BC B '∥∴A EF A B C ''''∽，EF A D B C A G'='''， 13AA AD '=，3223DA AD A G '='=2EF A D '22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．∵4AB =，30ABC ∠=︒，在ABCD Y ∴122AH AB ==，AD BC ∥，∴24AA AH '==，AA AD '⊥，∵5AD =，23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，。
中考数学几何模型专题25函数与正方形存在性问题(老师版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题25函数与正方形存在性问题【例1】（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？（2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？（3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值；（4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2；（2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t；（3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果；（4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果．【解答】解：由题意得，CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t，（1）四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴＝1，∴PC＝BC＝4，∴t＝＝2s；（2）∵AB∥CD，∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ，∴，∵点E是BD的中点，∴BE＝DE，∴△DEF≌△BEQ（AAS），∴DF＝BQ＝4﹣t，∴CF＝CD﹣DF＝t，∴t1＝1，t2＝0（舍去），（3）如图1，点O是PQ的中点，CO平分∠DCP，作OG⊥BP于G，同理得：OG＝，PG＝，∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，∵∠COG＝∠OCG＝＝45°，∴OG＝CG，∴，∴t＝；（4）如图2，过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H，∵CF∥EG∥AB，∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG，∴，＝，∴，＝，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝，∴＝，∴EH＝，∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣．【例2】（2022春•孟村县期末）如图，在平面直角坐标系中．直线l：y＝﹣2x+10（k≠0）经过点C（3，4），与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（8，4），连接OD，交直线l于点M，连接OC，CD，AD．（1）填空：点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（4，2）；（2）求证：四边形OADC是菱形；（3）直线AP：y＝﹣x+5与y轴交于点P．①连接MP，则MP的长为5；②已知点E在直线AP上，在平面直角坐标系中是否存在一点F，使以O，A，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A的坐标，又点D的坐标，利用待定系数法可求出直线OD的解析式，再联立两函数解析式，可求出交点M的坐标；（2）过点C作CQ⊥x轴于点Q，利用勾股定理可得出OC＝5，又点C，D的坐标可得出CD＝5，CD ∥x轴，结合点A的坐标，可得出CD＝OA，进而可得出四边形OADC为平行四边形，再结合OC＝OA，即可证出四边形OADC是菱形；（3）①过点M作MN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点P的坐标，结合点M。
重庆中考数学25题
25题二次函数专题【求三角形面积最大】1.（2012•眉山）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2.（2012•广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•十堰）抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．4.（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2-2x-3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．【构成图形】（线段和最短，面积等，直角三角形，平行四边形，菱形）1.（2012•梧州）如图，抛物线y=-x2+12x-30的顶点为A，对称轴AB与x轴交于点B．在x上方的抛物线上有C、D两点，它们关于AB对称，并且C点在对称轴的左侧，CB⊥DB．（1）求出此抛物线的对称轴和顶点A的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找出点Q，使它到A、C两点的距离相等，并求出点Q的坐标；（3）延长DB交抛物线于点E，在抛物线上是否存在点P，使得△DEP的面积等于△DEC的面积？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4. (2012•株洲）如图，一次函数y=-12x+2分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点， 抛物线y=-x2+bx+c 过A 、B两点． （1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．5.（2012•西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，已知A （0，4）、C （5，0）．作∠AOC 的角平分线交AB 于点D ，连接DC ，过D 作DE ⊥DC 交OA 于点E ． （1）求点D 的坐标； （2）求证：△ADE≌△BCD；（3）抛物线经过A 、C 两点，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，求点P作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由．6.（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【全等，相似】1. (2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，-3）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．3.（2012•天水）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．（3）P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. （2012•苏州）如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为______ （用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【超级无敌综合题】1.（2012•恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．2.（2012•阜新）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．。
2022中考数学专题25 命题与证明(专项训练)(解析版)
专题25 命题与证明一、单选题1．（2021·河南九年级）能说明命题“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题的反例为（ ）A ．2n =-B ．1n =-C ．0n =D ． 6.8n =【答案】D【分析】计算一元二次方程根的判别式即可【详解】依题意“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题则：2(4)40n ∆=--< 解得：4n >故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，命题与假命题的概念，熟悉概念是解题的关键．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中）下列命题，真命题是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有一个角为直角的四边形为矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【分析】由题意根据平行四边形的判定定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；B 、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；D 、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，注意掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2021·山西九年级）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．分类讨论思想C．转化思想D．公理化思想【答案】D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D．【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．4．（2021·湖南九年级）下列各命题是真命题的是（）A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B．平行四边形一定是中心对称图形C．有一个内角为60 的平行四边形是菱形D．三角形的外角等于它的两个内角之和【答案】B【分析】根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．【详解】解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项是假命题；B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2021·广西九年级）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；故选B ．6．（2021·浙江）下列选项中，可以用来证明命题“若a ＞b ，则1a ＜1b ”是假命题的反例是（ ）A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝2，b ＝﹣1C ．a ＝﹣2，b ＝1D ．a ＝﹣2，b ＝﹣1 【答案】B【分析】把各选项提供的数据代入计算，进行比较即可求解．【详解】解：A.当 a ＝2，b ＝1时，111,12a b ==，则11a b ＜，无法说明原命题为假命题，不合题意； B. 当a ＝2，b ＝﹣1时，111,12a b ==-，则11a b＞，说明原命题为假命题，符合题意； C.当 a ＝﹣2，b ＝1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意．D.当 a ＝﹣2，b ＝﹣1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意． 故选：B【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．7．（2021·辽宁九年级）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．同位角相等，两直线平行C ．对顶角相等D ．若0a >，0b >，则0a b +>【答案】B【分析】 分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A 、若a b =，则||||a b =的逆命题是若||||a b =，则a b =，逆命题是假命题，不符合题意；B 、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．8．（2021·辽宁九年级）下列说法错误．．的是（ ） A ．“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等C ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件D ．函数1y x=-的图象经过点()1,1- 【答案】A【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、随机事件的概念判断即可．【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，A 错误，符合题意； 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，B 正确，不符合题意；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，C 正确，不符合题意；因为1x =时，11y x =-=-，所以函数1y x=-的图象经过点(1,1)-，D 正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．（2021·湖南九年级）下列说法正确的是（ ）A ．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；C 、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；D 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（2021·重庆九年级）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C ．菱形的对角线相等D ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形【答案】D【分析】由平行四边形的判定得出A 错误；由矩形的判定得出B 不正确；由菱形的定义得出C 正确；由菱形的判定得出D 正确；即可得出答案．【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴A 不正确；B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴B 不正确；C. 菱形的对角线互相垂直平分∴C 不正确；D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形∴不正确;故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．二、填空题11．（2021·山西九年级）若举反例说明命题“若a b <，则ac bc <”是假命题时，令a 的值为5,b -的值为2-，则可给c 取一个具体的值为_______．【答案】1c =-（答案不唯一）【分析】“若a b <时，则ac bc <”是假命题，则a b <时，ac ≥bc ，即可．【详解】解：ac -bc ≥0,c （a -b ）≥0-3c ≥0c ≤0即可.故答案为：1c =-（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题，掌握真假命题是解题的关键．12．（2021·江苏无锡市·）请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：_____________________________．【答案】如果同位角相等，那么两直线平行【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，这样就将原命题变成了它的逆命题．【详解】解：原命题是：两直线平行，同位角相等．改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．∴逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．【点睛】本题是一道命题与定理的概念试题，考查了命题的组成，原命题与逆命题的关系．13．（2021·安徽合肥·）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题________________【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【详解】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判定，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题结论，而第一个命题的结论是第二个命题条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题成为另一个命题的逆命题．14．（2021·安徽九年级）命题“对顶角相等”的逆命题是__________．【答案】相等的角是对顶角【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：相等的角是对顶角．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．（2021·江苏九年级）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.【详解】∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.【点睛】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．三、解答题16．（2021·贵州九年级）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形．．．．，写出已知．．．．、求证和证明．．．．．． 【答案】见解析【分析】过点A 作//EF BC ，由两直线平行，内错角相等得到1B ∠=∠，2C ∠=∠，再根据平角的定义解题．【详解】已知：如图，ABC ．求证：180A B C ∠+∠+∠=︒．证明：过点A 作//EF BC ，∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，∵12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴180B BAC C ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，涉及平行线性质、平角定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．【答案】（1）甲：1，2，3，4，5；乙：6，8，10，12；丙：7，9，11；丁：13，15；（2）甲丙丁、甲丁丙、丙甲丁、丁甲丙，共4种情况【分析】（1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理．（2）根据题意可确定乙的购票结果．再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、丁的购票顺序即可得出结果．【详解】（1）由所选的座位号之和最小可知，甲先选：5，3，1，2，4；则乙选：6，8，10，12；丙选11，9，7；丁选15，13．（2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4．①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5．Ⅰ若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10．此时丁可选的座位号为12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁．Ⅱ若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时丙可选的座位号为10，12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丁、丙．②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5．Ⅰ若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丁可选的座位号为13，11．即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁．Ⅱ若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5．Ⅰ若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丙可选的座位号为13，11，9．即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙．Ⅱ若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙．【点睛】本题考查推理与论证，理解题意并利用分类讨论的思想是解答本题的关键．18．（2021·河南九年级）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2），在O 中，弦AB CD ⊥于M ，连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点，EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H ，当M 是AB 中点时，直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．【答案】（1）见解析；（2）菱形【分析】（1）先写出已知、求证，先证明BMF MAF ∠=∠，再证明DE ME =，DE CE =即可证明 （2）先证明CE CF =，再证明AC BC =,由布拉美古塔定理证明ME EC CF FM ===即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 证明：,AC BD EF AB ⊥⊥9090BMF AMF MAF AMF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，，BMF MAF ∴∠=∠，EDM MAF EMD BMF ∠=∠∠=∠，， EDM EMD ∴∠=∠， DE ME ∴=，同理可证ME CE =，DE CE ∴=， ∴点E 是DC 的中点故答案为：已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 （2）四边形EMFC 是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，,E F 分别是,AC BC 的中点， 11,22CE AC CF CB ∴== AB CD ⊥ 11,22ME AC MF CB ∴== AB CD M ⊥，是AB 中点AC BC ∴=ME EC CF FM ∴===∴四边形EMFC 是菱形 故答案为：四边形EMFC 是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 19．（2020·江苏鼓楼区·）点E 、F 分别是菱形ABCD 边BC 、CD 上的点． （1）如图，若CE ＝CF ，求证AE ＝AF ；（2）判断命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【答案】（1）见解析；（2）假命题，见解析 【分析】（1）连接AC ，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）举出反例解答即可． 【详解】解：（1）连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ACE ＝∠ACF ， 在△ACE 与△ACF 中CE CF ACE ACF AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ACF （SAS ）， ∴AE ＝AF ，（2）当AE ＝AF ＝AF'时，CE ≠CF'，如备用图，∴命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”是假命题． 【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．20．（2020·丰台·北京十八中）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：（1）则甲同学错的是第题；（2）丁同学的得分是；（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）．【答案】（1）5；（2）3；（3）A【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为5;（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为3;（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键. 21．（2020·浙江台州·九年级期末）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点，则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ．(2)如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点． ①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan ∠DBC 的值．【答案】(1)见解析；(2)①DEtan ∠DBC． 【分析】（1）①证明△ABE ≌△DCE （SAS ），得出△ABE ∽△DCE 即可； ②连接AC ，由自相似菱形的定义即可得出结论； ③由自相似菱形的性质即可得出结论； （2）①由（1）③得△ABE ∽△DEA ，得出AB BE AEDE AE AD==，求出AE ＝，DE ＝②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，则四边形DMEN 是矩形，得出DN ＝EM ，DM ＝EN ，∠M ＝∠N ＝90°，设AM ＝x ，则EN ＝DM ＝x +4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM ＝1，EN ＝DM ＝5，由勾股定理得出DN ＝EM，求出BN ＝7，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下： 如图3所示：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点， ∴AB =CD ，BE =CE ，∠ABE =∠DCE =90°， 在△ABE 和△DCE 中 AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△ABE ≌△DCE (SAS )， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C ＞90°，且∠ABC +∠C =180°，△ABE 与△EDC 不能相似， 同理△AED 与△EDC 也不能相似， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB =∠DAE ，当∠AED =∠B 时，△ABE ∽△DEA ，∴若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点， 则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ， 故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点， ∴BE =2，AB =AD =4， 由(1)③得：△ABE ∽△DEA ， ∴AB BE AEDE AE AD== ∴AE 2=BE •AD =2×4=8，∴AE DE =AB AE BE ⋅，故答案为：AE DE②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则四边形DMEN 是矩形， ∴DN =EM ，DM =EN ，∠M =∠N =90°， 设AM =x ，则EN =DM =x +4，由勾股定理得：EM 2=DE 2﹣DM 2=AE 2﹣AM 2，即2﹣(x +4)22﹣x 2， 解得：x =1， ∴AM =1，EN =DM =5，∴DN =EM = 在Rt △BDN 中， ∵BN =BE +EN =2+5=7，∴tan ∠DBC =DN BN =【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定，菱形的性质应用，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．22．（2020·渠县崇德实验学校九年级）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：）则丁同学的得分是；（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）【答案】（1）3；（2）CACCC【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，当甲选错了第2题，那么其余四道全对，针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第3题时，那么其余四道都对，。
【中考冲刺】初三数学培优专题 25 平面几何的最值问题(含答案)(难)
平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4. 75C ．5D ．4. 85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）B Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B CAB级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是．（“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是．（江苏省竞赛试题）DBAB CAA第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧⌒AB组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）平面几何的最值问题例1125提示：当CM ⊥AB 时，CM 值最小，CM ＝125AC BC AB ⋅= 例2 如图，B ′M ＋MN 的最小值为点B ′到AB 的距离B ′F ，BE ＝45AB BCAC⋅=cm ，BB ′＝85cm ，AE ＝()2222204585AB BE --=．在△ABB ′中，由12BB ′•AE ＝12AB •B ′F ，得B ′F ＝16cm ．故BM ＋MN 的最小值为16cm ． 例3 由△APD ∽△BPQ ，得AP AD BP BQ =，即BQ ＝()b a x AD BP AP x-⋅=，∴AP ＋BQ ＝x ＋ab b x -．∵x ＋ab x ≥2ab x ab x ⋅=仅当x ＝abx即x ab ，上式等号成立．故当AP ab ，AP ＋BQ 最小，其最小值为ab－b ．例4 ⑴22125l π=+，22l ＝49，l 1＜l 2，故要选择路线l 较短． ⑵()2221l h r π=+，()2222l h r =+，()2221244l l r r h π⎡⎤-=--⎣⎦．当r ＝244h π-时，2212l l =，当r ＞244h π-时，2212l l >，当r ＜244hπ-时，2212l l <． 例5 设DN ＝x ，PN ＝y ，则S ＝xy ，由△APQ ∽△ABF ，得()41242y x -=--即x ＝10－2y ，代入S ＝xy 得S ＝xy ＝y (10－2y )，即S ＝－2252522y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因3≤y ≤4，而y ＝52不在自变量y 的取值范围内，所以y ＝52不是极值点，当y ＝3时，S (3)＝12，当y ＝4时，S (4)＝8，故S max ＝12．此时，钢板的最大利用率21214212-⨯⨯＝80%． 例6 设PD ＝x (x ＞1)，则PC 21x -，由R t △PCD ∽△P AB ，得AB ＝21CD PA PC x ⋅=-y ＝AB •S △P AB ，则y ＝12AB ×P A ×AB ＝()()2121x x +-，求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y ＝21212242121x x x x --++=+--1221x x -=-x ＝3时，y 有最小值4．②运用基本不等式：y ＝122221x x -++≥- 321221x x -⋅-＋2＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4. A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.74 4. D 5. D 6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x. ∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF+×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52. 故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23rπ. （2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM . 由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r－2x r . 同理，EF ＝2 r －2x r . l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－xr（x －r ）2＋6 r （0＜x 2 r ）. . 当x ＝r时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ . （2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34. 故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上. （2）由已知得△ABC 底边上的高h ＝225-3＝4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .由△AMN ∽△ABC ，得AO ＝23x ，y ＝S △PMN ＝S △AMN ＝12·x ·23x ＝13x 2即y ＝13x 2. 当＝3时，y 的值最大，最大值是3. ②当3＜x ＜6时，如图2，设△PMN 与BC 相交于点E ，F ，AP 与BC 相交于D . 由①中知AO ＝23x ，∴AP ＝43x ，∴PD ＝AP －AD ＝43x －4，∵△PEF ∽△ABC . ，∴PEFABC S S ∆∆＝(PD AD )2＝(4434x -)2，即PEF ABC S S ∆∆＝2-3)9x （. ∵S △ABC ＝12，∴S △PEF ＝43（x －3）2. ∴y ＝S △AMN －S △PEF ＝13x 2－43（x －3）2＝－x 2＋8x －12＝－（x －4）2＋4. 故当x ＝4时，y 的最大值为4. 综上，当x ＝4时，y 的值最大，最大值为4. B 级1. 8 2 32 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.2. 0＜r ≤1 提示：设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，b ＋c ＝3（r ＋1），又12bc sin60°＝S △ABC ＝12（a ＋b ＋c ）r ，即12bc ·32＝12［33r ＋1）］r ，. bc ＝4r （r ＋2）. b ，c 为方程x 2－3r ＋1）x ＋4r （r ＋2）＝0的两个根，由△≥0，得（r ＋1）≤22. 因r ＞0，r ＋1＞0，故r ＋1≤2，即0＜r ≤1. 3.249π3提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADGABCS S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. 312+a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）. 当x ＝2时, y 最大值＝1cm. （2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2＋3）cm 或（2－3）cm. 8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求. 作O′D ⊥A B 于D . ，O′D 2＝ O′B 2－BD 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D ＝ab 故点C 坐标为（ab ，0）.9. （1）如图，延长CB 到L ，使BL ＝DN ，则Rt △ABL ≌Rt △ADN ，得AL ＝AN ，∠1＝∠2，又∵N ＝2―CN ―CM ＝DN ＋BM ＝BL ＋BM ＝ML ，且AM ＝AM ，∠NAL ＝∠DAB ＝90°. ∴△AMN ≌△AML ，故∠MAN ＝∠MAL＝902＝45°. （2）设CM ＝x ，CN ＝y ，MN ＝z ，则2222222,2,x y z x y z x y z x y z ++==--⎧⎧⇔⎨⎨+=+=⎩⎩，于是，（2―y ―z ）2＋y 2＝z 2. 整理得2y 2＋（2z －4）y ＋（4－4z ）＝0. ∵y ＞0，故△＝4（z －2）2－32（1－z ）≥0，即（z ＋2＋22）（z ＋2－22）≥0. 又∵z ＞0，故z ≥22－2，当且仅当x ＝y ＝2－2时等号成立. 由于S △AMN ＝S △AML ＝12·ML ·AB ＝12 MN ×1＝2z ，因此，△AMN 的面积的最小值为2－1.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC . （2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC 22AB BC -＝2215912-=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>．②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋P A ，故只要求PB ＋P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋P A 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋P A ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠F AE ，∠DF A ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）． （2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k-<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k-==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ． （2）由（1）22122222y x x ==+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =，上式等号成立．故当2x =，y 去最大21．。
专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。
弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。
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6. (2012山东省日照市)如图，二次函数 的图象与 轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过 轴上点E（ ，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数 使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的 ；如果不存在，请说明理由.
（3）(3分)若射线NM交 轴于点P，且PA×PB＝ ，求点M的坐标．
13. (2012四川省达州市)12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（－2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE.
（1）填空：点D的坐标为（），点E的坐标为（）.
（2）若抛物线 经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式.
(1)求点C、D的纵坐标.
(2)求a、c的值.
(3)若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长.
(4)若Q为线段OB或线段AB上一点，PQ x轴.设P、Q两点之间的距离为d（d>0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.
参考公式：二次函数 （a≠0）图象的顶点坐标轴对称变换得到抛物线 ，试判断抛物 经过平移变换后，能否经过 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．
3. (2012江西省)如图，已知二次函数 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ．
（1）写出 、 两点的坐标；
（2）二次函数 ，顶点为 ．
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 的图象交于点 和点 ．
（1）当 时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是 随着 的增大而增大，求 应满足的条件以及 的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为 ，当 是以 为斜边的直角三角形时，求 的值．
9. (2012福建省南平市)12分）在平面直角坐标系中，矩形 如图所示放置，点 在x轴上，点 的坐标为（ ，1）（ ＞0）．将此矩形绕点 逆时针旋转90°，得到矩形 ．
12. (2012四川省资阳市)(本小题满分9分)抛物线 的顶点在直线 上，过点F 的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥ 轴于点A，NB⊥ 轴于点B．
（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 的代数式表示），再求 的值；
（2）(3分)设点N的横坐标为 ，试用含 的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；
（4）若 是该抛物线上位于直线 上方的一动点，求 面积的最大值．
2. (2012浙江省丽水市)在直角坐标系中，点 是抛物线 在第二象限上的点，连结 ，过点 作 ，交抛物线于点 ，以 、 为边构造矩形 ．
（1）如图1，当点 的横坐标为________时，矩形 是正方形；．
（2）如图2，当点 的横坐标为 时．
（3）若正方形和抛物线均以每秒 个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为 ，求 关于平移时间 （秒）的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围.
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.
14. (2012辽宁省大连市)如图， 中， cm， cm，点 同时从点 出发，以1cm/s的速度分别沿 匀速运动，当点 到达点 时，点 同时停止运动.过点 作 的垂线 交 于点 ，连接 ，并作 关于直线 对称的图形，得到 .设点 的运动时间为 （s）， 与 重叠部分的面积为 .
7. (2012黑龙江省齐齐哈尔市)如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，且 ， ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
注：二次函数 的对称轴是直线 ．
8. (2012浙江省杭州市)本小题满分12分）
（1）求抛物线的解析式及对称轴.
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标.
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形
为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
11. (2012吉林省长春市)如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交直线 交于点B.抛物线 分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上.
一、复合题
1. (2012湖北省恩施自治州)如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与 轴交于点 ，其顶点为 ．
（1）求抛物线及直线 的函数关系式；
（2）设点 ，求使 的值最小时 的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线 相交于点 ， 为直线 上任意一点，过 作 交抛物线于点 ，以 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 的坐标；若不能，请说明理由；
①直接写出二次函数 与二次函数 有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数 ，使 为等边三角形？如存在，请求出 的值；如不存在，请说明理由；
③若直线 与抛物线 交于 、 两点，问线段 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 的长度；如果会，请说明理由．
4. (2012上海市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 ，与 轴交于点 ，点 在线段 上， ，点 在第二象限， ， ，垂足为 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段 的长（用含 的代数式表示）；
（3）当 时，求 的值．
5. (2012内蒙古赤峰市)如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 与点 关于抛物线的对称轴对称，直线 交 轴于点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线 的解析式；
（1）写出点 、 、 的坐标；
（2）设过点 、 、 的抛物线解析式为 ，求此抛物线的解析式；
（ 可用含 的式子表示）
（3）试探究：当 的值改变时，点 关于点 的对称点 是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，请求出此时 的值．
10. (2012湖南省郴州市)如图，已知抛物线 经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点.