201708年中考数学第一轮复习相似三角形4.doc
相似三角形复习资料.docx
.\相似三角形及其性质一、课堂讲解知识点 1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
//////如△ ABC与△ A B C 相似，记作 :△ABC∽△ A B C。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△ A/ B/ C/，相似比为 k，则△ A/ B/ C/与△ ABC的相似比是1k知识点 2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为 1 的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点 3、平行线分线段成比例定理1.比例线段的有关概念：在比例式a c (a：b c：d)中，a、d叫外，b、c叫内，a、c叫前，b db、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果把线段 AB分成两条线段 AC和段AB的黄金分割点。
2.比例性质：b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比例中项。
2BC，使 AC=AB· BC，叫做把线段 AB 黄金分割， C叫做线①基本性：a cad bc②合比性：a c a±b c± db d b d b d③等比性：a c⋯md⋯a c⋯m ab d(b n≠ 0)d⋯n bn b3.平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 .已知 l1 ∥ l2∥l3,A D l1B E l2C F l3AB DE 或 ABDE 或 BC EF 或 BCEF 或 AB BC可得 BCEF AC DF AB DF AC DF DE EF 等.（ 2）推论 :平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延长线 )所得的对应线 段成比例 .ADEBCAD AEBDECAD AE由 DE ∥ BC 可得： DB 或或AC.此推论较原定理应用 EC AD EA AB更加广泛 ,条件是平行 .（ 3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例 .那么这条直线平行于三角形的第三边 .此定理给出了一种证明两直线平行方法 ,即：利用比例式证平行线 .（ 4）定理 : 平行于三角形的一边 ,并且和其它两边相交的直线 ,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 .知识点 4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点 5：相似三角形的周长和面积（ 1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。
相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形の概念(1)形状相同の图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单の是相似三角形.(2)如果两个边数相同の多边形の对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度の比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段の相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,の长度分别为n m ,，那么就说这两条线段の比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和の比等于d c 和の比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序の，如果说a 是d c b ,,の第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d の比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和の比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB の黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360の等腰三角形。
黄金矩形：宽与长の比等于黄金数の矩形知识点3 比例の性质（注意性质立の条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例の内项或外项)：()()()a bc d a c d c b db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比の前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例の合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比の前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：①此性质の证明运用了“设k 法”（即引入新の参数k ）这样可以减少未知数の个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式の每一个比の前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段の有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边の直线截其它两边(或两边の延长线)所得の对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形の一边,并且和其它两边相交の直线,所截の三角形．．．の．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理の逆定理：如果一条直线截三角形の两边(或两边の延长线)所得の对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形の第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线の应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循の原则是不要破坏条件中の两条线段の比及所求の两条线段の比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得の对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理の推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得の线段相等，那么在另一条上截得の线段也相等。
2017届中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用教案
第22讲: 相似三角形及其应用一、复习目标1. 复习相似三角形的概念。
2. 复习相似三角形的性质。
3. 复习相似三角形的判定。
4. 复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题。
二、课时安排1课时三、复习重难点重点：运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似。
难点：正确运用相似三角形的性质解决数学问题。
四、教学过程（一）知识梳理相似图形的有关概念比例线段对这两条线段要用同一C平行线分线段成比例定理相似三角形的判定___________直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似三角形及相似多边形的性质位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连相似三角形的应用（二）题型、技巧归纳考点1比例线段技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键考点2相似三角形的性质及其应用技巧归纳：1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 利用相似三角形性质探求比值关系．考点3三角形相似的判定方法及其应用技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．考点4位似技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。
（三）典例精讲例1 如图已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( )A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5[解析] 因为a ∥b ∥c ，所以AC CE ＝BD DF ，∴46＝3DF，DF ＝4.5，BF ＝7.5. 例2 如图△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM HGAD BC(2)求这个矩形EFGH 的周长．[解析] (1)证明△AHG ∽△ABC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论． (2)设HE ＝x ，则HG ＝2x ，利用第一问中的结论求解． 解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH. ∴∠AHG ＝∠ABC. 又∵∠HAG ＝∠BAC ，∴△AHG ∽△ABC ，∴ AM AD ＝HGBC.(2)由(1)得AM AD ＝HGBC .设HE ＝x ，则HG ＝2x ，AM ＝AD －DM ＝AD －HE ＝30－x.可得30－x 30＝2x 40，解得x ＝12，2x ＝24.所以矩形EFGH 的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)．例3、如图在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝12，点E 在AD 边上，且AE ＝8，EF ⊥BE 交CD 于F. (1)求证：△ABE ∽△DEF ； (2)求EF 的长．[解析] (1)由四边形ABCD 是矩形，易得∠A ＝∠D ＝90°，又由EF ⊥BE ，利用同角的余角相等，即可得∠DEF ＝∠ABE ，则可证得△ABE ∽△DEF ；(2)由(1)△ABE ∽△DEF ，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BE EF ＝ABDE ，又由AB ＝6，AD ＝12，AE ＝8，利用勾股定理求得BE 的长，由DE ＝AD －AE ，求得DE 的长，继而求得EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AEB ＋∠ABE ＝90°. ∵EF ⊥BE ，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°， ∴∠DEF ＝∠ABE ，∴△ABE ∽△DEF ； (2)∵△ABE ∽△DEF ，∴BE EF ＝ABDE.∵AB ＝6，A D ＝12，AE ＝8， ∴BE ＝AB 2＋AE 2＝10，DE ＝AD －AE ＝12－8＝4， ∴10EF ＝64， 解得EF ＝203.例4 如图正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC ＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是( )A 、16 B 、13 C 、12 D 、23[解析] 延长A′B′交BC 于点E ，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．∵在正方形ABCD 中，AC ＝32， ∴BC ＝AB ＝3.延长A′B′交BC 于点E ， ∵点A′的坐标为(1，2)， ∴OE ＝1，EC ＝3－1＝2＝A′E， ∴正方形A′B′C′D′的边长为1，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是13.故选B.（四）归纳小结本部分内容要求熟练掌握相似三角形的概念、性质、判定。
(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题
相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。
中考第一轮复习第17讲相似三角形.doc
第17讲相似三角形10cm的线段进行黄金分割，的比叫做黄金比．CE2. ）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，矩形ABCD，AD＝1，CD＝2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜254．下列说法正确的是（）A.①对②对B.①对②错C.①错②对D.①错②错2．如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．①和④3．小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（）A．①②④B．②③C．①③④D．①②③④4．下列四个图案中，不是中心对称图案的是（）A. B. C. D.5．如图，已知一次函数的图像与轴分别交于点，与反比例函数的图像交于点，且，则的值为（）A. B. C. D.6．如图所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是（）A．主视图是中心对称图形B．左视图是中心对称图形C．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形D．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形7．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．b＝0时，方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1C．如果5是方程M的一个根，那么15是方程N的一个根D．ac≠08．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（）A.πB.23π﹣1 C.43π+1 D.43π9．下列命题中哪一个是假命题（）A．8的立方根是2B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大C．菱形的对角线相等且平分D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等10．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A ．12B ．2C D ．11．如图, 甲乙两城市相距600千米,一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市,已知货车出发1小时后客车再出发,先到终点的车辆原地休息,在汽车行驶过程中,设两车之间的距离为s (千米),客车出发的时间为t (小时),它们之间的关系如图所示,则下列结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米.正确的有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点E 在边AD 上，点G 在边BC 上，点F 、H 在对角线BD 上，若四边形EFGH 是正方形，则AE 的长是（ ）A ．5B ．11924C ．13024D ．16924二、填空题13．如图，在ABC △中，，点D 在BC 上，且BD BA =，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连结EF .若四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为____.14．如图，将矩形OABC 置于一平面直角坐标系中，顶点A ，C 分别位于x 轴，y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（5，6），双曲线y ＝kx（k≠0）在第一象限中的图象经过BC 的中点D ，与AB 交于点E ，P 为y 轴正半轴上一动点，把△OAP 沿直线AP 翻折，使点O 落在点F 处，连接FE ，若FE ∥x 轴，则点P 的坐标为___．15．如图，O是正方形ABCD边上一点，以O为圆心，OB为半径画圆与AD交于点E，过点E作⊙O的切线交CD于F，将△DEF沿EF对折，点D的对称点D'恰好落在⊙O上．若AB＝6，则OB的长为_____．16．计算：1-+=________.12-17．某校抽查50名九年级学生对艾滋病三种主要传授途径的知晓情况，结果如表估计该校九年级600名学生中，三种传播途径都知道的有_____人．18_____．三、解答题19．如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60度．(1)求∠AOC的度数；(2)在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；(3)如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO＝S△CAO时，求动点M所经过的弧长．20．如图，正方形ABCD中，AB＝O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．210）﹣122．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣14x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD．（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；（2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；（3）连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交x轴于点T．当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标．23．如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB，A（0，﹣3），B（﹣2，0）．将△OAB先绕点B 逆时针旋转90°得到△BO1A1，再把所得三角形向上平移2个单位得到△B1A2O2；（1）在图中画出上述变换的图形，并涂黑；（2）求△OAB在上述变换过程所扫过的面积．24．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD，过点A作直线MN，使∠MAC＝∠ADC．（1）求证：直线MN是⊙O的切线．（2）若sin∠ADC＝12，AB＝8，AE＝3，求DE的长．25．在一次数学考试中，小明有一道选择题(只能在四个选项A、B、C、D中选一个)不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．(1)小明随机选的这个答案，答对的概率是；(2)通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？(3)这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷的过程中，发现学生的错误率较高．他想：若这10道选择题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1014．（0，53）或（0，15）．15．10 316．1 2 -17．300 18．1 三、解答题19．(1)∠AOC＝60°；(2)PO＝8；(3)点M经过的弧长为43π或83π或163π或203π.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC＝60°（2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC，∴∠P＝90°−∠AOC＝30°，∴PO＝2 CO＝8 （3）如图，当S△MAO＝S△CAO时，动点M的位置有四种．①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．【详解】(1)∵在△ACO中，∠OAC＝60°，OC＝OA∴△ACO是等边三角形∴∠AOC＝60°．(2)∵CP与⊙O相切，OC是半径．∴CP⊥OC，又∵∠OAC＝∠AOC＝60°，∴∠P＝90°﹣∠AOC＝30°，∴在Rt△POC中，CO＝12PO＝4，则PO＝2CO＝8；(3)如图，①作点C关于直径AB的对称点M1．易得S△M1AO＝S△CAO，∠AOM1＝60°∴144603 180AMππ︒︒=⨯=∴当点M运动到M1时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为43π．②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，易得S△M2AO＝S△CAO．∴∠AOM1＝∠M1OM2＝∠BOM2＝60°∴2481203 180AMππ︒︒=⨯=∴当点M运动到M2时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为83π．③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，易得S△M3AO＝S△CAO ∴∠BOM3＝60°，234162403 180AM Mππ︒︒=⨯=，∴当点M运动到M3时，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为163π．④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO＝S△CAO，此时点M经过的弧长为4203003180ππ︒︒⨯=．【点睛】本题利用了等边三角形的判定和性质，切线的性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质求解．20．（1）详见解析；（2）点F到直线BC的距离为5．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE＝∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF；（2）由勾股定理可求AO的长，可得AE＝CF＝3，通过证明△ABO∽△CPF，可得CF PFAO BO=，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离．【详解】证明：（1）∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，∴∠EDF＝90°，DE＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，DE＝DF，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，且DE＝DF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，（2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离．∵点O是BC中点，且AB＝BC＝∴BO∴AO5，∵OE ＝2， ∴AE ＝AO ﹣OE ＝3. ∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ＝3，∠DAO ＝∠DCF ，∴∠BAO ＝∠FCP ，且∠ABO ＝∠FPC ＝90°， ∴△ABO ∽△CPF ， ∴CF PFAO BO=， ∴35=∴PF ，∴点F 到直线BC . 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO ∽△CPF 是本题的关键．21【解析】 【分析】将原式中每一项分别化为11+再进行化简． 【详解】解：原式＝11+= 【点睛】本题考查实数的运算；熟练掌握运算性质，绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．22．（1）2184y x x =--+ ,（﹣8，0）；（2）﹣4或﹣1；（3）（1，274）. 【解析】 【分析】（1）直接将A ，C 两点代入即可求 （2）可设P （m ，-14m 2-m+8），由∠OQP=∠BOD=90°，则分两种情况：△POQ ∽△OBD 和△POQ ∽△OBD 分别求出PQ 与OQ 的关系即可（3）作平行四边形，实质是将B 、P 向右平移8个单位，再向上平移4个单位即可得到点E 和点D ，点E 在二次函数上，代入即可求m 的值，从而求得点E 的坐标． 【详解】（1）把A （0，8），C （4，0）代入y ＝﹣14x 2+bx+c 得8440c b c =⎧⎨-++=⎩，解得18b c =-⎧⎨=⎩ ∴该二次函数的表达为y ＝﹣14x 2﹣x+8 当y ＝0时，﹣14x 2﹣x+8＝0，解得x 1＝﹣8，x 2＝4 ∴点B 的坐标为（﹣8，0） （2）设P （m ，﹣14m 2﹣m+8），由∠OQP ＝∠BOD ＝90°，分两种情况： 当△POQ ∽△OBD 时，PQ BO 82OQ OD 4=== ∴PQ ＝2OQ 即﹣14m 2﹣m+8＝2×（﹣m ），解得m ＝﹣4，或m ＝8（舍去） 当△POQ ∽△OBD 时，OQ B 82PQ D 4O O === ∴OQ ＝2PQ即﹣m ＝2×（﹣14m 2﹣m+8），解m ＝﹣1或m ＝﹣综上所述，m 的值为﹣4或﹣1（3）∵四边形BDEP 为平行四边形， ∴PE ∥BD ，PE ＝BD∵点B 向右平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ∴点P 向右平移8个单位，再向上平衡4个单位得到点E∵点P （m ，﹣14m 2﹣m+8）， ∴点E （m+8，﹣14m 2﹣m+12），∵点E 落在二次函数的图象上 ∴﹣14（m+8）2﹣（m+8）+8＝﹣14m 2﹣m+12 解得，m ＝﹣7 ∴点E 的坐标为（1，274）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 23．（1）详见解析；（2）1394π+ 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格结构找出点A 、O 的对应点A 1、O 1，再与点B 顺次连接即可得到△BO 1A 1；再根据平移的性质，结合网格结构找出点B 、A 1、O 1的对应点B 1、A 2、O 2，然后顺次连接即可得解； （2）结合图形不难看出，变换过程所扫过的面积为扇形BAA 1，与梯形A 1A 2O 2B 的面积的和，然后根据扇形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可求解． 【详解】 （1）如图所示；（2）在Rt △AOB 中，AB ==∴扇形BAA 1的面积＝290133604ππ⋅⨯=，梯形A 1A 2O 2B 的面积＝12×（2+4）×3＝9， ∴变换过程所扫过的面积＝扇形BAA 1的面积+梯形A 1A 2O 2B 的面积＝134π+9． 【点睛】本题考查了利用旋转变换与平移变换作图，以及扇形的面积计算，熟悉网格结构找出对应点的位置是解题的关键．24．（1）见解析；（2）13． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠BAM=90°，根据垂直的定义得到AB ⊥MN ，即可得到结论； （2）连接OC ，过E 作EH ⊥OC 于H ，根据三角函数的定义得到∠D=30°，求得∠AOC=60°，解直角三角形得到1,22OH EH ==，根据相交弦定理得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠B+∠BAC ＝90°， ∵∠B ＝∠D ，∠MAC ＝∠ADC ， ∴∠B ＝∠MAC ， ∴∠MAC+∠CAB ＝90°， ∴∠BAM ＝90°， ∴AB ⊥MN ，∴直线MN 是⊙O 的切线；（2）解：连接OC ，过E 作EH ⊥OC 于H ，∵sin ∠ADC ＝12， ∴∠D ＝30°， ∴∠B ＝∠D ＝30°， ∴∠AOC ＝60°， ∵AB ＝8， ∴AO ＝BO ＝4， ∵AE ＝3， ∴OE ＝1，BE ＝5， ∵∠EHO ＝90°，∴1,22OH EH ==， ∴CH ＝72，CE ∴==∵弦CD 与AB 交于点E ，由相交弦定理得，AE•BE＝CE•DE，13AE BE DE CE ⋅∴===． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相交弦定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．(1)14；(2)116；(3)1014. 【解析】 【分析】（1）错误答有3个，除以答案总数4即可（2）根据题意画出树状图即可知道一共有16种情况，选出两题都错的情况，即可解答 （3）由（2）可知两题都对的概率为(14)2，10道选择题全对的概率是10个14的乘积 【详解】(1)∵只有四个选项A 、B 、C 、D ，对的只有一项，∴答对的概率是14； 故答案为：14； (2)根据题意画图如下：共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种， 则小亮两题都答对概率是116； (3)由(2)得2道题都答对的概率是(14)2，则这10道选择题全对的概率是(14)10＝1014． 故答案为：1014． 【点睛】此题考查概率公式和列表法与树状图法，解题关键在于看懂题中数据2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．关于x 的不等式组-0,10x a x >⎧⎨->⎩的整数解共有3个,则关于x 的一元二次方程-ax 2+2(a+1)x+1-a=0根的存在情况是( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定2．函数y的自变量的取值范围是( ) A.x ＞0且x≠0B.x≥0且x≠12C.x≥0D.x≠123．已知正六边形的边心距为，则它的半径为（ ）A.2B.4C.2D.44．关于x 的一元二次方程2(23)210a x x ---=有实数根，则a 满足( ) A ．a≥1B ．a>1且a≠32C ．a≥1且a≠32D ．a≠325．下列命题中，①Rt △ABC 中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a ，b ，c 若a 2+c 2=b 2，则∠B=90°④在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：5：6，则△ABC 为直角三角形；其中正确命题的个数为( )个 A ．1B ．2C ．3D ．46．二次函数y ＝ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的x 与y 的部分对应值如下表：有下列结论：①a ＞0；②4a ﹣2b+1＞0；③x ＝﹣3是关于x 的一元二次方程ax 2+(b ﹣1)x+c ＝0的一个根；④当﹣3≤x≤n 时，ax 2+(b ﹣1)x+c≥0．其中正确结论的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．17．下列运算正确的是( ) A ．336a a a += B ．222()a b a b +=+C ．22122mm -=D ．2222)2961a a a ÷=-+8．如图，在△ABC 中，AC 和BC 的垂直平分线l 1和l 2分别交AB 于点D 、E ，若AD ＝3，DE ＝4，EB ＝5，则S △ABC 等于( )A ．36B ．24C ．18D ．129．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排6场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( ) A ．()1x x 1362+= B ．()1x x 1362-= C ．()x x 136+=D ．()x x 136-=11．如图，在△ABC 中，5,6AB AC BC ===，动点P ，Q 在边BC 上（P 在Q 的左边），且2PQ =，则AP AQ +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．9D ．12．某人购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元，已知甲种树苗比乙种树苗每棵便宜3元，设甲种树苗每棵x 元，乙种树苗每棵y 元．由题意可列方程组（ ） A ．12154503x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．12154503x y y x +=⎧⎨-=⎩C ．12154503x y y x+=⎧⎨=-⎩D ．12154503x y x y+=⎧⎨=-⎩二、填空题13．如图，将一个直角的顶点P 放在矩形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与边BC 相交于点E ．且AD ＝8，DC ＝6，则＝_____．14．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝25，BC ＝4，则AB 值是_____． 15．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，C 、D 是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC 的长为______.16．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，点O 为对角线AC 的中点，⊙O 半径为1，点P 为CD 边上一动点，PE 与⊙O 相切于点E ，则PE 的最小值是____．17．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k +≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．18．把多项式224m n -因式分解的结果是______． 三、解答题19．已知：在锐角△ABC 中，AB ＝AC ．D 为底边BC 上一点，E 为线段AD 上一点，且∠BED ＝∠BAC ＝2∠DEC ，连接CE ．（1）求证：∠ABE ＝∠DAC ；（2）若∠BAC ＝60°，试判断BD 与CD 有怎样的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠BAC ＝α，那么（2）中的结论是否还成立．若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 20．对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．（1）计算：F（143），F（624）；（2）若m是“相异数”，m的百位上的数字为7，十位上的数字比个位上的数字多3，且F（m）＝22，“相异数”m是多少？（3）若s，t都是“相异数”，其中s＝100a+35，t＝160+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数），当F（s）+F（t）＝22时，求a+b的值．21．随着“互联网+购物”的快速发展，快递业务也越来越红火，某小区物业为了解本小区1200户家庭在过去的一年中收到快递的情况，随机调查了80户家庭去年一年共收到的快递件数，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．根据以上提供的信息，解答下列问题（1）表格中a＝，b＝，m＝；补全频数分布直方图；（2）这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在哪一个小组？（3）请估计该小区去年一年共收到快递件数大约是多少？22．某公园内有一如图所示地块，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝8米，求C点到人行道AD的距离（结果保留根号）．23．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方； 第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．（1）若小明同学心里想的是数8，请帮他计算出最后结果：[（8+1）2﹣（8﹣1）2]×25÷8（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a （a≠0），请你帮小明完成这个验证过程． 24．先化简2(1)(2)xx x x x--÷++，然后从－2，－1， 0， 1中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值．25．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，OA ⊥OB ，C 为OB 延长线上一点，CD 切⊙O 于点D ，E 为AD 与OC 的交点，连接OD ．已知CE ＝5，求线段CD 的长．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13． 14．6 15．116 17．518．（2m+n ）（2m-n ）三、解答题19．（1）见解析；（2）BD ＝2DC ，见解析；（3）（2）中的结论仍然还成立，见解析.【解析】【分析】（1）根据外角的性质，推出∠BED=∠ABE+∠BAE ，由∠BAC=∠BAE+∠DAC ，根据∠BED=∠BAC 进行等量代换即可；（2）在AD 上截取AF=BE ，连接CF ，作CG ∥BE 交直线AD 于G ，∠BED=∠BAC ，结合（1）所推出的结论，求证△ACF ≌△BAE ，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理推出∠CFG=180°-∠AFC=180°-∠BEA=∠BED ，由CG ∥BE ，可得∠CGF=∠BED ，BD ：CD=BE ：CG ，继而推出∠CFG=∠CGF ，即CG=CF ，通过等量代换可得BE=AF=2CF ，把比例式中的BE 、CG 用2CF 、CF 代换、整理后即可推出BD=2DC ，总上所述BD 与CD 的数量关系与∠BAC 的度数无关；（3）根据（2）所推出的结论即可推出若∠BAC=α，那么（2）中的结论仍然还成立．【详解】（1）证明：∵∠BED ＝∠ABE+∠BAE ，∠BED ＝∠BAC ，∴∠ABE+∠BAE ＝∠BAC ，∵∠BAC ＝∠BAE+∠DAC ，∴∠DAC ＝∠ABE ；（2）解：在AD 上截取AF ＝BE ，连接CF ，作CG ∥BE 交直线AD 于G ，∠BED ＝∠BAC ，∵∠FAC ＝∠EBA ，∴在△ACF 和△BAE 中，CA AB FAC EBA AF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACF ≌△BAE （SAS ），∴CF ＝AE ，∠ACF ＝∠BAE ，∠AFC ＝∠AEB ．∵∠AFC ＝∠BEA∴180°﹣∠AFC ＝180°﹣∠BEA∴∠CFG ＝∠BEF ，∴∠CFG ＝180°﹣∠AFC ＝180°﹣∠BEA ＝∠BED ，∵CG∥BE，∴∠CGF＝∠BED，∴∠CFG＝∠CGF，∴CG＝CF，∵∠BED＝2∠DEC，∵∠CFG＝∠DEC+∠ECF，∠CFG＝∠BED，∴∠ECF＝∠DEC，∴CF＝EF，∴BE＝AF＝2CF，∵CG∥BE，∴BD：CD＝BE：CG，∴BD：CD＝2CF：CF＝2，∴BD＝2DC，∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；（3）解：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关，∴若∠BAC＝α，那么（2）中的结论仍然还成立．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，关键在于正确地作出辅助线，求证相关的三角形全等，进行等量代换．20．（1）F（143）＝8；F（624）＝12；（2）m为796；（3）a+b=7【解析】【分析】（1）根据“相异数”的定义求解即可；（2）设m的个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据相异数定义可得F（m）＝x+y+7，根据题意可得方程组，解出x，y的值，则可求m的值．（3）根据题意可求F （s）＝a+8，F（t）＝b+7，根据F（s）+F（t）＝22时，可求a+b的值．【详解】（1）F（143）＝（413+341+134）÷111＝8，F（624）＝（264+642+426）÷111＝12，（2）设m的个位上的数字为x，十位上的数字为y，则F（m）＝（100y+70+x+100x+10y+7+700+10x+y）÷111＝x+y+7，根据题意可得，3722x yx y+=⎧⎨++=⎩，解得：69xy=⎧⎨=⎩，∴m为796；（3）∵s，t都是“相异数”，s＝100a+35，t＝160+b，∴F（s）＝（305+10a+530+a+100a+53）÷111＝a+8，F（t）＝（610+b+100b+61+106+10b）÷111＝b+7，∵F（s）+F（t）＝22，∴a+8+b+7＝22，∴a+b＝7.【点睛】本题是阅读理解题，正确利用“相异数”的定义进行计算是解决本题的关键．21．（1）见解析（2）3（4）16050【解析】【分析】（1）总数乘以第3组频率可得a，总数减去其它分组人数可得b，依据频率＝频数÷总数可得m；（2）根据中位数的定义求解可得；（3）总户数乘以样本的平均值即可得．【详解】解：（1）a＝80×0.45＝36，b＝80﹣（4+12+36+18+4）＝6，m＝6÷80＝0.075，补全直方图如下：故答案为：36、6、0.075；（2）这组数据的中位数是第40、41个数据的平均数，而这两个数据均落在第3组，所以这80户家庭一年中收到的快递件数的中位数落在第3组；（3）24712123617182262741070 12001200160508080⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=（件），估计该小区去年一年共收到快递件数大约是16050件．【点睛】本题考查搜集信息的能力（读图、表），分析问题和解决问题的能力．正确解答本题的关键在于准确读图表．22．4+【解析】【分析】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△BCF中求出CF即可求解；【详解】解：过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在Rt△ABE中，∠A＝30°，AB＝8m，∴BE＝4m，∵BF∥AD，∴∠ABF＝30°，∵∠ABC＝75°，∴∠CBF＝45°，在Rt△BCF中，CB＝8m，∴CF m，∴C点到人行道AD的距离为4+米；【点睛】本题考查了含解直角三角形的应用；能够利用特殊角的三角函数值求出BE与CF是解题的关键. 23．(1)100;(2)100.【解析】【分析】（1）原式先计算括号中的乘方运算，再计算减法运算，最后算乘除运算即可求出值；（2）列出代数式，计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式＝（81﹣49）×25÷8＝800÷8＝100；（2）根据题意得：[（a+1）2﹣（a﹣1）2]×25÷a＝4a×25÷a＝100．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24．－12．【解析】【分析】首先对括号内的分式的分母分解因式,把除法转化为乘法,然后进行分式的加法计算即可化简,然后代入使原式有意义的x的值计算即可【详解】原式=11 [(1)]12xx x-+⋅++＝21211 ()12 x xx x---⋅++＝(2)112 x xx x-+⋅++＝1x x -+ 只能选x ＝1，当x ＝1时， 原式＝-11112=-+． 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键25．5【解析】【分析】根据切线的性质，以及直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，即可证明∠ADC=∠AEO ，从而得到∠DEC=∠ADC ，根据三角形中，等角对等边即可证明△CDE 是等腰三角形，即CD=CE ．【详解】解：∵CD 切⊙O 于点D ，∴∠ODC ＝90°；又∵OA ⊥OC ，即∠AOC ＝90°，∴∠A+∠AEO ＝90°，∠ADO+∠ADC ＝90°；∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠ADO ，∴∠ADC ＝∠AEO ；又∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠DEC ＝∠ADC ，∴CD ＝CE ，∵CE ＝5，∴CD ＝5．【点睛】此题考查切线的性质，解题关键在于掌握其性质.。
中考数学 一轮复习—相似三角形
G
A
E D
B
C
（第 5 题）
6． （2011 广东汕头，21，9 分）如图（1） ，△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=EF=9，∠BAC ＝∠DEF＝90° ，固定△ABC，将△EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和 结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；
）
9． （2011 广东广州市，14，3 分）如图 3，以点 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 放大后得到五边形 ABC DE ， 已知 OA 10cm ， OA 20cm ，则五边形 ABCDE 的周长与五边形 ABC DE 的周长的比值是 A′ E′ A B O D C 图9 10． （2011 四川重庆，12，4 分） ABC 中， DE ∥ BC ， DE 分别交边 AB 、 AC 于 D 、 E 两点，若 AD : AB 1:3 ， 则 ADE 与 ABC 的面积比为 【考点 3】相似三角形的判定 1.（ 2011 重庆江津， 8，4 分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中 AB、 CD 交于 O 点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 A 4 75° 35° (1) O 70° 75° C 8 (2) 6 B 3 ) ； C′ D′ E B′ ；
12 ． 13
图1
图2
备用图
9． （2011 四川绵阳 25，14）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90° ，D 是腰 AC 上的一个动点，过 C 作 CE 垂直 于 BD 或 BD 的延长线，垂足为 E,如图 1. BD （1）若 BD 是 AC 的中线，如图 2，求 的值； CE BD （2）若 BD 是∠ABC 的角平分线，如图 3，求 的值； CE BD BD 4 （3）结合（1）（2） 、 ，请你推断 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明） ，并探究 的值能小于 吗？若能， CE CE 3 求出满足条件的 D 点的位置；若不能，请说明理由.
相似三角形知识点总结及习题.doc
相似三角形知识点总结及习题相似三角形基本知识(一)比例的性质1.比例的基本性质:比例式化积、积化比例式.2.合、分比性质:分子加（减）分母,分母不变.(k=1、2、3…)应用:已知证明:∵∴∴∴3.等比性质:分子分母分别相加，比值不变.若则.4.比例中项:若的比例中项.(二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.已知l1∥l2∥l3,ADl1BEl2CFl3可得2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC 由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即利用比例式证平行线)4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(三)相似三角形1、相似三角形的判定①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多);②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;③三边对应成比例的两个三角形相似;④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2、直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.3、相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.4、位似图形:如果两个图形不仅是相似图形，而且每对对应点所在直线都经过一点，这样的图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.这时的相似比又称为位似比.特别提醒：①是特殊的相似图形，具有位似中心；②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比.相似三角形（基础训练）一、选择题（每题2分，共30分）1.已知，则下列式子中正确的是（） A.a:b=c²：d²B.a:d=c:dC.a:b=(a+c):(b+d)D.a:b=(a-d):(b-d)2.一个运动场的实际面积是6400m²，那么它在比例尺1:1000的地图上的面积是（）A.6.4cm²B.640cm²C.64cm²D.8cm²3.测得线段AB=2.8m，CD=310cm，则线段AB与CD的比为（）4.已知线段d是线段b、c、a的第四比例项，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,则d等于（）A.1cmB.10cmC.2.5cmD.1.6cm5.①如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，则有；②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC 的比例中项；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC=.其中正确的判断有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，DE∥BC,在下列比式中，不能成立的是（）7.下列图形中相似的多边形是（）A.所有的矩形B.所有的菱形C.所有的正方形D.所有的等腰梯形8.下列判断中，正确的是（）A.各有一个角时67°的两个等腰三角形相似；B.邻边之比都为2:1的两个等腰三角形相似；C.各有一个角时45°的两个等腰三角形相似；D.邻边之比都为2:3的两个等腰三角形相似.9.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则△ABC中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对10.点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则S△ADE:S△ABC=（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:√211.，则k=（）A.2B.-1C.2或-1D.无法确定12.下列说法正确的是（）A.两位似图形的面积比等于位似比；B.位似图形的周长之比等于位似比的平方；C.分别在△ABC的边AB、AC 的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；A.B.C.D.D.位似多边形中对应对角线之比等于位似比13.如果一个直角三角形的两条直角边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个14.如图，在△ABC中，D 为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=√6，AC=3，则CD的长为()A.1B.C.2D.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD⊥BD=9:4，则AC:BC的值为（）A.9:4B.9:2C.3:4D.3:2二、填空题（每题2分，共20分）16._____,_____.17.如果x:y:z=1:3:5,那么_____.18.E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10cm，则EF的长度为_____cm.19.在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精确到0.1m）.20.两个相似三角形对应高的比为1:√2,则它们的周长之比为_____;面积之比为_____.21.△ABC的三边长分别为√5、√10、√15，△的两边长分别为1和√2，如果△ABC∽△，那么△的第三边长为_____.22.如图，在平行四边形ABCD中，延长AB 到E,使AB=2BE，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H.则S△BEG:S△CFG=______.23.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯墙一点D距强1.2m，BD长0.5m，则梯长为_____.（23题）(24题)24.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D 是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______.25.如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MOC∽△AOC面积的比为_____.三、作图题（5分）26.三角形的顶点坐标分别是A（2,2），B(4,2)，C(6,4)，试将△ABC缩小，使缩小后的△DEF与△ABC的对应边比为1:2，并且直接写出点D、E、F的坐标.四、解答题（27题、28题5分，29题10分，共20分）27.如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长.28.如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.求的值.29.如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.（1）求的值（2）若AB=a,FB=EC，求AC的长.五、证明题（30题5分，31题、32题10分，共25分）30.如图，平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R.求证：AP²=PQ·PR.31.如图，△ACB中，∠ACB=90°，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F.求证：BF=CD.32.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F.（1）求证：△CEB ≌△ADC；（2）若AD=9㎝，DE=6㎝，求BE及EF的长.。
专题4.4 相似三角形中考数学第一轮总复习课件
= 2,
h2 BC
A
h1
P h2 F
h3
E
C
中考数学第一轮总复习
专题4.4 相似三角形
知识梳理
典例精讲
考点聚焦
查漏补缺
提升能力
01 比 例 线 段
02 相 似 三 角 形 的 判 定
03 相 似 三 角 形 的 性 质
04 相 似 三 角 形 的 应 用
精讲精练
考点聚焦
比例线段
知识点一
线段的比 在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比。
4
9
或
部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF:S△CBF25
=_______.
25
B(1,0)
x
强化训练
相似三角形
提升能力
3.如图,在△ABC中,点G为△ABC的重心,过点G作DE∥BC,分别交AB,AC于
4:5
点D,E,则△ADE与四边形DBCE的面积比为_____.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,点D,E,F,分别在边AC,AB,BC上,且四边形
A
2
1
D
B.AB:AD=AC:AE
D.AB:AD=BC:DE
B
E
C
01
比例线段
02
相似三角形的判定
考点聚焦
03
相似三角形的性质
04
相似三角形的应用
精讲精练
考点聚焦
定义
相似三角形的性质
知识点三
相等
成比例
如果两个三角形的各角对应____各边对应______,那么这两个三角形
相似.
相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成比例
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18.相似形的综合运用（二）
知识考点：
本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。
精典例题：
【例1】如图已知，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上。
（1）当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长。
（2）当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长。
（3）试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长。
解：（1）∵PABQ PQ C S S 四边形=∆，∴2:1:=∆∆ABC PQ C S S
又∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ∴
212
=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∆∆AC PC S S ABC
PQC ，∴82142
2=⨯=PC 故22=PC （2）∵△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等
∴PC ＋CQ ＝PA ＋AB ＋QB ＝
2
1
（△ABC 的周长）＝6 又∵PQ ∥AB ，∴CB CQ CA CP =，即364CP CP -=，解得7
24
=CP
例1图1
Q
P
C
B
A 例1图
2 例1图
3
（3）①依题意得（如图2）当∠MPQ ＝900 ，PM ＝PQ 时，由勾股定理的逆定理得
∠C ＝900，∴△ABC 的AB 边上的高为
5
12
，设PM ＝PQ ＝x ∵PQ ∥AB ，△CPQ ∽△CAB ，∴5
125
125
x
x -=，解得3760=x ，即3760=PC
当090='∠QP M ，M Q QP '=时，同理可得37
60
=
PC ②依题意得（如图3）当∠PMQ ＝900 ，MP ＝MQ 时，由等腰直角三角形的性质得：
M 到PQ 的距离为
2
1
PQ ，设PQ ＝x ，由PQ ∥AB 可得△CPQ ∽△CAB ，所以有：
5
122
15125
x x -=
，解得49120=x ，即49120=PQ 【例2】如图，△ABC ≌△C B A '''，∠C ＝∠C '＝900，AC ＝3cm ，B A ''＝5cm ，先将△ABC 和△C B A '''完全重合，再将△ABC 固定，△C B A '''沿CB 所在的直线向左以每秒1cm 的速度平行移动，设移动x 秒后，△ABC 与△C B A '''的重叠部
分的面积为y cm 2，则y 与x 之间的函数关系式为 ， 秒后重叠部
分的面积为8
3
cm 2。
答案：638
32
+-=x x y （0≤x ≤4）
变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。
探索与创新：
【问题】在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O 。
某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
当
11121+==AC AE 时，有122
32+==AD AO （如图1） 当21131+==AC AE 时，有222
42+==AD AO （如图2） 当31141+==AC AE 时，有3
22
52+==AD AO （如图3） 在图4中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD
AO
的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）。
分析：特例能反映个性特征信息, 个性之中包含着共性, 共性蕴含在个性之中。
特例所反映的个性特征, 往往通过类比就可以反映其共性规律。
对照（1）、（2）、（3）很容易猜想得到这样一个结论：
独想：当
n AC AE +=11时，有n
AD AO +=22
成立。
问题图1 O
E
D
C B
A
问题图2 O
E
D
C B
A
问题图3
O E
D
C B
A 问题图4
F O
E D
C
B
A
证明：过点D 作DF ∥BE ，交AC 于点F
∵D 是BC 的中点 ∴F 是EC 的中点
由
n AC AE +=11可知n EC AE 1= ∴n EF AE 2
= ∴n AF AE +=22 ∴n
AF AE AD AO +==22
例2图
跟踪训练：
一、填空题：
1、梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，AC 、BD 交于点O ，过点O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若
3
1
=AB AE ，FC ＝4cm ，则CD ＝ cm 。
2、如图，O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，OE ∥AD 交CD 于E ，OF ∥AB 于F ，那么OEF S ∆∶ABCD S 平行四边形＝ 。
第2题图
第3题图
3、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 交BD 于H ，AF 交BD 于G ，CD ＝4AB ，则ABCD S 梯形∶GHF S ∆＝ 。
二、选择题：
矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，DE 垂直对角线AC 于E ，那么ADE S ∆∶DCE S ∆＝（ ） A 、4∶3 B 、16∶9 C 、32∶3 D 、3∶4
三、解答题：
1、如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 上一点，BM ＝BN ，作BP ⊥MC 于P ，求证：DP ⊥NP 。
第1题图
M N P
D
C
B A
第2题图
H E
F
G
D
C
B
A
第4题图
2、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且
k HD
AH
GC DG FC BF EB AE ====)0(>k ，阅读下段材料，然后再回答后面的问题： 连结BD ，∵HD
AH
EB AE =， ∴EH ∥BD ∵
GC
DG
FC BF =， ∴FG ∥BD ，
∴FG ∥EH
①连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行？答： 。
②当k 值为 时，四边形EFGH 是平行四边形；
③在②的情况下，对角线AC 与BD 只须满足 条件时，EFGH 是矩形； ④在②的情况下，对角线AC 与BD 只须满足 条件时，EFGH 是菱形。
3、已知△ABC 中，AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3。
（1）求BC 的长；
（2）如果有一个正方形的一边在AB 上，另外两个顶点分别在AC 、BC 上，求正方形的面积。
提示：D 点可能在BC 上或在BC 的延长线上，问题要分类讨论。
3、已知抛物线m m mx x y -++=
22
1838
1与x 轴交于A （1x ，0），B （2x ，0）)(21x x <两点，与y 轴交于点C （0，b ），O 为坐标原点。
（1）求m 的取值范围； （2）若18
1
>
m ，OA ＋OB ＝3OC ，求抛物线的解析式及A 、B 、C 三点的坐标； （3）在（2）的情形下，点P 、Q 分别从A 、O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB 、OC 向B 、C 运动，连结PQ 与BC 交于M ，设AP ＝k ，问是否存在k 值，使以P 、B 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似。
若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由。
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、12；
2、1∶8；
3、15∶2； 二、选择题：B 三、解答题：
1、证明：∵∠ABC=90°，BP ⊥MC
∴∠BPM=∠CPB=90°，∠BMP=CBP ∴△BPM ∽△CPB ，
∴
CP BP
CB BM = ∵BM ＝BN ，BC=CD ∴
CP
BP
CD BN = ∵∠BCP+∠CBP=∠BCP+∠PCD==90° ∴∠CBP ∠PCD ∴△PBN ∽△PCD ∴∠BPN=∠CPD
∴∠CPD+∠CPN=∠BPN+∠CPN==90° ∴DP ⊥NP
2、①不一定；②1；③AC ⊥BD ；④AC ＝BD ；
3、①点D 在BC 上时，BC ＝4，3612-=S ； ②点D 在BC 的延长线上时，BC ＝2，
121
3
48156-=
S ；
4、（1）0>m ；
（2）A （－8，0），B （－4，0），C （0，4），42
3
812++=x x y （3）存在3
8
=
k 或2。