解二元一次方程组典型例题解析

新人教版数学七年级下册8.2消元——解二元一次方程组课时练习一、选择题1．把方程7215x y =－写成用含x 的代数式表示y 的形式，得（ ） A ．7512-=x yB ．7215yx +=C ．2157-=x y D ．2715xy -=答案：C知识点：解二元一次方程 解析：解答：由7215x y =－移项得2715y x =－，化系数为1得7152x y -=． 分析：表示y 就该把y 放到等号的一边，其它项移到另一边，化系数为1就可用含x 的式子表示y 的形式． 方程组2．用代入法解二元一次方程组34225x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ①②时，最好的变式是（ ）A ．由①得243y x -=B ．由①得234x y -=C ．由②得52y x += D ．由②得25y x =- 答案：D知识点：解二元一次方程组 解析：解答：用代入法解二元一次方程组最好的变式是由②中的x 表示y ，所以选择D ．分析：用代入法解二元一次方程组第一步变形时应选择未知数系数的绝对值为1或较小的，并将系数的绝对值为1或较小的未知数用另一个未知数表示出来． 方程组3．由方程组63x m y m +=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系式是（ ）A ．9x y +=B ．3x y +=C ．3x y +=-D ．9x y +=-答案：A知识点：解二元一次方程组 解析：解答：在63x m y m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩②①中将②代入①得36x y +-=，即9x y +=，所以选择A ．分析：在方程组中也可由①得6m x =-③，将③代入②得36y x -=-，整理得9x y +=． 方程组4．二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+13243y x y x 的解是（ ）⎩⎨⎧==11.y x A⎩⎨⎧-=-=11.y x B ⎩⎨⎧=-=22.y x C⎩⎨⎧-=-=12.y x D答案：A知识点：解二元一次方程组 解析：解答：将43=+y x 变形为y x 34-=代入第二个方程即可求出1=y ，再将1=y 代入y x 34-=，可求出1=x ，故选A ．分析：实际上也可以将1y =代入方程组中的任一个方程中，一般代入容易计算的；也可以将选项中未知数的值代入所给方程组中进行计算． 方程组 5．若方程组31331x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y =0，则a 的取值是（ ）A ．a =−1B ．a =1C ．a =0D ．不能确定答案：A知识点：解二元一次方程组 解析：解答：由题意得4422x y a +=+，则21a y x +=+，因为0=+y x ，所以021=+a，解得1a =-，故选A ．分析：由题意把方程组⎩⎨⎧-=++=+a y x a y x 13313的两个方程相加可得a y x 2244+=+，则可得21ay x +=+，再结合0x y +=求解即可．方程组6．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则2m n -的算术平方根为（ ） A ．2±BC ．2D ．4答案：C知识点：解二元一次方程组；算术平方根；代数式求值；二元一次方程组的解 解析：解答：将21x y =⎧⎨=⎩代入方程组中得2821m n n m +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩，所以22324m n -=⨯-=，所以2m n -的算术平方根为2． 分析：解方程组2821m n n m +=⎧⎨-=⎩的过程为：在2821m n n m +=⎧⎨-=⎩①②中，由②×2得422n m -=③，由③+①得510n =即2n =，将2n =代入②得3m =，所以方程组的解为32m n =⎧⎨=⎩．7．若2425y x a b -与352x y a b +是同类项，则x 、y 的值为（ ） A ．21x y =⎧⎨=⎩ B ．31x y =⎧⎨=⎩ C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=-⎩答案：D知识点：解二元一次方程组；同类项、合并同类项 解析：解答：由同类项的定义可得24325y x x y -=⎧⎨=+⎩，整理得34225x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩②①，将②代入①得()34252x x +-=，解得2x =，将2x =代入②得1y =-，所以21x y =⎧⎨=-⎩．分析：也可以将选项中未知数的值代入所给的两个单项式中，根据同类项的定义完成题目． 方程组8．已知关于x ，y 的方程组343x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩，给出下列结论：①51x y =⎧⎨=-⎩是方程组的一个解；②当2a =时，x ，y 的值互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程23x y -=的解；④x ，y 间的数量关系是4x y a +=-，其中正确的是（ ） A ．②③B ．①②③C ．①③D ．①③④答案：C知识点：二元一次方程组的解；相反数；二元一次方程的解 解析：解答：①中将51x y =⎧⎨=-⎩代入方程组得2a =，所以①正确；②中将2a =代入方程组中得326x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②，将+①②得4x y +=，所以②错误；③中将1a =代入方程组得333x y x y +=⎧⎨-=⎩解得30x y =⎧⎨=⎩，将其代入23203x y -=-⨯=，所以③正确；④中，将方程组中的两个方程相加得22x y a +=+，所以④错误．分析：在解题的实际中，可以判断出①②时，将答案锁定在C 与D 之间，再对④进行判断即可选出C 选项． 方程组9．二元一次方程组320x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．21x y =-⎧⎨=⎩答案：A知识点：解二元一次方程组解答：将方程组中得两个方程相加得33x =-，解得1x =-，将1x =-代入方程组中得任意一个方程可得2y =，所以12x y =-=⎧⎨⎩．分析：也可以用代入法解这个方程组． 方程组 10．解方程组5210x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①-②得正确的方程是（ ）A ．310x =B ．5x -=-C ．35x =-D ．5x =- 答案：B知识点：解二元一次方程组 解析：解答：由①-②得()2510x y x y +-+=-，去括号得25x y x y +--=-，合并同类项得5x -=-． 分析：方程组中两个方程相减的时候，要方程的左边减左边，右边减右边． 方程组11．解方程组：（1）⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x ；（2）⎩⎨⎧=-=9532y x y x ；（3）⎩⎨⎧=-=+732954y x y x ；（4）7341x y x y +=⎧⎨-=⎩比较适宜的方法是（ ）A ．（1）（2）用代入法，（3）（4）用加减法B ．（1）（3）用代入法，（2）（4）用加减法C ．（2）（3）用代入法，（1）（4）用加减法D ．（2）（4）用代入法，（1）（3）用加减法 答案：D知识点：解二元一次方程组 解析：解答：当方程组中得某一个未知数的系数为1或－1时，用代入法较简便；当两个方程中，同一个未知数系数相等或相反时，用加减法较简便．应根据方程组的具体情况选择更适合它的解法．分析：对于（3）方程组中同一未知数既不相等也不互为相反数时，可先比较同一未知数系数的绝对值的最小公倍数，再将方程变形，使最小公倍数较小的未知数的系数的绝对值变为最小公倍数，最后相加或相减消去此未知数． 方程组12．已知23a b m -＋＝且24a b m ＋＝－＋，则a b －的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B知识点：解二元一次方程组 解析：解答：由23a b m ＋＝－得，23m a b -－＝＋，将其代入24a b m ＋＝－＋得2234a b a b -＋＝＋＋，整理得1a b -=． 分析：也可以将a ，b 用m 表示出来以后，再计算a −b 的值． 方程组13．已知关于x 、y 的二元一次方程组524x y kx y -=⎧⎨+=⎩，当4x =-时，则k 的值为（ ）A ．－12B ．12C ．－3D ．3 答案：C知识点：解二元一次方程组 解析：解答：将4x =-代入524x y -=中得12y =-，将4,12x y =-=-代入0kx y +=中得3k =-． 分析：解题时先根据题意求出方程组的解，然后再将方程组的解代入含有字母的方程中求得字母的值． 方程组14．已知方程组323()11x y y x y -=⎧⎨+-=⎩，那么代数式34x y -的值为（ ）A ．1B ．8C ．－1D ．－8 答案：B知识点：解二元一次方程组；代数式求值 解析：解答：将3x y -=代入方程()2311y x y +-=得2911y +=解得1y =，将1y =代入3x y -=得4x =，所以3434418x y -=⨯-⨯=．分析：观察方程组发现将（x-y ）看作整体来解方程组比较简单，也可用加减法或消元法直接解方程组． 方程组15．解关于,x y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x my x 932，得2x y +的值为（ ）A ．12mB ．0C ．2m -D ．7m 答案：A知识点：解二元一次方程组；代数式求值 解析：解答：将方程组中的两个方程相加得239x y x y m m ++-=+，合并同类项得212x y m +=． 分析：也可以解出关于x ,y 的方程组得72x my m=⎧⎨=-⎩，进而求得代数式2x +y 的值．方程组 二、填空题 1．方程组23328y x x y =-⎧⎨+=⎩的解是__________．答案：21x y =⎧⎨=⎩知识点：解二元一次方程组解析：解答：在方程组23328y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩①②中，将①代入②得()32238x x +-=，去括号得3468x x +-=，移项得3486x x +=+，合并同类项得714x =，化系数为1得2x =，将2x =代入①得1y =，所以方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩． 分析：方程①中的未知数y 已经用含x 的式子表示了，所以用代入法较简便． 方程组 2．若方程组7353x y x y +=⎧⎨-=-⎩，则()()335x y x y +-﹣的值是．答案：24知识点：解二元一次方程组；代数式求值 解析：解答：将方程组中得两个方程看作整体代入得()37324⨯--=．分析：将方程组中得两个方程看作整体代入所求的代数式中即可，整体思想是数学中一个可以简化计算的重要思想． 方程组3．已知：2(4)|2|0x y x y +-+--=则xy = ． 答案：3知识点：解二元一次方程组；代数式求值；平方的非负性；绝对值的非负性 解析：解答：因为2(4)|2|0x y x y +-+--=，所以可得方程组4020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以3xy =．分析：平方的非负性与绝对值的非负性可以与多个知识点结合进行考察，所以要牢牢掌握． 方程组4．根据下图给出的信息，则每件T 恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为 ．答案：20元和2元知识点：二元一次方程组的应用 解析：解答：每件T 恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x 元和y 元，根据题意可列方程组2244326x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得202x y =⎧⎨=⎩，所以每件T 恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为20元和2元．分析：列二元一次方程组解应用题关键是挖掘出问题中的两个相等关系，根据这两个相等关系列方程组． 方程组解二元一次方程组典型例题解析5．小亮解方程组2212x y x y +=⎧⎨-=⎩•的解为5x y =⎧⎨=⎩，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数•和▲，请你帮他找回▲这个数，▲= ． 答案：－2知识点：二元一次方程组的解 解析：解答：将5x =代入212x y -=得2y =-，那么－2即为所求．分析：该题目的关键是已知方程组解中得x 的值求y 的值，只需知道方程组中的一个方程即可求得． 方程组 三、解答题1．解下列二元一次方程组 （1）33814x y x y -=⎧⎨-=⎩（2）254x y x y +=⎧⎨-=⎩（3）4518549x y x y +=⎧⎨+=⎩（4）73100202x y y x +=⎧⎨=-⎩答案：（1）21x y =⎧⎨=-⎩；（2）31x y =⎧⎨=-⎩；（3）36x y =-⎧⎨=⎩；（4）4060x y =⎧⎨=-⎩知识点：解二元一次方程组 解析： 解答：解：（1）33814x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ①②，由①得3x y =+③，把③代入②得()33814y y +-=，解之得1y =-，把1y =-代入③得2x =，所以方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩；（2）254x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①②，由①+②得39x =，即3x =，将3x =代入②得1y =﹣，则方程组的解为31x y =⎧⎨=-⎩；（3）4518549x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②，由①×5－②×4得()()54545418594x y x y +-+=⨯-⨯整理得954y =，所以6y =，将6y =代入①得3x =-，所以方程组的解为36x y =-⎧⎨=⎩；（4）20302710x y y x =+-⎧=⎪⎨⎪⎩①②，把②代入①得()73202100x x +-=，解得40x =，把40x =代入②得60y =﹣，方程组的解是4060x y =⎧⎨=-⎩．分析：根据加减消元法或代入消元法解这个二元一次方程组．方程组2．已知关于,x y 的方程组122x m y y x -⎧+=⎨=⎩① ②，（1）若用代入法求解，可由①得：x = ③，把③代入②解得y = ，将其代入③解得x = ，∴原方程组的解为 ；（2）若此方程组的解,x y 互为相反数，求这个方程组的解及m 的值．答案：（1）12x y =﹣；14m y -=；12m x +=；1214m x my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩；（2）11x y =-⎧⎨=⎩；3m =﹣知识点：解二元一次方程组 解析：解答：（1）若用代入法求解，可由①得12x y =﹣③，把③代入②解得14m y -=，将其代入③解得12m x +=，∴原方程组的解为1214m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ；（2）解：∵方程组的解,x y 互为相反数，∴x y =﹣③，将③代入①得21y y +=﹣，∴1y = 1x =﹣，∴123m ==﹣﹣﹣，∴方程组的解是11x y =-⎧⎨=⎩，3m =﹣． 分析：解关于,x y 的方程组时可以将其它字母看作数字进行运算，如果,x y 的值用m 表示较简单时也可以利用,x y 互为相反数即0x y +=进行计算m 的值． 方程组3．方程()()()224268k x k x k y k -+++-=+是关于x ，y 的方程，试问当k 为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？ 答案：（1）2k =-；（2）2k =知识点：二元一次方程的定义；一元一次方程的定义；平方根 解析：解答：解：∵二元一次方程与一元一次方程都是一次的，∴二次系数为0即240k -=，∴2k =±，∴当2k =-时方程为86x -=即此时方程为一元一次方程，当2k =时方程为4410x y -=即此时方程为二元一次方程． 分析：紧扣二元一次方程与一元一次方程的定义，同时要注意正数的平方根有两个． 方程组4．在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元．求：（1）A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？答案：（1）A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元；（2）小李和小王实际各付款957元和1392元知识点：二元一次方程组的应用 解析：解答：解：（1）设A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价分别是x 元和y 元，根据题意得()0013351500x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得11001600x y =⎧⎨=⎩，所以A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价分别是1100元和1600元； （2）小李购买洗衣机实际付款为()001100113957⨯-=（元）； 小王购买洗衣机实际付款()0016001131392⨯-=（元）； 答：小李和小王实际各付款957元和1392元 ．分析：（1）可根据：“两人一共得到财政补贴351元；又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元”来列出方程组求解；（2）根据（1）得出的A ，B 洗衣机的售价根据补贴的规定来求出两人实际的付款额． 方程组5．先阅读下列材料，再解决问题：解方程组191817171615x y x y +=⎧⎨+=⎩时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组191817171615x y x y +=⎧⎨+=⎩①②解：①－②得222x y +=，即1x y += ③ ③×16得161616x y += ④②－④得1x =-，将1x =-代入③得2y =，所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩．根据上述材料，解答问题： 若x ，y 的值满足方程组201020092008200820072006x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，试求代数式22x xy y ++的值． 答案：12x y =-⎧⎨=⎩；3 知识点：解二元一次方程组；代数式求值 解析：解答：解：①－②得222x y +=，即1x y +=③，③×2007得200720072007x y +=④，②－④得1x =-，将1x =-代入③得2y =，故原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩；所以2222(1)(1)223x xy y ++=-+-⨯+=．分析：该题目是考察同学们的自主学习能力，关键是读懂题目所给的材料．方程组。