(最新)2019-2020学年上海市长宁区天山初级中学九年级上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年沪科版九年级上学期期中考试数学试卷(解析版)
2019-2020学年九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.如果，那么下列结论正确的是A. x：：5B. x：：6C. ，D. ，【答案】A【解析】解：，，故选项A正确．故选：A．直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．2.下列说法正确的是A. 菱形都相似B. 正六边形都相似C. 矩形都相似D. 一个内角为的等腰三角形都相似【答案】B【解析】解：A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是，相等，所以都相似，故本选项正确；C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；D、一个内角为的等腰三角形可能是顶角也可能是底角是，无法判断，此选项错误；故选：B．根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．3.如图，点B在线段AC上，且，设，则AB的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，解得，，舍去，故选：C．根据题意列出一元二次方程，解方程即可．本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程得到解法、理解黄金分割的概念是解题的关键．4.在中， ，于点D，下列式子表示B错误的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：在中，于点D，，故选：D．根据三角函数的定义解答即可．此题考查锐角三角函数的定义，关键是根据正弦函数是对边与斜边的比进行解答．5.已知和，下列条件中一定能推得与相似的是A. B.C. 且D. 且【答案】B【解析】解：A、与的三组边不是对应成比例，所以不能判定与相似故本选项错误；B、与的三组边对应成比例，所以能判定与相似故本选项正确；C、与的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，所以不能判定与相似故本选项错误；D、与的两组不是对应边成比例，所以不能判定与相似故本选项错误；故选：B．根据三角形相似的判定方法 三边对应成比例的两个三角形相似可以判断出A、B的正误； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断C，进行判断．此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值A. 只有一个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 无数个【答案】B【解析】解：一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可能是斜边或4是斜边，或．的值可以有2个．故选：B．由一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案．此题考查了相似三角形的性质与勾股定理，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是______cm．【答案】5【解析】解：根据比例尺图上距离：实际距离．100千米厘米得：A，B两地的图上距离为，故答案为：5．根据比例尺图上距离：实际距离依题意由实际距离乘以比例尺即可得出图上距离．此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一．8.已知线段b是线段a、c的比例中项，如果，，那么______．【答案】【解析】解：线段b是线段a、c的比例中项，，，，故答案为：．根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．9.在中，若 ，，，则______【答案】4【解析】解：，，，故答案为：4．根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．10.如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，，如果，，，那么______．【答案】【解析】解：，，，，，，，．故答案为．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.已知点D、E分别在的边AB、AC上，如果，，那么BC的长为______．【答案】【解析】解：如图，，，，∽ ，，，，故答案为：．根据已知条件得到，推出 ∽ ，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12.如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为______．【答案】【解析】解：，，，， ，，≌ ，，：：3，：：4，，故答案为．首先证明EF：：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13.如图，线段AE、BD交于点C，如果，，，，那么______．【答案】【解析】解：，，，，，∽ ，，，故答案为：根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．14.如果为非零向量方向上的单位向量，那么______．【答案】【解析】解：为非零向量方向上的单位向量，．故答案是：．根据向量的几何意义填空即可．考查了平面向量，两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量．15.如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个【答案】3【解析】解：设AP为x，，，和PB是对应边时，与相似，，即，整理得，，解得，，和BC是对应边时，与相似，，即，解得，所以，当、4、时，与相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3．设AP为x，表示出，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．16.如图，将 放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么 的正切值为______．【答案】1【解析】解：如图所示，连接BC，则，，，是等腰直角三角形，且 ，，则，故答案为：1．连接BC，先利用勾股定理逆定理证是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．17.如图，BD是四边形ABCD的对角线，，，点、分别是和的重心，则点、间的距离为______．【答案】2【解析】解：取BD的中点G，连接AG，CG，AC，点、分别是和的重心，在AG上，在CG上，，，∽ ，，， ，是等边三角形，，，故答案为：2．取BD的中点G，连接AG，CG，AC，根据点、分别是和的重心，得到在AG上，在CG上，求得，根据相似三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，求得，于是得到结论．本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18.矩形ABCD中，E是AB的中点如图，将沿CE翻折，点B落在点F处，联结AF，如果，那么的比值为______．【答案】【解析】解：如图，，，，可设，，由勾股定理可得，由轴对称的性质，可得CE垂直平分BF，，，是AB的中点，，， ，又，，中，，，故答案为：．设，，由勾股定理可得，再根据CE垂直平分BF，可得，，再根据勾股定理可得，即可得出的比值．本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共7小题，共46.0分）19.计算：【答案】解：原式．【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.在中，点D、E分别在边AB、AC上，，AD：：2，点M为EC的中点，，．填空：______；______；结果用、表示在图中分别作出向量在向量、向量方向上的分向量不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量【答案】【解析】解：：：2，：：3，，∽ ，，，；点M为EC的中点，，，；故答案为：，；如图，向量在向量、向量方向上的分向量分别是和．根据已知条件得到AD：：3，根据相似三角形的性质得到，由，得到；根据三角形法则得到；利用平行四边形法则，即可求得答案．此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21.如图，在中，，的高AM交DE于点N，，，，求MN的长．【答案】解：设，则，，，即，即MN的长为6．【解析】设，则，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN的长．本题主要考查了平行线分线段成比例的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．22.如图，在中，，的周长为24，，点D为边BC的中点．求BC的长．求 的余切值．【答案】解：，，设，，则，的周长为24，，，，，，；过点D作，垂足为E，为中线，，，，在中，，，，．【解析】根据三角函数的定义设，，则，再由三角形的周长得出k的值，即可得出三角形的三边；过点D作，垂足为E，根据，再由余弦函数的定义得出答案即可．本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键．23.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，，连接EB、ED，延长BE交AD于点求证：．【答案】证明：连接BD．四边形ABCD是正方形，，且 ，又是公共边，≌ ，．，．， ，．，．四边形ABCD是正方形，，，．．又是公共角，∽ ，，即．【解析】想办法证明 ∽ 即可解决问题；本题考查了相似三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确理解正方形的性质是关键．24.已知：点E在线段AB上，．如图1，AB是的边，作交边AC于点F，连接求的值．如图2，AB是梯形ABCD的一腰，，且，作交边DC的值．于点F，连接求梯形【答案】解：如图1，，，，∽ ，，，设，则，，四边形，，，；如图2，设，则，连接AC，交EF于G，连接AF，，∽ ，，，，，，同理可得，，，，，设，则，，，，，，．梯形【解析】证明 ∽ ，得，根据相似三角形的性质得两三角形面积的关系，设，则，根据，得，所以，可得结论；设，则，证明 ∽ ，得，则，设，则，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得：，，代入可得结论．本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．25.在中，，，点C在直线m上，，，其中点D、E分别在直线AC、m上，将 绕点B旋转点D、E都不与点C重合．当点D在边AC上时如图，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；当为等腰三角形时，求CD的长．【答案】解：，．．，，．∽ ．，即．；当时，C、D重合，不符合题意，舍去；当时，如图1，，，．则．．，是等腰直角三角形．，；当时，Ⅰ如图2，，．．．，．；Ⅱ如图3，则 ，．，，．．．所以当为等腰三角形时，CD的长为2或或．【解析】证明 ∽ ，通过比例式找到y与x的关系；分情况讨论， 当时，C、D重合，不符合题意，舍去；当时，如图1； 当时，有两种图形如图2、画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．。
上海市2019-2020学年九年级(上)数学期中试卷(Word版无)
2019-2020学年上海市九年级（上）数学期中考试试题数学试卷（时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 已知2:3:=y x ，则下列各式中正确的是（ ）（A ）25=+y y x （B ）31=-y y x （C ）32=y x （D ）3411=++y x 2. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，∠A ＝θ，则AC 的长为（ ）（A ）θsin 4 （B ）θcos 4 （C ）θsin 4 （D ）θcos 4 3. 如图1，如果D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，由下列条件中可以推出DE ∥BC 的有（ ）（A ）AECE BD AD = （B ）BC DE BD AD = （C ）CE AC BD AB = （D ）BC DE AB AD = 4. 已知,和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定b a ∥的是（ ）（A ）∥，∥ （B = （C ）2= （D ）c a 21=，2= 5. 下列各命题中，是真命题的是（ ）（A ）在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，EFBC DE AB =，Rt △ABC ∽Rt △DEF （B ）底角都为45°的两个等腰梯形相似（C ）一组邻边之比为21的两个平行四边形相似 （D ）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似6. 如图2，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，BD 平分∠ABC ，∠ACE ＝∠ABD ，与△BEF 一定相似的三角形为（ ）（A ） △BFC （B ）△BDC （C ）△BDA （D ）△CEA二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：2-＝ . 8. 在比例尺为1:500 000的地图上，某两地图距为3厘米，则这两地的实际距离是千米.9. 两个相似三角形对应高的比为4:1，那么这两个相似三角形的面积比是 .10. 如图3，已知321l l l ∥∥，CH ＝2，DH ＝3，AB ＝4.5，那么AG ＝ .11. 点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AB ＝2，那么BC 的长度是 .12. 在△ABC 中，∠A 与∠B 是锐角，22sin =A ，33cot =B ，那么∠C ＝ . 13. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，34cot =A ，那么△ABC 的面积是 .14. 如图4，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC ＝12，54sin =B ，则BD ＝ .15. 如图5，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AB ，交AC 于点E ，AB ＝15，AC ＝10，则CE ＝ .16. 如图6，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，GE ∥AC ，交BC 于点E ，则ECBE的值是 .17. 如图7，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ´B ´，使点B ´落在射线AC 上，则cos ∠B ´CB 的值为 .18. 如图8，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12，如果将矩形沿直线l 翻折后，点B 落在边CD的中点E 处，直线l 分别与边AB 、BC 交于点M 、N ，如果BN ＝6.5，那么AM 的长为 .三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. (本题满分10分） 计算：000045cot 60sin 30tan 30sin --20. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知：如图9，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 上的一点，DE ：CE ＝1:2，联结AE与对角线BD 相交于点F ，AE ＝4（1）求AF 的长；（2）设=，=，用，的线性组合表示.21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知：如图10，在△ABC 中，∠A ＝45°，点D 是AB 中点，E 在边AC 上，且∠AED ＝ ∠ABC ，如果AE ＝3，EC ＝1（1）求边AB 的长；（2）求cot ∠AED 的值.22. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知：如图11，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是边AB 上一点，且tan ∠DCB ＝53.（1）试求cos B 的值；（2）试求△BCD 的面积.23. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图12，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC 平分∠BCD ，且CO CA CD CB = （1）求证：AB ＝OB ；（2）若BC ＝3，DC ＝2，且AD ：AB ＝3:10，求证：ADOD OB OA =.24. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图13，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－1,0） B （0，－2）C （2,0）D （1，－3）（1）求tan D 的值；（2）在坐标轴上找一点E ，使得△ABE 与△BCD 相似，求点E 的坐标.25. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝2，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交射线AC 于点D （P 与A 、B 不重合），E 是边BC 上一点，且∠EPD ＝∠A. 设A 、P 两点的距离为x ，△DEP 的面积为y .（1）若AP ＝55时，求BE 的值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△DEC 与△APD 相似时，求AP 的长度.。
2019-2020年第一学期九年级期中数学考试试卷含答案
2019-2020年第一学期九年级期中数学考试试卷一、精心选一选（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1． 已知⊙O 的半径为4cm ，点P 在⊙O 上，则OP 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．8cm2．若37a b =，则b aa -等于（ ） A ．43 B.34 C. 37 D. 733．抛物线y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为（ ）A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝2D ．直线x ＝－24． 如图，在⊙O 中，点M 是︵AB 的中点，连结MO 并延长，交⊙O 于点N ，连结BN ．若∠AOB ＝140°，则∠N 的度数为（ ）A ．70°B ．40°C ．35°D ．20°第4题 第6题 第8题5．在一个不透明的口袋里装有2个白球、3个黑球和3个红球，它们除了颜色外其余都相同．现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ） A ．12B ．38C ．13D ．146. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA =OB =OC =2，则这朵三叶花的面积为（ ） A ．33-πB ．63-πC ．36-πD ．66-π7. 已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是( ) A ．AB 2=AC•BCB ．BC 2=AC•BC C ．AC=BC D ．BC=AC8. 如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则BF EF的值为（ ） A.41 B.422- C.221- D.212- O N MBA9. 如图，抛物线y =x 2+b x +c 与直线y=x 交于（1，1）和（3，3）两点，以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当x 2+b x +c ＞时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（ ） A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④10. 若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”．例如：P (1，0)、Q (2，－2)都是“整点”．抛物线 y =mx 2－2mx +m －1(m >0)与 x 轴交于 A 、 B 两点，若该抛物线在 A 、B 之间的部分与线段 A B 所围成的区域（包括边界）恰有 6 个整点，则 m 的取值范围是( ) A ．18≤ m ≤ 14 B ．19< m ≤ 14 C ．19 ≤ m < 12 D ．19 < m < 14二、细心填一填（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4，b ＝9，则线段c 的长度为 ． 12.小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上找到三点（－1，y 1），（21，y 2），（－321，y 3），则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为___________．(用 < 号连接)13. 如图水库堤坝的横断面是梯形，BC 长为30m ，CD 长为20m ，斜坡AB 的坡比为1：3，斜坡CD 的坡比为1：2，则坝底的宽AD 为 m 。
沪科版2019-2020学年九年级数学第一学期期中试题(含答案)
沪科版2019-2020学年九年级数学第一学期期中试题（含答案）本卷满分150分，考试时间120分钟一.选择题（50分)1．抛物线y ＝﹣3x 2+6x +2的对称轴是（ ） A ．直线x ＝2 B ．直线x ＝﹣2 C ．直线x ＝1 D ．直线x ＝﹣1 2．已知5x ＝6y （y ≠0），那么下列比例式中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知点A （1，﹣3）关于x 轴的对称点A ' 在反比例函数y ＝的图象上，则实数k 的值为（ ） A ．3 B ． C ．﹣3 D ．﹣ 4．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 5．关于反比例函数y ＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ） A ．经过点（﹣1，﹣4） B ．当x ＜0时，图象在第二象限 C ．无论x 取何值时，y 随x 的增大而增大 D ．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 6．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC ＞AC ．若S 1表示以BC 为边的正方形面积，S 2表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，则S 1与S 2的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不能确定7．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝a ，宽BC ＝b ．将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b ＝（ ）A ．2：1 B ．：1 C ．3： D ．3：2班级_______________ 姓名_______________ 号码_______________8．正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2B．﹣2＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．x＜﹣2或0＜x＜29．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D10．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长( )A．B．C．D．或二、填空题（20分）11．若，则＝．12．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O．若S△AOD=4，S△AOB=6，则△COD的面积是．14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝．三、解答题（16分）15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．16．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．四、（20分）17．如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC，取AB中点F，边DF交AC于E，求的值．18．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．五、（20分）19．如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．20.已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）.（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______________；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______________；（3）求△A2B2C2的面积是__________平方单位.六、（本题满分12分）21．“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x元时，一天的营业额为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？七、（本题满分12分）22．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．期中数学试卷参考答案一、选择题1．C．2．B．3．A．4．C．5．B．6．B．7．B．8．D．9．B 10．D二、填空题11．．12．10米13．6．14．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A、B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为1，则k1﹣k2＝2．【解答】解：设点A坐标为（a，b）则ab＝k1∴S△AOP＝同理S△BOP＝∵S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP＝∴k1﹣k2＝2故答案为：2三、解答题15．a的值是1，b的值是﹣2．16．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为0（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，求所得抛物线的函数表达式．【解答】解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．四、解：过点C作CM∥AB，∵CD=BC，CM∥AB，∴CM BF，∵AB中点F，∴AF=BF，∴CM AF，∴△AFE∽△CME，∴==，∴=．18．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝+3+＝．故答案为．五、19．如图是反比例函数y＝的图象，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若M、N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．解：（1）∵在反比例函数的图象中，当﹣4≤x≤﹣1时，﹣4≤y≤﹣1，∴反比例函数经过坐标（﹣4，﹣1），将坐标代入反比例函数y＝中，得反比例函数的解析式为y＝（2分）；（2）当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．将y＝x代入，解得，即M（2，2），N（﹣2，﹣2）．∴OM＝2．则MN＝4．又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4．20．17.解答：（1）如图所示，C 1（2，－2）；（2）如图所示，C 2（1，0）；（3）∵A 2C 22＝20，B 2C 22＝20，A 2B 22＝40，∴A 2C 22＝B 2C 22，且A 2C 22+ B 2C 22＝A 2B 22，∴△△A 2B 2C 2是等腰直角三角形，∴△A 2B 2C 2的面积是1210（平方单位）.六、（本题满分12分）21．“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每份臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x 元时，一天的营业额为y 元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a元/份的范围是6≤a≤9，且a为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？【解答】解：（1）由题意得：y＝（500﹣×20）（6+x）＝（x+6）（500﹣40x）；（2）6≤a≤9，即0≤x≤3，y＝（x+6）（500﹣40x）＝﹣40（x+6）（x﹣12.5），函数的对称轴为：x＝6.5，∵﹣40＜0，函数有最大值，当x＜6.5时，函数随x的增大而增大，而0≤x≤3，故x＝3时，y最大，此时，y最大值为：3420，即每份9元时，营业额最大，最大营业额是3420元．七、（本题满分12分）22．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0，3），则a+4＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H，设点M（m，﹣m2+2m+3），则S＝S梯形BOHM﹣S△OAB﹣S△AMH＝（﹣m2+2m+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣m2+2m+3）]＝﹣m2+m ﹣，∵0，故S有最大值，当m＝时，S的最大值为：；（3）当S取得最大值时，此时，m＝，则y＝﹣m2+2m+3＝，故点M′的坐标为：（，）．。
2019-2020学年上海市川中南校九年级上学期期中考数学试卷(含详解)
2019学年川中南校第一学期初三数学期中质量调研一、选择题1.已知13a b =，则b ab -的值为（）A.23 B.32 C.12 D.22.下列命题中，是真命题的是()A.所有的等腰三角形都相似B.所有矩形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的等边三角形都相似3.在Rt ABC ∆中，90C = ∠，9,6BC AC ==下列等式中正确的是()A.2tan 3A = B.3sin 2A = C.2cot 3A = D.2cos 3A =4.已知两个相似三角形的周长比是1:4，则他们的面积比为()A.1:4B.1:2C.2:1D.1:165.如图，已知//,AB CD AD 与BC 相交于点O ，:1:3OB OC =，那么下列式子中错误的是()A .:1:4AB CD = B.:1:3AO OD =C.:3:4OD AD = D.:4:3BC CO =6.下列判断正确的是()A.0a a -= B.如果ab =r r ，那么a b =C.若向量a 与b 均为单位向量，那么a b =D.对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠ ，那么//a b二、填空题7.在1:30000的地图上，某两地在地图上的距离是5cm ，那么这两地的实际距离为__________千米.8.()11232a b a b ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ __________9.已知点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，4AB =，则AC =_________10.如图，已知123////,2,1,3,4l l l AG OB CH DH ====，则GO =_______11.如图，在ABC ∆中，12BC =，G 是ABC ∆的重心，M 为AC 边上一点//GM BC ，则GM =_______12.在Rt ABC ∆中，90,,3,4C CD AB CD DB ∠=⊥== ，则cot A =________13.如图，ABCD 中，已知:1:3,BE EC F =是CD 的中点，则GE AG=________14.在Rt ABC ∆中，190,4,cos 3C AC B ∠===，则AB =_________15.e 是与a 方向相反的单位向量，5a = ，则a = _____e 16.已知在ABC ∆中，3,4,5BC AC AB ===，点P 是AB 上一点，2AP =，过点P 的直线交AC 于点M ，若APM ∆与ABC ∆相似，则PM =_________17.如图，在Rt ABC ∆中，90C = ∠，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知//,3,MN AB MC NC ==，则四边形MABN 的面积是__________18.如图，在ABC ∆中，390,10,cos 5ACB AB A ∠=== ，将ABC ∆绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别记为'A 、'B ，''A B 与边AB 相交于点E ，如果''A B AC ⊥，那么线段'B E 的长为_________三、简答题19.计算:22cot 60cos30⋅20.如图，ABCD 中，点E 为DC 上的一点，2CE DE =，AC 与BE 相交于点F ，如果,AB a AD b==(1)用向量分别表示下列向量:_______;_______;_________CE AE AF === (2)在图中求作BF 分别在a 和b方向上的分向量(不写作法但要写出画图结果)21.如图，点D 和点E 分别在AB 、AC 边上，BE 平分,ABC ABE ACD ∠∠=∠.求证:2EC EF EB =⋅22.如图，已知在ABC ∆中，2//,5AD DE BC DB =(1)如果21BC =，求DE 的长(2)如果45DBCE S =四边形，求ADE S ∆的值23.如图，在ABC ∆中，已知点D 是BC 边上的点，4111,,tan ,tan 32BC AD BD B C ====(1)求AB 的长;(2)求cos ADB ∠的值.24.如图1，在Rt ABC ∆中，90,3,4ACB AC BC ∠===，点D 是CA 延长线上的一点，AE BD ⊥，垂足为E ，联结CE .(1)求证:ABD ECD∆∆ (2)当点E 是BD 中点时，求tan ECD ∠的值;(3)如图2，AE 的延长线交CA 的平行线BF 于点F ，求证:CBE AFB ∆∆ 25.在△ABC 中，AC=25，AB=35，tanA=43，点D 为边AC 上一点，且AD=5，点E 、F 分别为边AB 上的动点（点F 在点E 的左边），且∠EDF=∠A ．设AE=x ，AF=y ．（1）如图1，当DF ⊥AB 时，求AE 的长；（2）如图2，当点E 、F 在边AB 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结CE ，当△DEC 和△ADF 相似时，求x 的值．2019学年川中南校第一学期初三数学期中质量调研一、选择题1.已知13a b =，则b a b -的值为（）A.23 B.32 C.12 D.2【答案】A 由13a b =得b=3a,把b=3a 代入b a b -得3233a a a -=故选A.2.下列命题中，是真命题的是()A.所有的等腰三角形都相似B.所有矩形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的等边三角形都相似【答案】D【分析】根据相似三角形以及相似多边形的判定，对比每个选项，看能否举出反例即可得出答案.【详解】A.等腰三角形如果顶角不相等，那么三角形三个角度都不相等，也就不是相似三角形了，所以A 错误；B.所有的矩形满足四个角都是直角相等，但是四条边不一定成比例，所以B 错误；C.菱形的四条边都对应成比例，但是四个内角不一定对应相等，所以C 错误；D.所有的等边三角形三个角都等于60°，三个角都相等，所以D 正确.故答案选D.【点睛】本题考查相似图形的判定，要注意相似的图像不仅所有的角都对应相等，边也要对应成比例，两个条件都要满足.3.在Rt ABC ∆中，90C = ∠，9,6BC AC ==下列等式中正确的是()A.2tan 3A = B.3sin 2A = C.2cot 3A = D.2cos 3A =【答案】C【分析】根据勾股定理可以将直角三角形的第三边求出来，然后再根据三角函数的求法根据每个选项进行一一验证即可得出答案.【详解】如图，根据Rt ABC ∆中，90C = ∠，9,6BC AC ==，可得：AB ===A.93tan 62===BC A AC ,故A 错误； B.313sin13===BC A AB ，故B 错误；C.62cot 93===AC A BC ，故C 正确； D.213cos13===AC A AB ，故D 错误.故答案选C.【点睛】本题考查利用勾股定理以及三角函数解直角三角形，熟记各个三角函数的求值方法，并区分是解题关键，在做题时最好画一个直角三角形进行辅助.4.已知两个相似三角形的周长比是1:4，则他们的面积比为()A.1:4B.1:2C.2:1D.1:16【答案】D【分析】根据相似三角形的周长比可得出相似三角形的相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可得出答案.【详解】解：∵两个相似三角形的周比是1:4，∴这两个三角形的相似比也是1:4，∴这两个三角形的面积比是1:16.故答案选D.【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题关键，注意面积比等于相似比的平方，而不是2倍，这部分比较容易在计算的时候混淆.5.如图，已知//,AB CD AD 与BC 相交于点O ，:1:3OB OC =，那么下列式子中错误的是()A.:1:4AB CD = B.:1:3AO OD =C.:3:4OD AD = D.:4:3BC CO =【答案】A【分析】根据//AB CD ，可得△AOB ∽△DOC ，根据:1:3OB OC =，即可得出:1:3AO OD =，:1:3=AB CD ，可判断出A 、B 的正误，再根据前面求出来的比例即可求出:3:4OD AD =，:4:3BC CO =，可判断C 、D 的正误.【详解】∵//AB CD ，∴△AOB ∽△DOC ，∵:1:3OB OC =，∴:::1:3===AO OD AB CD OB OC ，所以A 选项错误，B 选项正确；∵:1:3AO OD =，∴:3:4OD AD =；∵:1:3OB OC =，∴:4:3BC CO =；故C 、D 正确.故答案选A.【点睛】本题考查平行线分线段得出的三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，可得出线段之间的比例；熟记相似三角形的性质是做题关键.6.下列判断正确的是()A.0a a -=B.如果a b =r r ，那么a b= C.若向量a 与b 均为单位向量，那么a b= D.对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠ ，那么//a b【答案】D【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案.【详解】A.-a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B.如果ab =r r ，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C.若向量a 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D.对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠ ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 正确.故答案为D.【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.二、填空题7.在1:30000的地图上，某两地在地图上的距离是5cm ，那么这两地的实际距离为__________千米.【答案】1.5【分析】根据比例尺的算法图上距离：实际距离，先列出比例式，然后解比例即可得出答案.【详解】设两地实际距离是x 厘米，由题可得：5:x 1:30000=，解得：x 150000=∵150000厘米=1.5千米，故答案为：1.5.【点睛】本题考查比例尺的运算，在做题时注意比例尺是图上距离：实际距离，并且要统一单位，最后注意是否把单位化成题目中要求的单位.8.()11232a b a b ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ __________【答案】2533b a - 【分析】根据向量运算的法则先去括号，然后合并即可得出答案.【详解】()11112522323333⎛⎫---=--+=- ⎪⎝⎭ a b a b a b a b b a ，故答案为：2533b a - .【点睛】本题考查向量的运算，熟练掌握去括号法则是解题关键.9.已知点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，4AB =，则AC =_________【答案】2-【分析】根据黄金比例的比值列出式子，然后解比例即可得出答案.【详解】∵黄金比例是)1:2-，C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，∴)BC :AC 1:2=-，∵4AB =，设AC=x ，则BC=4－x ，∴())4:x 1:2x -=解得：x 2=.故答案为：2-.【点睛】本题考查黄金比例的值，以及解比例，本题要注意黄金比例是较短部分：较长部分=)1:2，要分清楚比例式谁在前是解题关键；解比例式最后答案要化成最简二次根式.10.如图，已知123////,2,1,3,4l l l AG OB CH DH ====，则GO =_______【答案】53【分析】根据平行线分线段，可得CH :DH AG :GB 34==：，根据AG 2=，OB 1=，可得()AG :34GO OB +=：，可计算出GO 53=.【详解】解：∵123////l l l ，∴CH :DH AG :GB =，∵34CH DH =，∴34AG GB =∴34AG GO OB =+，将AG 2=，OB 1=代入得：GO 53=.故答案为：53.【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题时如果平行线较多，一定要分清楚分别是哪两条平行线间夹的线段是对应成比例的，比较容易混淆，注意区分.11.如图，在ABC ∆中，12BC =，G 是ABC ∆的重心，M 为AC 边上一点//GM BC ，则GM =_______【答案】4【分析】连接BG 交AC 于点D ，连接CG 交AB 于点E ，连接ED ，根据中位线可得△GED ∽△GCB ，可求出GE :GC ED :BC 12==：，GC :CE 2:3=，再根据//GM BC 得到//GM DE ，可证明△CGM ∽△CED ，可得GM :ED GC :CE 2:3==，即可算出GM 的长度.【详解】如图：连接BG 交AC 于点D ，连接CG 交AB 于点E ，连接ED ；∵G 是ABC ∆的重心，∴BD 、CE 均为△ABC 的中线，DE 为△ABC 的中位线，∵12BC =，∴ED BC ‖，且1ED 2BC =，∴△GED ∽△GCB ，∴GE :GC ED :BC 12==：，∴GC :CE 2:3=，又∵//GM BC ，ED BC‖∴//GM DE ，∴△CGM ∽△CED ，∴GM :ED GC :CE 2:3==∵1ED 62BC ==，∴GM 4=.故答案为：4.【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，本题理解重心的含义，并且利用中位线定理是解题关键，因为重心是三角形三条中线的交点，中线与相似三角形联系比较紧密的就是中位线平行且等于底边的一半，可得出相似三角形以及相似比.12.在Rt ABC ∆中，90,,3,4C CD AB CD DB ∠=⊥== ，则cot A =________【答案】34【分析】根据Rt △ADC 中∠A+∠DCA=90°，且∠BCD+∠DCA=90°，可得∠A=∠BCD ，在Rt △BCD 中求得cot ∠BCD 的值，即可求得cot A 的值.【详解】如图由图，∵∠CDA=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠BCA=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°，∴∠A=∠BCD ，在Rt △BCD 中，CD=3，BD=4，∴3cot 4∠==CD BCD BD ，∴3cot cot 4∠==A BCD .故答案为：34.【点睛】本题考查利用等角的余角相等得出角相等，即可得出角的余切值也相等，熟记余切值的求法是本题解题关键.13.如图，ABCD 中，已知:1:3,BE EC F =是CD 的中点，则GE AG=________【答案】18【分析】过点F 作AE 的平行线交BC 的延长线于点H ，易证△ABE ∽△FCH ，得出两个三角形的相似比，再根据GE ∥FH ，得出△BGE ∽△BFH ，可得::2:9==GE FH BE BH ，再根据1FH 2AE =，可得出:2:181:9==GE AE ，即可得出:1:8=GE AG ，得出答案.【详解】过点F 作AE 的平行线交BC 的延长线于点H ，∵AB ∥FC ，AE ∥FH ，∴△ABE ∽△FCH ，∵F 为CD 中点，∴11FC 22CD AB ==，∴1CH 2BE =，1FH 2AE =∵:1:3=BE EC ，1CH 2BE =，∴:2:9=BE BH ，∵GE ∥FH ，∴△BGE ∽△BFH ，∴::2:9==GE FH BE BH ，∵1FH 2AE =，∴:2:181:9==GE AE ，∴:1:8=GE AG ∴18=GE AG .故答案为：18.【点睛】本题考查相似三角形的综合题型，根据题中的线段比例只有:1:3=BE EC ，12=FC CD 所以要根据这两个式子构造相似三角形，所以本题作出辅助线，构造相似三角形是解题关键，要抓住平行四边形中有的平行线来构造相似三角形.14.在Rt ABC ∆中，190,4,cos 3C AC B ∠=== ，则AB =_________【答案】【分析】根据1cos 3==BC B AB ，可设BC 长度为x ，则AB 长度为3x ，利用勾股定理可列出方程，解出方程可得出BC 的值，即可得出AB 的值.【详解】如图，在直角△ABC 中，1cos 3==BC B AB ，设BC 长度为x ，则AB 长度为3x ，根据勾股定理可得：()22243x x +=，解得：x =，则AB 3x ==.故答案为：【点睛】本题考查结合三角函数与勾股定理相结合解直角三角形，如果已知的三角函数值相关的两边长不知道，则可以根据比例设相应的未知数，再根据勾股定理列出方程，解出即可.涉及到三角函数的题目，最好要画图辅助解题，会更好理解一些.15.e 是与a 方向相反的单位向量，5a = ，则a = _____e【答案】-5【分析】由题意结合平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】∵e 是与a 方向相反的单位向量，∴λ=e a ，∵5a = ，且e 是与a 方向相反，∴a = 5-e .故答案为：﹣5.【点睛】本题考查向量共线的充分必要条件，注意共线可以是方向相同，也可以是方向相反.16.已知在ABC ∆中，3,4,5BC AC AB ===，点P 是AB 上一点，2AP =，过点P 的直线交AC 于点M ，若APM ∆与ABC ∆相似，则PM =_________【答案】65或32【分析】先将两种情况的图形画出，再根据∠A 是公共角，还有一组直角对应相等，可得APM ∆∽ABC ∆，根据直角的位置不同，那么对应线段成比例也不同，找出对应线段成比例，再根据题中已知线段长度即可求解.【详解】∵在ABC ∆中，3,4,5BC AC AB ===，322345+=，∴ABC ∆为直角三角形，∠C=90°；如图，当∠MPA=90°时，APM ∆∽ACB ∆，∴==AP PM AM AC BC AB∵2AP =，∴243=PM∴32=PM ；如图，当∠PMA=90°时，APM ∆∽ABC ∆，∴==AP PM AM AB BC AC∵2AP =，∴253=PM ∴65=PM ；综上可得：32=PM 或65=PM .故答案为：65或32.【点睛】本题考查相似三角形的性质，需注意要分类讨论，因为题中两个三角形相似只有一个角相等的条件，则将对另外的角相等进行分类讨论，最后根据相似三角形的对应变成比例得出线段的长度.17.如图，在Rt ABC ∆中，90C = ∠，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知//,3,MN AB MC NC ==，则四边形MABN 的面积是__________【分析】根据折叠全等可得∠CMN=∠DMN ，CM=MD ，又根据平行可得∠CMN=∠A ，∠NMD=∠MDA ，等量代换得到∠MDA=∠A ，MD=MA=CM ，同理可得CN=BN=ND,即可得出MN 为三角形ABC 的中位线，易证△CNM ∽△CBA ，可以得出两个三角形的相似比，即可得出两个三角形的面积比，根据题意可求出△CNM 的面积，然后求出△CBA 的面积，两个面积相减即可求出四边形MABN 的面积.【详解】∵将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，∴△CMN ≌△DMN ，∴∠CMN=∠DMN ，CM=MD,∵//MN AB ，∴∠CMN=∠A ，∠NMD=∠MDA∴∠MDA=∠A ，∴MD=MA=CM ；同理可得：CN=BN=ND,∴M 、N 分别为CA 、CB 中点，∴1MN 2BA =，∵//MN AB ，∴△CNM ∽△CBA ，∵1MN 2BA =，∴两个三角形的相似比为12，∴:1:4CNM CBA S S = ,∵11333222CNM S CM CN ==⨯= ，∴4CBA CNM S S == ∵932MABN CBA CNM S S S =-=..【点睛】本题考查相似三角形的性质，如果求出两个三角形的相似比即可得出两个三角形的面积比.本题在做题过程中还要注意折叠就有全等三角形，要善于利用全等三角形的性质，结合平行线，得出有利于证明相似的条件.18.如图，在ABC ∆中，390,10,cos 5ACB AB A ∠=== ，将ABC ∆绕着点C 旋转，点A 、B 的对应点分别记为'A 、'B ，''A B 与边AB 相交于点E ，如果''A B AC ⊥，那么线段'B E 的长为_________【答案】245【分析】先根据勾股定理以及三角函数将△ABC 的三条边求出来，根据旋转角相等，可得''BCB ACA B'EB ∠∠∠==，又根据平行可得△BHC ∽EHB' ，∠B=B'EB ∠，可得'BCB B'EB ∠∠=，HB=HC ，再根据三线合一可得F 为BC 中点，又FH ∥AC ，可得FH 为△ABC 的中位线，可求出BH 的值，也就求出CH 的值，最后根据△BHC ∽EHB' ,可以算出'B E 的长度.【详解】如图，设AB 与CB’交点为H ，过H 作HF ⊥BC 于点F ；在ABC ∆中，390,10,cos 5ACB AB A ∠=== ∴可得：AC 6,BC 8==，∵''A B AC ⊥，BC AC ⊥，∴BC ∥B'E ,∵A'B'C 是由ABC 旋转而来，∴''BCB ACA B'EB ∠∠∠==∵BC ∥B'E ,∴△BHC ∽EHB' ,∠B=B'EB∠∴'BCB B'EB ∠∠=，∴HB=HC ，∵HF ⊥BC ，∴F 为BC 中点，∵FH ∥AC ，∴FH 为△ABC 的中位线，∴HB=HC=5，B H 853='-=，∵△BHC ∽EHB' ,∴''BC CH B E B H =,∴85'3B E =，∴24B E 5'=.故答案为：245.【点睛】本题考查相似三角形的判定以及相似三角形的性质，根据旋转得出旋转角相等是本题解题关键，遇到这种类型的题目需要先把图形大概画出来，然后根据旋转得出的角相等，得出相似或者是等腰三角形，要善于利用题中给出的角相等，转化成自己需要的条件.三、简答题19.计算:22cot 60cos30⋅【答案】712【分析】根据特殊角的三角函数值，代入再化简即可得出答案.【详解】原式=2232(332232-⨯+（=3114223-+=712.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记并区分这些特殊角的三角函数值是解题关键.20.如图，ABCD 中，点E 为DC 上的一点，2CE DE =，AC 与BE 相交于点F ，如果,AB a AD b== (1)用向量分别表示下列向量:_______;_______;_________CE AE AF === (2)在图中求作BF 分别在a 和b 方向上的分向量(不写作法但要写出画图结果)【答案】（1）CE = 23a - ；AE = 13a b + ；AF = 3355a b + ；（2）详见解析【分析】（1）根据共线向量的性质以及向量运算的法则即可得出答案；（2）根据平行四边形法则画出分向量即可.【详解】（1）∵AB ∥CD，AB=CD，CE=2DE∴CE ∥AB，2CE 3AB =,∴23CE AB =- ，∵AB a = ∴CE =23a -；∵AE AD DE =+ ，AD b = ，1133DE AB a == ，∴AE = 13a b + ；∵AB ∥CE，∴△ABF∽△CEF,∴32BF AF AB EF FC EC ===，∴3AF 5AC =，∵AC AB BC a b =+=+ ，∴333555AF AC a b ==+ ；故：CE = 23a - ；AE = 13a b + ；333555AF AC a b ==+ .（2）如图所示：MB 是向量BF 在a 方向的分向量，MF 是向量BF 在b 方向的分向量.【点睛】本题考查向量计算的三角形法则以及平行四边形法则，先从长度入手，再根据向量的方向得出最终结果.21.如图，点D 和点E 分别在AB 、AC 边上，BE 平分,ABC ABE ACD ∠∠=∠.求证:2EC EF EB=⋅【答案】详见解析【分析】根据角平分线可得ABE EBC ∠=∠，已知ABE ACD ∠=∠，根据∠FEC 是公共角，所以可得△FEC ∽△CEB ，根据相似三角形的性质可得=EF EC EC EB整理可得出2EC EF EB =⋅.【详解】∵BF 平分∠ABC ，ABE EBC ∴∠=∠，ABE ACD ∠=∠ ，EBC ECD ∴∠=∠，∵∠FEC 是公共角，FEC ∴∆∽CEB ∆，EF EC EC EB ∴=，2EC EF EB ∴=⋅.【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，可以根据结论中要证明的线段所在的三角形，然后去找题中与这两个三角形相关的条件证明相似，一般是找到相等的角度即可证明.22.如图，已知在ABC ∆中，2//,5AD DE BC DB =(1)如果21BC =，求DE 的长(2)如果45DBCE S =四边形，求ADE S ∆的值【答案】（1）6；（2）4【分析】（1）根据//DE BC ，可得DE AD BC AB =，将25=AD DB 与21BC =代入即可求出DE 的长度.（2）由//DE BC ，可得ADE ∆∽ABC ∆，因为25=AD DB ，可以求出两个三角形的相似比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出449∆∆=ADE ABC S S ，设4ADE S x ∆=，49ABC S x ∆=，根据45DBCE S =四边形可列出方程，即可得出ADE S ∆的值【详解】（1）//DE BC DE AD BC AB ∴=25AD DB = 27AD AB ∴21BC = 2217DE ∴=.6DE ∴=.（2）//DE BCADE ∴∆∽ABC∆2224()()749ADE ABC S AD S AB ∆∆∴===设：4ADE S x ∆=，则49ABC S x∆=45DBCE S = 四边形，49445x x ∴-=1x ∴=4ADE S ∆∴=.【点睛】本题考查平行线分线段成比例以及相似三角形性质的应用，在做题时需注意平行线分线段成比例是哪几条线段成比例，在应用面积比的时候要先得出相似比，相似比最好用线段比的形式写出来，以防出错.23.如图，在ABC ∆中，已知点D 是BC 边上的点，4111,,tan ,tan 32BC AD BD B C ====(1)求AB 的长;(2)求cos ADB ∠的值.【答案】（1）5；（2）725【分析】（1）过点A 作AH BC ⊥，根据在Rt ABH ∆中，4tan 3B =可设出AH 和BH 的长度43AH k BH k ==，，再根据勾股定理表示出AB 的长度5AB k =，在Rt AHC ∆中，根据1tan 2C =，可得出CH 的长度8CH k =，最后根据已知BC 的长度列出方程，求出k 的值，即可得出AB 的值.（2）设DH x =，则3BD AD x ==+在Rt AHD ∆中，根据勾股定理可列出关于x 的方程，解出x 的值，可得出AD 的值，在Rt AHD ∆中可求出cos ADB ∠的值.【详解】（1）解：过点A 作AH BC⊥在Rt ABH ∆中，4tan 3==AH B BH ∴设43AH k BH k==，由勾股定理得：5AB k=在Rt AHC ∆中，1tan 2C =∴8CH k=∴3811BC k k =+=1k ∴=，5AB ∴=.(2)解：设DH x =，则3BD AD x==+在Rt AHD ∆中，由勾股定理得：2224(3)x x +=+得：76x =，256AD ∴=，在Rt AHD ∆中，776cos 25256HD ADH AD ∠===.所以7os 25c ∠=ADB .【点睛】本题考查利用三角函数和勾股定理结合解直角三角形，如果已知三角函数值，则可以通过设未知数的形式将各个边长表示出来，表示出来后即可求得其他的三角函数，如果已知某条边的长度的话，还可以利用勾股定理构造方程，解出其他边的长度.24.如图1，在Rt ABC ∆中，90,3,4ACB AC BC ∠===，点D 是CA 延长线上的一点，AE BD ⊥，垂足为E ，联结CE.(1)求证:ABD ECD∆∆ (2)当点E 是BD 中点时，求tan ECD ∠的值;(3)如图2，AE 的延长线交CA 的平行线BF 于点F ，求证:CBE AFB ∆∆ 【答案】（1）详见解析；（2）12；（3）详见解析.【分析】（1）根据题中已知条件易证AED ∆∽BCD ∆，根据相似三角形的性质可得=DE AD CD BD ，这个式子可以转化为DE CD AD BD=，再根据D D ∠=∠，可证明ABD ∆∽ECD ∆.（2）在Rt ABC ∆中利用勾股定理可得出5AB =，因为，为中点⊥AE BD E BD ，可得出5AB AD ==，CD=8，可得1tan 2∠==BC D CD ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得BD=所以ED =，在Rt △EFD 中，设EF=m ，则DF=2m ，根据勾股定理列出方程，解得m 的值，可得EF=2，FD=4，所以F 为CD 中点，又EF ⊥CD ，可得EC=ED ，∠ECD=∠D ，所以得到1tan tan 2∠=∠=ECD D .（3）根据90,∠=︒⊥ACB AE BD 可得90,90∠+∠=︒∠+∠=︒CBD D EAD D ，推出CBD EAD ∠=∠根据//BF CD ，可得F EAD ∠=∠即：∠=∠F CBD ，再根据等角的余角相等可证出BAE BCE ∠=∠即可得出CBE ∆∽AFB ∆.【详解】(1)90,ACB AE BD∠=︒⊥ 90AED ACB ∴∠=∠=︒D D∠=∠ AED ∴∆∽BCD ∆DE AD CD BD ∴=DE CD AD BD ∴=D D∠=∠ ABD ∴∆∽ECD ∆；(2)如图，过点E 作EF ⊥CD 于点F在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =由勾股定理得：5AB =AE BD E BD ⊥ ，为中点5AB AD ∴==8CD ∴=1tan 2BC D CD ∴∠==∵在Rt △BCD 中，BC=4，CD=8，∴由勾股定理得：BD=∵E 为BD 中点，∴ED=1BD 2=，在Rt △EFD 中，ED =,1tan 2∠=D ，设EF=m ，则DF=2m ，根据勾股定理可得：()(2222m m +=,解得：m=2∴EF=2，FD=4，∵CD=8，∴F 为CD 中点，又∵EF ⊥CD ，∴EC=ED ，∠ECD=∠D 1tan tan 2ECD D ∴∠=∠=；(3)90,ACB AE BD∠=︒⊥ 90,90CBD D EAD D ∴∠+∠=︒∠+∠=︒CBD EAD∴∠=∠//BF CDF EAD∴∠=∠F CBD∴∠=∠90,ACB AE BD∠=︒⊥ 90ABD BAE ∴∠+∠=︒，90ECD BCE ∠+∠=︒ABD ∆ ∽ECD∆ABD ECD∴∠=∠BAE BCE∴∠=∠CBE ∴∆∽AFB ∆.【点睛】本题考查解直角三角形的应用以及相似三角形综合应用，（1）中可先将要求证得相似三角形的对应边成比例和对应角写出来，看一下哪些是题中给出的比较明显的条件就先去验证能否证相似；（2）需要根据三角函数以及勾股定理把能够求出的线段长度求出，再根据所要求的角并不在直角三角形中，所要肯定需要构造直角三角形或者等量代换；（3）在直角比较多的地方角之间的等量代换多用等角的余角相等.25.在△ABC 中，AC=25，AB=35，tanA=43，点D 为边AC 上一点，且AD=5，点E 、F 分别为边AB 上的动点（点F 在点E 的左边），且∠EDF=∠A ．设AE=x ，AF=y ．（1）如图1，当DF ⊥AB 时，求AE 的长；（2）如图2，当点E 、F 在边AB 上时，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结CE ，当△DEC 和△ADF 相似时，求x 的值．【答案】(1)253，(2)y=6-25x （256≤x≤35）；(3)x=25或x=5或x=1256.【分析】（1）先根据DF⊥AB ，∠EDF=∠A ，得出∠ADE=90°，再根据AD=5，tanA=43，即可求出AE ；（2）过点D 作DG⊥AB ，交AB 于G ，先证出△EDF∽△EAD ，得出ED 2=AE•EF ，再求出DG 、AG ，最后根据EG=x-6，DE 2=42+（x-3）2得出42+（x-3）2=x•（x-y ），再进行整理即可；（3）先证出∠AFD=∠EDC ，再分两种情况讨论：①当∠A=∠CED 时，得出AD AF AC AE =，525y x =，再把y=6-25x 代入得出5（6-25x ）=x ，再解方程即可；②当∠A=∠DCE 时，根据△ECD∽△DAF 得出CD CE AF AD =，205x y =，再把y=6-25x 代入得出5（6-25x）=x ，求出方程的解即可．【详解】（1）∵DF⊥AB ，∴∠AFD=90°，∴∠A+∠ADF=90°∵∠EDF=∠A ，∴∠EDF+∠ADF=90°，即∠ADE=90°，在Rt△ADE 中，∠ADE=90°，AD=5，tanA=43∴AE=25 3，（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，∵∠EDF=∠ADE，∠DEF=∠AED，∴△EDF∽△EAD，∴ED AE EF ED，∴ED2=AE•EF，∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=4 3，∴DG=4，AG=3，∴EG=x-3，∴DE2=42+（x-3）2，∴42+（x-3）2=x•（x-y），∴y=6-25x（256≤x≤35）；（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，∴∠AFD=∠EDC，①当∠A=∠CED时，∵∠EDF=∠A，又∵∠CED=∠FDE，∴DF∥CEAC AE ∴525y x =∵y=6-25x ，∴5（6-25x ）=x ，x 1=25，x 2=5；②当∠A=∠DCE 时，∵∠EDF=∠A ，∴△ECD∽△DAF ∴CD CE AF AD=，205x y =，∵y=6-25x ，∴5（6-25x ）=x ，∴x=1256，∴当△DEC 和△ADF 相似时，x=25或x=5或x=1256.。
上海市长宁区2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(1)含解析
上海市长宁区2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（1）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，点P 为△ABC 外一点，CP=2，BP=3，AP 的最大值是（ ）A ．2+3B ．4C ．5D ．322．一元二次方程（x+3）（x-7）=0的两个根是 A ．x 1=3，x 2=-7 B ．x 1=3，x 2=7 C ．x 1=-3，x 2=7 D ．x 1=-3，x 2=-73．一组数据是4，x ，5，10，11共五个数，其平均数为7，则这组数据的众数是（ ） A ．4B ．5C ．10D ．114．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点D ，C 在⊙O 上，连接AD 、BD 、DC 、AC ，如果∠BAD ＝25°，那么∠C 的度数是（ ）A ．75°B ．65°C ．60°D ．50°5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED//BC 的是（ ）A ．BA CABD CE = B ．EA DAEC DB = C ．ED EABC AC= D ．EA ACAD AB= 6．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠7．在函数y ＝1xx -中，自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≤1且x≠0C ．x≥0且x≠1D ．x≠0且x≠18．如图，一个斜边长为10cm 的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）A ．60cm 2B ．50cm 2C ．40cm 2D ．30cm 29．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，DE ∥AB ，下列各式正确的是（ ）A ．AB DC =u u u r u u u rB ．DE DC =u u u v u u u vC ．AB ED =u u u v u u u vD ．AD BE =u u u v u u u v10．计算327-的值为( ) A ．26-B ．-4C ．23-D ．-211．计算3×（﹣5）的结果等于（ ） A ．﹣15 B ．﹣8 C ．8 D ．1512．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．30二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若式子23x +有意义，则x 的取值范围是______．14．如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=6x的图象有一个交点A(2，m)，AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y=kx 使其经过点B ，得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是_________ .15．2017年端午小长假的第一天，永州市共接待旅客约275 000人次，请将275 000用科学记数法表示为___________________．16．如图所示，某办公大楼正前力有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶点A 测得族杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底端C 的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是13米，梯坎坡度i=1：2.4，则大楼AB 的高度的为_____米．17．2017年12月31日晚，郑东新区如意湖文化广场举行了“文化跨年夜、出彩郑州人”的跨年庆祝活动，大学生小明和小刚都各自前往观看了演出，而且他们两人前往时选择了以下三种交通工具中的一种：共享单车、公交、地铁，则他们两人选择同一种交通工具前往观看演出的概率为_____． 18．在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠ABD 交AC 于E ，sinA=35，BC=210，则 AE=_______.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）关于x 的一元二次方程230x m x m -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤1B ．m ＜1C ．﹣3≤m≤1D ．﹣3＜m ＜120．（6分）已知平行四边形．尺规作图：作的平分线交直线于点，交延长线于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；在（1）的条件下，求证：．21．（6分）A 、B 两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s （千米）表示汽车与甲地的距离，t （分）表示汽车行驶的时间，如图，L 1，L 2分别表示两辆汽车的s 与t 的关系． （1）L 1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？ （2）汽车B 的速度是多少？（3）求L 1，L 2分别表示的两辆汽车的s 与t 的关系式．（4）2小时后，两车相距多少千米？ （5）行驶多长时间后，A 、B 两车相遇？22．（8分）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据： 成绩x学生 70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤8485≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100甲 ______ ______ ______ ______ ______ ______ 乙114211（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 极差 平均数 中位数 众数 方差 甲 ______ 83.7 ______ 86 13.21 乙2483.782______46.21（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______．23．（8分）先化简，再求值：22111m m m ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭，其中m ＝2. 24．（10分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转37︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，2 1.4≈）25．（10分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，CD 是AB 边的中线，DE BC ⊥于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果30A ∠=o ①如图1，DCB ∠=o②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60o ，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且()090A αα∠=<<o o，连结DP ，将线段DP 绕点逆时针旋转2α得到线段DF ，连结BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者的数量关系（不需证明）26．（12分）先化简，22211121x x x x x x x --+⋅-++，其中x ＝12．27．（12分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E是OB 上一点，且，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH ．求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当OB ＝2时，求BH 的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】过点C 作CQ CP ⊥,且CQ=CP,连接AQ,PQ,证明ACQ V ≌,BCP V 根据全等三角形的性质，得到3,AQ BP == 2,CQ CP ==根据等腰直角三角形的性质求出PQ 的长度，进而根据AP AQ PQ ≤+,即可解决问题. 【详解】过点C 作CQ CP ⊥,且CQ=CP,连接AQ,PQ,90,ACQ BCQ BCP BCQ ∠+∠=∠+∠=o ,ACQ BCP ∠=∠在ACQ V 和BCP V 中,AC BC ACQ BCP CQ CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACQ V ≌,BCP V3,AQ BP ∴== 2,CQ CP ==PQ==2,≤++=325,AP AQ PAP的最大值是5.故选：C.【点睛】考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，作出辅助线是解题的关键.2．C【解析】【分析】根据因式分解法直接求解即可得．【详解】∵（x+3）（x﹣7）=0，∴x+3=0或x﹣7=0，∴x1=﹣3，x2=7，故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点选择恰当的方法进行求解是解题的关键. 3．B【解析】试题分析：（4+x+3+30+33）÷3=7，解得：x=3，根据众数的定义可得这组数据的众数是3．故选B．考点：3．众数；3．算术平均数．4．B【解析】因为AB是⊙O的直径，所以求得∠ADB=90°，进而求得∠B的度数，又因为∠B=∠C，所以∠C的度数可求出．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠BAD=25°，∴∠B=65°，∴∠C=∠B=65°（同弧所对的圆周角相等）．故选B．5．C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理，对各选项进行逐一判断即可．【详解】A. 当BA CABD CE=时，能判断ED BC‖；B. 当EA DAEC DB=时，能判断ED BC‖；C. 当ED EABC AC=时，不能判断ED BC‖；D. 当EA ACAD AB=时，EA ADAC AB=，能判断ED BC‖.故选：C.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理，根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键.6．A【解析】【分析】分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．【详解】当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-14；当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，所以a的取值范围为a≥1．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．C【解析】【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可．【详解】由题意得：x≥2且x﹣2≠2．解得：x≥2且x≠2．故x的取值范围是x≥2且x≠2．故选C．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．8．D【解析】【分析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出53DEBF=，即53EFBF=，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴10563 DE AEBF BE===，∴53 EFBF=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×53=403a，在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即（403a）1+（8a）1=（10+6）1，解得a1=18 17，红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a-（5a）1，=1603a1-15a1，=853a1，=853×1817， =30cm 1． 故选D ． 【点睛】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键. 9．D 【解析】∵AD//BC ，DE//AB ，∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AB DE =u u u v u u u v ，AD BE =u u u v u u u v， ∴选项A 、C 错误，选项D 正确， 选项B 错误， 故选D. 10．C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式 故选C ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 11．A 【解析】 【分析】按照有理数的运算规则计算即可. 【详解】原式=-3×5=-15，故选择A. 【点睛】本题考查了有理数的运算，注意符号不要搞错. 12．D 【解析】试题解析：根据题意得9n=30%，解得n=30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D．考点：利用频率估计概率．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x＞32 -．【解析】解：依题意得：2x+3＞1．解得x＞32-．故答案为x＞32-．14．y=32x-3【解析】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出y=kx的解析式，再根据直线y=kx平移后经过点B，可设平移后的解析式为y=kx+b，将B点坐标代入求解即可得.【详解】当x=2时，y=6x=3，∴A(2，3)，B（2，0），∵y=kx过点A(2，3)，∴3=2k，∴k=32，∴y=32x，∵直线y=32x平移后经过点B，∴设平移后的解析式为y=32x+b，则有0=3+b，解得：b=-3，∴平移后的解析式为：y=32x-3，故答案为：y=32x-3.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键.15．1．75×2【解析】试题解析：175 000=1．75×2．考点：科学计数法----表示较大的数【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=13米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=5米，CH=12米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=12+20=32（米），即可得出大楼AB的高度．【详解】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：2.4，∴BH：CH=1：2.4，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=13米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴BH=5米，CH=12米，∴BG=GH-BH=15-5=10（米），EG=DH=CH+CD=12+20=32（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°-45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=32（米），∴AB=AG+BG=32+10=42（米）；故答案为42【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．17．1 3【解析】首先根据题意画树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果，最后用概率公式求解即可求得答案．【详解】树状图如图所示，∴一共有9种等可能的结果；根据树状图知，两人选择同一种交通工具前往观看演出的有3种情况， ∴选择同一种交通工具前往观看演出的概率：31=93， 故答案为13． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．5【解析】∵BD ⊥AC 于D ，∴∠ADB=90°，∴sinA=35BD AB =. 设BD=3x ，则AB=AC=5x ，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：AD=4x ，∴CD=AC-AD=x ，∵在Rt △BDC 中，BD 2+CD 2=BC 2， ∴2229(210)x x +=，解得1222x x ==-，（不合题意，舍去），∴AB=10，AD=8，BD=6，∵BE 平分∠ABD ， ∴53AE AB ED BD ==， ∴AE=5. 点睛：本题有两个解题关键点：（1）利用sinA=35BD AB =，设BD=3x ，结合其它条件表达出CD ，把条件集中到△BDC 中，结合BC=210由勾股定理解出x ，从而可求出相关线段的长；（2）要熟悉“三角形角平分线分线段成比例定理：三角形的内角平分线分对边所得线段与这个角的两边对应成比例”.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．C【解析】【分析】利用二次根式有意义的条件和判别式的意义得到230(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩V＝，然后解不等式组即可． 【详解】根据题意得230(3)40m m m +≥⎧⎪⎨+-≥⎪⎩V＝， 解得-3≤m≤1．故选C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．20．（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）作∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交DC 延长线于点F 即可；（2）先根据平行四边形的性质得出AB ∥DC ，AD ∥BC ，故∠1=∠2，∠3=∠1．再由AF 平分∠BAD 得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠1，据此可得出结论．试题解析：（1）如图所示，AF 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠1=∠2，∠3=∠1．∵AF 平分∠BAD ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠1，∴CE=CF ．考点：作图—基本作图；平行四边形的性质.21．（1）L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B 的速度是1.5千米/分；（3）s 1=﹣1.5t+330，s 2=t ；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A 、B 两车相遇．【解析】试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系； （2）由L 1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；（4）结合（3）中函数图象求得120t =时s 的值，做差即可求解；（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．试题解析：（1）函数图形可知汽车B 是由乙地开往甲地，故L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；（3）设L 1为1s kt b =+， 把点（0，330），（60，240）代入得1.5330.k b =-=， 所以1 1.5330s t ；=-+ 设L 2为2s k t ='，把点（60，60）代入得 1.k '=所以2.s t =（4）当120t =时，12150120.s s ==，330﹣150﹣120=60（千米）；所以2小时后，两车相距60千米；（5）当12s s =时， 1.5330,t t -+=解得132.t =即行驶132分钟，A 、B 两车相遇．22．（1）0，1，4，5，0，0；（2）14，84.5，1；（3）甲，理由见解析【解析】【分析】(1)根据折线统计图数字进行填表即可；(2)根据稽查，中位数，众数的计算方法，求得甲成绩的极差，中位数，乙成绩的极差，众数即可；(3)可分别从平均数、方差、极差三方面进行比较．【详解】(1)由图可知：甲的成绩为：75，84，89，82，86，1，86，83，85，86，∴70⩽x ⩽74无，共0个；75⩽x ⩽79之间有75，共1个；80⩽x ⩽84之间有84，82，1，83，共4个；85⩽x ⩽89之间有89，86，86，85，86，共5个；90⩽x ⩽94之间和95⩽x ⩽100无，共0个．故答案为0；1；4；5；0；0；(2)由图可知：甲的最高分为89分，最低分为75分，极差为89−75=14分；∵甲的成绩为从低到高排列为：75，1，82，83，84，85，86，86，86，89， ∴中位数为12（84＋85）＝84.5； ∵乙的成绩为从低到高排列为：72，76，1，1，1，83，87，89，91，96，1出现3次，乙成绩的众数为1．故答案为14；84.5；1；（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小．或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲．（答案不唯一，理由须支撑推断结论） 故答案为：甲，两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．【点睛】此题考查折线统计图，统计表，平均数，中位数，众数，方差，极差，解题关键在于掌握运算法则以及会用这些知识来评价这组数据．23．1m m-+，原式23=-. 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值.【详解】原式()()21111m m m m m m m -⋅=-+-+， 当m ＝2时，原式23=-. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.24．1.4米.【解析】【分析】过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE=CM ，则EM=BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．【详解】过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE=CM ，如图所示， ∵AB=CD ，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1，在Rt △ABE 中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin ∠A≈0.6，AE=AB•cos ∠A≈0.8，在Rt △CDF 中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin ∠D≈0.7，DF=CD•cos ∠D≈0.7，∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM ，又∵BE=CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形，∴BC=EM ，CM=BE ．在Rt △MEF 中，EF=AD ﹣AE ﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=22EF FM +≈1.4，∴B 与C 之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．25．（1）①60；②CP BF =．理由见解析；（2）2tan BF BP DE α-=⋅，理由见解析.【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合30A ∠=o ，只要证明CDB ∆是等边三角形即可； ②根据全等三角形的判定推出DCP DBF ∆≅∆，根据全等的性质得出CP BF =，（2）如图2，求出DC DB AD ==，DE AC P ，求出2FDB CDP PDB α∠=∠=+∠，DP DF =，根据全等三角形的判定得出DCP DBF ∆≅∆，求出CP BF =，推出BF BP BC -=，解直角三角形求出tan CE DE α=即可．【详解】解：（1）①∵30A ∠=o ，90ACB ∠=o ，∴60B ∠=o ，∵AD DB =，∴CD AD DB ==，∴CDB ∆是等边三角形，∴60DCB ∠=o ．故答案为60.②如图1，结论：CP BF =．理由如下：∵90ACB ∠=o ，D 是AB 的中点，DE BC ⊥，A α∠=，∴DC DB AD ==，DE AC P ，∴A ACD α∠=∠=，EDB A α∠=∠=，2BC CE =，∴2BDC A ACD α∠=∠+∠=，∵2PDF α∠=，∴2FDB CDP PDB α∠=∠=-∠，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP DF =，在DCP ∆和DBF ∆中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DCP DBF ∆≅∆，∴CP BF =．（2）结论：2tan BF BP DE α-=⋅．理由：∵90ACB ∠=o ，D 是AB 的中点，DE BC ⊥，A α∠=，∴DC DB AD ==，DE AC P ，∴A ACD α∠=∠=，EDB A α∠=∠=，2BC CE =，∴2BDC A ACD α∠=∠+∠=，∵2PDF α∠=，∴2FDB CDP PDB α∠=∠=+∠，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP DF =，在DCP ∆和DBF ∆中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DCP DBF ∆≅∆，∴CP BF =，而CP BC BP =+，∴BF BP BC -=，在Rt CDE ∆中，90DEC ∠=o ， ∴tan DE DCE CE∠=， ∴tan CE DE α=，∴22tan BC CE DE α==，即2tan BF BP DE α-=．【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出DCP DBF ∆≅∆是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．26．2213x ,x + 【解析】【分析】根据分式的化简方法先通分再约分，然后带入求值.【详解】 解：22211121x x x x x x x --+⋅-++2(1)(1)(1)1(1)1111111121x x x x x x xx x x x x x x x +--=+⋅+--=++-+=+++=+ 当12x =时，2213x x =+． 【点睛】此题重点考查学生对分式的化简的应用，掌握分式的化简方法是解题的关键.27．（1）证明见解析；（2）BH ＝．【解析】【分析】（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC ∥BD ，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF ，进而利用勾股定理求出AF ，最后利用面积即可得出结论．【详解】（1）连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，点C 是的中点， ∴∠AOC ＝90°，∵OA ＝OB ，CD ＝AC ，∴OC 是△ABD 是中位线，∴OC ∥BD ，∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，∴AB ⊥BD ，∵点B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线；（2）由（1）知，OC ∥BD ，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．。
上海市长宁区2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(5)含解析
上海市长宁区2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（5）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．把不等式组2010xx-⎧⎨+<⎩…的解集表示在数轴上，正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形3．如图，△ABC中，DE∥BC，13ADAB=，AE＝2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cmC．6cm D．8cm4．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．23 B．75 C．77 D．1395．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是() A．70°B．60°C．55°D．50°6．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( )A．14°B．15°C．16°D．17°7．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD ＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm8．如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．9．如图是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C （﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．以A为对称中心作点P（0，2）的对称点P1，以B为对称中心作点P1的对称点P2，以C为对称中心作点P2的对称点P3，以D为对称中心作点P3的对称点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（）A．2 B．C．D．12．若2＜2a-＜3，则a的值可以是（）A．﹣7 B．163C．132D．12二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2018年3月2日，大型记录电影《厉害了，我的国》登陆全国各大院线．某影院针对这一影片推出了特惠活动：票价每人30元，团体购票超过10人，票价可享受八折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片．若观影人数为a（a＞10），则应付票价总额为_____元．（用含a的式子表示）14．如图，直线y＝kx与双曲线y＝2x(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．15．反比例函数kyx=的图象经过点（﹣3，2），则k的值是_____．当x大于0时，y随x的增大而_____．（填增大或减小）16．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为______ cm1．17．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为．18．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）解不等式组：.20．（6分）计算：（﹣1）2018+（﹣12）﹣2﹣|212|+4sin60°；21．（6分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：甲7.2 9.69.67.89.3 4 6.58.59.99.6乙 5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7根据上面的数据，将下表补充完整：4.0≤x≤4.95.0≤x≤5.96.0≤x≤6.97.0≤x≤7.98.0≤x≤8.99.0≤x≤10.0甲 1 0 1 2 1 5乙____ ____ _____ ______ _____ _______（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0～7.9万元为良好，6.0～6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格）两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：结论：人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）甲8.2 8.9 9.6乙8.2 8.4 9.7（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有______个；（2）可以推断出_____业务员的销售业绩好，理由为_______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为点E，连接BE，点F为BE上一点，连接AF，∠AFE=∠D．（1）求证：∠BAF=∠CBE；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45．求证：AF=BF．23．（8分）已知：如图1，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），根据对称性△AMB 恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB 为直角三角形时，就称△AMB 为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线2y x =的“完美三角形”斜边AB 的长； ②抛物线21y x +=与2y x =的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ； （2）若抛物线24y ax +=的“完美三角形”的斜边长为4，求a 的值；（3）若抛物线225y mx x+n =+-的“完美三角形”斜边长为n ，且225y mx x+n =+-的最大值为-1，求m ，n 的值．24．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，且BF=DE ． 求证：AE ∥CF ．25．（10分）如图，有长为14m 的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为xm ，面积为Sm 1．求S 与x 的函数关系式及x 值的取值范围；要围成面积为45m 1的花圃，AB 的长是多少米？当AB 的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？26．（12分）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．求k 的取值范围；如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．27．（12分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD，连接BF。
上海市长宁区2019-2020学年中考数学三模考试卷含解析
上海市长宁区2019-2020学年中考数学三模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是（）A．B．C．D．2．设a，b是常数，不等式1xa b+>的解集为15x<，则关于x的不等式0bx a->的解集是（）A．15x>B．15x<-C．15x>-D．15x<3．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，则电线杆AB 的高度为（）A．2+23B．4+23C．2+32D．4+324．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．55．如图，△ABC中，AB=2，AC=3，1＜BC＜5，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形ABIH、BCDE 和正方形ACFG，则图中阴影部分的最大面积为（）A ．6B ．9C ．11D ．无法计算6．如果一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．k ＞0，且b ＞0B ．k ＜0，且b ＞0C ．k ＞0，且b ＜0D ．k ＜0，且b ＜07．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．8．在一组数据：1，2，4，5中加入一个新数3之后，新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A ．中位数不变，方差不变B ．中位数变大，方差不变C ．中位数变小，方差变小D ．中位数不变，方差变小9．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a+b ＜0B ．a ＞|﹣2|C ．b ＞πD ．0a b < 10．若二次函数22y x x m =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．1m £C ．1m >D ．1m <11．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设∠CAB ＝α，那么拉线BC 的长度为（ ）A ．sin h αB ．cos h αC ．tan h αD ．cot h α12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，CD ⊥AB 于D ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A．45B．54C．43D．34二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝_________.14．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝_____．15．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（Ⅰ）AC的长等于_____；（Ⅱ）在线段AC上有一点D，满足AB2=AD•AC，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____．16．把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为．17．如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图像上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD至点C，使CD=2AD，过点A作AB⊥x轴于点B，连结BC交y轴于点E，若△ABC的面积为6，则k的值为________.18．（2017黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．求反比例函数和一次函数的解析式；求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．20．（6分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：请你补全条形统计图；在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数；为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学担任生活监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．21．（6分）如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)22．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，连接AD，过D作AC的垂线，交AC边于点E，交AB 边的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，BF=3，求弧AD的长．23．（8分）为支持农村经济建设，某玉米种子公司对某种种子的销售价格规定如下：每千克的价格为a 元，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某农户对购买量和付款金额这两个变量的对应关系用列表做了分析，并绘制出了函数图象，如图所示，其中函数图象中A点的左边为（2,10），请你结合表格和图象，回答问题：购买量x（千克） 1 1.5 2 2.5 3付款金额y（元） a 7.5 10 12 b（1）由表格得：a= ；b= ；（2）求y关于x的函数解析式；（3）已知甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买4千克该玉米种子，如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约多少钱？24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线，交函数2(0)y x x =<的图象于B 点，交函数6(0)y x x=>的图象于C ，过C 作y 轴和平行线交BO 的延长线于D ． （1）如果点A 的坐标为（0，2），求线段AB 与线段CA 的长度之比；（2）如果点A 的坐标为（0，a ），求线段AB 与线段CA 的长度之比；（3）在（1）条件下，四边形AODC 的面积为多少？25．（10分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，则BD ＝CE ．(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BDC ＝60°，求证：AD+CD ＝BD ；(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝m°，点E 为△ABC 外一点，点D 为BC 中点，∠EBC ＝∠ACF ，ED ⊥FD ，求∠EAF 的度数（用含有m 的式子表示）．26．（12分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝10°，△CDE 是等边三角形，点D 在边AB 上．（1）如图1，当点E 在边BC 上时，求证DE ＝EB ；（2）如图2，当点E 在△ABC 内部时，猜想ED 和EB 数量关系，并加以证明；（1）如图1，当点E 在△ABC 外部时，EH ⊥AB 于点H ，过点E 作GE ∥AB ，交线段AC 的延长线于点G ，AG ＝5CG ，BH ＝1．求CG 的长．27．（12分）如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为¶AB ，P 是半径OB上一动点，Q是¶AB上的一动点，连接PQ．（1）当∠POQ＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求¶BQ的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】试题分析：根据三视图的意义，可知俯视图为从上面往下看，因此可知共有三个正方形，在一条线上.故选C.考点：三视图2．C【解析】【分析】根据不等式1xa b+>的解集为x＜15即可判断a,b的符号,则根据a,b的符号,即可解不等式bx-a<0【详解】解不等式10 xa b +>,移项得:1-xa b ＞∵解集为x<1 5∴1-5ab=，且a<0∴b=-5a>0，15 15a b=- 解不等式0bx a ->,移项得:bx ＞a 两边同时除以b 得:x ＞a b , 即x ＞-15故选C【点睛】 此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键3．B 【解析】【分析】【详解】延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF ⊥BE 于F ，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4， ∴DF=2，22CD DF -3由题意得∠E=30°，∴EF=23tan DF E= ， ∴3∴AB=BE×tanE=（3×33=（3+4）米， 即电线杆的高度为（3+4）米．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.4．B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AG BF BE，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴（舍负），∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．5．B【解析】【分析】有旋转的性质得到CB=BE=BH′，推出C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，得到S△BEI=S△ABH′=S△ABC，同理：S△CDF=S△ABC，当∠BAC=90°时，S△ABC的面积最大，S△BEI=S△CDF=S△ABC 最大，推出S△GBI=S△ABC，于是得到阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，于是得到结论．【详解】把△IBE绕B顺时针旋转90°，使BI与AB重合，E旋转到H'的位置，∵四边形BCDE为正方形，∠CBE=90°，CB=BE=BH′，∴C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，∴S△BEI=S△ABH′=S△ABC，同理：S△CDF=S△ABC，当∠BAC=90°时，S△ABC的面积最大，S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°，∴∠GBE=90°，∴S△GBI=S△ABC，所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，又∵AB=2，AC=3，∴图中阴影部分的最大面积为3×12×2×3=9，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，利用了旋转的性质：旋转前后图形全等得出图中阴影部分的最大面积是S△ABC的3 倍是解题的关键．6．B【解析】试题分析：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故选B．考点：一次函数的性质和图象7．C【解析】试题分析：观察可得，只有选项C的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.8．D【解析】【分析】根据中位数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的中位数和方差，从而做出判断．【详解】∵原数据的中位数是=3，平均数为=3，∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=；∵新数据的中位数为3，平均数为=3，∴方差为×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2；所以新数据与原数据相比中位数不变，方差变小，故选：D．【点睛】本题考查了中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．9．D【解析】【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．【详解】a＝﹣2，2＜b＜1．A.a+b＜0，故A不符合题意；B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；C.b＜1＜π，故C不符合题意；D.ab＜0，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．10．D【解析】【分析】由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围．【详解】∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，解得：m＜1．故选D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．11．B【解析】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD，然后在Rt△BCD中cos∠BCD=CDBC，可得BC=cos cosCD hBCDα=∠.故选B．点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．12．D【解析】【分析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tanA＝BCAC＝34，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】【分析】根据裁开折叠之后平行四边形的面积可得CD的长度为+4或【详解】如图①，当四边形ABCE为平行四边形时，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T.∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，∴∠NAD＝60°，∴∠AND＝90°.设BT＝x，则CN＝x，BC＝EC＝2x.∵四边形ABCE面积为2，∴EC·BT＝2，即2x×x＝2，解得x＝1，∴AE＝EC＝2，EN＝22-=，213∴AN＝AE＋EN＝2＋3，∴CD＝AD＝2AN＝4＋23.如图②，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°.∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠ADB＝15°，∴∠AEB＝30°.设AB＝y，则DE＝BE＝2y，AE3∵四边形BEDF的面积为2，∴AB·DE＝2，即2y2＝2，解得y＝1，∴AE3DE＝2，∴AD＝AE＋DE＝23综上所述，CD的值为4＋323.【点睛】考核知识点：平行四边形的性质，菱形判定和性质．14．36°【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB，∴∠ACB=（180°﹣108°）÷2=36°；故答案为36°．15．5 见解析．【解析】【分析】(1)由勾股定理即可求解；(2)寻找格点M和N，构建与△ABC全等的△AMN，易证MN⊥AC，从而得到MN与AC的交点即为所求D点.【详解】(1)AC=22435+=；(2)如图，连接格点M和N，由图可知:AB=AM=4，BC=AN=221417+=，AC=MN=22435+=，∴△ABC≌△MAN，∴∠AMN=∠BAC，∴∠MAD+∠CAB=∠MAD+∠AMN=90°，∴MN⊥AC，易解得△MAN以MN为底时的高为165，∵AB2=AD•AC，∴AD=AB2÷AC=165，综上可知，MN与AC的交点即为所求D点.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中定点的问题，理解第2问中构造全等三角形从而确定D点的思路. 16．y=（x﹣3）2+2【解析】【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，故答案为：y=（x﹣3）2+2.【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．17．1【解析】【分析】连结BD，利用三角形面积公式得到S△ADB=13S△ABC=2，则S矩形OBAD=2S△ADB=1，于是可根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到k的值．【详解】连结BD，如图，∵DC=2AD，∴S△ADB=12S△BDC=13S△BAC=13×6=2，∵AD⊥y轴于点D，AB⊥x轴，∴四边形OBAD为矩形，∴S矩形OBAD=2S△ADB=2×2=1，∴k=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．18．10，273，413．【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC边AB=AC=10，BC=12，∴BD=DC=6，∴AD=8，如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10；如图②所示：AD=8，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8，BE=2BD=12，则BC=413；如图③所示：BD=6，由题意可得：AE=6，EC=2BE=16，故AC=22616=273．故答案为10，273，413．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）y＝﹣x﹣2；（2）C（﹣2，0），△AOB=6，,（3）﹣4＜x＜0或x＞2.【解析】【分析】（1）先把B点坐标代入代入y＝mx，求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOC+S△BOC 进行计算；（3）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．【详解】解：∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝mx的图象上，∴m＝2×（﹣4）＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣8x，把A（﹣4，n）代入y＝﹣8x，得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2）．把A（﹣4，2），B（2，﹣4）分别代入y＝kx+b，得4224k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得12kb=-⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）∵y＝﹣x﹣2，∴当﹣x﹣2＝0时，x＝﹣2，∴点C的坐标为：（﹣2，0），△AOB的面积＝△AOC的面积+△COB的面积＝12×2×2+12×2×4＝6；（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值小于反比例函数的值．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．20．（1）详见解析；（2）72°；（3）【解析】【分析】（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图；（2）用360°乘以C类别人数所占比例即可得；（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一男一女的结果数，根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）∵抽查的总人数为：（人）∴类人数为：（人）补全条形统计图如下：（2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为：（3）设男生为、，女生为、、，画树状图得：∴恰好抽到一男一女的情况共有12 种，分别是∴ （恰好抽到一男一女）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．35km【解析】试题分析：如图作CH ⊥AD 于H ．设CH=xkm ，在Rt △ACH 中，可得AH=3737CH x tan tan =︒︒，在Rt △CEH 中，可得CH=EH=x ，由CH ∥BD ，推出AH AC HD CB =，由AC=CB ，推出AH=HD ，可得37x tan ︒=x+5，求出x 即可解决问题．试题解析：如图，作CH ⊥AD 于H ．设CH=xkm ，在Rt △ACH 中，∠A=37°，∵tan37°=CH AH ， ∴AH=3737CH x tan tan =︒︒， 在Rt △CEH 中，∵∠CEH=45°，∴CH=EH=x ，∵CH ⊥AD ，BD ⊥AD ，∴CH ∥BD ，∴AH AC HD CB=， ∵AC=CB ，∴AH=HD ，∴37x tan ︒=x+5， ∴x=5?37137tan tan ︒-︒≈15， ∴AE=AH+HE=1537tan ︒+15≈35km ， ∴E 处距离港口A 有35km ．22．（1）见解析；（2）2π.【解析】【详解】证明：（1）连接OD ，∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，即AD ⊥BC ，∵AB=AC ，∴AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD过O，∴EF是⊙O的切线．（2）∵OD⊥DF，∴∠ODF=90°，∵∠F=30°，∴OF=2OD，即OB+3=2OD，而OB=OD，∴OD=3，∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，∴»AD的长度=12032180ππ⨯⨯＝.【点睛】本题考查了切线的判定和性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式．23．（1）5,1 （2）当0＜x≤2时，y=5x，当x＞2时，y关于x的函数解析式为y=4x+2 （3）1.6元.【解析】【分析】（1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可得出a值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可得出b值；（2）分段函数，当0≤x≤2时，设线段OA的解析式为y＝kx；当x＞2时，设关系式为y＝k1x＋b，然后将（2，10），且x＝3时，y＝1，代入关系式即可求出k，b的值，从而确定关系式；（3）代入（2）的解析式即可解答．【详解】解：（1）结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x，∵10÷2＝5，∴a ＝5，b ＝2×5＋5×0.8＝1．故答案为a ＝5，b ＝1．（2）当0≤x≤2时，设线段OA 的解析式为y ＝kx ，∵y ＝kx 的图象经过（2，10），∴2k ＝10，解得k ＝5，∴y ＝5x ；当x ＞2时，设y 与x 的函数关系式为：y ＝1k x ＋b∵y ＝kx+b 的图象经过点（2，10），且x ＝3时，y ＝1，11210314k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ ，解得142k b =⎧⎨=⎩， ∴当x ＞2时，y 与x 的函数关系式为：y ＝4x ＋2．∴y 关于x 的函数解析式为：()50242(2)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩； （3）甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，即5x ＝8，解得x ＝1.6，即甲农户购买玉米种子1.6千克；如果他们两人合起来购买，共购买玉米种子（1.6＋4）＝5.6千克，这时总费用为：y ＝4×5.6＋2＝24.4元． （8＋4×4＋2）−24.4＝1.6（元）．答：如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约1.6元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出图表中点的坐标是解题的关键．注意：求正比例函数，只要一对x ，y 的值就可以；而求一次函数y ＝kx ＋b ，则需要两组x ，y 的值．24．（1）线段AB 与线段CA 的长度之比为13；（2）线段AB 与线段CA 的长度之比为13；（3）1． 【解析】试题分析：（1）由题意把y=2代入两个反比例函数的解析式即可求得点B 、C 的横坐标，从而得到AB 、AC 的长，即可得到线段AB 与AC 的比值；（2）由题意把y=a 代入两个反比例函数的解析式即可求得用“a”表示的点B 、C 的横坐标，从而可得到AB 、AC 的长，即可得到线段AB 与AC 的比值；（3）由（1）可知，AB:AC=1:3，由此可得AB:BC=1:4，利用OA=2和平行线分线段成比例定理即可求得CD 的长，从而可由梯形的面积公式求出四边形AODC 的面积.试题解析：（1）∵A （0，2），BC ∥x 轴，∴B（﹣1，2），C（3，2），∴AB=1，CA=3，∴线段AB与线段CA的长度之比为13；（2）∵B是函数y=﹣2x（x＜0）的一点，C是函数y=6x（x＞0）的一点，∴B（﹣2a，a），C（6a，a），∴AB=2a，CA=6a，∴线段AB与线段CA的长度之比为13；（3）∵ABAC=13，∴ABBC=14，又∵OA=a，CD∥y轴，∴14 OA ABCD BC==，∴CD=4a，∴四边形AODC的面积为=12（a+4a）×6a=1．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE 即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12 m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD=EC ．（2）证明：如图2中，延长DC 到E ，使得DB=DE ．∵DB=DE ，∠BDC=60°，∴△BDE 是等边三角形，∴∠BD=BE ，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，∵AB=BC ，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD=EC ，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD ．∴AD+CD=BD ．（3）如图3中，将AE 绕点E 逆时针旋转m°得到AG ，连接CG 、EG 、EF 、FG ，延长ED 到M ，使得DM=DE ，连接FM 、CM ．由（1）可知△EAB ≌△GAC ，∴∠1=∠2，BE=CG ，∵BD=DC，∠BDE=∠CDM，DE=DM，∴△EDB≌△MDC，∴EM=CM=CG，∠EBC=∠MCD，∵∠EBC=∠ACF，∴∠MCD=∠ACF，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF，∵CF=CF，CG=CM，∴△CFG≌△CFM，∴FG=FM，∵ED=DM，DF⊥EM，∴FE=FM=FG，∵AE=AG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG，∴∠EAF=∠FAG=12 m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．26．（1）证明见解析；（2）ED=EB，证明见解析；（1）CG=2．【解析】【分析】(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°，从而得出∠EDB=10°，从而得出DE=BE；(2)、取AB的中点O，连接CO、EO，根据△ACO和△CDE为等边三角形，从而得出△ACD和△OCE 全等，然后得出△COE和△BOE全等，从而得出答案；(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据题意得出△COE和△BOE全等，然后得出△CEG和△DCO 全等，设CG=a，则AG=5a，OD=a，根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案．【详解】(1)∵△CDE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠EDB=60°﹣∠B=10°，∴∠EDB=∠B，∴DE=EB；(2) ED=EB，理由如下：取AB的中点O，连接CO、EO，∵∠ACB=90°，∠ABC=10°，∴∠A=60°，OC=OA，∴△ACO为等边三角形，∴CA=CO，∵△CDE是等边三角形，∴∠ACD=∠OCE，∴△ACD≌△OCE，∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，∴△COE≌△BOE，∴EC=EB，∴ED=EB；(1)、取AB的中点O，连接CO、EO、EB，由（2）得△ACD≌△OCE，∴∠COE=∠A=60°，∴∠BOE=60°，△COE≌△BOE，∴EC=EB，∴ED=EB，∵EH⊥AB，∴DH=BH=1，∵GE∥AB，∴∠G=180°﹣∠A=120°，∴△CEG≌△DCO，∴CG=OD，设CG=a，则AG=5a，OD=a，∴AC=OC=4a，∵OC=OB，∴4a=a+1+1，解得，a=2，即CG=2．27．（1）90,102︒；（2）103π；（3）251002100π- 【解析】【分析】 （1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论； （2）先判断出∠POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210) ＝2( 10 - O P ) ，解得OP ＝10210- ，最后用面积的和差即可得出结论．【详解】解：（1）∵P 是半径OB 上一动点，Q 是¶AB 上的一动点，∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ ＝90°，PQ ＝22102+=OA OB ，故答案为：90°，2 ；（2）解：如图，连接OQ ，∵点P 是OB 的中点，∴OP ＝12OB ＝12OQ ． ∵QP ⊥OB ，∴∠OPQ ＝90°在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP ＝OP 12=OQ ， ∴∠QOP ＝60°，∴l BQ 6010101803ππ=⨯= ； （3）由折叠的性质可得，,2''===BP B P AB AB ，在Rt △B'OP 中，OP 2+2(10210) ＝2( 10 - O P ) ,解得OP ＝10210，S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S △AOP ＝290110210(10210)2510021003602ππ⨯-⨯⨯⨯=-.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．。
上海市长宁区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
（1）求一次函数的解析式；
（2）若直线x=n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B，C，连接AB，若△ABC是等腰直角三角形，求n的值．
20．（6分）抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C．
17．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点 处，当△ 为直角三角形时，BE的长为.
18．已知 ， （ ），请用计算器计算当 时， 、 的若干个值，并由此归纳出当 时， 、 间的大小关系为______.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）本次调查了名学生，扇形统 计图中“1部”所在扇形的圆心角为度，并补全条形统计图；
（2）此中学共有1600名学生，通过计算预估其中4部都读完了的学生人数；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读，求他们选中同一名著的概率．
24．（10分）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
15．小明为了统计自己家的月平均用电量，做了如下记录并制成了表格，通过计算分析小明得出一个结论：小明家的月平均用电量为330千瓦时.请判断小明得到的结论是否合理并且说明理由______.
月份
六月
七月
八月
用电量（千瓦时）
290
2019—2020学年度最新沪科版九年级数学上学期期中模拟综合测试及答案解析(精品试卷).docx
沪科版九年级上学期期中数学练习卷一．选择题：（每小题4分，满分40分）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D． 52．若二次函数y=x2+4x﹣1配方后为y=（x+h）2+k，则h，k的值分别为（）A．2，5 B．4，﹣5 C．2，﹣5 D．﹣2，﹣53．二次函数y=x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣64．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定5．如图，直线y=﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则S△ABC=（）A．1B．2C． 3 D． 46．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．7．已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤18．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D． y=﹣9．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）10．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．二．填空题：（每小题5分，满分20分）11．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x 轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…．记点A n的横坐标为a n，若a1=2，则a2=，a2014=．14．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B′作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．在下列结论中，正确的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△0B1C∽△0A1D②OA•OC=OB•OD③OC•G=OD•F1④F=F1．三．（每小题8分，满分16分）15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．16．已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？四．（每小题8分，满分16分）17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．五．（每小题10分，满分20分）19．反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上，求t的值．20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？六．（本题满分10分）21．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？七．（本题满分12分）22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中两对相似三角形；（2）连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长．八．（本题满分12分）23．如图1，在△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边AC、BC上（图2、图3备用）（1）设AC=3，BC=4时，当△CEF与△ABC相似时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．期中数学试卷一．选择题：（每小题4分，满分40分）1．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A．﹣5 B．﹣C．D． 5考点：比例的性质．专题：计算题．分析：根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴==﹣5．故选：A．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．2．若二次函数y=x2+4x﹣1配方后为y=（x+h）2+k，则h，k的值分别为（）A．2，5 B．4，﹣5 C．2，﹣5 D．﹣2，﹣5考点：二次函数的三种形式．分析：利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，可以求得h、k的值．解答：解：∵y=x2+4x﹣1=（x2+4x+4）﹣4﹣1=（x+2）2﹣5，即二次函数y=x2+4x﹣1配方后为y=（x+2）2﹣5，∴h=2，k=﹣5，故选C．点评：本题考查了二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．3．二次函数y=x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6考点：二次函数的最值．分析：把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．解答：解：y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∵a=1＞0，∴当x=﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选D．点评：本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更简便．4．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定考点：黄金分割．分析：根据黄金分割的定义得到BC2=AC•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=BC2，S2=AC•AB，即可得到S1=S2．解答：解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2=AC•AB，∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1=BC2，S2=AC•AB，∴S1=S2．点评：本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．5．如图，直线y=﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则S△ABC=（）A．1B．2C． 3 D． 4考点：坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；数形结合．分析：本题可先根据直线的方程求出A、B两点的坐标，再根据角相等可得出三角形相似，最后通过相似比即可得出S△ABC的大小．解答：解：∵直线y=﹣2x+4与x轴，y轴分别相交于A，B两点∴OA=2，OB=4又∵∠1=∠2∴∠BAO=∠OCA∴△OAC∽△OAB则OC：OA=OA：OB=1：2∴OC=1，BC=3，∴S△ABC=×2×3=3点评：主要考查了一次函数图象上点的特征和点的坐标的意义以及与相似三角形相结合的具体运用．要把点的坐标有机地和图形结合起来求解．6．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．考点：位似变换．分析：根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=（a+1），进而得出点B的横坐标．解答：解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．点B的对应点B′的横坐标是a，∴FO=a，CF=a+1，∴CE=（a+1），∴点B的横坐标是：﹣（a+1）﹣1=﹣（a+3）．故选D．点评：此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO=a，CF=a+1，CE=（a+1），是解决问题的关键．7．已知二次函数y=﹣x2+2bx+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥﹣1 B．b≤﹣1 C．b≥1 D．b≤1考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：先根据抛物线的性质得到其对称轴为直线x=b，且当x＞b时，y随x的增大而减小，由于已知当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则可得判断b≤1．解答：解：∵抛物线y=﹣x2+2bx+c的对称轴为直线x=﹣=b，而a＜0，∴当x＞b时，y随x的增大而减小，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴b≤1．故选：D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x+）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b/2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小，8．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D． y=﹣考点：全等三角形的判定与性质；函数关系式；相似三角形的判定与性质．专题：数形结合．分析：作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．解答：解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，FG=BE=x，∴GC=y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即=，∴y=﹣．故选：A．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，辅助线的做法是解题的关键．9．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题；数形结合；待定系数法．分析：由A（m，2）得到正方形的边长为2，则BC=2，所以n=2+m，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2•m=（2+m），解得m=1，则E点坐标为（3，），然后利用待定系数法确定直线GF 的解析式为y=x﹣2，再求y=0时对应自变量的值，从而得到点F的坐标．解答：解：∵正方形的顶点A（m，2），∴正方形的边长为2，∴BC=2，而点E（n，），∴n=2+m，即E点坐标为（2+m，），∴k=2•m=（2+m），解得m=1，∴E点坐标为（3，），设直线GF的解析式为y=ax+b，把E（3，），G（0，﹣2）代入得，解得，∴直线GF的解析式为y=x﹣2，当y=0时，x﹣2=0，解得x=，∴点F的坐标为（，0）．故选：C．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．10．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：△CMN的面积=CP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出CP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2．解答：解：（1）当0＜x≤1时，如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴，即，∴MN=x，∴y=CP×MN=（0＜x≤1），∵﹣＜0，∴函数图象开口向下；（2）当1＜x＜2，如图2，同理证得，△CDB∽△CNM，，即，∴MN=2﹣x，∴y=CP×MN=（2﹣x）×（2﹣x）=，∵＞0，∴函数图象开口向上；综上，答案A的图象大致符合；故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．二．填空题：（每小题5分，满分20分）11．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=0．考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c 的值．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c=0．故答案为：0．点评：本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题；数形结合．分析：根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．解答：解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．点评：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x 轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…．记点A n的横坐标为a n，若a1=2，则a2=﹣，a2014=2．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．专题：规律型．分析：求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2013的值，根据题意可得A1不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值．解答：解：当a1=2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2=﹣，A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2=﹣，B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3=﹣，A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3=﹣3，B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4=2，A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4=，即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，∵=671…1，∴a2014=a4=2．点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．14．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B′作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D．在下列结论中，正确的是①②③④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△0B1C∽△0A1D②OA•OC=OB•OD③OC•G=OD•F1④F=F1．考点：相似三角形的应用．分析：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出B1C∥A1D，然后求出△OB1C∽△OA1D，判断出①正确；根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；根据杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂列式判断出③正确；求出F的大小不变，判断出④正确．解答：解：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴=，由旋转的性质得，OB=OB1，OA=OA1，∴OA•OC=OB•OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC•G=OD•F1，故③正确；∴===是定值，∴F1的大小不变，∴F=F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④．故答案为：①②③④．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键．三．（每小题8分，满分16分）15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．考点：作图—相似变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．点评：此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键．16．已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的性质．分析：（1）将交点坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求得a、k的值；（2）根据（1）可确定两个函数的解析式；求得二次函数的顶点坐标后，将其代入反比例函数的解析式中进行验证即可．解答：解：（1）因为二次函数y=ax2+x﹣1与反比例函数y=交于点（2，2）所以2=4a+2﹣1，解之得a=，2=，所以k=4；（2）反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点；由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是y=x2+x﹣1和y=；因为y=x2+x﹣1=y=（x2+4x﹣4）=（x2+4x+4﹣8）=[（x+2）2﹣8]=（x+2）2﹣2，所以二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣2）；因为x=﹣2时，y==﹣2，所以反比例函数图象经过二次函数图象的顶点．点评：此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法及二次函数的顶点坐标的求法；在求二次函数的顶点坐标时，要针对题型要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．四．（每小题8分，满分16分）17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）直接将（﹣1，0）代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标；（2）利用EM∥BN，则△EMF∽△BNF，进而求出△EMF与△BNE的面积之比．解答：解：（1）由题意可得：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c=0，解得：c=3，∴y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，∴点B（3，0），∴EM=1，BN=2，∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF，∴=（）2=（）2=．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，得出△EMF∽△BNF是解题关键．18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：（1）的值；（2）线段GH的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．分析：（1）根据EF∥BD，则=，再利用平行四边形的性质即可得出的值；（2）利用DF∥AB，则==，进而得出==，求出GH即可．解答：解：（1）∵EF∥BD，∴=，∵BD=12，EF=8，∴=，∴=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴=；（2）∵DF∥AB，∴==，∴=，∵EF∥BD，∴==，∴=，∴GH=6．点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键．五．（每小题10分，满分20分）19．反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上，求t的值．考点：待定系数法求反比例函数解析式；解一元二次方程-因式分解法；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．专题：数形结合．分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到|k|=3，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为y=；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=的图象上，则D点与M 点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t﹣1，则C点坐标为（t，t﹣1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t﹣1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．解答：解：（1）∵△AOM的面积为3，∴|k|=3，而k＞0，∴k=6，∴反比例函数解析式为y=；（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，把x=1代入y=得y=6，∴M点坐标为（1，6），∴AB=AM=6，∴t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=的图象上，则AB=BC=t﹣1，∴C点坐标为（t，t﹣1），∴t（t﹣1）=6，整理为t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2（舍去），∴t=3，∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上时，t的值为7或3．点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．也考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质．20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）分成1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用：利润=每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．解答：解：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；点评：本题考查了二次函数的应用，理解利润的计算方法，理解利润=每件的利润×销售的件数，是关键．六．（本题满分10分）21．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？考点：二次函数的应用．专题：应用题；数形结合．分析：（1）首先求出y B函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出y A函数关系式；（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入y B求出答案；（3）得出y A﹣y B的函数关系式，进而求出最值即可．解答：解：（1）由题意可得出：y B=（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000=（0﹣60）2+m，解得：m=100，∴y B=（x﹣60）2+100，当x=40时，y B=×（40﹣60）2+100，解得：y B=200，y A=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴y A=﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120=﹣20x+1000，解得：x=44，当x=44，y B=（44﹣60）2+100=164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．七．（本题满分12分）22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中两对相似三角形；（2）连接FG，如果α=45°，AB=，AF=3，求FG的长．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：压轴题．分析：（1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF ∽△EAM，△AMF∽△BGM；（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．解答：解：（1）△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，（2）当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，∵M为AB的中点，∴AM=BM=2，∵∠DME=∠A=∠B=α，∠FMB是△AFM的外角，∴∠FMB=∠A+∠AFM=∠DME+∠GMB，∴∠AFM=∠GMB，∴△AMF∽△BGM，∴∴BG==，AC=BC=4cos45°=4，∴CG=4﹣=，CF=4﹣3=1，∴FG=．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、AC的长度．八．（本题满分12分）23．如图1，在△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边AC、BC上（图2、图3备用）（1）设AC=3，BC=4时，当△CEF与△ABC相似时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）由勾股定理求得AB=5，分CE和CB对应、CE和CA对应两种情况结合对应边成比例即可分别求得AD的长；（2）当D是中点时，连接CD，与EF交于点Q，根据折叠的性质和直角三角形的性质可求得∠CFE=∠A，从而可证得结论．解答：解：（1）在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，若△CEF∽△ABC相似．则∠CEF=∠B（如图1），由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°．又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD．∴AD=BD．∴此时AD=AB=×5=．若△CFE∽△CBA，如图2，则∠CEF=∠A，∴EF∥BC，由折叠性质可知CD⊥EF，∴CD⊥AB．∴△ACD∽△ABC，∴，∴，综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为或；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q，∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AD，∴∠DCB=∠B．由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°．∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A．又∵∠ACB=∠ACB，∴△CEF∽△CBA．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及折叠的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意只有相似没有对应时需要分类讨论．。