弯曲变形PPT课件
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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
弯曲ppt课件
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
五、板料横截面的畸变、翘曲和拉裂（翘曲）
弯曲后的翘曲
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
五、板料横截面的畸变、翘曲和拉裂（翘曲）
弯曲后的翘曲
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
五、板料横截面的畸变、翘曲和拉裂（翘曲）
型材、管材弯曲后的剖面畸变
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
变形程度愈大，变薄现象愈严重。 弯曲时的厚度变薄会影响零件的质量。因此，在拟定弯 曲工艺和模具设计时，必须采取有效措施，才能弯制出合乎 要求的零件。
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
四、板料长度的增加
根据体积不变条件，弯曲区板料厚度的减薄的结果使板 料长度l必然增加。相对弯曲半径r/t愈小，减薄量愈大，板 料长度的增加量也愈大。因此，对于r/t值较小的弯曲件， 在计算弯曲件的毛坯长度时，必须考虑弯曲后板料增长， 并通过多次弯曲试验，才能得出合理的毛坯展开尺寸。
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
三、弯曲区板料厚度的变薄
板料弯曲时，以中性层为界，外层纤维受拉使厚度减薄， 内层纤维受压使板料增厚。我们知道，在r/t≤4时，应变中性 层向内移动。内移结果：外层拉伸变薄区范围逐步扩大，内 层压缩增厚区范围不断减小，外层的减薄量会大于内层的增 厚量，从而使弯曲区厚度变薄。
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
五、板料横截面的畸变、翘曲和拉裂（畸变）
窄板（B/t≤3） 宽板（B/t>3） 弯曲变形区的横截面变化情况
§3.1 板料的弯曲现象及其原因
五、板料横截面的畸变、翘曲和拉裂（畸变）
变形区横断面形状尺寸发生改变称为畸变。主要影响因 素为板料的相对宽度。
b/t > 3(宽板) 横断面几乎不变； b/t≤3(窄板) 断面变成了内宽外窄的扇形。
《平面弯曲变形》PPT课件
A截面挠度
求图示外伸梁的A截面挠 度和B截面转角。
B截面转角
B3M EIlF 3E paIl
fAw A 1B a
fA
Fpl3 3EI
Fpal a 3EI
24
目录
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
25
目录
10.7.4 梁的刚度校核
刚度条件
fw [f], []
max
max
建筑钢梁的许可挠度：
ll ~
3E
d4 Fla180
64
3E
6F 4 l1 a806 42 013021180
d4 3E 4 3201 69020.5
1111 0 3m 111mm
28
目录
10.8 用变形比较法解简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
29
目录
7-6
MA A MA A
FAy FAy
A A
A A
MA AA
MA A A
用变形比较法解简单超静定梁 F
B FC
B
C
2a
a
例6 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。
载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql4
wC1
, 8EI
C1
ql3 6EI
wC1
wC2 wB2 B22l
C2
求图示外伸梁的A截面挠 度和B截面转角。
B截面转角
B3M EIlF 3E paIl
fAw A 1B a
fA
Fpl3 3EI
Fpal a 3EI
24
目录
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
25
目录
10.7.4 梁的刚度校核
刚度条件
fw [f], []
max
max
建筑钢梁的许可挠度：
ll ~
3E
d4 Fla180
64
3E
6F 4 l1 a806 42 013021180
d4 3E 4 3201 69020.5
1111 0 3m 111mm
28
目录
10.8 用变形比较法解简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
29
目录
7-6
MA A MA A
FAy FAy
A A
A A
MA AA
MA A A
用变形比较法解简单超静定梁 F
B FC
B
C
2a
a
例6 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。
载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql4
wC1
, 8EI
C1
ql3 6EI
wC1
wC2 wB2 B22l
C2
弯曲变形ppt课件
4
3.
常见心律失常心电图诊断的误区诺如 病毒感 染的防 控知识 介绍责 任那些 事浅谈 用人单 位承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
工程实例
engineering examples
5
常见心律失常心电图诊断的误区诺如 病毒感 染的防 控知识 介绍责 任那些 事浅谈 用人单 位承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
2. The predigesting of beams is that the axis of beam represents the beam. 2. 载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、 集中 力偶和分布载荷
The predigesting of loads involves three types :concentrated forces, concentrated
the beam must be in the same plane.It is called plane bending.
对称弯曲（如下图）—— 典型的平面弯曲。 Symmetrical bending(as shown Fig 9-1 is character plane bending
P1
q
P2
6
4.
常见心律失常心电图诊断的误区诺如承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
If all loads are applied in a plane,then the elastic curve for
3.
常见心律失常心电图诊断的误区诺如 病毒感 染的防 控知识 介绍责 任那些 事浅谈 用人单 位承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
工程实例
engineering examples
5
常见心律失常心电图诊断的误区诺如 病毒感 染的防 控知识 介绍责 任那些 事浅谈 用人单 位承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
2. The predigesting of beams is that the axis of beam represents the beam. 2. 载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、 集中 力偶和分布载荷
The predigesting of loads involves three types :concentrated forces, concentrated
the beam must be in the same plane.It is called plane bending.
对称弯曲（如下图）—— 典型的平面弯曲。 Symmetrical bending(as shown Fig 9-1 is character plane bending
P1
q
P2
6
4.
常见心律失常心电图诊断的误区诺如承担 的社会 保险法 律责任 和案例 分析现 代农业 示范工 程设施 红地球 葡萄栽 培培训 材料
平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
If all loads are applied in a plane,then the elastic curve for
《弯曲变形静不定梁》课件
THANK YOU
。
适用范围
适用于分析简单梁结构，计 算过程相对简单，但精度略 低于弹性力学方法和有限元 方法。
04
静不定梁的应用
工程结构
桥梁
静不定梁在桥梁设计中应用广泛 ，如斜拉桥、悬索桥等，能够承 受较大的弯曲和剪切力，提高桥 梁的稳定性和安全性。
建筑
在高层建筑、大跨度结构等建筑 设计中，静不定梁能够提供更好 的支撑和稳定性，保证建筑的安 全性和耐久性。
解法
通过求解弹性力学基本方程，可以得到梁的位 移、应变和应力等参数。
适用范围
适用于分析梁的精确解，但计算过程较为复杂。
有限元方法
基本思想
01
将连续的梁离散为有限个小的单元，对每个单元进行受力分析
，再通过单元的集合体来近似表示整个梁。
求解过程
02
通过迭代或直接求解方法，得到每个单元的位移和应力，再通
大跨度结构
大跨度结构如体育场馆、会展中心等需要承受较大的荷载和 变形，静不定梁能够提供更好的承载和支撑，保证大跨度结 构的稳定性和安全性。
05
静不定梁的优化设计
材料选择
钢材
高强度钢材具有较高的承载能力和耐久性，适用于需要承受较大 载荷的静不定梁。
铝合金
铝合金具有轻质、耐腐蚀的优点，适用于需要减轻自重的静不定梁 。
01
03
为了减小扭转变形的影响，可以通过增加梁的截面尺 寸、提高材料的剪切模量或改变截面形状等方式来实
现。
04
在静不定梁中，扭转变形的影响通常较小，但在某些 情况下，如梁的长度较大或受到较大的力矩作用时， 其影响可能会变得较为显著。
03
静不定梁的分析方法
弹性力学方法
《弯曲变形》课件2
航空航天器中的弯曲变形控制
总结词
航空航天器中，弯曲变形控制对于确保 飞行器的气动性能和结构稳定性至关重 要。
VS
详细描述
在航空航天领域，弯曲变形控制涉及到飞 机和航天器的整体和局部结构的刚度和稳 定性要求。为了减小弯曲变形，需要采取 一系列的设计和控制措施，如优化结构设 计、加强材料和制造工艺的控制等。这有 助于提高飞行器的性能和安全性。
感谢观看
THANKS
弯曲变形的定义
01
02
03
弯曲变形
物体在受到外力作用时， 其形状发生改变的现象。
弯曲变形的程度
与外力的大小、物体的材 料性质和受力方式等因素 有关。
弯曲变形的特点
物体在受力后发生弯曲， 但内部结构并未发生破坏 或永久性变形。
弯曲变形的应用场景
桥梁工程
桥梁在车辆和风载等外力作用下会发 生弯曲变形，但设计合理的桥梁结构 能够保证安全性和稳定性。
几何方程
描述了物体形状的变化和 应变之间的关系。
弯曲变形的能量平衡方程
应变能
物体因弯曲变形而储存的能量， 与应力和应变有关。
外力势能
物体受到的外力与位移有关，可以 转化为势能。
能量平衡方程
描述了物体在弯曲变形过程中能量 的变化和平衡。
弯曲变形的有限元分析
有限元模型
将物体划分为有限个小的单元 ，每个单元有一定的属性和行
分析
对实验结果进行统计分析，研究弯曲变形的规律和特点。通过对比不同材料和规 格的试样，分析其抗弯性能和影响因素。结合理论分析，探讨弯曲变形的本质和 机理。
06
弯曲变形的实际应用案例
桥梁工程中的弯曲变形控制
总结词
桥梁工程中，弯曲变形控制是确保结构安全和稳定的关键因素。
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
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二、逐段分析求和法
要点：首先分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位 移，然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需 求之位移。
14
P
q 例2 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
PA
Pa 2 4EI
f
PC
Pa 3 6EI
1
第十二章 弯曲变形
§12–1 引言 §12–2 挠曲轴近似微分方程 §12–3 计算梁位移的积分法 §12–4 计算梁位移的叠加法 §12–5 简单静不定梁 §12–6 梁的刚度条件与合理刚度设计
2
§12－１ 引 言
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）3。
EIf (x) M (x)dxdx C1x C2
2.位移边界条件
P
P
A
C
B
D
7
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件：
fC fC
fD 0 D 0
或写成 fC 左 fC 右
光滑条件： C C
或写成 C 左 C 右
0
24 EIL
240 EI
18
例4 按逐段分析求和法说明。
L1
L2
P
A
C
f
Bx f
f f1 f2
=
L1 A 刚化AC段C
L1
+
L2
P 等价
M
(
x)
0
P(a
x)
(0 x a) (a x L)
a
P
L
x
写出微分方程的积分并积分
EIf
0
P(a
x)
(0 x a) (a x L)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf
1 6
P(a
x)3
C1x C2
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
w
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系： tg df
D2
1 6
Pa3
12
写出弹性曲线方程并画出曲线
f
(
x)
P 6EI
(a
P
6 EI
a3
x)3 3a 2 x
3a
2
x
a3
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
m
ax
(a)
Pa 2 2EI
fmax
f
(L)
Pa 2 6EI
q0
b
C
x
dx
dPq(x)dx2bq0 db L
x
由梁的简单载荷变形表，
0.5L
0.5L
查简单载荷引起的变形。
f
f
dPC
(dP)b(3L2 4b 48 EI
3
)
叠加
qb2 (3L2 4b3 )db 24 EI
fqC fdPC
0.5L qb2 (3L2 4b3 )db qL4
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁8 。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
;
C2
1 6
PL3
9
f
P
L
x
写出弹性曲线方程并画出曲线
f (x) P (L x)3 3L2x L3 6EI
最大挠度及最大转角
m
ax
(
L)
PL2 2EI
fmax
f (L) PL3 3EI
10
解：建立坐标系并写出弯矩方程 f
x
f ( x) M z ( x) EI z
（2）
式（2）就是挠曲线近似微分方程。5
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIf (x) M (x)
6
§12-3 计算梁位移的积分法
1.微分方程的积分
EIf (x) M (x)
EIf (x) M (x)dx C1
a 3L
f
a
P
L
x
13
§12-4 计算梁位移的叠加法
一、叠加法 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单
独作用于结构而引起的变形的代数和。
(P1P2 Pn ) 1(P1 ) 2(P2 ) n (Pn )
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2 (P2 ) fn (Pn )
M (x) P(L x)
f P
L
x
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
EIf M (x) P(L x)
EIf
1 2
P(L
x)2
C1
EIf
1 6
P(L
x)3
C1x
C2
EIf
(0)
1 6
PL3
C2
0
EI
(0)
EIf
(0)
小变形
f
(1)
dx
4
§12-2 挠曲轴近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程 f M>0
f (x) 0
x
1 M z (x)
EI z
1
f (1
(x) f 2)
3 2
小变形
f (x)
f
M<0 f (x) 0
f ( x) M z ( x) EI z
D1x D2
11
应用位移边界条件求积分常数
f
EIf
(0)
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
1 2
Pa2
C1
0
a
P
L
x
(a ) (a ) C1 D1
f (a ) f (a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
q
A
B
qA
qa3 3EI
5qL4 f qC 24 EI
15
2019/9/22
16
A
P
q B
叠加
C
A PA qA
a
aPLeabharlann a2 (3P4qa) 12 EI
=
A
B
fC f PC f qC
+
5qa4 Pa3
q
24 EI 6EI
A
B
17
例3 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图
要点：首先分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位 移，然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需 求之位移。
14
P
q 例2 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
PA
Pa 2 4EI
f
PC
Pa 3 6EI
1
第十二章 弯曲变形
§12–1 引言 §12–2 挠曲轴近似微分方程 §12–3 计算梁位移的积分法 §12–4 计算梁位移的叠加法 §12–5 简单静不定梁 §12–6 梁的刚度条件与合理刚度设计
2
§12－１ 引 言
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）3。
EIf (x) M (x)dxdx C1x C2
2.位移边界条件
P
P
A
C
B
D
7
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件：
fC fC
fD 0 D 0
或写成 fC 左 fC 右
光滑条件： C C
或写成 C 左 C 右
0
24 EIL
240 EI
18
例4 按逐段分析求和法说明。
L1
L2
P
A
C
f
Bx f
f f1 f2
=
L1 A 刚化AC段C
L1
+
L2
P 等价
M
(
x)
0
P(a
x)
(0 x a) (a x L)
a
P
L
x
写出微分方程的积分并积分
EIf
0
P(a
x)
(0 x a) (a x L)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
EIf
1 6
P(a
x)3
C1x C2
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用w表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
w
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系： tg df
D2
1 6
Pa3
12
写出弹性曲线方程并画出曲线
f
(
x)
P 6EI
(a
P
6 EI
a3
x)3 3a 2 x
3a
2
x
a3
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
m
ax
(a)
Pa 2 2EI
fmax
f
(L)
Pa 2 6EI
q0
b
C
x
dx
dPq(x)dx2bq0 db L
x
由梁的简单载荷变形表，
0.5L
0.5L
查简单载荷引起的变形。
f
f
dPC
(dP)b(3L2 4b 48 EI
3
)
叠加
qb2 (3L2 4b3 )db 24 EI
fqC fdPC
0.5L qb2 (3L2 4b3 )db qL4
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁8 。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
1 2
PL2
C1
0
C1
1 2
PL2
;
C2
1 6
PL3
9
f
P
L
x
写出弹性曲线方程并画出曲线
f (x) P (L x)3 3L2x L3 6EI
最大挠度及最大转角
m
ax
(
L)
PL2 2EI
fmax
f (L) PL3 3EI
10
解：建立坐标系并写出弯矩方程 f
x
f ( x) M z ( x) EI z
（2）
式（2）就是挠曲线近似微分方程。5
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIf (x) M (x)
6
§12-3 计算梁位移的积分法
1.微分方程的积分
EIf (x) M (x)
EIf (x) M (x)dx C1
a 3L
f
a
P
L
x
13
§12-4 计算梁位移的叠加法
一、叠加法 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单
独作用于结构而引起的变形的代数和。
(P1P2 Pn ) 1(P1 ) 2(P2 ) n (Pn )
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2 (P2 ) fn (Pn )
M (x) P(L x)
f P
L
x
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
EIf M (x) P(L x)
EIf
1 2
P(L
x)2
C1
EIf
1 6
P(L
x)3
C1x
C2
EIf
(0)
1 6
PL3
C2
0
EI
(0)
EIf
(0)
小变形
f
(1)
dx
4
§12-2 挠曲轴近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程 f M>0
f (x) 0
x
1 M z (x)
EI z
1
f (1
(x) f 2)
3 2
小变形
f (x)
f
M<0 f (x) 0
f ( x) M z ( x) EI z
D1x D2
11
应用位移边界条件求积分常数
f
EIf
(0)
1 6
Pa3
C2
0
EI
(0)
1 2
Pa2
C1
0
a
P
L
x
(a ) (a ) C1 D1
f (a ) f (a )
C1a C2 D1a D2
C1
D1
1 2
Pa2
; C2
q
A
B
qA
qa3 3EI
5qL4 f qC 24 EI
15
2019/9/22
16
A
P
q B
叠加
C
A PA qA
a
aPLeabharlann a2 (3P4qa) 12 EI
=
A
B
fC f PC f qC
+
5qa4 Pa3
q
24 EI 6EI
A
B
17
例3 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图