北京市北京大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考(12月)数学试题
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题
绝密★启用前北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩ðU B ＝（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2} 2．1x <是12log 0x >的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数2x y －＝ 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)4．△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是 ( ) A ．x 225+y 29=1 B ．y 225+x 29=1（y≠0） C ．x 216+y 29=1(y ≠0)D ．x 225+y 29=1（y≠0）5．(2016高考新课标III ，理3)已知向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,√32) ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(√32,12), 则∠ABC = A ．30∘B ．45∘C ．60∘D ．120∘6．若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（ ） A ．(x −2)2+(y ±2)2=3 B ．(x −2)2+(y ±√3)2=3线…………线…………C．(x−2)2+(y±2)2=4D．(x−2)2+(y±√3)2=47．向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b与c共线,则实数λ=A．2-B．1-C．1D．28．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是（）A．S7<S8B．S15<S16C．S13>0D．S15>09．在ABC∆中，,,a b c分别为,,A B C的对边，如果,,a b c成等差数列，30B=︒，ABC∆的面积为32，那么b=（）A B．1+C D．210．若1a>，设函数()4xf x a x=+-的零点为(),log4am g x x x=+-的零点为n，则11m n+的取值范围是( )A．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．[)1,+∞C．()4,+∞D．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．设向量,a b是互相垂直的单位向量，向量a bλ+r r与2a b+r r垂直，则实数λ=_______12．已知点(2,0),(0,2)A B-，若点C是圆222x x y-+＝0上的动点，ABC∆的面积的最大值为．13．在等比数列{}n a中，14a=，公比为q，前n项和为nS，若数列{}2nS+也是等比数列，则q等于14．若圆()()22229x y-+-=上存在两点关于直线()200,0ax by a b+-=>>对称，则19a b+的最小值为__________.○……○……15．已知点,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.16．已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=u u u r u u u u rg ，则λ的取值范围是__________. 三、解答题17．已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈. （1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+= (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12?··f f f n +++19．已知点() 4,0C ，点 A B 、是圆22:20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC =u u u r u u u rg ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ，求k 的值20．设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21．已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线m:x =1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点．判断直线MB,MC是否关于直线m对称，并说明理由．22．对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S （A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．参考答案1．A【解析】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故ðU B ＝{x|x ＜1} 所以A∩ðU B ＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算 2．B 【解析】 【分析】 解对数不等式12log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.【详解】 ∵111222log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <， ∴1x <是12log 0x >必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题. 3．B 【解析】2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B ． 点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2xy =是单调递增的． 4．D 【解析】∵|AB|+|AC|+|BC|=18∴|AC|+|BC|=10>|AB|所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2a =10,c =4∴b 2=9∴ x 225+y 29=1(y ≠0)，选D.5．A【解析】试题分析：由题意，得cos∠ABC =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=12×√32+√32×121×1=√32，所以∠ABC =30°，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为a ⋅b ＝|a||b|cosθ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0∘≤θ≤180∘；（2）由向量的数量积的性质知|a|=√a ·a ，，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 6．D 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±√3，选D. 7．D 【解析】 【分析】由图中可知2+=a b c ，即可得到答案． 【详解】由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=. 答案为D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题． 8．C【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7>0,S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0，故选C.考点：1. 等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.9．B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--24b =+，解得1b =+B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式． 10．B 【解析】 【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果． 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标， 函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m n m n m n m n n m+=++=++…， 当2m n ==等号成立， 而4m n +=，故111m n+…， 故所求的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ．本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 11．2- 【解析】 【分析】根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值. 【详解】∵向量,a b r r是互相垂直的单位向量，∴0,||||1a b a b ⋅===r r r r，∵a b λ+r r 与2a b +r r垂直，∴22()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=-r r r r r r r r . 故答案为：2-. 【点睛】本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1. 12．32+ 【解析】试题分析：圆2220x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为1141222C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．考点：直线与圆的位置关系． 13．3解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s 2+2）2=（S 1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可得 q=3 14．16 【解析】 【分析】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19a b+的最小值． 【详解】由圆的对称性可得，直线20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=． 所以119()()101061699b aa b a b a b a b+=++=+++=…， 当且仅当9b aa b=，即3a b =时取等号.故答案为：16. 【点睛】本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 15．4 【解析】 【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论． 【详解】① 若只有,,164A B ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin()6πω=g ，sin()14πω=g ，sin 02πω≠g ，则22,2,6332,42,2k k k Z k k Z k k Z πππωπωπππωππωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=+∈⎨⎪≠∈⎩或，求得ω无解．②若只有点,,,0622A C ππ⎛⎛⎫⎪ ⎝⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=g ，sin()02πω=g ，sin()14πω≠g ，故有22,2,6363,22,42k k k Z k k Z k k Z ππππωπωππωπππωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+∈⎪⎩或，即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+∈⎩或，求得ω的最小值为4． ③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin 62πω≠g，sin 14πω=，sin 02πω=，故有2,42,222,2,6363k k Z k k Z k k k Z ππωππωπππππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩且，即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩且，求得ω的最小正值为10， 综上可得，ω的最小正值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论. 16．(],1-∞- 【解析】 【分析】用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围． 【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，∴2220000003(,1)(,1)122o MP MQ x y x y x y x λ==----=--+=-+u u u r u u u u r g g ．Q 0||x max 32212λ=-⋅+=-，λ∴的取值范围是(],1-∞-．故答案为：(],1-∞-. 【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题. 17．(1) 56x π=.(2) 0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x取到最小值- 【解析】 【分析】（1）a b ∥即3sin x x =，即可求出56x π=．（2）将()f x 表达式表示出来，注意使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值． 【详解】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =. 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 6x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x取到最小值-【点睛】此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目． 18．(1)121,3n n n a n b -=-=;(2) ()11312n m -=+，3214n n +-【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q +=⎧⎨++=⎩解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)， 则121,3n n n a n b -=-=.(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()11312n m -=+； ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭ 3214n n +-=. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.19．(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =- 【解析】 【分析】（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程：（2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】(1)设点P 坐标为(),x y ，因为P 为弦AB 的中点，则 OP AB ⊥， 因为0AC BC =u u u r u u u rg ，则AC BC ⊥，所以222OP PC OB +=，即()()2222420x y x y ⎡⎤++-+=⎣⎦，整理得()2226x y -+=，点P 的轨迹Γ是以点()2,0的圆， 方程为22( 2) 6x y -+=. (2)Γ的圆心()2,0到1l的距离1|20|2d == Γ被1l截得的弦长为=； Γ的圆心()2,0到2l的距离2d =，Γ被2l截得的弦长为=由题可知=:2k =-.【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用. 20．（1）3e 2e 0x y ++=. （2）1a ≤-或a 2e 4≥-. 【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2xfx x e -=⋅，则()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x '=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.试题解析：(1)当0a =时，因为()2xf x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e =+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题. 方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 21．(1)x 24+y 23=1；(2)对称.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，ca =12，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，32)，设直线l:y =12x +n ，n≠1．设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），由{x 24+y 23=1y =12x +n，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB ，MC 关于直线m 对称． 试题解析： (Ⅰ)由题意得c ＝1, 由＝可得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝3, 所以椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M (1，)， 所以由题意可设直线l ：y ＝x ＋n ，n ≠1. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1. x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝＋＝＋＝1＋＋＝1＋ ＝1－＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.22．（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8 【解析】 【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明 （3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论． 【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}． （2）令{}12,,n A x x x =L ．不妨设12n x x x <<<L ． 充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n +剟．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1． 因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=-L ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -⋯++⋯+ 任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ） 的值都与上述某一项相等． 又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=-L ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20， 而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3． 假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a <<…，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7， （i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ． 此时23，24，25，26不能全在T （T （A ））．中，不满足题意．（ii ）若A ={1，2a ，8}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，8，9，22a ，8+2a ，16∈T （A ），则有16+9=25∈T （T （A ）），若26∈T （T （A ）），则16+22a =26或16+（8+2a ）=26， 解得2a =5或2a =2．当A ={1，2，8}时，15，21，23∉T （T （A ））．不满足题意． 当A ={1，2，8}时，T （T （A ））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。
2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期(12月)月考数学试题
清华附中高三2019年12月月考试卷数学一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤2.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且1352S =，则489a a a ++=( ) A. 8B. 12C. 16D. 203.若122log log 2a b +=，则有( ) A. 2a b =B. 2b a =C. 4a b =D. 4b a =4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是()A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱5.已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A.2B.2-6.“1a =-”是“函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A. B.C.D.8.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题；共30分）9.直线y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为________. 10.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________． 11.在△ABC 中，23A π∠=，，则bc=_________. 12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.13.如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则AM BN ⋅u u u u r u u u r的最小值是________.14.已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为______．三、解答题（共6小题；共80分）15.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-. (1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .16.已知函数()2cos (sin )f x x x x =+- （（）求()f x 的单调递增区间； （（）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为2-，求m 的最大值.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD△等边三角形，边长为2，ABC V 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，1AC =，90DAC ︒∠=，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)证明：AC ⊥平面P AD ；(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)棱PD 上是否存在一点E ，使得//AE 平面PBC ？若存在，求出PEPD的值；若不存在，请说明理由. 18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △，O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的距离为定值.19.已知函数221()(1)2xf x a x eax a x -=-----，其中()a a ∈R 常数.(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(0,1)存在极小值，求a 的取值范围.20.已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n ，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,...n n a a ++的最小值记为n B ，记n n n d A B =-．（1）若数列{}n a 的通项公式为5,141,5n n n a n -≤≤⎧=⎨≥⎩，求数列{}n d 的通项公式； （2）证明：“数列{}n a 单调递增”是“,0n n N d *∀∈<”的充要条件；（3）若n n d a =对任意n *∈N 恒成立，证明：数列{}n a 的通项公式为0n a =．。
2020届北京市北京大学附属中学高三上学期月考(12月)数学试题(解析版)
2020届北京市北京大学附属中学高三上学期月考（12月）数学试题一、单选题1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A 2．已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2【答案】B【解析】化简复数z ,求出其实部,虚部,列式求解即可. 【详解】1(1)()()bi bi i z b i i i i --⋅-===--⋅-, 因为复数z 的实部和虚部相等, 所以1b -=-,即1b =, 故选:B. 【点睛】本题考查复数,属于简单题.3．已知0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b <B ．11a b> C ．a b < D ．22a b >【答案】D【解析】根据不等式的性质逐一判断选项正误即可. 【详解】若0a b >>,则22a b >,11a b<,a b >,故A,B,C 选项错误; 因为2xy =在R 上递增,所以22a b >,故D 选项正确; 故选:D. 【点睛】本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题. 4．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，可得“04πθ<≤”等价于“01k <≤”,再判断充要性即可. 【详解】根据直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则04πθ<≤等价于“01k <≤.故“04πθ<≤”是“1k ≤”的充分不必要条件,故选:A. 【点睛】本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大.5．已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．-1B ．C ．1 D【答案】C【解析】运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可. 【详解】在正方形ABCD ,有AC =,()()cos 14OC OB AB AD BC AC AD AC AD AC π∴-⋅+=⋅=⋅=⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,故选:C. 【点睛】本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题.6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A BC D 1【答案】A【解析】根据题意求出渐近线的斜率,从而得到,a b 之间的等量关系,进而求出离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与直线210x y +-=垂直, 所以该渐近线的斜率为12, 所以12b a =,即12b a =,所以ce a===,故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率,难度不大.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．96里 B ．48里 C ．192里 D ．24里【答案】A【解析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,设该数列为{}n a,其前n项和为n S则有6161(1())2378112aS-==-,解得1192a=,故2196a a q==,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键. 8．已知函数()2,,x x af xx x a≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A．()00f=B．0a=时，()f x的值域为R C．()f x在R上单调递增时，0a=或1a≥ D．方程()2f x=有解时，2a<【答案】D【解析】作出2(),()g x x h x x==的图像,结合图像一一分析选项正误即可.【详解】作出2(),()g x x h x x==的图像如下图所示:当0x=时,(0)0,(0)0g h==,故不论a取何值,()00f=,故A选项正确;当0a=时,()2,0,0x xf xx x≤⎧=⎨>⎩,其值域为R,故B选项正确;若()f x 在R 上单调递增,结合上图可知0a =或1a ≥,故C 选项正确; 若方程()2f x =有解,结合上图可知2a ≥或2a <,故D 选项错误;故选:D. 【点睛】本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力.9．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（ ）A ．1Q ，1PB ．1Q ，2PC ．2Q ，1PD ．2Q ，2P【答案】A【解析】根据题意可知:i i Q A =的纵坐标i B +的纵坐标,i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论. 【详解】①因为i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数, 则11Q A =的纵坐标1B +的纵坐标;22Q A =的纵坐标2B +的纵坐标; 33Q A =的纵坐标3B +的纵坐标;结合图像可知:1Q ,2Q ,3Q 中的最大值为1Q ;②因为i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数, 则i P 为线段i i A B 中点与原点连线的斜率,结合上图可知:1P ,2P ,3P 中的最大值是1P ; 故选:A. 【点睛】本题考查函数的图像,能明确i Q ,i P 的几何意义是解题关键.二、填空题10．抛物线216x y =的准线方程为______. 【答案】4y =-【解析】利用抛物线方程确定p ,即可求出准线方程. 【详解】抛物线216x y =的焦点在y 轴上,且42p=, 故其准线方程为:4y =-, 故答案为:4y =-. 【点睛】本题考查抛物线方程,属于基础题.11．已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）【答案】①③(或①④)【解析】作出函数的图像,分别判断交点个数即可.作出函数图像如下图所示:结合图像可知:①y x =-与③3y x =,④12y x =均只有一个交点,故答案为:①③(或①④) 【点睛】本题考查函数的图像及其交点个数问题,属于简单题. 12．在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______. 27+【解析】根据等差中项的性质,列出等式求解q ,进而得出结论. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q , 由1a ,12,3a ,22a 成等差数列, 可得21311223111111222222a a a a q a a a q a q +=⎧+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩, 解得273q +=或273q =(舍), 所以4327a q a +==, 故答案为27+本题考查等差中项的性质应用,结合等比数列的相关知识,需要一定的计算能力. 13．方程sin cos2x x =在区间[],ππ-上的解集为______. 【答案】5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】利用二倍角公式将原方程化为关于sin x 的二次方程求解,再结合x 的范围求解sin x 即可.【详解】2sin cos212sin x x x ==-,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 因为[],x ππ∈-, 所以6x π=或56x π=或2x π=-, 故答案为:5,,266πππ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查解三角函数相关的方程,需要一定的计算能力,属于简单题.14．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．【考点】方程组的思想以及基本不等式的应用．15．对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义αu r 和βur 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅u r u ru r u r u r u r .若非零的平面向量a r ，b r 满足：a b ⊗r r 和b a ⊗r r都在集合|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥r r .设a r 与b r 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=r r ______.【答案】23【解析】化简1cos a a b b θ⋅⊗==r r r r,2cos b b a aθ⋅⊗==rr r r ,则2121()()cos 3a b b a k k θ⊗⋅⊗==r r r r ,因此依据θ的范围即可求出12k k 的范围,进而确定其值,求出()sin a b θ⊗r r.【详解】11cos cos ()3a b a a b a b k k Z b b b b bθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 22cos cos ()3b a b b a b a k k Z a aa a aθθ⋅⋅⋅⋅⊗====∈⋅⋅r r rr rr r r r r r r, 2121()()cos 3a b b a k k θ∴⊗⋅⊗==r r r r ,,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,213cos (,)24θ∴∈,1239(,)24k k ∴∈,12,k k Z ∈Q ,122k k ∴=,22cos 3θ=,sin θ=, a b ≥r rQ ,12k k ∴>,即122,1k k ==,()2sin 3a b θ∴⊗=r r ,故答案为:23.【点睛】本题以新定义为背景考查向量数量积的应用,结合了三角函数的相关知识,需要学生有一定的分析计算能力.三、解答题16．已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈;（2）[1,)-+∞ 【解析】(1)化简()f x ,再用整体法求出其单调减区间即可; (2)根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即可求出()f x 的值域,再令min ()0f x ≥即可求解. 【详解】(1)()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos cos cos 22x x x x x a =+-++cos x x a =++2sin()6x a π=++,令322()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈, 解得422()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 因此()f x 的单调递减区间为4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈, (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2[,]663x πππ+∈, 1sin()[,1]62x π∴+∈,()[1,2]f x a a ∴∈++,又()0f x ≥恒成立, 所以10a +≥,即1a ≥-, 所以a 的取值范围为:[1,)-+∞. 【点睛】本题考查复合型三角函数求单调区间及其相关的恒成立问题,难度不大.解决此类恒成立问题的关键是将其转化为最值问题.17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（23【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan 3A =- 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果.试题解析：（1）sin 30,tan 3A A A +=∴=Q 20,3A A ππ<<∴=Q ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+-Q ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 72cos 77AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=132ABD ABC S S ∆∆∴==18．已知M e 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点. （1）求M e 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M e 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）. 【答案】(1)22(1)(2)25x y ++-=;(2)72【解析】(1)根据题意设出圆的一般方程,再代点求解,最后化为标准式即可;(2)先求出圆心M 到直线l 的距离,再利用垂径定理求出弦长DE ,进而可求MDE ∆的面积. 【详解】(1)设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=, 因为M e 过()1,7A -,()2,6B ,()1,3C --三点,所以1+497024362604193020D E F D D E F E D E F F -++==⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+--+==-⎩⎩,所以圆M 的方程为2224200xy x y ++--=,所以圆M 的标准方程为22(1)(2)25x y ++-=; (2)圆心2()1,M -到直线l的距离为2d ==,则DE ===所以MDE ∆的面积为1172222S DE d =⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题考查求圆的方程,考查直线与圆相交的相关性质,难度不大.一般遇见直线与圆相交的题时,常用上垂径定理.19．已知函数()22xf x e x ax =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【答案】(1)(12)10a x y +-+=;(2)证明见详解 【解析】(1)求出()f x ',再根据切点求切线方程即可; (2)分别对其充分性和必要性进行分析即可. 【详解】(1)()22xf x e x a '=-+,所以(0)1,(0)12f f a '==+,所以()f x 在点()0,1处的切线方程为:1(12)y a x -=+, 即(12)10a x y +-+=;(2)当0x >时,()22xf x e x a '=-+,()2xf x e ''=-,令()0ln 2f x x ''>⇒>,则()f x '在(ln 2,)+∞上单调递增;令()00ln 2f x x ''<⇒<<,则()f x '在(0,ln 2)上单调递减;所以min ()(ln 2)22ln 22f x f a ''==-+ ①若0a >,则min ()22ln 220f x a '=-+>, 故()f x 在(0,)+∞上单调递增, 所以()(0)1f x f >=, 即“0a >”⇒“()1f x >”;②由①可知,只要min ()22ln 220f x a '=-+>,即ln 21a >-时,()f x 即在(0,)+∞上单调递增,即有()1f x >,因此“()1f x >”⇒“0a >”;故“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查利用导数求切线方程,还结合了充要性考查导数的相关性质,属于中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=;（2）(4,0)-,证明见详解【解析】(1)由题意可得11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,1b =,进而得到椭圆方程;(2)设出直线PQ 的方程和P ,Q 的坐标,则可知1P 的坐标,进而表示出1PQ 的直线方程,再联立PQ 方程与椭圆方程,即可把0y =代入1PQ 求得x ,结合韦达定理进行化简,进而得出直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【详解】(1)由题意可得1(0,)B b ,2(0,)B b -,1(,0)F c -, 11||F B a ==,由△112F B B 是边长为2的等边三角形,可得2a =,22b =,即1b =,则椭圆的方程为2214x y +=;(2)由题可知直线PQ 的斜率不为0,故设直线PQ 的方程为:1x my =-,联立22144x my x y =-⎧⎨+=⎩, 得22(1)44my y -+=,即22(4)230m y my -+-=(0m ≠), 设1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y ,则11(P x ,1)y -, 又12224m y y m +=+,12234y y m =-+, 经过点11(P x ,1)y -,2(Q x ,2)y 的直线方程为121121y y y y x x x x ++=--, 令0y =,则211221112112x x x y x y x y x y y y y -+=+=++g , 又111x my =-,221x my =-.当0y =时,1221121212(1)(1)21my y my y my y x y y y y +==-++--2264131424mm m m -+=-=--=-+. 故直线1PQ 与x 轴交于定点(4,0)-. 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程以及直线过定点问题,属于中档题.21．已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.【答案】(1)4,1,3,2或4,2,1,3;(2)证明见详解;(3)7n =时不存在,8n =时存在,理由见详解 【解析】(1)根据题意直接写数列即可;(2)假设11a =,则110a -=,那么i a i -最多有1n -个结果,无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P ,题设得证;(3)根据两组1,2,3,…,n 中的奇偶个数,可以推导i a i -的结果中,奇数与偶数的个数组合,从而得出结论. 【详解】(1)若4n =,且14a =,则具有性质P 的数列A 有两个, 分别是4,1,3,2或4,2,1,3;(2)数列A :1a ,2a ,3a ,…,()4n a n ≥为1,2,3,…,n 的一个排列, 则i a i -最多有n 个结果,分别是0,1,2,,1n -L , 若11a =,则110a -=,2i ≥时,i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L ,因此,若11a =,则i a i -最多有1n -个结果,分别是0,1,2,,2n -L , 无法满足n 个i a i -互不相同,故不满足性质P , 因此,若数列A 具有性质P ,则11a ≠; (3)当7n =时,不存在具有性质P 的数列A ; 当8n =时,存在具有性质P 的数列A . 证明如下:当7n =时,A :1a ,2a ,3a ,…,7a 为1,2,3,…,7的一个排列, 若其具有性质P ,则i a i -的结果应该分别是0,1,2,,6L , 包含3个奇数,4个偶数,而两组1,2,3,…,7中,包含8个奇数,6个偶数,其中,3个奇数与3个偶数相减能得到结果中的3个奇数,但剩下的5个奇数和3个偶数组合无法减出4个偶数,n=时,不存在具有性质P的数列A;因此7n=,则两组1,2,3,…,8中包含8个奇数,8个偶数,若8L,这4个偶数,4个奇数,可以组合相减得到0,1,2,,7n=时,存在具有性质P的数列A.因此8【点睛】本题以新定义为背景考查数列,结合了排列组合的相关知识,需要学生有一定的分析推理能力.。
2020年12月北大附中高三数学月考
北大附中2021届高三阶段性检测数学 2020.12.18本试卷150分，考试时间120分钟。
请考生务必将试题的答案填涂、作答在答题卡规定区域内，在试卷上作答无效。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若(1)2z i i +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上存在零点的是（ ） A. 1y x =+ B. 1y x x=+C. 3y x x =-D. sin y x x =-3. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点36(,)-， 则cos()πα-=（ ） A. 3-B. 3C. 6-D. 6 4. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=. 若12l l ∥，则实数a 的值是（ ） A. 0 B. 3- C. 0或3- D. 2或1-5. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D. 侧面四个三角形都是直角三角形6. 已知a ，b 是非零向量，则“a ，b 不是共线向量”是“a b a b -<+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知O 为坐标原点，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线W 于两点P ， Q ，则POQ ∆的面积（ ）A. 有最大值且有最小值B. 有最大值且无最小值C. 无最大值且有最小值D. 无最大值且无最小值8. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求），甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：则组委会定做该工艺品的费用总和最低为（ ）A. 4800元B. 4900元C. 5000元D. 5200元 9. 已知圆22:1O x y +=. 若直线2y kx =+上存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ）A. (1,1)-B. [1,1]-C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (,1][1,)-∞-+∞ 10. 已知2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，其中,,a b c R ∈. 记集合{}()0S x R f x =∈=，{}()0T x R g x =∈=，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A. 1S =且0T =B. 1S =且1T =C. 2S =且2T =D. 2S =且3T = 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(原卷版)
北京师范大学附属实验中学2019-2020学年度第一学期高三月考数学试卷(191202)一､选择题:本题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩U B ð＝（）A.{x|0＜x ＜1}B.{x|x ＜0}C.{x|x ＞2}D.{x|1＜x ＜2}2.1x <是12log 0x >的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数2x y －＝的单调递增区间是()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0]C.[0，＋∞)D.(0，＋∞)4.△ABC 的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是()A.21X B.221259y x +=（y≠0）C.221(0)169x y y +=≠ D.21X （y≠0）5.(2016高考新课标III ，理3)已知向量1(,22BA uu r =,1),22BC uu u r =则∠ABC =A.30oB.45oC.60oD.120o6.若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（）A.()222(2)3x y -+±=B.()222(3x y -+=C .()222(2)4x y -+±= D.()222(4x y -+±=7.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=A.2-B.1-C.1D.28.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（）A.78S S <B.1516S S <C.130S >D.150S >9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（）A.132+ B.13+ C.223+ D.2310.若1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n +的取值范围是()A.7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B.[)1,+∞ C.()4,+∞ D.9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二､填空题:本题共6题，每小题5分，共30分.11.设向量,a b 是互相垂直的单位向量，向量a b λ+ 与2a b + 垂直，则实数λ=_______12.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，ABC ∆的面积的最大值为．13.在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于14.若圆()()22229x y -+-=上存在两点关于直线() 200,0ax by a b +-=>>对称，则19 a b+的最小值为__________.15.已知点3,,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.16.已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=，则λ的取值范围是__________.三､解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈.（1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.18.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)如果()*m n a b n N =∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12···f f f n +++19.已知点()4,0C ，点 A B 、是圆22 :20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC = ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ:1，求k 的值20.设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.21.已知椭圆G :的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点．判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．22.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d （S（A））．定义变换T，变换T 将集合A 变换为集合T（A）=A∪S（A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．。
精品解析：北京市北京大学附属中学2019-2020学年高三上学期月考(12月)数学试题(原卷版)
北大附中2020届高三阶段性检测一、选择题共9小题，共40分.第1～5题每题4分，第6～9题每题5分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅2.已知复数()1biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则b =（）A.-1B.1C.2D.-23.已知0a b >>，则下列不等式成立的是（）A.22a b <B.11a b>C.a b< D.22a b>4.已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“04πθ<≤”是“1k ≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知正方形ABCD 的中心为O ，且边长为1，则()()OC OB AB AD -⋅+=（）A .-1B.C.1D.6.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为（）A .B.C.12+ D.17.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里8.已知函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩，则下列结论错误的是（）A.()00f = B.0a =时，()f x 的值域为R C.()f x 在R 上单调递增时，0a =或1a ≥ D.方程()2f x =有解时，a <9.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，1,2,3i =.记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，记i P 为第i 名工人在这一天中平均加工的零件数，则1Q ，2Q ，3Q 中的最大值与1P ，2P ，3P 中的最大值分别是（）A.1Q ，1P B.1Q ，2P C.2Q ，1P D.2Q ，2P 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.10.抛物线216x y =的准线方程为______.11.已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）12.在正项等比数列{}n a 中，若1a ，12，3a ，22a 成等差数列，则43a a =______.13.方程sin cos 2x x =在区间[],ππ-上的解集为______.14.设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．15.对任意两个非零的平面向量α 和β ，定义α 和β 之间的新运算⊗：αβαβββ⋅⊗=⋅.若非零的平面向量a ，b 满足：a b ⊗ 和b a ⊗ 都在集合3|,3x x n Z ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭中，且a b ≥ .设a 与b 的夹角,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin a b θ⊗=______.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.18.已知M 过()1,7A -，()2,6B ，()1,3C --三点.（1）求M 的标准方程；（2）直线l ：20x y -+=与M 相交于D ，E 两点，求MDE ∆的面积（M 为圆心）.19.已知函数()22xf x e x ax=-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若0x >，证明“0a >”是“()1f x >”的充分不必要条件.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与y 轴交于1B ，2B 两点，1F 为椭圆C 的左焦点，且112F B B ∆是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()1,0-的直线与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与P ，Q 都不重合），判断直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21.已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，()4n a n ≥为1，2，3，…，n 的一个排列，若()1,2,3,,i a i i n -=⋅⋅⋅互不相同，则称数列A 具有性质P .（1）若4n =，且14a =，写出具有性质P 的所有数列A ；（2）若数列A 具有性质P ，证明：11a ≠；（3）当7,8n =时，分别判断是否存在具有性质P 的数列A ？请说明理由.。
2022-2023学年北京市西城区北京师范大学附属中学高三上学期12月月考数学试卷带讲解
则 ，故 ，
为等边三角形，渐近线的夹角为 ，故 ，
即 ， ， ， .
故选：A
7.已知正方体 的棱长为 是线段 上的动点且 ，则三棱锥 的体积为（）
A. B. C. D.无法确定
C
【分析】确定 平面 ，再计算体积得到答案.
【详解】如图所示：连接 与 交于点 ， 平面 ， 平面 ，
【详解】①若 成等比数列，则 ，
所以
；
②若 ,
满足 ，
但是不满足 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）
“ 成等比数列”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
10.已知函数 设 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
A
【分析】不等式转化为 ，考虑 和 两种情况，分别计算函数的最值得到范围.
北京师大附中2022–2023学年（上）高三月考
数学试卷
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 ，则 （）
A. B. C. D.
A
【分析】计算 ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，故 .
故选：A
2.已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于( )
星名
天狼星
老人星
南门二
大角星
织女一
五车二
参宿七
南河三
水委一
参宿四
视星等
0.03
0.08
0.12
0.38
0.46
a
绝时星等
1.42
4.4
0.6
0.1
2.67
精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题(解析版)
北京师范大学附属实验中学2019-2020学年度第一学期高三月考数学试卷(191202)一､选择题:本题共10题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2－2x ＜0}，B ＝{x|x －1≥0}，那么集合A∩U B ð＝（）A.{x|0＜x ＜1} B.{x|x ＜0}C.{x|x ＞2}D.{x|1＜x ＜2}【答案】A 【解析】【详解】试题分析：集合A ＝{x|0＜x ＜2}，集合B ＝{x|x≥1}，故U B ð＝{x|x ＜1}所以A∩U B ð＝{x|0＜x ＜1}，选A 考点：二次不等式的解法，集合的运算2.1x <是12log 0x >的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】解对数不等式12log 0x >，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.【详解】∵111222log 0log log 101x x x >⇒>⇒<<，∴1x <不能推出01x <<，而01x <<能推出1x <，∴1x <是12log 0x >必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查对数不等式、充分条件与必要条件，考查运算求解能力，属于基础题.3.函数2xy －＝的单调递增区间是()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0]C.[0，＋∞)D.(0，＋∞)【答案】B 【解析】2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，可知，单调递增区间为(],0-∞．故选B．点睛：绝对值函数的解题策略就是去绝对值，得到分段函数，本题得到2,022,0x xx x y x --⎧>==⎨≤⎩，要判断单调区间，只需分段研究函数图象的性质即可．本题中易知0x ≤时，2x y =是单调递增的．4.△ABC 的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是()A.21X B.221259y x +=（y≠0）C.221(0)169x y y +=≠ D.21X （y≠0）【答案】D 【解析】1810AB AC BC AC BC AB++=∴+=> 所以定点C 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，去掉A,B,C 共线的情况，即2210,49a c b ==∴=∴()2210259x y y +=≠，选D.5.(2016高考新课标III ，理3)已知向量1(,22BA uu r=,1),22BC uu u r =则∠ABC =A.30oB.45oC.60oD.120o【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos 112BA BC ABC BA BC⨯+⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤ ；（2）由向量的数量积的性质知||=·a a a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．【此处有视频，请去附件查看】6.若圆C 经过(1,0),(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为（）A.()222(2)3x y -+±= B.()222(3)3x y -+±=C.()222(2)4x y -+±= D.()222(3)4x y -+±=【答案】D 【解析】因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.7.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】由图中可知2+=a b c ，即可得到答案．【详解】由图中可知2+=a b c ，若向量λ+a b 与c 共线,则2λ=.答案为D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题．8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（）A.78S S < B.1516S S < C.130S > D.150S >【答案】C 【解析】试题分析：由等差数列的性质及求和公式得，11313713()1302a a S a +==>,11515815()1502a a S a +==<，故选C.考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.9.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（）A.12+ B.1+ C.22D.2【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得22412b b =--，整理得24b =+，解得1b =+B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式．10.若1a >，设函数()4xf x a x =+-的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是()A.7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.[)1,+∞ C.()4,+∞ D.9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．【详解】函数()4x f x a x =+-的零点是函数x y a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y x =对称，直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m n m n m n m n n m+=++=++ ，当2m n ==等号成立，而4m n+=，故111m n+ ，故所求的取值范围是[1，)+∞．故选：B ．【点睛】本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.二､填空题:本题共6题，每小题5分，共30分.11.设向量,a b 是互相垂直的单位向量，向量a b λ+ 与2a b + 垂直，则实数λ=_______【答案】2-【解析】【分析】根据向量的数量积为0可得关于λ的方程，解方程可得λ的值.【详解】∵向量,a b是互相垂直的单位向量，∴0,||||1a b a b ⋅===，∵a b λ+ 与2a b +垂直，∴22()(2)0(21)20202a b a b a a b b λλλλλ+⋅+=⇒++⋅+=⇒+=⇒=- .故答案为：2-.【点睛】本题考查单位向量的概念、向量垂直的数量积关系，考查运算求解能力，求解时注意单位向量的模长为1.12.已知点(2,0),(0,2)A B -，若点C 是圆222x x y -+＝0上的动点，ABC ∆的面积的最大值为．【答案】3【解析】试题分析：圆2220x x y -+=表示以(1,0)M 为圆心，以1为半径的圆，如图所示，所以当点C 的纵坐标的绝对值最大时，ABC ∆的面积为1141222C AB y ⨯⨯=⨯⨯=．考点：直线与圆的位置关系．13.在等比数列{}n a 中，14a =，公比为q ，前n 项和为n S ，若数列{}2n S +也是等比数列，则q 等于【答案】3【解析】【详解】解：由题意可得q≠1由数列{S n +2}也是等比数列可得1S +2，2S +2，3S +2成等比数列则（2S +2）2=（S 1+2）（S 3+2）代入等比数列的前n 项和公式整理可得（6+4q ）2=24（1+q+q 2）+12解可得q=314.若圆()()22229x y -+-=上存在两点关于直线() 200,0ax by a b +-=>>对称，则19a b+的最小值为__________.【答案】16【解析】【分析】由圆的对称性可得，直线 20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=，再用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出19a b+的最小值．【详解】由圆的对称性可得，直线 20ax by +-=必过圆心(2,2)，所以1a b +=．所以119()()101061699b a a b a b a b a b+=++=+++= ，当且仅当9b aa b=，即3a b =时取等号.故答案为：16.【点睛】本题考查圆的对称性、基本不等式的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.15.已知点3,,,1,,06242A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________.【答案】4【解析】【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，再进行比较从而得出结论．【详解】①若只有,,,1624A B ππ⎛⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭两点在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=，sin(14πω= ，sin 02πω≠ ，则22,26332,42,2k k k Z k k Z k k Z πππωπωπππωππωπ⎧⋅=+=+∈⎪⎪⎪⋅=+∈⎨⎪⎪⋅≠∈⎪⎩或，即122,124,82,2,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=+∈⎨⎪≠∈⎩或，求得ω无解．②若只有点,,,0622A C ππ⎛⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin()f x x ω=的图象上，则有sin()62πω=，sin(02πω= ，sin()14πω≠ ，故有22,26363,22,42k k k Z k k Z k k Z ππππωπωππωπππωπ⎧⋅=+⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+∈⎪⎩或，即122,124,2,82,k k k Z k k Z k k Z ωωωω=+=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+∈⎩或，求得ω的最小值为4．③若只有点,1,,042B C ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在函数()sin f x x ω=的图象上，则有sin 62πω≠，sin 14πω=，sin 02πω=，故有2,42,222,2,6363k k Z k k Z k k k Z ππωππωπππππωπωπ⎧⋅=+∈⎪⎪⎪⋅=∈⎨⎪⎪⋅≠+⋅≠+∈⎪⎩且，即82,2,122124,k k Z k k Z k k k Z ωωωω=+∈⎧⎪=∈⎨⎪≠+≠+∈⎩且，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查正弦函数的图象特征，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分三种情况进行讨论.16.已知双曲线22:12x C y -=，点M 的坐标为()0,1.设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点.记MP MQ λ=，则λ的取值范围是__________.【答案】(],1-∞-【解析】【分析】用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围．【详解】设P 的坐标为00(,)x y ，则Q 的坐标为00(,)x y --，∴2220000003(,1)(,1)122o MP MQ x y x y x y λ==----=--+=-+ ．0||x max 32212λ=-⋅+=-，λ∴的取值范围是(],1-∞-．故答案为：(],1-∞-.【点睛】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、向量的数量积、一元二次函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意运用向量的坐标运算求解问题.三､解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈.（1）若a b ∥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】(1)56x π=.(2)0x =时，()f x 取到最大值3；当56x π=时，()f x 取到最小值-【解析】【分析】（1）a b ∥即3sin x x =，即可求出56x π=．（2）将()f x 表达式表示出来，注意使用辅助角公式化简，再根据x 范围易得()f x 的最大值和最小值．【详解】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，a b ∥，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是3tan 3x =-.又[0,]x π∈，所以56x π=.（2）()(cos ,sin )(3,3cos 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭a b .因为[0,]x π∈，所以7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 62x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ .于是，当66x ππ+=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当6x ππ+=，即56x π=时，()f x 取到最小值-.【点睛】此题考查向量平行坐标运算，向量积和三角函数联系求最值问题，注意辅助角公式的使用，属于较易题目．18.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1122431,,2a b a b a b ===+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()12···f f f n +++【答案】(1)121,3n n n a n b -=-=;(2)()11312n m -=+，3214n n +-【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则21132d qd q+=⎧⎨++=⎩解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=.(2)因为m n a b =，所以1213n m --=，即()11312n m -=+；∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++ ()01113332n n -=++++ 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭3214n n +-=.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知点()4,0C ，点 A B 、是圆22 :20O x y +=上任意两个不同点，且满足0AC BC = ，点P 是弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹Γ方程;(2)已知直线12 :, :1,l y l y kx ==-，若12,l l 被Γ:1，求k 的值【答案】(1)22( 2) 6x y -+=;(2)2k =-【解析】【分析】（1）设点P 坐标为(),x y ，将几何关系222OP PC OB +=坐标系，即可得到点P 的轨迹Γ方程：（2）利用圆的弦长公式分别求得两段弦长，再利用比例关系得到k 的方程，解方程即可得到答案.【详解】(1)设点P 坐标为(),x y ，因为P 为弦AB 的中点，则OP AB ⊥，因为0AC BC = ，则AC BC ⊥，所以222OP PC OB +=，即()()2222420x y x y ⎡⎤++-+=⎣⎦，整理得()2226x y -+=，点P 的轨迹Γ是以点()2,0的圆，方程为22( 2) 6x y -+=.(2)Γ的圆心()2,0到1l的距离1|20|2d -==，Γ被1l截得的弦长为=；Γ的圆心()2,0到2l的距离2d =，Γ被2l截得的弦长为=，由题可知=:2k =-.【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、弦长公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意圆中几何关系222OP PC OB +=的应用.20.设函数2()()e ()x f x x ax a a -=+-⋅∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；（2）设2()1g x x x =--，若对任意的[0,2]t ∈，存在[0,2]s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）3e 2e 0x y ++=.（2）1a ≤-或a 2e 4≥-.【解析】试题分析：（1）本问考查导数几何意义，当0a =时，()2 x f x x e -=⋅，则()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又()1f e -=，所以可以求出切线方程；（2）本问考查“任意”和“存在”问题，主要是将问题等价转化，“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”，根据二次函数易求()21g x x x =--在[]0,2上的最大值，求()f x 在[]0,2上最大值时，需要分区间对()0f x ¢=的根a -进行讨论，通过单调性求出()f x 在[]0,2上最大值，进而解不等式求a 的取值范围.试题解析：(1)当0a =时，因为()2x f x x e -=⋅，所以()()()2'2,'13x f x x x e f e -=-+⋅-=-，又因为()1f e -=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为()31y e e x -=-+，即320ex y e ++=.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =.()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时，()'0f x ≥在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递增函数，()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-；②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时，()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e=+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e +⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-；③当2a -≥，即2a ≤-时，()'0f x ≤在[]0,2上恒成立，()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值；3.“任意”、“存在”类问题.方法点睛：利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上，()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.21.已知椭圆G:的离心率为12，过椭圆G 右焦点F 的直线:1m x =与椭圆G 交于点M （点M 在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）已知A 为椭圆G 的左顶点，平行于AM 的直线l 与椭圆相交于,B C 两点．判断直线,MB MC 是否关于直线m 对称，并说明理由．【答案】(1)22143x y +=；(2)对称.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件推导出c=1，12c a =，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由已知条件得A (－2,0)，M (1，32)，设直线l:12y x n =+，n≠1．设B（x 1，y 1），C（x 2，y 2），由2214312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+nx+n 2﹣3=0．再由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出直线MB，MC 关于直线m 对称．试题解析：(Ⅰ)由题意得c ＝1,由＝可得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3,所以椭圆的方程为＋＝1.(Ⅱ)由题意可得点A (－2,0)，M(1，)，所以由题意可设直线l ：y＝x ＋n ，n ≠1.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由得x 2＋nx ＋n 2－3＝0.由题意可得Δ＝n 2－4(n 2－3)＝12－3n 2>0，即n ∈(－2,2)且n ≠1.x 1＋x 2＝－n ，x 1x 2＝n 2－3因为k MB ＋k MC ＝＋＝＋＝1＋＋＝1＋＝1－＝0，所以直线MB ，MC 关于直线m 对称.22.对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d （S（A））．定义变换T，变换T 将集合A 变换为集合T（A）=A∪S（A）．（1）若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；（2）若集合A 有n 个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；（3）若A ⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．【答案】（1）{}()()0,1,2,3,4S A T A ==；（2）见解析；（3）{}1,5,8【解析】【分析】（1）根据定义直接进行计算即可（2）根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行证明（3）首先证明：1∈A，然后根据条件分别判断A 中元素情况即可得到结论．【详解】（1）若集合A ={0，1，2}，则S （A ）=T （A ）={0，1，2，3，4}．（2）令{}12,,n A x x x = ．不妨设12n x x x <<< ．充分性：设{}k x 是公差为()d d ≠0的等差数列．则111(1)(1)2(2),(1,)i j x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n + ．所以i j x x +共有2n -1个不同的值．即d （S （A ））=2n -1．必要性：若d （S （A ））=2n -1．因为1122,(1,2,,1)i i i i x x x x j n ++<+<=- ．所以S （A ）中有2n -1个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n nx x x x x x x x x -⋯++⋯+任意i j x x +（1≤i ，j ≤n ）的值都与上述某一项相等．又1212i i i i i i x x x x x x ++++++<+<，且11122,(1,2,,2)i i i i i x x x x x j n ++++++<<=- ．所以212i i i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0．（3）首先证明：1∈A ．假设1∉A ，A 中的元素均大于1，从而1∉S （A ），因此1∉T （A ），1∉S （T （A ）），故1∉T （T （A ）），与{1，2，3，…，25，26}⊆T （T （A ））矛盾，因此1∈A ．设A 的元素个数为n ，S （A ）的元素个数至多为C 2n +n ，从而T （A ）的元素个数至多为C 2n +n +n =()32n n +．若n =2，则T （A ）元素个数至多为5，从而T （T （A ））的元素个数至多为582⨯=20，而T （T （A ））中元素至少为26，因此n ≥3．假设A 有三个元素，设{}231,,A a a =，且2318a a << ，则1，2，3223,1,,1a a a a ++，32232,,2()a a a a T A +∈，从而1，2，3，4∈T （T （A ））．若25a >，T （T （A ））中比4大的最小数为2a ，则5∉T （T （A ）），与题意矛盾，故2a ≤5．集合T （T （A ））．中最大数为34a ，由于26∈T （T （A ）），故34a ≥26，从而3a ≥7，（i ）若A ={1，a 2，7}，且2a ≤5．此时1，2，2a ，2a +1，7，8，22a ，7+2a ，14∈T （A ），则有8+14=22，2×14=28∈T （T （A ）），在22与28之间可能的数为14+22a ，21+2a ．此时23，24，25，26不能全在T（T（A））．中，不满足题意．（ii）若A={1，2a，8}，且2a≤5．此时1，2，2a，2a+1，8，9，22a，8+2a，16∈T（A），则有16+9=25∈T （T（A）），若26∈T（T（A）），则16+22a=26或16+（8+2a）=26，解得2a=5或2a=2．当A={1，2，8}时，15，21，23∉T（T（A））．不满足题意．当A={1，2，8}时，T（T（A））={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，29，32}，满足题意．故元素个数最少的集合A为{1，5，8}【点睛】本题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用，综合性强，难度比较大．不太好理解．。
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所以 ,即 ,
所以 ,
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲天走的路程构成了公比 的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.
【详解】
由题意可知,此人每天走的路程构成了公比 的等比数列,
设该数列为 ,其前 项和为
则有 ,解得 ,
故 ,
故选:A.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质,结合了指数函数,属于简单题.
4．A
【分析】
根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，可得“ ”等价于“ ”,再判断充要性即可.
【详解】
根据直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则 等价于“ .
故“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选:A.
【点睛】
本题考查命题的充要关系,结合的直线倾斜角,斜率等相关知识,难度不大.
5．C
【分析】
运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可.
【详解】
在正方形 ,有 ,
,
故选:C.
【点睛】
本题考查向量的基本运算,需要灵活运用各类公式,属于简单题.
6．A
【分析】
根据题意求出渐近线的斜率,从而得到 之间的等量关系,进而求出离心率.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线与直线 垂直,
北京市北京大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（12月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合A={x|x<1}，B={x| }，则
A． B．
C． D．
2．已知复数 的实部和虚部相等，则 （）
A． B．
C． D．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题
10．抛物线 的准线方程为______.
11．已知四个函数：① ，② ，③ ，④ ，从中任选2个，若所选2个函数的图像有且仅有一个公共点，则这两个函数可以是______.（写出一对序号即可）
12．在正项等比数列 中，若 ， ， ， 成等差数列，则 ______.
【点睛】
本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.
8．D
【分析】
作出 的图像,结合图像一一分析选项正误即可.
【详解】
作出 的图像如下图所示:
当 时, ,故不论 取何值, ,故A选项正确;
当 时, ,其值域为 ,故B选项正确;
若 在 上单调递增,结合上图可知 或 ,故C选项正确;
21．已知数列 ： ， ， ，…， 为1，2，3，…， 的一个排列，若 互不相同，则称数列 具有性质 .
（1）若 ，且 ，写出具有性质 的所有数列 ；
（2）若数列 具有性质 ，证明： ；
（3）当 时，分别判断是否存在具有性质 的数列 ？请说明理由.
参考答案
1．A
【解析】
∵集合
∴
∵集合
∴ ，
故选A
2．B
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
17． 的内角 的对边分别为 已知 .
（1）求角 和边长 ；
（2）设 为 边上一点，且 ,求 的面积.
18．已知 过 ， ， 三点.
（1）求 的标准方程；
（2）直线 ： 与 相交于 ， 两点，求 的面积（ 为圆心）.
19．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，证明“ ”是“ ”的充分不必要条件.
20．已知椭圆 ： 与 轴交于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，且 是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 关于 轴的对称点为 （ 与 ， 都不重合），判断直线 与 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【解析】
【分析】
化简复数 ,求出其实部,虚部,列式求解即可.
【详解】
,
因为复数 的实部和虚部相等,
所以 ,即 ,
故选:B.
【点睛】
本题考查复数,属于简单题.
3．D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断选项正误即可.
【详解】
若 ,则 , , ,故A,B,C选项错误;
因为 在 上递增,所以 ,故D选项正确;
故选:D.
若方程 有解,结合上图可知 或 ,故D选项错误;
故选:D.
【点睛】
本题考查分段函数,要求学生具有结合图像进行分析推导的能力.
9．A
【分析】
根据题意可知: 的纵坐标 的纵坐标, 为线段 中点与原点连线的斜率,故结合图像即可得出结论.
【详解】
①因为 为第 名工人在这一天中加工的零件总数,
则 的纵坐标 的纵坐标;
13．方程 在区间 上的解集为______.
14．设a＞0,b＞0．若关于x,y的方程组 无解，则 的取值范围是．
15．对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 和 之间的新运算 ： .若非零的平面向量 ， 满足： 和 都在集合 中，且 .设 与 的夹角 ，则 ______.
三、解答题
16．已知函数 .
的纵坐标 的纵坐标;
的纵坐标 的纵坐标;
结合图像可知: , , 中的最大值为 ;
②因为 为第 名工人在这一天中平均加工的零件数,
A．-1B．1
C．2D．-2
3．已知 ，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
4．已知直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知正方形 的中心为 ，且边长为1，则 （）
A．-1B．
C．1D．
6．双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离心率为（）
A．96里B．48里
C．192里D．24里
8．已知函数 ，则下列结论错误的是（）
A． B． 时， 的值域为
C． 在 上单调递增时， 或 D．方程 有解时，
9．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 的横、纵坐标分别为第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的工作时间和加工的零件数， .记 为第 名工人在这一天中加工的零件总数，记 为第 名工人在这一天中平均加工的零件数，则 ， ， 中的最大值与 ， ， 中的最大值分别是（）