高中数学不等式单元测试题(含有详细答案--

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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第3章不等式(含解析)

2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第3章不等式一、选择题1．已知,,则( )A. B.C. D.P,Q 的大小与x 有关在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.3．已知正实数a 、b 满足，则4．已知函数在上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.5．已知函数,若对任意的实数x,恒有成立,则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.6．“不等式在R 上恒成立”的充要条件是( )A.D.7．设，，，的大小关系是( )A. B. C. D.8．若，则下列不等式正确的是( )[)2,+∞22P x =+43Q x =+P Q >P Q3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2222e e e e a b a b ---+=+a ()23,033,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩)0x ax +≥[]1,2x ∈-[]2,0-(][),20,-∞-+∞ []0,2(2()ln e 1xf x x =-+()2(1)2f ax x f x -+-+<()0,+∞[)0,+∞()1,+∞[)1,+∞20x x m -+>m ><1<1m >1a b >>1y =2y =3y =1y 2y 3y 123y y y <<213y y y <<321y y y <<231y y y <<0b a <<二、多项选择题9．已知正数a ,b 满足,则下列说法一定正确的是( )A. B. C. D.10．已知关于x 的不等式的解集是,则( )A. B. C. D.11．若，且，则( )的最小值为三、填空题12．已知命题p ：“不等式有解”为真命题，则a 的取值范围是__________.13．定义表示x ，y 中的最小者，设函数，若14．已知，四、解答题15．已知a ,b,c 均为正数,若,求证：（2）.16．已知关于x 的不等式.（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于，不等式恒成立，求实数x 的取值范围.>a <1a>22a b ab +=4a b +≥24a b +≥2ab ≥2248a b +≥()22320a x x --->{}12x x x x <<1213x x -<<<122x x +=123x x <-214x x -<0a >0b >1a b +=6a 3-+2320x x a ++≤min{,}x y {}2()min 33,3|3|f x x x x =-+--()f x >m n +=0>n >+1a b c ++=+≤()33323a b c ab bc ac abc ++≥++-244x mx x m +>+-04m ≤≤17．已知,,且.（1）求ab 的最小值;（2）求的最小值.18．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园,如图所示,用墙的一部分做下底,用篱笆做两腰及上底,且腰与墙成,当等腰梯形的腰长为多少时,所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.19．已知.（1）若a 与b 均为正数，求的最大值；的最小值.0a >0b >0a b ab +-=23a b +2AD 60︒2284a b +=ab 22b参考答案1．答案：D解析：由题意可得,当即,当即,当即,故P、Q的大小与x有关.故选：D.2．答案：C等价于，即，所以，解得等价于，即.因为，所以，所以3．答案：A解析：由题，构造函数，则，显然在R上单调递增，所以，即所以，当且仅当时等号成立.所以故选：A.4．答案：C解析：当时，，即，当恒成立。

《不等式》单元测试卷(含详解答案)

试卷第1页，总4页不等式测试卷（各位同学，请自己安排2个小时考试，自己批阅统计好分数，在班级小程序拍照发给老师检查。

）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >2．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]3．关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为()12,x x ,且2115x x -=,则a = A ．154 B ．72 C ．52 D ．1524．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =I A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}04x x <≤ D ．{}14x x -≤≤ 5．若关于x 的不等式ax b 0->的解集是(),2∞--，则关于x 的不等式2ax bx 0+>的解集为( )A ．()2,0-B ．()(),02,∞∞-⋃+C ．()0,2D ．()(),20,∞∞--⋃+ 6．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2骣琪-琪桫，则a 的值为（） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 7．不等式20ax x c -+>的解集为}{|21x x -<<，函数2y ax x c =-+的图象大致为（） A ． B ．。

(完整)高中数学不等式习题及详细答案

第三章不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1，当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2．解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ，即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +．解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ．三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交，故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ，则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0．令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2，当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立，故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16．当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423，当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。

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单元测试题不等式一、选择题(每小题6分，共48分)1、如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）（A ）11a b< （B ）a b -< （C ）22a b < （D ）||||a b > 2、设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（）A ．a ＞b ＞2b a +＞ab B ． a ＞2ba +＞b ＞ab C ．a ＞2b a +＞ab ＞b D ．a ＞ab ＞2b a +＞b4设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为（） A. 6 B.9 C.12 D.15 5、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（） A ．有最大值而无最小值 B ．有最大值且有最小值 C ．有最小值而无最大值 D ．既无最大值又无最小值 6、如果P=1,1122+-=++a a Q a a ，则P ，Q 的大小关系为 A ．P ＜Q B ．P ＞Q C ．P ≥Q D ．P ≤Q 7、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（）（A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 8．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（）（A ）23 （B ）3 （C ）2 （D ）3二、填空题（每小题6分，共24分） 1、若x ＞0，y ＞0，x+2y=1，则yx 11+的最小值是 2、如果若a ＞0，b ＞0且1222=+b a ，则a 21b +的最大值是 3、若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为4、三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．三、解答题（1小题12分，2小题16分，共28分）1、已知函数()2335g x x ax a =-+-，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；2、（1）、已知函数xx f 1)(=，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）已知函数x a x x f ln )(2+= (x>0)，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭1、A2、B 解：命题:p a b =是命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件，故选B 。

一元二次函数、方程和不等式(单元测试卷)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式（单元测试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a＞b，则下列结论正确的是( )A.ac2＞bc2B.a2＞b2C.|a|＞|b|D.a＋c＞b＋c2.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A＜B或A＞BD.A＞B3.已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )A.Error!B.Error!Error! D.Error!5.下列说法正确的是( )A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若1a＞1b，则a＜bC.若b＞c，则|a|b≥|a|cD.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d6.下列不等式中，正确的是( )A.a＋4a≥4 B.a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D.x2＋3x2≥237.不等式x＋61－x≥0的解集为( )A.{x|－6≤x≤1}B.{x|x≥1或x≤－6}C.{x|－6≤x＜1}D.{x|x＞1或x≤－6}8.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )A.{x|10≤x<16}B.{x|12≤x<18}C.{x|15<x<20}D.{x|10≤x<20}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.若x＞y＞0，则下列不等式成立的是( )A.x2＞y2B.－x＞－yC.1x＜1yD.xy＜x＋1y＋110.已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )A.a＋b2≥ab B.a＋1a≥2C.≥2D.2(a2＋b2)≥(a＋b)211.若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )A.ab有最大值14B.a＋b有最小值2C.1a＋1b有最小值4 D.a2＋b2有最小值22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.如果a＞b，ab＜0，那么1a与1b的大小关系是________13.已知a＞0，b＞0，则1a＋ab2＋b的最小值为________14.若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝；不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为Ｗ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）设a＞0，b＞0，比较a2b ＋b2a与a ＋b的大小．a b || b a16.（16分）已知关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}．(1)求a，b的值；(2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c＜0．17.（16分）已知关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0．(1)当a＝2时，求不等式的解集；(2)当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．18.（16分）如图所示，要设计一张矩形广告，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌最省料？19.(16分)已知关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0，k ≠0．(1)若不等式的解集为，求k 的值；(2)若不等式的解集为R ，求k的取值范围．{}3x |x 12-<<参考答案及解析：一、选择题1.D　解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，B 错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，C错误；对于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D 正确．故选D．2.B　解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋34b2≥0，所以A≥B．3.A　解析：由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件；由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”不是“a2＞36”的必要条件，故“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件．故选A．4.D　解析：由题中x不低于95，即x≥95；y高于380，即y＞380；z超过45，即z＞45．5.C　解析：A项，a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项，不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项，|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项，同向不等式不能相减．6.D　解析：若a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．7.C 解析：不等式x＋61－x≥0等价于Error!解得－6≤x＜1．故解集为{x|－6≤x＜1}8.C　解析：设这批台灯的销售单价为x元，则[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，∴10<x<20，又∵x>15，∴15<x<20．故选C．二、选择题9.AC　解析：对于A，当x＞y＞0时，x2＞y2，A成立；对于B，当x＞y＞0时，－x＜－y，B不成立；对于C，当x＞y＞0时，xxy＞yxy，即1x＜1y，C成立；对于D，xy－x＋1y＋1＝x(y＋1)－y(x＋1)y(y＋1)＝x－yy(y＋1)，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴xy－x＋1y＋1＞0，即xy＞x＋1y＋1，D不成立．故选AC．2b(a)210.CD 解析：当a ＜0，b ＜0时，a ＋b 2≥ab 不成立；当a ＜0，时，a ＋1a≥2不成立；因为≥2，故C 正确；因为2(a 2＋b 2)－(a ＋b)2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b)2≥0，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2，故D 正确．故选CD ．11.AC 解析：∵a>0，b>0，且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，∴ab 有最大值14，∴A 正确；(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋(a ＋b)＝2，∴0<a ＋b ≤2，∴B 错误；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，∴1a ＋1b 有最小值4，∴C 正确；∵a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ，且ab ≤14，∴a 2＋b 2≥1－2×14＝12，∴a 2＋b 2的最小值是12，∴D 错误．故选AC ．三、填空题12.答案：1a ＞1b 解析：1a －1b ＝b －a ab ＞0，所以1a ＞1b．13.答案：22　解析：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22，当且仅当1a ＝a b 2且b ＝2b ，即a ＝b ＝2时取等号，∴1a ＋a b 2＋b 的最小值为22．14.答案：－3, 解析：根据题意，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则－1和2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根，则有(－1)＋2＝－a ，(－1)×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2．故a ＋b ＝－3．bx 2＋ax ＋1＜0⇒－2x 2－x ＋1＜0⇒2x 2＋x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞12，即不等式bx 2＋ax ＋1＜0的解集为．四、解答题a b a b ||||||b a b a+=+{1x |x 1x 2⎫<->⎬⎭或{1x |x 1x 2⎫<->⎬⎭或15.解：因为a＞0，b＞0，所以a2b ＋b2a＝ab＋ba．根据均值不等式可得ab＋b≥2a，①ba＋a≥2b，②当且仅当a＝b时，取等号．由①＋②，得ab＋ba＋ a ＋b≥2（ a ＋b），即a2b＋b2a≥ a ＋b．16.解：(1)关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}，即方程ax2－x－b＝0的根为2，－1，∴Error!解得a＝1，b＝2．(2)由(1)得关于x的不等式x2－(c＋1)x＋c＜0，即(x－1)(x－c)＜0，当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}；当c＝1时，不等式的解集为；当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}．17.解：(1)当a＝2时，不等式为(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4，所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}．(2)因为a∈R，a≠0且a≠1，当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a2＜x＜a；当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a＜x＜a2．综上所述，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．18.解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000．①广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm，其中a＞0，b＞0．广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2 25a·40b＝18 500＋21 000ab＝24 500．当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75．即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2．故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌最省料．19.解：(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集为，所以－32和1是方程2kx2＋kx－38＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－32×1＝，得k＝18．(2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集为R，k≠0，所以Error!解得－3<k<0，故k的取值范围为{k|－3<k<0}．{}3x|x12-<<382k-。

高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试(含答案)

高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a>b>0,c>d，下列不等式中必成立的一个是（）A．a c>bdB．ad<bc C．a+c>b+d D．a―c>b―d2．已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )A．10B．11C．12D．133．若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(―∞,―2)∪[4,+∞)B．(―∞,―4)∪[2,+∞)C．(―2,4)D．(―4,2)4．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．5B．245C．235D．1955．小明从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．a＜v＜ab B．v＝ab C．ab＜v＜a+b2D．v＝a+b26．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b ―3a―1b≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4B．16C．9D．37．已知x，y∈（―2，2），且xy＝1，则22―x2+44―y2的最小值是（）A．207B．127C．16+427D．16―4278．已知函数f(x)=2x|2x―a|，若0≤x≤1时f(x)≤1，则实数a的取值范围为（）A．[74，2]B．[53，2]C．[32，2]D．[32，53]二、多选题9．已知a>b>c>0，则（）A．a+c>b+c B．ac>bc C．aa+c>bb+cD．a x0，b>0，且a+b=ab，则（）A．(a―1)(b―1)=1B．ab的最大值为4C．a+4b的最小值为9D．1a2+2b2的最小值为2311．已知a，b∈R∗，a+2b=1，则b2a +12b+12ab的值可能为（）A．6B．315C．132D．5212．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点.C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明有（）A ．a +b 2≥ab (a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C ．a 2+b 22≥a +b2(a ≥0,b >0)D ．ab ≥21a+1b(a >0,b >0)三、填空题13．已知不等式|x ―1|+|x +2|≥5的解集为　　．14．已知实数x ，y 满足―1≤x +y ≤4且2≤x ―y ≤3，则x +3y 的取值范围是　　.15．若关于x 的不等式x 2+mx ―2<0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为　　.16．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xyZ 取得最大值时，2x+1y ―2z的最大值为 .四、解答题17．U =R ，非空集合 A ={x |x 2―5x +6<0} ，集合 B ={x |(x ―a )(x ―a 2―2)<0} ．（1）a =12时，求 (∁ U B )∩A ；（2）若 x ∈B 是 x ∈A 的必要条件，求实数 a 的取值范围．18．已知 p :|1―x ―13|≤2 ， q :x 2―2x +1―m 2≤0(m >0) ，若 ¬p 是 ¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19.求解不等式x 2―a ≥|x ―1|―120.已知a ，b ，c 都为正实数，满足abc （a ＋b ＋c ）＝1（1）求S ＝（a ＋c ）（b ＋c ）的最小值（2）当S 取最小值时，求c 的最大值.21.某项研究表明；在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位；辆∕时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位米∕秒）、平均车长l （单位:米）的值有关，其公式为F =76000νv 2+18v +20l（1）如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为多少.（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少.22．已知a ，b ，c 为实数且a +2b +5c =10.（1）若a ，b ，c 均为正数，当2ab +5ac +10bc =10时，求a +b +c 的值；（2）证明：(2b +5c )2+(a +b +5c )2+(a +2b +4c )2≥4903.答案解析部分1．C已知a>b>0,c>d,由不等式的同向相加的性质得到a+c>b+d正确；当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，a c<bd, ，a―c=b―d A，D不正确；c=2，d=1时，ad=bc,B不正确. 2．D解：因为x,y>0，且1x+2+4y+3=12，则x+y=(x+2)+(y+3)―5=2(1x+2+4y+3)[(x+2)+(y+3)]―5=2(5+y+3x+2+4(x+2)y+3)―5≥2(5+2y+3x+2⋅4(x+2)y+3―5=13，当且仅当y+3x+2=4(x+2)y+3，即x=4,y=9时等号成立，则x+y的最小值为13.3．D由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4yx+xy+4≥24yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx=xy，由于x>0，y>0，即当x=2y时，等号成立，所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m―8<0，解得―4<m<2，因此，实数m的取值范围是(―4,2)，4．A从题设可得15y+35x=1，则3x+4y=15(3x+4y)(1y+3x)=15(3x y+12yx+13)≥15(12+13)=5，5．A6．B7．C8．C不等式f(x)≤1可化为|2x―a|≤2―x，有―2―x≤a―2x≤2―x，有2x―2―x≤a≤2x+2―x，当0≤x≤1时，2x+2―x≥22x×2―x=2（当且仅当x=0时取等号），2x―2―x≤2―12=32，故有32≤a≤2。

高一年级数学《不等式》单元测试题

高中数学必修5第三章《不等式》单元测试题班级姓名座号分数一、选择题（3⨯12=36分）1、若,0<>下列不等式正确的是 ( )A n y m x ->-B yn xm > Cmyn x > D x n y m ->- 3、设,01,0<<->B a ab ab >>2C 2ab a ab >>D a ab ab >>24、若角βα,满足22πβαπ<<<-,则βα-的取值范围是 ( )A )0,(π-B ),(ππ-C )2,23(ππ-D ),0(π 5、不等式0322>-+x x 的解集是（）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3}6、二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是（）A ⎩⎨⎧>∆>00a B ⎩⎨⎧<∆>00a C ⎩⎨⎧>∆<00a D ⎩⎨⎧<∆<0a7、设,0>>y x 则下列各式中正确的是 ( )A y xy y x x >>+>2 B x xy yx y >>+>2 C xy y y x x >>+>2 D x xy y x y >≥+>28、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1 B21 C 22D 41 9、下列不等式的证明过程正确的是 ( )A 若,,R b a ∈则22=⋅≥+b a a b b a a b B 若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+ C 若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x D 若,-∈R x 则222222x x x x --+>⋅= 10、设b a ,为实数且,3=+b a 则ba22+的最小值是 ( )A 6B 24C 22D 6211、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方12、在直角坐标系内：满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（）二、填空题（4⨯4=16分）13、不等式230x x ++<的解集是_________。

高中数学不等式练习题及参考答案2023

高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。

为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。

1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。

2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。

【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。

因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。

3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。

【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。

解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。

所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

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高中数学不等式综合测试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分)1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+(理)已知a <0，-1>B ．2ab ab a >>C ．2ab ab a >>D ．2ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“222b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( )A ．RB ．φC ．),(+∞abD ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．RC ．),(+∞a bD ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．(文)不等式|1|2x -<的解集是( )A ．{|03}x x ≤(理)不等式||x x x <的解集是( )A ．{|01}x x <6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．．的是( ) A ．11a b +ba ab D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+ba ab D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( )A ．}8|{<a aB ．}8|{>a aC ．}8|{≥a aD ．}8|{≤a a(理)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在函数1mx y n n=--的图像上，其中mn >0,则n m 21+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．211．(文)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是( )A ．{|20,2}x x x -<<>或B ．{|2,02}x x x <-<<或C ．}22|{>-<x x x 或D ．{|20,02}x x x -<<<<或(理)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式2(1)()0x f x -<的解集是( )A ．{|10}x x -<<B ．{|2,12}x x x <-<<或C ．{|2112}x x x -<<<<或D ．{|210,12}x x x x <--<<<<或或12．(文)已知不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．16625 B ．16 C ．254D ．18 (理)已知不等式()()25x ay x y xy ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．16625B ．16C ．254D ．18 二、填空题(每小题4分，共16分)13．(文)若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是____________． (理)不等式|21|1x x --<的解集是_____________．14．函数121lg+-=x x y 的定义域是_____________． 15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____________吨．16．已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，则不等式3)2(≤+x f 的解集____________．三、解答题(共74分)17．解不等式122log 1815x x x ⎛⎫≤-⎪-+⎝⎭18．解关于x 的不等式22x a x -+>--．20．(本小题满分12分)(文)对任意[1,1]x ∈-，函数a x a x x f 220)4()(2-+-+=的值恒大于零，求a 的取值范围．19.如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？22．(本小题满分14分)已知函数b ax x x f ++=2)(．(1)若a =0，且对任意实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围；(2)当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ； (3)若)21,0(∈a ，求证：对于任意的]1,1[-∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a -≤≤-参考答案一、选择题1、（文）C （理）C2、A3、（文）D （理）D4、C5、（文）C （理）C6、（文）D （理）D7、A8、D 9、B10、（文）A （理）A11、（文）D （理）D 12、（文）B （理）B二、填空题13、ba b a +>+111 14、{|02}x x << 15、)21,1(- 16、20 17]3,(-∞ 三、解答题18、解：原不等式等价于：21582≥+-x x x 0158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x 3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x ∴原不等式的解集为]6,5()3,25[ 19、解：变形得：(4)02x a x -->- 当(4-a )>2，即a <2时，24x x a <>-或当(4-a )<2，即a >2时，42x a x <->或当(4-a )=2，即a =2时，2x ≠综上所述：当a <2时，原不等式的解集为{|24}x x x a <>-或当a ≥2时，原不等式的解集为{|42}x x a x <->或20、325≤a 21、解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：25)2()4(22=+yx，(0,0>>y x ) 问题转化为在0,0>>y x ，100422=+y x 的条件下，求xy S =的最大值．法一：100)2(2222=+≤⋅⋅==y x y x xy S ，由y x =2和100422=+y x 及0,0>>y x 得：25,210==y x 100max =∴S法二：∵0,0>>y x ，100422=+y x ， 41002x x xy S -==∴=10000)200(41)4100(2222+--=-⋅x x x ∴当2002=x ，即210=x ，100max =S由100422=+y x 可解得：25=y ．答：花坛的长为m 210，宽为m 25，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．21、解(1):由题得022≥++b x x 恒成立1044≥⇔≤-=∆⇔b b对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a )(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b ． (2)证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ，即1+≥b M ．(3)证明：由210<<a 得，0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a -上是增函数． ∴当1||≤x 时，)(x f 在2a x -=时取得最小值42ab -，在1=x 时取得最大值b a ++1．故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。