高中数学不等式单元测试题(含有详细答案--

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2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第3章不等式(含解析)

2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第3章不等式一、选择题1．已知,,则( )A. B.C. D.P,Q 的大小与x 有关在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.3．已知正实数a 、b 满足，则4．已知函数在上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.5．已知函数,若对任意的实数x,恒有成立,则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.6．“不等式在R 上恒成立”的充要条件是( )A.D.7．设，，，的大小关系是( )A. B. C. D.8．若，则下列不等式正确的是( )[)2,+∞22P x =+43Q x =+P Q >P Q3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2222e e e e a b a b ---+=+a ()23,033,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩)0x ax +≥[]1,2x ∈-[]2,0-(][),20,-∞-+∞ []0,2(2()ln e 1xf x x =-+()2(1)2f ax x f x -+-+<()0,+∞[)0,+∞()1,+∞[)1,+∞20x x m -+>m ><1<1m >1a b >>1y =2y =3y =1y 2y 3y 123y y y <<213y y y <<321y y y <<231y y y <<0b a <<二、多项选择题9．已知正数a ,b 满足,则下列说法一定正确的是( )A. B. C. D.10．已知关于x 的不等式的解集是,则( )A. B. C. D.11．若，且，则( )的最小值为三、填空题12．已知命题p ：“不等式有解”为真命题，则a 的取值范围是__________.13．定义表示x ，y 中的最小者，设函数，若14．已知，四、解答题15．已知a ,b,c 均为正数,若,求证：（2）.16．已知关于x 的不等式.（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于，不等式恒成立，求实数x 的取值范围.>a <1a>22a b ab +=4a b +≥24a b +≥2ab ≥2248a b +≥()22320a x x --->{}12x x x x <<1213x x -<<<122x x +=123x x <-214x x -<0a >0b >1a b +=6a 3-+2320x x a ++≤min{,}x y {}2()min 33,3|3|f x x x x =-+--()f x >m n +=0>n >+1a b c ++=+≤()33323a b c ab bc ac abc ++≥++-244x mx x m +>+-04m ≤≤17．已知,,且.（1）求ab 的最小值;（2）求的最小值.18．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园,如图所示,用墙的一部分做下底,用篱笆做两腰及上底,且腰与墙成,当等腰梯形的腰长为多少时,所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.19．已知.（1）若a 与b 均为正数，求的最大值；的最小值.0a >0b >0a b ab +-=23a b +2AD 60︒2284a b +=ab 22b参考答案1．答案：D解析：由题意可得,当即,当即,当即,故P、Q的大小与x有关.故选：D.2．答案：C等价于，即，所以，解得等价于，即.因为，所以，所以3．答案：A解析：由题，构造函数，则，显然在R上单调递增，所以，即所以，当且仅当时等号成立.所以故选：A.4．答案：C解析：当时，，即，当恒成立。

《不等式》单元测试卷(含详解答案)

试卷第1页，总4页不等式测试卷（各位同学，请自己安排2个小时考试，自己批阅统计好分数，在班级小程序拍照发给老师检查。

）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >2．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]3．关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为()12,x x ,且2115x x -=,则a = A ．154 B ．72 C ．52 D ．1524．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =I A ．{}12x x -≤≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}04x x <≤ D ．{}14x x -≤≤ 5．若关于x 的不等式ax b 0->的解集是(),2∞--，则关于x 的不等式2ax bx 0+>的解集为( )A ．()2,0-B ．()(),02,∞∞-⋃+C ．()0,2D ．()(),20,∞∞--⋃+ 6．已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是11,2骣琪-琪桫，则a 的值为（） A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 7．不等式20ax x c -+>的解集为}{|21x x -<<，函数2y ax x c =-+的图象大致为（） A ． B ．。

(完整)高中数学不等式习题及详细答案

第三章不等式一、选择题1．已知x ≥25，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )．A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值12．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(xy 的最小值是( )．A ．3B ．27 C ．4 D ．29 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ab1≥22B ．(a ＋b )(a 1＋b1)≥4 C22≥a ＋bD ．ba ab+2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x ＜2π时，函数f (x )＝x xx 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )．A ．2B ．32C ．4D ．346．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18B ．6C ．23D ．2437．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A ．73B ．37C ．43D ．348．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，则点P 的坐标是( )．A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－7，2)D ．(2，－7)9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y (m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )．A ．－207B ．207 C ．21D ．不存在10．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]二、填空题11．不等式组⎩⎨⎧ 所表示的平面区域的面积是．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧ 若目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是．13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，xa＋y b ＝1，则x ＋y 的最小值为．15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m 1＋n2的最小值为． 16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，若p 1＋p 2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为．(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0(第9题)三、解答题17．求函数y ＝1＋10＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．18．已知直线l 经过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x ＜45，求函数y ＝4x －1＋5－41x 的最大值； (2)已知x ，y ∈R ＊(正实数集)，且x 1＋y 9＝1，求x ＋y 的最小值；(3)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求2＋1b a 的最大值．参考答案1．D解析：由已知f (x )＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(， ∵ x ≥25，x －2＞0， ∴21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2－1＋2－x x )(≥21·2－12－2x x ⋅)(＝1，当且仅当x －2＝2－1x ，即x ＝3时取等号． 2．C 解析：221＋)(y x ＋221＋)(xy ＝x 2＋22241＋＋＋41＋x x y y yy x ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y y x ＋． ∵ x 2＋241x ≥22241x x ⋅＝1，当且仅当x2＝241x ，x ＝22时取等号； 41＋22y y ≥22241y y ⋅＝1，当且仅当y 2＝241y ，y ＝22时取等号； x yy x ＋≥2x y y x ⋅＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y x ＝xy，y 2＝x 2时取等号． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋x x ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2241＋y y ＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝22时原式取最小值4． 3．D 解析：方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有ba ab+2≥ab 不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab1≥2ab ＋ab1≥2abab 12⋅＝22，不等式成立．B ：∵ a ＋b ≥2ab >0，a 1＋b 1≥2ab 1>0，相乘得 (a ＋b )( a 1＋b1)≥4成立．C ：∵ a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－222⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ＝222⎪⎭⎫⎝⎛+b a ，又ab ≤2b a +⇒ab1≥b a +222≥a ＋b 成立． D ：∵ a ＋b ≥2ab ⇒b a +1≤ab 21，∴b a ab +2≤ab ab 22＝ab ，即ba ab+2≥ab 不成立．4．D解析: 因为f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，x x f x f )()(－－＜0x x f )(2⇔＜0⇔xf (x )＜0，满足x 与f (x )异号的x 的集合为所求．因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，画出f (x )在(0，＋∞)的简图如图，再根据f (x )是奇函数的性质得到f (x ) 在(－∞，0)的图象．由f (x )的图象可知，当且仅当x ∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f (x )异号． 5．C解析：由0＜x ＜2π，有sin x ＞0，cos x ＞0． f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝x x x x cos sin 2sin 8＋cos 222＝xx sin cos ＋x x cos sin 4≥2x x x x cos sin 4sin cos· ＝4，当且仅当xx sin cos ＝x xcos sin 4，即tan x ＝21时，取“＝”． ∵ 0＜x ＜2π，∴ 存在x 使tan x ＝21，这时f (x )min ＝4．6．B解析：∵ a ＋b ＝2，故3a ＋3b ≥2b a 33⋅＝2b a +3＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．(第4题)故3a ＋3b 的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC ．由⎩⎨⎧4343＝＋＝＋y x y x 得A (1，1)，又B (0，4)，C (0，43)．由于直线y ＝k x ＋43过点C (0，43)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，则由S △BCD ＝21S △ABC ，知D 为AB 的中点，即x D ＝21，∴ y D ＝25， ∴ 25＝k ×21＋34，k ＝37．8．A解析：设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧解得⎩⎨⎧. 1＝， 5＝－00y x∴ 点P 坐标是(－5，1)． 9．B解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．∵ k AC ＝1－5522－3＝－207， ∴ －m ＝－207，即m ＝207． 10．D 解析：由x ＋1－1x ＝(x －1)＋1－1x ＋1， ∵ x ＞1，∴ x －1＞0，则有(x －1)＋1－1x ＋1≥21－11－x x )·(＋1＝3，则a ≤3．. 53＝56＋2， 0＜1－－， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x二、填空题 11．24．解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0可转化为两个二元一次不等式组． ⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔ 或⎪⎩⎪⎨⎧这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A (3，8)，B (3，－3)，C (0，5)，阴影部分的面积为25＋113)(⨯＝24． 12．⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 ＞a a ．解析：若z ＝ax ＋y (a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－21，即a ＞21．13．a b ≥9．解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2＋ba ≥ab 构造一个不等式．∵ ab ＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即a b ≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b 时等号成立)， ∴ (ab )2－ab 2－3≥0，∴ (ab －3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即a b ≥9(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)． 14．(a ＋b )2．解析：由已知xay ，y bx 均为正数，(x －y ＋5)(x ＋y )≥0 0≤x ≤3x －y ＋5≥0 x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0 x ＋ y ≤0 0≤x ≤3(第11题)∴ x ＋y ＝(x ＋y )(x a＋y b )＝a ＋b ＋x ay ＋y bx ≥a ＋b ＋ybx x ay ·2 ＝a ＋b ＋2ab ，即x ＋y ≥(a ＋b )2，当且仅当1＝＋＝yb x a y bxx ay 即 ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．解析：因为y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝log a (x ＋3)－1的图象恒过定点A (－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m (－2)＋n (－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知mn ，n m 4均为正，∴m 1＋n2＝(2m ＋n )(m 1＋n 2)＝4＋m n ＋n m 4≥4＋n m m n 42⋅＝8，当且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即 21＝41＝n m 时取等号． 16．221p p +．解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a (1＋p )2＝a (1＋p 1)(1＋p 2)，且1＋p 1＞0， 1＋p 2＞0，所以a (1＋p )2＝a (1＋p1)(1＋p 2)≤a 2212＋1＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ＝a 2212＋＋1⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ，解得p ≤2＋21p p ，当且仅当1＋p 1＝1＋p 2，即p 1＝p 2时取等号．所以p 的最大值是2＋21pp ．三、解答题17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，y ＝t t t 10＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t4＋5≥t t 42⋅＋5＝9，当且仅当t ＝t4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y 取最小值9．18．解：因为直线l 经过点P (3，2)且与x 轴y 轴都相交，故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ，则l 的方程可写成y －2＝k (x －3)，其中k ＜0．令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k2＋3． S △AOB ＝21(2－3k )(－k 2＋3)＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(k k 4－＋9－＋12≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k )＝(－k 4)，即k ＝－32时，S △AOB 有最小值12，所求直线方程为 y －2＝－32(x －3)，即2x ＋3y －12＝0． 19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：A 原料用量B 原料用量甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨y3y则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++>> 18≤3213≤ 30 0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵ x ＜45，∴ 4x －5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x－451)＋4．∵ 5－4x ＋x－451≥x －x －451452)(＝2，∴ y ≤－2＋4＝2，当且仅当5－4x ＝x －451，即x ＝1或x ＝23(舍)时，等号成立，故当x ＝1时，y max ＝2．xOAy P (3,2)B(第18题)(第18题)第 11 页共 11 页 (2)∵ x ＞0，y ＞0，x1＋y 9＝1， ∴ x ＋y ＝(x 1＋y 9)(x ＋y )＝x y ＋y x 9＋10≥2yx x y 9 · ＋10＝6＋10＝16．当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y 9＝1，即⎩⎨⎧12＝， 4＝y x 时等号成立， ∴ 当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16．(3)a 2＋1b ＝a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2＋21＋22b a ＝423，当且仅当a ＝2＋212b ，即a ＝23，b ＝22时，a 2＋1b 有最大值423．。

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单元测试题不等式一、选择题(每小题6分，共48分)1、如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）（A ）11a b< （B ）a b -< （C ）22a b < （D ）||||a b > 2、设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是（）A ．a ＞b ＞2b a +＞ab B ． a ＞2ba +＞b ＞ab C ．a ＞2b a +＞ab ＞b D ．a ＞ab ＞2b a +＞b4设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y )的最小值为（） A. 6 B.9 C.12 D.15 5、设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（） A ．有最大值而无最小值 B ．有最大值且有最小值 C ．有最小值而无最大值 D ．既无最大值又无最小值 6、如果P=1,1122+-=++a a Q a a ，则P ，Q 的大小关系为 A ．P ＜Q B ．P ＞Q C ．P ≥Q D ．P ≤Q 7、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（）（A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 8．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（）（A ）23 （B ）3 （C ）2 （D ）3二、填空题（每小题6分，共24分） 1、若x ＞0，y ＞0，x+2y=1，则yx 11+的最小值是 2、如果若a ＞0，b ＞0且1222=+b a ，则a 21b +的最大值是 3、若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为4、三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．三、解答题（1小题12分，2小题16分，共28分）1、已知函数()2335g x x ax a =-+-，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；2、（1）、已知函数xx f 1)(=，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）已知函数x a x x f ln )(2+= (x>0)，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭1、A2、B 解：命题:p a b =是命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤⎪⎝⎭等号成立的条件，故选B 。

一元二次函数、方程和不等式(单元测试卷)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式（单元测试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a＞b，则下列结论正确的是( )A.ac2＞bc2B.a2＞b2C.|a|＞|b|D.a＋c＞b＋c2.若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A＜B或A＞BD.A＞B3.已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示是( )A.Error!B.Error!Error! D.Error!5.下列说法正确的是( )A.若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.若1a＞1b，则a＜bC.若b＞c，则|a|b≥|a|cD.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d6.下列不等式中，正确的是( )A.a＋4a≥4 B.a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D.x2＋3x2≥237.不等式x＋61－x≥0的解集为( )A.{x|－6≤x≤1}B.{x|x≥1或x≤－6}C.{x|－6≤x＜1}D.{x|x＞1或x≤－6}8.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( )A.{x|10≤x<16}B.{x|12≤x<18}C.{x|15<x<20}D.{x|10≤x<20}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.若x＞y＞0，则下列不等式成立的是( )A.x2＞y2B.－x＞－yC.1x＜1yD.xy＜x＋1y＋110.已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )A.a＋b2≥ab B.a＋1a≥2C.≥2D.2(a2＋b2)≥(a＋b)211.若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )A.ab有最大值14B.a＋b有最小值2C.1a＋1b有最小值4 D.a2＋b2有最小值22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.如果a＞b，ab＜0，那么1a与1b的大小关系是________13.已知a＞0，b＞0，则1a＋ab2＋b的最小值为________14.若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝；不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为Ｗ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）设a＞0，b＞0，比较a2b ＋b2a与a ＋b的大小．a b || b a16.（16分）已知关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}．(1)求a，b的值；(2)若c∈R，解关于x的不等式ax2－(ac＋b－1)x＋(b－1)c＜0．17.（16分）已知关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0．(1)当a＝2时，求不等式的解集；(2)当a∈R，a≠0且a≠1时，求不等式的解集．18.（16分）如图所示，要设计一张矩形广告，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌最省料？19.(16分)已知关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0，k ≠0．(1)若不等式的解集为，求k 的值；(2)若不等式的解集为R ，求k的取值范围．{}3x |x 12-<<参考答案及解析：一、选择题1.D　解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，B 错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，C错误；对于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D 正确．故选D．2.B　解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋34b2≥0，所以A≥B．3.A　解析：由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件；由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”不是“a2＞36”的必要条件，故“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要条件．故选A．4.D　解析：由题中x不低于95，即x≥95；y高于380，即y＞380；z超过45，即z＞45．5.C　解析：A项，a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项，不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项，|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项，同向不等式不能相减．6.D　解析：若a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．7.C 解析：不等式x＋61－x≥0等价于Error!解得－6≤x＜1．故解集为{x|－6≤x＜1}8.C　解析：设这批台灯的销售单价为x元，则[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，∴10<x<20，又∵x>15，∴15<x<20．故选C．二、选择题9.AC　解析：对于A，当x＞y＞0时，x2＞y2，A成立；对于B，当x＞y＞0时，－x＜－y，B不成立；对于C，当x＞y＞0时，xxy＞yxy，即1x＜1y，C成立；对于D，xy－x＋1y＋1＝x(y＋1)－y(x＋1)y(y＋1)＝x－yy(y＋1)，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴xy－x＋1y＋1＞0，即xy＞x＋1y＋1，D不成立．故选AC．2b(a)210.CD 解析：当a ＜0，b ＜0时，a ＋b 2≥ab 不成立；当a ＜0，时，a ＋1a≥2不成立；因为≥2，故C 正确；因为2(a 2＋b 2)－(a ＋b)2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b)2≥0，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)2，故D 正确．故选CD ．11.AC 解析：∵a>0，b>0，且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，∴ab 有最大值14，∴A 正确；(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋(a ＋b)＝2，∴0<a ＋b ≤2，∴B 错误；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，∴1a ＋1b 有最小值4，∴C 正确；∵a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ，且ab ≤14，∴a 2＋b 2≥1－2×14＝12，∴a 2＋b 2的最小值是12，∴D 错误．故选AC ．三、填空题12.答案：1a ＞1b 解析：1a －1b ＝b －a ab ＞0，所以1a ＞1b．13.答案：22　解析：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22，当且仅当1a ＝a b 2且b ＝2b ，即a ＝b ＝2时取等号，∴1a ＋a b 2＋b 的最小值为22．14.答案：－3, 解析：根据题意，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则－1和2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根，则有(－1)＋2＝－a ，(－1)×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2．故a ＋b ＝－3．bx 2＋ax ＋1＜0⇒－2x 2－x ＋1＜0⇒2x 2＋x －1＞0，解得x ＜－1或x ＞12，即不等式bx 2＋ax ＋1＜0的解集为．四、解答题a b a b ||||||b a b a+=+{1x |x 1x 2⎫<->⎬⎭或{1x |x 1x 2⎫<->⎬⎭或15.解：因为a＞0，b＞0，所以a2b ＋b2a＝ab＋ba．根据均值不等式可得ab＋b≥2a，①ba＋a≥2b，②当且仅当a＝b时，取等号．由①＋②，得ab＋ba＋ a ＋b≥2（ a ＋b），即a2b＋b2a≥ a ＋b．16.解：(1)关于x的不等式ax2－x－b＞0(a，b∈R)的解集为{x|x＞2或x＜－1}，即方程ax2－x－b＝0的根为2，－1，∴Error!解得a＝1，b＝2．(2)由(1)得关于x的不等式x2－(c＋1)x＋c＜0，即(x－1)(x－c)＜0，当c＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜c}；当c＝1时，不等式的解集为；当c＜1时，不等式的解集为{x|c＜x＜1}．17.解：(1)当a＝2时，不等式为(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4，所以该不等式的解集为{x|2＜x＜4}．(2)因为a∈R，a≠0且a≠1，当0＜a＜1时，a2＜a，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a2＜x＜a；当a＜0或a＞1时，a＜a2，解不等式(x－a)(x－a2)＜0，得a＜x＜a2．综上所述，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；当a＜0或a＞1时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}．18.解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000．①广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm，其中a＞0，b＞0．广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2 25a·40b＝18 500＋21 000ab＝24 500．当且仅当25a＝40b时，等号成立，此时b＝58a，代入①式得a＝120，从而b＝75．即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500 cm2．故广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌最省料．19.解：(1)因为关于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集为，所以－32和1是方程2kx2＋kx－38＝0的两个实数根，由根与系数的关系可得－32×1＝，得k＝18．(2)因为关于x的不等式2kx2＋kx－38<0的解集为R，k≠0，所以Error!解得－3<k<0，故k的取值范围为{k|－3<k<0}．{}3x|x12-<<382k-。

高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试(含答案)

高中数学必修一第二章一、单选题1．已知a>b>0,c>d，下列不等式中必成立的一个是（）A．a c>bdB．ad<bc C．a+c>b+d D．a―c>b―d2．已知x，y均为正实数，且1x+2+4y+3=12，则x+y的最小值为( )A．10B．11C．12D．133．若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(―∞,―2)∪[4,+∞)B．(―∞,―4)∪[2,+∞)C．(―2,4)D．(―4,2)4．若x，y∈R+，且x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．5B．245C．235D．1955．小明从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（）A．a＜v＜ab B．v＝ab C．ab＜v＜a+b2D．v＝a+b26．已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b ―3a―1b≤0恒成立，则m的最大值为（）A．4B．16C．9D．37．已知x，y∈（―2，2），且xy＝1，则22―x2+44―y2的最小值是（）A．207B．127C．16+427D．16―4278．已知函数f(x)=2x|2x―a|，若0≤x≤1时f(x)≤1，则实数a的取值范围为（）A．[74，2]B．[53，2]C．[32，2]D．[32，53]二、多选题9．已知a>b>c>0，则（）A．a+c>b+c B．ac>bc C．aa+c>bb+cD．a x0，b>0，且a+b=ab，则（）A．(a―1)(b―1)=1B．ab的最大值为4C．a+4b的最小值为9D．1a2+2b2的最小值为2311．已知a，b∈R∗，a+2b=1，则b2a +12b+12ab的值可能为（）A．6B．315C．132D．5212．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，BC ＝b ，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆.过点.C 作AB 的垂线交半圆于点D ，连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的无字证明有（）A ．a +b 2≥ab (a >0,b >0)B ．a 2+b 2≥2ab (a >0,b >0)C ．a 2+b 22≥a +b2(a ≥0,b >0)D ．ab ≥21a+1b(a >0,b >0)三、填空题13．已知不等式|x ―1|+|x +2|≥5的解集为　　．14．已知实数x ，y 满足―1≤x +y ≤4且2≤x ―y ≤3，则x +3y 的取值范围是　　.15．若关于x 的不等式x 2+mx ―2<0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为　　.16．设正实数x ，y ，z 满足x 2―3xy +4y 2―z =0，则当xyZ 取得最大值时，2x+1y ―2z的最大值为 .四、解答题17．U =R ，非空集合 A ={x |x 2―5x +6<0} ，集合 B ={x |(x ―a )(x ―a 2―2)<0} ．（1）a =12时，求 (∁ U B )∩A ；（2）若 x ∈B 是 x ∈A 的必要条件，求实数 a 的取值范围．18．已知 p :|1―x ―13|≤2 ， q :x 2―2x +1―m 2≤0(m >0) ，若 ¬p 是 ¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19.求解不等式x 2―a ≥|x ―1|―120.已知a ，b ，c 都为正实数，满足abc （a ＋b ＋c ）＝1（1）求S ＝（a ＋c ）（b ＋c ）的最小值（2）当S 取最小值时，求c 的最大值.21.某项研究表明；在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位；辆∕时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位米∕秒）、平均车长l （单位:米）的值有关，其公式为F =76000νv 2+18v +20l（1）如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为多少.（2）如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加多少.22．已知a ，b ，c 为实数且a +2b +5c =10.（1）若a ，b ，c 均为正数，当2ab +5ac +10bc =10时，求a +b +c 的值；（2）证明：(2b +5c )2+(a +b +5c )2+(a +2b +4c )2≥4903.答案解析部分1．C已知a>b>0,c>d,由不等式的同向相加的性质得到a+c>b+d正确；当a=2,b=1,c=-1,d=-2时，a c<bd, ，a―c=b―d A，D不正确；c=2，d=1时，ad=bc,B不正确. 2．D解：因为x,y>0，且1x+2+4y+3=12，则x+y=(x+2)+(y+3)―5=2(1x+2+4y+3)[(x+2)+(y+3)]―5=2(5+y+3x+2+4(x+2)y+3)―5≥2(5+2y+3x+2⋅4(x+2)y+3―5=13，当且仅当y+3x+2=4(x+2)y+3，即x=4,y=9时等号成立，则x+y的最小值为13.3．D由基本不等式得x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4yx+xy+4≥24yx⋅xy+4=8，当且仅当4yx=xy，由于x>0，y>0，即当x=2y时，等号成立，所以，x+2y的最小值为8，由题意可得m2+2m<8，即m2+2m―8<0，解得―4<m<2，因此，实数m的取值范围是(―4,2)，4．A从题设可得15y+35x=1，则3x+4y=15(3x+4y)(1y+3x)=15(3x y+12yx+13)≥15(12+13)=5，5．A6．B7．C8．C不等式f(x)≤1可化为|2x―a|≤2―x，有―2―x≤a―2x≤2―x，有2x―2―x≤a≤2x+2―x，当0≤x≤1时，2x+2―x≥22x×2―x=2（当且仅当x=0时取等号），2x―2―x≤2―12=32，故有32≤a≤2。

高一年级数学《不等式》单元测试题

高中数学必修5第三章《不等式》单元测试题班级姓名座号分数一、选择题（3⨯12=36分）1、若,0<>下列不等式正确的是 ( )A n y m x ->-B yn xm > Cmyn x > D x n y m ->- 3、设,01,0<<->B a ab ab >>2C 2ab a ab >>D a ab ab >>24、若角βα,满足22πβαπ<<<-,则βα-的取值范围是 ( )A )0,(π-B ),(ππ-C )2,23(ππ-D ),0(π 5、不等式0322>-+x x 的解集是（）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3}6、二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是（）A ⎩⎨⎧>∆>00a B ⎩⎨⎧<∆>00a C ⎩⎨⎧>∆<00a D ⎩⎨⎧<∆<0a7、设,0>>y x 则下列各式中正确的是 ( )A y xy y x x >>+>2 B x xy yx y >>+>2 C xy y y x x >>+>2 D x xy y x y >≥+>28、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1 B21 C 22D 41 9、下列不等式的证明过程正确的是 ( )A 若,,R b a ∈则22=⋅≥+b a a b b a a b B 若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+ C 若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x D 若,-∈R x 则222222x x x x --+>⋅= 10、设b a ,为实数且,3=+b a 则ba22+的最小值是 ( )A 6B 24C 22D 6211、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方12、在直角坐标系内：满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（）二、填空题（4⨯4=16分）13、不等式230x x ++<的解集是_________。

高中数学不等式练习题及参考答案2023

高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。

为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。

1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。

2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。

【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。

因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。

3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。

【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。

解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。

4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。

所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。

高中数学不等式检测考试题（附答案）

第 1 页高中数学不等式检测考试题（附答案）第3章不等式综合检测(时间：时间：120120分钟；满分：分钟；满分：150150分)一、选择题选择题((本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的) )1．下列命题中正确的是．下列命题中正确的是() ()A ．a ＞bac2bac2＞＞bc2B B．．a ＞ba2ba2＞＞b2C ．a ＞ba3ba3＞＞b3D b3 D．．a2a2＞＞b2a b2a＞＞b解析：选C.A 中，当c ＝0时，时，ac2ac2ac2＝＝bc2bc2，所以，所以A 不正确；不正确；B B 中，当a ＝0＞b ＝－＝－11时，时，a2a2a2＝＝0＜b2b2＝＝1，所以B 不正确；不正确；D D 中，当中，当((－2)22)2＞＞(－1)2时，－时，－22＜－＜－11，所以D 不正确．很明显C 正确．2．设M ＝2a(a 2a(a－－2)2)＋＋3，N ＝(a (a－－1)(a 1)(a－－3)3)，，aR aR，则有，则有，则有() ()A ．M ＞NB N B．．MNC ．M ＜ND N D．．MN解析：选B.M B.M－－N ＝2a(a 2a(a－－2)2)＋＋3－(a (a－－1)(a 1)(a－－3) ＝a20.3．当．当|x|1|x|1时，函数y ＝ax ax＋＋2a 2a＋＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是的取值范围是() ()A ．a －13B 13 B．．a －1C ．－．－11－13D 13 D．－．－．－11－13解析：选C.y C.y＝＝ax ax＋＋2a 2a＋＋1可以看成关于x 的一次函数，在[－1,1]1,1]上具有单调性，因此只需当上具有单调性，因此只需当x ＝－＝－11和x ＝1时的函数值互为相反数，即互为相反数，即(a (a (a＋＋2a 2a＋＋1)(1)(－－a ＋2a 2a＋＋1)01)0，解这个关于，解这个关于a 的一元二次不等式，得－的一元二次不等式，得－11－13.4．二次不等式ax2ax2＋＋bx bx＋＋10的解集为的解集为{x|{x|{x|－－113}113}，则，则ab 的值为值为() ()A ．－．－6B 6 B 6 B．．6C ．－．－5D 5 D 5 D．．5解析：选B.B.由题意由题意a0a0，－，－，－11，13是方程ax2ax2＋＋bx bx＋＋1＝0的两根，－1＋1313＝－＝－＝－ba ba ba－－113113＝＝1a 1a，，a ＝－＝－33，b ＝－＝－2.ab 2.ab 2.ab＝＝6.5．已知全集U ＝R ，且A ＝{x||x {x||x－－1|1|＞＞2}2}，，B ＝{x|x2{x|x2－－6x 6x＋＋8＜0}0}，则，则，则(UA)B (UA)B 等于等于() ()A ．[－1,4)B 1,4) B．．(2,3)C ．(2,3]D (2,3] D．．(－1,4)解析：选C.A C.A＝＝{x|x {x|x＞＞3或x ＜－＜－1}1}1}，，B ＝{x|2{x|2＜＜x ＜4}4}，， UA UA＝＝{x|{x|－－13}13}，则，则，则(UA)B (UA)B (UA)B＝＝{x|2{x|2＜＜x3}x3}．．6．函数y ＝3xx23xx2＋＋x ＋1(x 1(x＜＜0)0)的值域是的值域是的值域是() ()A ．(－1,0)B 1,0) B．．[－3,0)C ．[－3,1]D 3,1] D．．(－，－，0) 0)解析：选B.y B.y＝＝3x 3x＋＋1x 1x＋＋1，∵x＜，∵x＜00，－x ＞0且y ＜0，x ＋1x 1x＝－＝－＝－((－x ＋1－x)x)－－2，y ＝3x 3x＋＋1x 1x＋＋1－3，当且仅当x ＝－＝－11时等号成立．7．当x0时，不等式时，不等式(5(5(5－－a)x2a)x2－－6x 6x＋＋a ＋50恒成立，则实数a 的取值范围是的取值范围是() ()A ．(－，－，4)B 4) B 4) B．．(－4,4)C ．[10[10，＋，＋，＋)D ) D ) D．．(1,10]解析：选B.B.用特殊值检验法，取用特殊值检验法，取a ＝1010，则不等式为－，则不等式为－，则不等式为－5x25x2－6x 6x＋＋150150，，即5x25x2＋＋6x 6x－－150150，，当x0时，不恒成立，排除C ，D ，取a ＝0，不等式为5x25x2－－6x 6x＋＋5050，当，当x0时，恒成立，排除A.A.故选故选B.8．若0＜＜＜＜＜＜44，sin sin ＋＋cos cos ＝＝a ，sin sin ＋＋cos cos ＝＝b ，则，则() ()A ．a ＜bB b B．．a ＞bC ．ab ab＜＜1D 1 D．．ab ab＞＞2解析：选A.∵0＜＜＜A.∵0＜＜＜44，0＜2＜2＜2且0＜sin 2sin 2＜＜sin 2sin 2，，a2a2＝＝(sin (sin＋＋cos)2cos)2＝＝1＋sin2sin2，，b2b2＝＝(sin (sin＋＋cos)2cos)2＝＝1＋sin2sin2，，a2a2－－b2b2＝＝(1(1＋＋sin2)sin2)－－(1(1＋＋sin2)sin2)，，＝sin2sin2－－sin2sin2＜＜0，a2a2＜＜b2.又∵a＝又∵a＝sin sin sin＋＋cos cos＞＞0，b ＝sin sin＋＋cos cos＞＞0，a ＜b.9．(x (x＋＋2y 2y＋＋1)(x 1)(x－－y ＋4)4)＜＜0表示的平面区域为表示的平面区域为() () 解析：选B.B.用原点检验，用原点检验，求下面的两个不等式组表示的区域的并集：x ＋2y 2y＋＋1＞0x 0x－－y ＋4＜0或x ＋2y 2y＋＋1＜0x 0x－－y ＋4＞0.1010．若．若a0a0，，b0b0，则不等式－，则不等式－，则不等式－ba ba 等价于等价于() ()A ．－．－1b01b0或01aB ．－．－1a1b 1a1bC ．x －1a 或x1bD ．x －1b 或x1a解析：选D.D.按照解分式不等式的同解变形，按照解分式不等式的同解变形，得－得－ba1x ba1x ba1x＋＋b01x b01x－－a01＋bxx01bxx01－－axx0xbx xbx＋＋10x110x1－－ax00或x －1b 1b，，x1a 或x0－1b 或x1a.法二：数形结合法，画出函数f(x)f(x)＝＝1x 的图象，函数f(x)＝1x 的图象夹在两条直线y ＝－＝－b b ，y ＝a 之间的部分的x 的范围即为所求．1111．对一切实数．对一切实数x ，不等式x2x2＋＋a|x|a|x|＋＋10恒成立，则实数a 的取值范围是的取值范围是() ()A ．[－2，＋，＋)B ) B ) B．．(－，－－，－2) 2)C ．[－2,2]D 2,2] D．．[0[0，＋，＋，＋) )解析：选A.A.当当x ＝0时，对任意实数a ，不等式都成立；当x0时，时，a a －x2x2＋＋1|x|1|x|＝－＝－＝－(|x|(|x|(|x|＋＋1|x|)1|x|)＝＝f(x)f(x)，问题等价于，问题等价于af(x)max af(x)max，∵f(x)max＝－，∵f(x)max＝－，∵f(x)max＝－22，故a －2.12.12.函数函数y ＝f(x)f(x)的图象是以原点为圆心、的图象是以原点为圆心、的图象是以原点为圆心、11为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f(x)f(f(x)f(－－x)x)＋＋x 的解集为的解集为() ()A.A.－－1，－，－255(0,1] 255(0,1]B ．[－1,0)01,0)0，，255C.C.－－1，－，－255025502550，，255D.D.－－1，－，－255255255255255255，，1答案：答案：C C二、填空题二、填空题((本大题共4小题，把答案填在题中横线上小题，把答案填在题中横线上) )1313．设点．设点P(x P(x，，y)y)在函数在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x 9x＋＋3y 的最小值为的最小值为________________________．．解析：因为点P(x P(x，，y)y)在直线在直线y ＝4－2x 上运动，所以2x 2x＋＋y ＝4,9x 4,9x＋＋3y 3y＝＝32x 32x＋＋3y232x3y 3y232x3y＝＝232x 232x＋＋y ＝234234＝＝18.18.当且仅当且仅当2x 2x＝＝y ，即x ＝1，y ＝2时，等号成立．所以当x ＝1，y ＝2时，时，9x 9x 9x＋＋3y 取得最小值18.答案：答案：18 181414．．已知不等式axx axx－－1＜1的解集为的解集为{x|x {x|x {x|x＜＜1或x ＞2}2}，，则a ＝________.解析：原不等式可化为a －1x 1x＋＋1x 1x－－1＜0(x 0(x－－1)[(a 1)[(a－－1)x 1)x＋＋1]1]＜＜0，∵此不等式的解集为∵此不等式的解集为{x|x {x|x {x|x＜＜1或x ＞2}2}，，a －1＜0且－且－1a 1a 1a－－1＝2，a ＝12.答案：答案：12 121515．设实数．设实数x ，y 满足x －y －2020，，x ＋2y 2y－－5050，，y －2020，则，则u ＝yx yx－－xy 的取值范围是的取值范围是________________________．．解析：作出x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是[13[13[13，，2]2]，即，即yx[13yx[13，，2]2]，故令，故令t ＝yx yx，则，则u ＝t －1t 1t，根据函数，根据函数u ＝t －1t 在t[13t[13，，2]2]上单调递增得上单调递增得u[u[－－8383，，32]32]．．答案：答案：[[－8383，，32]1616．已知点．已知点A(53A(53，，5)5)，过点，过点A 的直线l ：x ＝my my＋＋n(n0)n(n0)，若，若可行域xmy xmy＋＋nx nx－－3y0的外接圆的直径为2020，则实数，则实数n 的值是________________．．解析：由题意可知，可行域是由三条直线x ＝my my＋＋n(n0)n(n0)、、x －3y 3y＝＝0和y ＝0所围成的封闭三角形所围成的封闭三角形((包括边界包括边界))，如图中阴影部分．又知直线x －3y 3y＝＝0过点A(53A(53，，5)5)，，所以所以|OA||OA||OA|＝＝1010，外接圆直径，外接圆直径2R 2R＝＝20.设直线l 的倾斜角为，则由正弦定理，得10sin 10sin－＝－＝－＝202020，，所以sin sin＝＝1212，，tan tan＝＝33.由tan tan＝＝1m 1m，得，得1m 1m＝＝3333，即，即m ＝3.将点A(53A(53，，5)5)代入直线代入直线x ＝3y 3y＋＋n ，得5353＝＝3535＋＋n ，解得n ＝103103，，n ＝0(0(舍去舍去舍去))．答案：答案：103 103三、解答题三、解答题((本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤过程或演算步骤) )1717．已知．已知a0a0，，b0b0，且，且ab ab，比较，比较a2b a2b＋＋b2a 与a ＋b 的大小．解：∵(a2b＋解：∵(a2b＋b2a)b2a)b2a)－－(a (a＋＋b)b)＝＝a2b a2b－－b ＋b2a b2a－－a＝a2a2－－b2b b2b＋＋b2b2－－a2a a2a＝＝(a2(a2－－b2)(1b b2)(1b－－1a)＝(a2(a2－－b2)a b2)a－－bab bab＝＝a －b2a b2a＋＋bab bab，，又∵a0，又∵a0，b0b0b0，，ab ab，，(a (a－－b)20b)20，，a ＋b0b0，，ab0ab0，，(a2b (a2b＋＋b2a)b2a)－－(a (a＋＋b)0b)0，，a2b a2b＋＋b2aa b2aa＋＋b.1818．求．求z ＝3x 3x－－2y 的最大值和最小值，式中的x ，y 满足条件4x 4x－－5y 5y＋＋210210，，x －3y 3y＋＋7070，，2x 2x＋＋y －70.解：作出可行域如图作一组与3x 3x－－2y 2y＝＝0平行的直线l ，当l 过C 时，时，z z 最大，最大，l l 过B 时，时，z z 最小．又4x 4x－－5y 5y＋＋2121＝＝0x 0x－－3y 3y＋＋7＝0，得B(B(－－4,1)4,1)；； x －3y 3y＋＋7＝02x 02x＋＋y －7＝0，得C(2,3)C(2,3)．．所以zmax zmax＝＝3232－－2323＝＝0，zmin zmin＝＝3(3(－－4)4)－－2121＝－＝－＝－14. 14.1919．若不等式．若不等式x2x2＋＋ax ax＋＋10对于一切x(0x(0，，12]12]成立，求成立，求a 的取值范围．解：法一：若－解：法一：若－a212a212a212，即，即a －1时，则f(x)f(x)在在(0(0，，12]12]上是减上是减函数，应有f(12)f(12)－－5252－－1；若－若－a20a20a20，，即a0时，则f(x)f(x)在在[0[0，，12]12]上是增函数，上是增函数，应有f(0)＝10恒成立，故a0a0；；若0－a212a212，即－，即－，即－101010，则应有，则应有f(f(－－a2)a2)＝＝a24a24－－a22a22＋＋1＝1－a240恒成立，故－恒成立，故－101010；；综上，有a －52.法二：原不等式x2x2＋＋ax ax＋＋10可化为a －(x (x＋＋1x)1x)，，设g(x)g(x)＝－＝－＝－(x (x (x＋＋1x)1x)，因为，因为g(x)g(x)在在(0(0，，12]12]内单调递增，所内单调递增，所以g(x)g(x)在在(0(0，，12]12]内的最大值是内的最大值是g(12)g(12)＝－＝－＝－525252，要使不等式，要使不等式恒成立当且仅当a －52.2020．．(2019年福州高二检测年福州高二检测))某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设生产甲种肥料x 车皮、乙种肥料y 车皮能够产生利润z 万元．目标函数为z ＝x ＋0.5y 0.5y，，约束条件为：约束条件为：4x 4x 4x＋＋y1018x y1018x＋＋15y015y0，，x0x0，，yN yN，，可行域如图中阴影部分的整点．当直线y ＝－＝－2x 2x 2x＋＋2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大．解方程组4x 4x＋＋y ＝1018x 1018x＋＋15y 15y＝＝66得：得：M M 点坐标为点坐标为(2,2)(2,2)(2,2)．．所以zmax zmax＝＝x ＋0.5y 0.5y＝＝3.所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．2121．整改校园内一块长为．整改校园内一块长为15 m ，宽为11 m 的长方形草地的长方形草地((如图A)A)，将长减少，将长减少1 m 1 m，宽增加，宽增加1 m(1 m(如图如图B)B)．问草地面积是．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m x m，宽增加，宽增加x m(x0)x m(x0)，试，试研究以下问题：x 取什么值时，草地面积减少？x 取什么值时，草地面积增加？解：原草地面积S1S1＝＝11151115＝＝165(m2)165(m2)，，整改后草地面积为：整改后草地面积为：S S ＝14121412＝＝168(m2)168(m2)，，∵SS1，整改后草地面积增加了．研究：长减少x m x m，宽增加，宽增加x m 后，草地面积为： S2S2＝＝(11(11＋＋x)(15x)(15－－x)x)，，∵S1－∵S1－S2S2S2＝＝165165－－(11(11＋＋x)(15x)(15－－x)x)＝＝x2x2－－4x 4x，，当04时，时，x2x2x2－－4x04x0，，S1S2S1S2；；当x ＝4时，时，x2x2x2－－4x 4x＝＝0，S1S1＝＝S2.当x4时，时，x2x2x2－－4x04x0，，S1S2.综上所述，当04时，草地面积增加，当x ＝4时，草地面积不变，当x4时，草地面积减少．2222．已知二次函数．已知二次函数f(x)f(x)＝＝ax2ax2＋＋bx bx＋＋c(a c(a，，b ，cR)cR)满足：对任满足：对任意实数x ，都有f(x)x f(x)x，且当，且当x(1,3)x(1,3)时，有时，有f(x)18(x f(x)18(x＋＋2)2成立．(1)(1)证明：证明：证明：f(2)f(2)f(2)＝＝2；(2)(2)若若f(f(－－2)2)＝＝0，求f(x)f(x)的表达式；的表达式；(3)(3)设设g(x)g(x)＝＝f(x)f(x)－－m2x m2x，，x[0x[0，＋，＋，＋))，若g(x)g(x)图象上的点都图象上的点都位于直线y ＝14的上方，求实数m 的取值范围．解：解：(1)(1)(1)证明：由条件知：证明：由条件知：f(2)f(2)＝＝4a 4a＋＋2b 2b＋＋c2恒成立．又因取x ＝2时，f(2)f(2)＝＝4a 4a＋＋2b 2b＋＋c18(2c18(2＋＋2)22)2＝＝2恒成立，f(2)＝2.(2)(2)因因4a 4a＋＋2b 2b＋＋c ＝24a 24a－－2b 2b＋＋c ＝0，4a 4a＋＋c ＝2b 2b＝＝1.b ＝1212，，c ＝1－4a.又f(x)x 恒成立，即ax2ax2＋＋(b (b－－1)x 1)x＋＋c0恒成立． a0.a0.＝＝(12(12－－1)21)2－－4a(14a(1－－4a)04a)0，，解出：解出：a a ＝1818，，b ＝1212，，c ＝12.f(x)f(x)＝＝18x218x2＋＋12x 12x＋＋12.(3)(3)由分析条件知道，只要由分析条件知道，只要f(x)f(x)图象图象图象((在y 轴右侧轴右侧))总在直线y ＝m2x m2x＋＋14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置，第 11 页于是：于是：y y ＝18x218x2＋＋12x 12x＋＋1212，，y ＝m2x m2x＋＋14. 利用相切时＝利用相切时＝00，解出m ＝1＋2222，，m(m(－，－，－，11＋22)22)．．另解：另解：g(x)g(x)g(x)＝＝18x218x2＋＋(12(12－－m2)x m2)x＋＋1214在x[0x[0，＋，＋，＋))必须恒成立．即x2x2＋＋4(14(1－－m)x m)x＋＋20在x[0x[0，＋，＋，＋))恒成立， ①0，即①0，即[4(1[4(1[4(1－－m)]2m)]2－－80.解得：解得：11－221221＋＋22.②0，－②0，－212121－－m0m0，，f00.f00.解得：解得：解得：m1m1m1－－2222，，综上m(m(－，－，－，11＋22)22)．．。

完整版)高中数学不等式习题及详细答案

完整版)高中数学不等式习题及详细答案第三章不等式一、选择题1.已知 $x\geq 2$，则 $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{2x-4}$ 的取值范围是（）。

A。

最大值为 5，最小值为 1B。

最大值为 5，最小值为 $\frac{11}{2}$C。

最大值为 1，最小值为 $\frac{11}{2}$D。

最大值为 1，最小值为 02.若 $x>0$，$y>0$，则$(x+\frac{1}{y})^2+(y+\frac{1}{x})^2$ 的最小值是（）。

A。

3B。

$\frac{7}{2}$C。

4D。

$\frac{9}{2}$3.设 $a>0$，$b>0$，则下列不等式中不成立的是（）。

A。

$a+b+\frac{1}{ab}\geq 2\sqrt{2}$B。

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2})\geq 4$C。

$\sqrt{a^2+b^2}\geq a+b-\sqrt{2ab}$D。

$\frac{2ab}{a+b}\geq \sqrt{ab}$4.已知奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数，且$f(1)=3$，则不等式 $f(x)-f(-x)<0$ 的解集为（）。

A。

$(-1,+\infty)$B。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$C。

$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$D。

$(-1,1)$5.当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos^2 x+8\sin^2 x}{2\sin^2 x}$ 的最小值为（）。

A。

2B。

$\frac{2}{3}$C。

4D。

$\frac{3}{2}$6.若实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，则 $3a+3b$ 的最小值是（）。

A。

18B。

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高中数学不等式综合测试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分)1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+(理)已知a <0，-1>B ．2ab ab a >>C ．2ab ab a >>D ．2ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“222b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( )A ．RB ．φC ．),(+∞abD ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．RC ．),(+∞a bD ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．(文)不等式|1|2x -<的解集是( )A ．{|03}x x ≤(理)不等式||x x x <的解集是( )A ．{|01}x x <6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．．的是( ) A ．11a b +ba ab D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+ba ab D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( )A ．}8|{<a aB ．}8|{>a aC ．}8|{≥a aD ．}8|{≤a a(理)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在函数1mx y n n=--的图像上，其中mn >0,则n m 21+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．211．(文)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是( )A ．{|20,2}x x x -<<>或B ．{|2,02}x x x <-<<或C ．}22|{>-<x x x 或D ．{|20,02}x x x -<<<<或(理)已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式2(1)()0x f x -<的解集是( )A ．{|10}x x -<<B ．{|2,12}x x x <-<<或C ．{|2112}x x x -<<<<或D ．{|210,12}x x x x <--<<<<或或12．(文)已知不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．16625 B ．16 C ．254D ．18 (理)已知不等式()()25x ay x y xy ++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．16625B ．16C ．254D ．18 二、填空题(每小题4分，共16分)13．(文)若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是____________． (理)不等式|21|1x x --<的解集是_____________．14．函数121lg+-=x x y 的定义域是_____________． 15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____________吨．16．已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，则不等式3)2(≤+x f 的解集____________．三、解答题(共74分)17．解不等式122log 1815x x x ⎛⎫≤-⎪-+⎝⎭18．解关于x 的不等式22x a x -+>--．20．(本小题满分12分)(文)对任意[1,1]x ∈-，函数a x a x x f 220)4()(2-+-+=的值恒大于零，求a 的取值范围．19.如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？22．(本小题满分14分)已知函数b ax x x f ++=2)(．(1)若a =0，且对任意实数x ，都有a x x f +≥2)(，求b 的取值范围；(2)当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最大值为M ，求证：1+≥b M ； (3)若)21,0(∈a ，求证：对于任意的]1,1[-∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a -≤≤-参考答案一、选择题1、（文）C （理）C2、A3、（文）D （理）D4、C5、（文）C （理）C6、（文）D （理）D7、A8、D 9、B10、（文）A （理）A11、（文）D （理）D 12、（文）B （理）B二、填空题13、ba b a +>+111 14、{|02}x x << 15、)21,1(- 16、20 17]3,(-∞ 三、解答题18、解：原不等式等价于：21582≥+-x x x 0158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x 3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x ∴原不等式的解集为]6,5()3,25[ 19、解：变形得：(4)02x a x -->- 当(4-a )>2，即a <2时，24x x a <>-或当(4-a )<2，即a >2时，42x a x <->或当(4-a )=2，即a =2时，2x ≠综上所述：当a <2时，原不等式的解集为{|24}x x x a <>-或当a ≥2时，原不等式的解集为{|42}x x a x <->或20、325≤a 21、解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：25)2()4(22=+yx，(0,0>>y x ) 问题转化为在0,0>>y x ，100422=+y x 的条件下，求xy S =的最大值．法一：100)2(2222=+≤⋅⋅==y x y x xy S ，由y x =2和100422=+y x 及0,0>>y x 得：25,210==y x 100max =∴S法二：∵0,0>>y x ，100422=+y x ， 41002x x xy S -==∴=10000)200(41)4100(2222+--=-⋅x x x ∴当2002=x ，即210=x ，100max =S由100422=+y x 可解得：25=y ．答：花坛的长为m 210，宽为m 25，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．21、解(1):由题得022≥++b x x 恒成立1044≥⇔≤-=∆⇔b b对任意的R x ∈，0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a )(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b ． (2)证明：∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ，即1+≥b M ．(3)证明：由210<<a 得，0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数，在]1,2[a -上是增函数． ∴当1||≤x 时，)(x f 在2a x -=时取得最小值42ab -，在1=x 时取得最大值b a ++1．故对任意的]1,1[-∈x ，.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。