极限的四则运算(1)

合集下载

极限的四则运算(数列极限、函数极限)

a
k
，lim（C n

an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185（3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

高考数学极限的四则运算

利用函数极限的运算法则，
n
我们可以根据已知的几个简单
函数的极限，求出较复杂的函
数的极限.
( x 3x). 例1、求 lim x 2
2
解: lim ( x 3 x ) lim x 2 lim 3 x
2 x2
x2
x2
(lim x ) 3 lim x
2 x2 x2
2 3 2 10
0
2）当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作 lim f ( x) a.
x x 0
3）如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a . 的右极限，记作 xlim x
x
0.9
0.99 0.999 1
1.4995 1.5
1.001
1.50050
1.01
1.1
2x2 1 1.45556 1.49505 2x
1.50505 1.55455
观察该极限与上题极限之间存在关系吗?
2x 1 1 lim lim x lim x 1 x 1 x 1 2 x 2x
2
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x x0 x x0
x x0
lim x x0
n
n
x x0
lim [Cf ( x)] C lim f ( x)
x x0
2 x2 x 1 例2、求 lim 3 . 2 x 1 x 2 x 1

极限的四则运算PPT教学课件

• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定义,是否等于在这一点处的函数值无关.故本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分解因式约去 “ 零因子” 或根式有理化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim

[高三] 2.4《极限的四则运算(1)》旧人教选修二

2.5极限的四则运算(1)教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞=．2.几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .即lim ,x C C →∞=∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→6. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限二、讲解新课：1. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ;B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim ; )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.*lim (),ok ko x x x x k N →=∈ *1lim0()k x k N x→∞=∈ 三、讲解范例：例1 求)3(lim 22x x x +→解：22222lim(3)lim lim34610x x x x x x x →→→+=+=+=例2 求1212lim 2321-+++→x x x x x .解：1lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim121311121231212321→→→→→→→→→-+++=-+++=-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 211211112232=-⨯+++⨯= 这个题目可以把x =1代入函数的解析式1212232-+++x x x x 中，就可以了.所以求某些函数在某一点x =x 0处的极限值时，只要把x =x 0代入函数的解析式中，就得到极限值.这种方法叫代入法.例2 求121lim 221---→x x x x .分析：这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将分子分母因式分解，共有x －1这个因子.因为x 无限趋近于1，不包含x =1即x ≠1，所以可约去公因式，化简再求极限.解：)12(lim )1(lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 121lim 1111221++=++=+--+=---→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 3211211=+⋅+= 当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.例3 求112lim 231++-→x x x x解：32323211111111lim(21)lim 2lim lim1212lim 11lim(1)lim lim12x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+-+====+++例4 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 解：24444416(4)(4)limlim lim(4)lim lim 444844x x x x x x x x x x x x →→→→→--+==+=+=+=-- 例5 求133lim 22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算解：222222221313133lim(3)lim3lim lim 33lim lim 311111lim(1)lim1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-+-+-+-+====++++ 例6 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了解：223232332333214214214lim()lim lim lim 24lim lim 111111313lim(3)lim3lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞+-+-+-+-====-+-+-+-+例7 求下列极限. (1))1)(12()2)(1(lim -+-+∞→x x x x n ; (2)12144lim 232+++-∞→x x x x n解： (1)2222112211lim 122lim )1)(12()2)(1(limxx x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x(2)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.四、课堂练习： 1.求下列极限: (1)1lim →x (3x 2－2x +1) (代入法.)解：1lim →x (3x 2－2x +1)=1lim →x 3x 2－1lim →x 2x +1lim →x 1=3×12－2×1+1=2.(2))6)(5()12)(3(lim1-+-+-→x x x x x . (代入法)解：)6)(5(lim )12)(3(lim )6)(5()12)(3(lim 111-+-+=-+-+-→-→-→x x x x x x x x x xx 143)61)(51()12)(31()6(lim )5(lim )12(lim )3(lim 1111=--+---+-=-+-+=-→-→-→-→x x x x x x x x(3)24lim 22--→x x x . (因式分解法.)解：4)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x . (4)201213lim2+--∞→x x x x (分子、分母同除x 的最高次幂.)解：02012113lim 201213lim 222=+--=+--∞→∞→xx x x x x x x x (5)4228lim24---→x x x . (分子有理化.)解：)228)(4()22(8lim 4228lim222424+----=---→→x x x x x x x .=22284442284lim)228)(4()4)(4(lim22424=+-+=+-+=+---+→→x x x x x x x x五、小结：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④分子有理化法. 六、课后作业：1.（1）)432(lim 31++-→x x x ;（2）35lim 222-+→x x x ;（3）12lim 21++→x x xx ;（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x ;（5）13lim 2423++-→x x x x ;（6）245230233lim x x x x x x -++→; （7）42lim 22--→x x x ;（8）11lim 21-+-→x x x ;（9）623lim 2232--++-→x x x x x x ;（10）x m m x x 220)(lim -+→;（11）)112(lim 2xx x +-∞→ ;（12）1221lim 22-++∞→x x x x 答案：⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2 ⑺1/4 ⑻-1/2 ⑼ -2/5 ⑽2m ⑾2 ⑿ 1/2 七、板书设计（略）八、课后记：。

极限的四则运算

极限的四则运算（1）【目的要求】1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法则。

2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。

【教学过程】1. 提问入手，导入新课对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。

如 1lim→x x21=21, limx=1.对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢? 例如计算 1lim →x (x+x 21)1lim →x (x+x 21)即1lim→x x x 2122+，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的。

因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。

板书课题：极限的四则运算。

2．特殊探路，发现规律考察1lim→x x x 2122+，完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出1lim →x x x 2122+=23，与1lim →x x21=21、11lim →=x x 对此发现： 1lim→x x x 2122+=1lim →x （X+X 21）=1lim →x x +1lim→x x21=1+21=23.由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim xx →g(x)=b, 那麽lim xx →[ f(x)+g(x)]=a +b 0lim xx →[f(X)•g(X)]=a b •][)()(0lim X g x f xx →=ba (b )0≠ 特别的（1）0lim x x →[C )(X f •]=C •0lim xx →f(X) (C 为常数)（2）0lim x x →[f(X)]n =[0lim x x →f(X)]n (n ∈N *)（3）这些法则对X ∞→的情况仍然成立（4）两个常用极限0lim x x n x →=X n0, ∞→x limnx1=0 (n ∈N *)3．应用举例，熟悉法则例1 求1lim→x 12122232-+++x x x x问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程。

极限四则运算

函数极限的四则运算：如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k

练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4：已知 lim b，求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5：在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去，试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭

极限的四则运算1

x
极限的四则运算
函数极限的四则运算法则：
lim f ( x ) a , lim g ( x ) b ，那么如果 x x x x
0 0
x x0
lim f ( x ) g ( x ) a b
f ( x) a lim ( b 0) x x0 g ( x ) b
lim 2 x 2 lim x lim 1 lim x 3 lim 2 x 2 lim 1
x 1 x 1 x 1
2 12 1 1 3 2 2 1 21 1
极限的四则运算
例题讲解
x2 1 例2 求 lim ． x 1 2 x 2 x 1 本题还能用代入值求其极限值吗？为什么？
2
2 2 lim ( 2 x 1) 1.01 1.1
2x 1 0.99 0.999 1 1 1.001 0.9 2 x 1 x1 lim lim x lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 2x 2x lim 2 x 2x 1 x 1 1.55455 1.45556 1.49505 1.4995 1.5 1.50050 1.50505 2x
极限的四则运算
典型例题
2x2 x 1 例1 求 lim 3 x 1 xLeabharlann 2 x 2 1解： lim

x 1
2x x 1 x 1 x 3 2 x 2 1 lim ( x 3 2 x 2 1)
2 x 1 x 1 x 1 x 1
lim ( 2 x 2 x 1)
；
去,学着白重炙在单手附在金色の大门上,低头沉思片刻,而后跟着抬腿朝那漆黑の大门内走去. "砰！" 一条强劲の力量从大门内反震出来,风

2.4 极限的四则运算第一课时极限的四则运算(一)

首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
5x2＋1 变式训练 21：求极限：lim →∞ 3 . x x －1
5 1 5 1 ＋ 3 lim →∞ ＋ 3 x x x x x 5x2＋1 解：lim →∞ 3 ＝lim →∞ ＝ x x 1 1 x －1 1－ 3 lim →∞1－ 3 x x x 1 1 5lim →∞ ＋lim →∞ 3 x x x x 5×0＋0 ＝＝＝0. 1 1－0 lim →∞1－lim →∞ 3 x x x
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
0 “ ”型极限的运算 0
x2＋2x－3 【例 1】求lim . x→1 x3－1
x2＋2x－3 0 思路点拨：将 x＝1 代入 3 为，不存在极限，所以应将分子、分母因式分解，约 0 x －1 去公因式后再求．
x2＋2x－3 x＋3x－1 解：lim ＝lim 2 x→1 x→1 x－1x ＋x＋1 x3－1 x＋3 1＋3 4 ＝lim 2 ＝ 2 ＝ . x→1 x ＋x＋1 1 ＋1＋1 3
x 1 x 1 x 1
＝lim → x＋lim → (2 x)＋lim → 1
x 1 x 1
＝4.
答案：4
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
首页
上一页
下一页
末页
瞻前顾后
要点突破
典例精析
演练广场
知识要点：应用函数极限的四则运算法则的注意点 1．注意极限的运算法则成立的前提条件，若 limx→x f(x)和 limx→x g(x)有一个不存 0 0 在，法则就不成立(如果是商的运算，limx→x g(x)≠0)．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

无限趋近于4的函数值有关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的极限。
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1
.
解：
lim
x 1
2x2 x3
x1 2x2 1

212 1 1 13 212 1

2
.
例3 求 lim x2 16 . x4 x 4
分析：当 x 4 分母的极限是0，
不能直接运用上面的极限运算法则。
因为当 x 4 时函数的极限只与x
没有极限(当m n时)

(a0 0, b0 0, b0 xn b1 xn1 bn 0)
常见函数极限的求法
（1）“ 0 ”型，对分子、分母进行因式分解,约去“零因子”. 0

（2）“ ”型，分子、分母同除以“较大者”, 即同除以分母
的最高次幂，
再应用“ lim x
C xn
” 0
求极限.
（3）“

”型，把“f(x)
－g(x)”整理为“
”或“0 0
”型，
再求极限.
例6 求下列函数的极限：
11
(1)
lim(
x
x
2

) x
3x 2
(2) lim
x
x
5x4 7x3 1
(3) lim x
2x4 x 4
6x2 10x 1
1 xn
0.
lim
x
1 xn
0
推广
C
lim
x
xn
0.
利用函数极限的运算法则，我们可以根据
已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函数的极限.
注：使用极限四则运算法则的前提是各部分函数极限必须存在.
由于数列的项 an 是项数 n 的函数，所以数列极限是函数极限的特例，数列极限也满足四则运算法则：
( x2 2)( x2 2) (02 2)(02 2)
(4) lim x0
5x2 4
5 02 4 1 .
2.求下列极限：
x2 4
( x 2)(x 2)
(1) lim
lim
lim( x 2) 4 ;
x2 x 2 x2
x2
x2
(4) lim x
x3 2x 10
(5)
x3 2
lim
x
x2

x
1
(6) lim ( x
x2 x x) .
(1) lim( x
1 x2

1 )
x
解：lim( x
1 x2

1) x
12

lim
x
x2

lim
x
x
0 0 0.
3x 2
(2) lim
x
x2
)

2 3
0 0

2 3
.
(4)
3x3 x
lim
x
2x4

x2
lim x
3 x 2
1 x3 1 x2

31
lim(
x
x

x3
)
0
0

0
.
lim(2
x
1 x2
)
20
例5所求的是数列的极限，其中项数 n 取正整数. 如果将例5中各小题里的 n 换为 x ，那么问题就成为求 x→ ∞（包含±∞）时函数的极限. 想一想，这样改换后，问题的解法与答案有变化吗？
例5 改为求下列极限：
12
(1)
lim
x
(
x2

) x

0.
(3)
2x2 x
lim
x
3x2

2

2 3
.
(2) lim 3x 2 3 . x x
3x3 x
(4)
lim
x
2x4

x2

0
.
问题的解法与答案没有变化！
一般原则：
极限lim f ( x) ,(其中f ( x), g( x)是关于x的多项式) x g( x)
x
x
(3) lim px x
若 p 1 , 则lim px 1 .
( p 0)
x
若 p 1, 则 lim px不存在, lim px 0 .
x
x
如果函数比较复杂，就需分析这样的函数可
以由哪些简单函数经过怎样运算而得到. 这样就
能通过简单函数的极限运算求出复杂函数的极限.
x x0
x x0
x x0
lim
f (x)
lim
x x0
f ( x) a ,(b 0).
xx0 g( x) lim g( x) b
x x0
推广得：lim [Cf ( x)] C lim f ( x) Ca,(C是常数) ;
x x0
x x0
lim [ f ( x)]n [ lim f ( x)]n an ,(n N * ).
x x0
x x0
这些法则对于 x 的情况仍然成立.
由上面的运算法则可知：
lim
x x0
xn

( lim x x0
x)n

x0n ,
即
lim
x x0
xn

x0n
(n N *) ;
lim
x
1 xn

lim
x
(
1 )n x
(lim x
1 )n x
0n
0,
即
lim
x
lim
x1
3x 1
3 x2

3
lim
x1
(
x

x1 1)( x

1)

3
lim
x1
x
1
1

3 2
.
例5 求下列极限
(1)
lim(
n
1 n2

2 n
)
(3)
lim
n
2n2 3n2

n 2
(2) lim 3n 2 n n
(4)
lim
n
3n3 2n4
n n2
x x
3x3 x
(4)
lim
x
2
x4

x
2
解：(1)
lim(
x
1 x2

2) x
lim x
1 x2

lim
x
2 x

00

0.
(2) lim 3x 2 lim(3 2 )
x x

x
x
lim 3 lim
2

30

3.
x
x x
例5 改为求下列极限：
一、函数极限的四则运算法则
如果 lim f (x) a ，lim g( x) b ，那么
x x0
x x0
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b；
x x0
x x0
x x0
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b ;
(3)
lim
n
2n2 3n2

n 2
(4)
lim
n
3n3 2n4
n n2
解：
(3)
lim
n
2n2 3n2

n 2
lim
2
1 n
n
3

2 n2

lim(2
n

1 n
)

lim(3
n

2 n2
)
20 30

2 3
.