第12讲：二次函数综合-教案

常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种：
1.导边处理（“SAS”法）
第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；
第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.
2.导角处理（“AA”法）
第一步:先找到一组关键的等角；
第二步,另两个内角分两类对应相等.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1
【答案】见解析
【解析】（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得 ，c＝1．
【题干】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
二次函数综合
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数与平行四边形
2.二次函数与等腰三角形
3.二次函数与相似三角形
教学目标
1.掌握二次函数综合
2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点
能熟练掌握二次函数综合问题
教学难点
能熟练掌握二次函数综合问题
【教学建议】
所以抛物线的解析式是 ．
（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．
如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．
在Rt△AOH中，OA＝1， ，
所以 ． 图2
所以 ， ．
在Rt△ABH中， ．
（3）直线AB的解析式为 ．
设点M的坐标为 ，点N的坐标为 ，
那么 ．
当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．
【解析】（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，
代入点C(3, 0)，可得a＝－1．
所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）因为PE//BC，所以 ．因此 ．
所以点E的横坐标为 ．
将 代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝ ．
图1
【答案】见解析
【解析】（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )．
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．
因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．
如图3，联结OP．
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝ ＝2b．
解得 ．所以点P的坐标为( )．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
图1
【答案】见解析
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
图1
【答案】见解析
【解析】（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．
由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．
（2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．
设E(x,ax2－2ax－3a)，F(x,ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．
由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝
＝ ＝ ＝ ，
得△ACE的面积的最大值为 ．解方程 ，得 ．
图2 图3
②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2 ．
此时x＝OH＝2 ．所以点P的纵坐标为 ．
③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为 ．
图4 图5
【题干】如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．
（1）求k与m的值；
而圆心P到x轴的距离为 ，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．
所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．
（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．
在Rt△PMH中， ， ，所以MH2＝4．
所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．
等腰△AMN存在三种情况：
①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．
（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：
①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．
由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．
当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)．
由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．
3.二次函数中相似三角形的存在性问题。
【知识导图】
【教学建议】
二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地处理这三种类型试题的策略。
整理，得4a2＝1．所以 ．此时P ．
图1 图2 图3
【题干】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．
（1）求a、b、c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．
因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为 （如图3）．
图3 图4
2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
将点A(2, 4)代入 ，得k＝8．
（2）将点B(n, 2)，代入 ，得n＝4．
所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．
所以点C的坐标为(0,－2)．
由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C(0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．
本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：
1.二次函数中平行四边形的存在性问题；
2.二次函数中等腰三角形的存在性问题；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
【答案】见解析
【解析】（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
图2 图3
（3）由 ，得A(1, 0)，OA＝1．
①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．
当 ，即 时，△BQA∽△QOA．
所以 ．解得 ．所以符合题意的点Q为( )．
②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。
因此△OCQ∽△QOA．
当 时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．
所以C、Q、B三点共线．因此 ，即 ．解得 ．此时Q(1,4)．
图4 图5
1.如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
此时△ACD≌△CAE，相似比为1．
②如图4，当 时， ．解得CE＝ ．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．
图2
图3 图4
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，和学生一起归纳总结处理方法，再给学生做针对性的练习。
1.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．
（2）如右图，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
由 ，BO＝CO，得PH＝BH＝2．
所以点P的坐标为(1, 2)．
3.如图1，已知抛物线 （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．