2017届江西省新余市第一中学高三上学期第一次调研考试(开学考试)文数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设,A B 是非空集合, 定义{}|,A B x x A x B =∈∉ 且,已知{}2|20,|A x x xB x y ⎧=--≤==⎨⎩,则A B = （ ）A ．∅B ．[]1,2-C ．[]1,2D ．(]1,2 【答案】C考点：集合的运算，新定义．2. 已知i 是虚数单位, 复数()1z a R a i =∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ） A ．2 B ．12 C ． 2- D ．12-【答案】B 【解析】 试题分析：22211111a i a z i a i a a a +===+-+++,其对应的点为221(,)11a a a ++,又该点位于直线y=2x 上，所以12a =. 考点：复数的运算，复数的几何意义．3. 已知定义域为[]4,22a a --的奇函数()32016sin 2f x x x b =-++,则()()f a f b +的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 【答案】A 【解析】试题分析：依题意得4220,2a a a -+-=∴=，又()f x 为奇函数，故20b +=,所以2b =-,所以()()(2)(2)0f a f b f f +=-+=.考点：函数的奇偶性．4. 已知等比数列{}n a 中, 262,8a a ==,则345a a a =（ ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==,而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．5. 已知,m n 是两条直线,,αβ 是两个平面, 则下列命题中不正确的是（ ） A ．若,m m βα⊥⊂,则αβ⊥ B ．若,,m n ααββ⊥⊂ ,则m n ⊥ C ．若,,n m αβαβ⊥⊥ ,则m n D ．若,,m n n ααβ ,则m β 【答案】D考点：面面垂直的判断，线面垂直的性质，面面平行的性质，线面平行的判定．6. 已知圆22:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ,则点P 的横坐标小于1的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．2πD ．以上都不对 【答案】B 【解析】试题分析：将2220x y x +-=配方得22(1)1x y -+=,故C(1,0)，所以在圆内且横坐标小于1的点的集合恰为一个半圆面，所以所求的概率为12. 考点：几何概型．【名师点睛】1．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．常见的几何概型的类型有：(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； (3)与体积有关的几何概型．7. 已知中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线M 且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线M 的方程不可能是（ ）A ．22124x y -= B ．22124y x -= C ．2224x y -= D ．22142x y -= 【答案】D考点：双曲线的性质．8. 执行如图所示的程序框图, 若输出的86s =,则判断框内的正整数n 的所有可能的值为（ ）A ．7B ．6,7C ．6,7,8D ．8,9 【答案】B 【解析】试题分析：第一次，s=1,k=0,进入循环,第一次循环后，s=286≠,k=2,第二次循环后，s=686≠,k=4,第三次循环后，s=2286≠,k=6,第四次循环后，s=86,k=8,满足条件，应跳出循环，所以判断框内应为“k>6”或“k>7”，故选B ．考点：程序框图．9. 设2:,40;:p x R x x m q ∀∈-+>函数()321213f x x x mx =-+--在R 上是减函数, 则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分必要条件． 10. 将函数()2sin 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向右平3π个单位, 再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变), 得到函数()y g x =的图象, 则函数()y g x =的图象的一条对称轴为（ ） A ．直线6x π= B ．直线12x π=C ．直线6x π=-D ．直线4x π=-【答案】B 【解析】试题分析：将()f x 的图象向右平移3π个单位得到22sin()13y x π=--的图象，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数2()2sin(2)13g x x π=--的图象，令22()32x k k Z πππ-+∈＝,解得7()122k x k Z ππ=+∈,令1k =-，得12x π=,故选B. 考点：三角函数的图象变换，三角函数图象的对称性．11. 抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ,焦点为点F ,点P 是抛物线C 上的任意一点, 令PA t PF=,则t 的最大值为（ ）A ．1 B．2 D ．4 【答案】B考点：抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时,注意利用两者之间的转化在解题中的应用.本题把PF 转化为PQ （P 到准线的距离），后问题转化为求APQ ∠，即PAF ∠的最大值，由此得出AP 与抛物线相切，从而得解． 12. 已知函数()2ln ,041,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩,若方程()()f x a a R =∈有四个不同的实数根1234,,,x x x x (其中1234x x x x <<<),则12431x x x x +++的取值范围是（ ） A ．(]2,24e -- B ．(]1,22e -- C ．(]2,24e + D ．不确定 【答案】A 【解析】试题分析：根据二次函数的对称性知124x x +=-且3401,1x x <<>，由34|ln ||ln |,x x a ==知341x x =且4(1,](01),a x e e a =∈<≤其中所以44312(2,2]x x e x +=∈，所以12431(2,24]x x x e x +++∈--. 考点：函数的零点．【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量()()1,2,2,a b k =-= ,若a b,则2a b -= ．【答案】考点：向量平行，向量的模．14. 若实数,x y 满足约束条件310203640x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩,则3z x y =+的最小值为 ．【答案】15- 【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域(如图示:阴影部分):由3103640x y x y --=⎧⎨--=⎩得23(,)155A -,由z 3x y =+得3y x z =-+,作直线0l :3y x =-,将其向平面区域内平移,易知过点A 时直线在y 轴上截距最小,,所以min 23131555z =⨯-=-. 考点：简单的线性规划．15. 某几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为 ．【答案】13π+1111考点：三视图，体积．【名师点睛】三视图还原问题：空间几何体的三视图中如果有两个是三角形，其一定是锥体，第三个视图是多边形，则是棱锥，是几边形就是几棱锥，如是圆，则为圆锥；三视图中如果有两个是矩形，其一定是柱体，第三个视图是多边形，则是棱柱，是几边形就是几棱柱，如是圆，则为圆柱；对于简单几何体的组合体，要分清它是由哪些简单几何体组成的；在还原不规则的三视图时，可灵活应用补形法，将其直观图变为正方体或长方体，然后再将几何体分割为满足原三视图的几何体． 16. 数列{}n a 满足()111n a n N a *+==∈,记2n n b a =,则数列{}1n n b b +前n 项和n S = ． 【答案】21nn + 【解析】 11n a +=得221112n n a a +-=，且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则121n b n =-，11111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+,所以111111(1)2335212121n n S n n n =-+-++-=-++ . 考点：裂项相消法求和．【名师点睛】1．裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列a n 的通项公式，达到求解目的．归纳起来常见的命题角度有： (1)形如a n ＝1n (n ＋k )型；(2)形如a n ＝1n ＋k ＋n型；(3)形如a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)型；(4)形如a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2型．2．裂项相消法求和时要注意：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中, 角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ,且tan ,tan ,tan b A c B b B 成等差数列. （1）求角A ；（2）若2a =,试判断当bc 取最大值时ABC ∆的形状, 并说明理由. 【答案】（1）3A π=；（2）等边三角形.所以()tan 2tan .b c b A =-B由正弦定理得()sin sin sin 2sin C sin cos cos A BB⋅=-B ⋅A B, 又因为π<<B 0,所以0sin ≠B ,所以sin cos 2sin Ccos cos sin A B =A -A B ,即()sin 2sinCcos A+B =A ,所以sin 2sin cos C C A =,又因为π<<C 0,所以0sin ≠C ,所以1cos 2A =,而0π<A <,所以3πA =.(6分)(2)由余弦定理得2222cos3a b c bc π=+-，所以2242,b c bc bc bc bc =+-≥-= 当且仅当b=c 时取等号. 即当b=c=2时,bc 取得最大值. 此时∆ABC 为等边三角形.（12分）考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形形状的判断．18. （本小题满分12分）如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中, 底面ABC 是等腰三角形, 且斜边AB =侧棱13AA =,点D 为AB 的中点, 点E 在线段1AA 上,1(AE AA λλ= 为实数).（1）求证：不论λ取何值时, 恒有1CD B E ⊥； （2）求多面体1C B CDE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）2．试题解析：(1)证明: 在等腰直角三角形 ABC 中， AC ＝ BC ,点 D 为 AC 的中点，∴ CD ⊥ AB , （1 分）又在直三棱柱111ABC A B C -中， AA 1 ⊥ 平面 ABC ,CD ⊂ 平面 ABC ，∴ AA 1 ⊥CD , (3 分）又1,AA AB A =∴ CD ⊥平面11ABB A ， (4 分）又不论 λ 取何值时，1B E ⊂ 平面 11ABB A ， ∴ CD ⊥1B E . （6 分）(2)11111111322132322C CDED C EC CCE V V S BC --∆==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=.(9分)而121113136C BCD BCD V S CC -∆=⨯=⨯⨯=（11分） 所以多面体1C B-ECD 的体积112C CDE C BCD V V V --+==. （12分） 考点：线面垂直的判断与性质，组合体的体积．【名师点睛】当一个几何体的形状不规则时，常通过补形或分割的手段将此几何体变成一个或多个规则的体积易求的几何体，然后再计算，经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将几何体分割成三棱锥等等．，另外三棱锥还常由“等积性”把任一面作为底面，这样可以选取易求体积的面为底面，或者用“等积法”求点到平面的距离．19. （本小题满分12分）全国人大常委会会议于 2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定, “全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查, 得到以下的22⨯列联表：（1）根椐以上数据，能否有0090的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出6人发放礼品，分别求所抽取的6人中男 性市民和女性市民的人数；(3) 从（2）题中所选的6人中, 再随机抽出2人进行长期跟踪调查, 试求恰好选到一男一女的概率. 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：【答案】（1）没有90%的把握；（2）男性2人，女性4人；（3）15．试题解析：（1）由列联表可得K 2=22()100(20301040)0.7937 2.706()()()()30706040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯.(5分)所以没有90%的把握认为 “支持全面二孩”与“性别”有关. (6分) (2)依题意可知，所抽取的6位市民中,男性市民有206260⨯=(人)，女性市民有406460⨯=（人）.(8分) (3)设这6人中的2位男性市民为,a b ，女性市民为,,,c d e f ,则从6人中任选2人的基本事件为： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15个， 其中恰为一男一女的基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a c a d a e a f b c b d b e b f 共8个. 所以恰好选到一男一女的概率为815P =.(12分) 考点：独立性检验，分层抽样，古典概型． 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y E a b +=的离心率为12,点12,F F 是椭圆E 的左、右焦点, 过定点()0,2Q 的动直线l 与椭圆E 交于,A B 两点, 当1,,F A B 共线时,2F AB ∆ 的周长为8.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设弦AB 的中点为D ,点()0,E t 在y 轴上, 且满足DE AB ⊥,试求t 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）1(,0)2-.【解析】试题解析：(1)由题意得2221,448a b a a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩解得2,a b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.(4分) (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 即为y 轴，此时直线AB 与直线DE 重合，即DE AB ⊥不成立.(5分)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y k x=+，代入22143x y +=,消去y ，得22(34)1640,k x kx +++=由22(16)16(34)0,k k ∆=-+>得1||,2k >（6分） 设1122(,),(,)A x y B x y ,D 00(,)x y ， 则121222164,4343k x x x x k k +=-=++.(7分） 121200(),222x x k x x x y ++==+，故1212()(,2)22x x k x x ED t ++=+-uu u r ， 2121(,()),AB x x k x x =--uu u r由DE AB ⊥，得0DE AB ⋅=uu u r uu u r ，所以2121(,())x x k x x --1212()(,2)22x x k x x t ++⋅+-＝0，（9分） 展开化简得212(1)()420,k x x k kt +++-=（10分） 将1221643k x x k +=-+代入，化简得2243t k =-+,又 1||,2k >所以221(,0)432t k =-∈-+.综上所述t 的取值范围为1(,0)2-. (12分) 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题．【名师点睛】直线与圆锥曲线相交问题通常经常采用“设而不求”方法，“设而不求”就是在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，这种方法能够达到一种“化难为易，化繁为简”的效果．方法是：设直线y kx m =+与椭圆221mx ny +=的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，由直线方程与椭圆方程联立后消元得一元二次方程，由韦达定理得1212,x x x x +或1212,y y y y +，然后计算弦长或面积等．21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln f x kx x k R =-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()0f x ≥在区间()0,+∞上恒成立, 求k 的取值范围, 并证明：()2222ln 2ln 3ln 4ln 1...2,2342n n n n N n e*-++++<≥∈. 【答案】（1）0k ≤时，()f x 在(0,)+∞上递减，0k >时，x ∈时递减，)x ∈+∞时递增；（2）证明见解析．试题解析：（1）由题可知2()ln f x kx x =-， 定义域为(0,)+∞，所以2121()2kx f x kx x x-'=-=，（1分）若0k ≤，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递减.(2分) 若0k >，2212()1212()2k x kx k f x kx x x x --'=-===（3分）当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，（4分） 当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（5分） （2）不等式()0f x ≥在区间 (0,)+∞上恒成立可转化为：22ln ln x kx x k x ≥⇒≥，令2ln ()xx x ϕ=，则问题可化为max ()k x ϕ≥（其中(0,)x ∈+∞），由于23ln 12ln ()()x xx x x ϕ-''==，令()0x ϕ'=得x =当x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，当)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减.所以max 1()2x eϕϕ==，因此12k e ≥， 即1[,)2k e ∈+∞ .(8分)由1[,)2k e ∈+∞，可知2ln 1(2)2x x x e <≥，（9分）从而得到2ln 1(2)2n n n e<≥，对n 依次取值2,3,,n ⋅⋅⋅可得 2ln 2122e <，2ln 3132e <，2ln 4142e <，…，2ln 1(2,*)2n n n N n e<≥∈， 对上述不等式两边依次相加得到：222*2ln 2ln 3ln 4ln 1(2,2).234n n n n n N e-≥∈+++⋅⋅⋅+<(12分) 考点：导数与单调性，用导数证明不等式．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,AC 是圆O 的直径,ABCD 是圆内接四边形,BE DE ⊥ 于点E ,且BE 与圆O 相切于点B . （1）求证：CB 平分ACE ∠； （2）若6,3AB BE ==,求AD 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）6．试题解析：(1)证明： BE 与圆O 相切于点B ，∴CBE BAC ∠=∠.① BE DE ⊥∴90BCE CBE ∠=-∠②AC 是圆O 的直径，∴90BCA BAC ∠=-∠③由①②③得BCA ∠=BCE ∠， 即CB 平分ACE ∠.（5分） (2)由(1)知,ABC BEC ∆∆6,3,AB BE ∴==1,2BC BE AC AB ∴==即1sin ,2CAB ∠=30,CBE CAB ∴∠=∠= 故AC=CB =CE =由切割线定理得223EB EC ED ED =⋅⇒=⇒=,6CD AD ∴=∴=.（10分）考点：弦切角定理，切割线定理，相似三角形的判定与性质．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 直线l的参数方程为221x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于,A B 两点, 若P 点的直角坐标为()2,1,求PA PB -的值.【答案】（1）直线l 的普通方程为：1y x =-，C 的直角坐标方程为22440x y x y +--=；（2（2）直线l 的参数方程是过P 点的标准参数方程，因此把直线l 参数方程代入圆C 的直角坐标方程，方程的解12,t t ，则12PA PB t t -=-，由韦达定理可得． 试题解析：(1)直线l 的普通方程为：1y x =-，（1分）)4sin 4cos 4πρθθθ=+=+，所以24sin 4cos ρρθρθ=+．所以曲线C 的直角坐标方程为22440x y x y +--=（或写成22(2)(2)8x y -+-=）．.(5分)(2)点P(2，1)在直线l 上，且在圆C内，把2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入04422=--+y x y x ,得270t -=,设两个实根为12,t t ,则121270t t t t +==-<，即12,t t 异号.所以1212||||||||||PA PB t t t t -=-=+=分)考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =-+-,记()f x 的最小值为k .（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）是否存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b+=+=？并说明理由. 【答案】（1）2{|4}3x x ≤≤；（2）不存在．设函数|2||1|1y x x x =-+---,则23,1,124,2x x y x x x x -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤，令0y ≤，解得243x ≤≤． ∴原不等式的解集是2{|4}3x x ≤≤． （5分） （2）()|1||2||12|1f x x x x x =-+-≥-+-=，当且仅当(1)(2)0,x x --≤即12x ≤≤ 时取等号，故1k =.（7分） 假设存在符合条件的正数,a b ,则21,a b +=∴12124()(2)448,b a a b a b a b a b +=++=++≥+ 当且仅当4,21b a a b a b =+=,即11,42a b ==时取等号，∴12a b+的最小值为8， 即124a b+>, ∴不存在正数a,b,使21,a b +=124a b+=同时成立.(10分)考点：解绝对值不等式，基本不等式．。