【精品】高中数学必修一《指数函数、对数函数、幂函数》 讲义_知识讲解+巩固练习(含答案)_提高

《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固 【学习目标】 1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。 3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。 4．知道指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数(a＞0，a≠1)。

【知识网络】

【要点梳理】 知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a的n次方根的定义：一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根，其中*1,nnN

当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数，表示为na；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为na.

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0,,0;nnaaaaaa (2)nnaa 3.分数指数幂的意义： 0,,,1mnmnaaamnNn；10,,,1mnmnaamnNna

要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： 0,0,,abrsQ

(1)rsrsaaa (2)()rsrsaa (3)rrrabab 知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数0,1xyaaa且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 2.指数函数函数性质：

函数 指数函数 名称 定义 函数(0xyaa且1)a叫做指数函数

图象 1a 01a

定义域 R 值域 (0,)

过定点 图象过定点(0,1)，即当0x时，1y. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数

函数值的 变化情况

1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax



a变化对

图象的影响

在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内，从逆时

针方向看图象，a逐渐减小.

知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN.

0 1 xayxy(0,1)O1y0 1 xay

xy

(0,1)O

1y 2.几个重要的对数恒等式 log10a，log1aa，logbaab.

3.常用对数与自然对数 常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN(其中2.71828e…). 4.对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么 ①加法：logloglog()aaaMNMN ②减法：logloglogaaaMMNN ③数乘：loglog()naanMMnR ④logaNaN ⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb

⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数log0,1ayxaa且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域0,. 2.对数函数性质： 函数 名称 对数函数

定义 函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 (0,) 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x时，0y. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数

函数值的 变化情况

log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx



a变化对

图象的影响

在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时

针方向看图象，a逐渐减小.

知识点五：反函数 1.反函数的概念 设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy.如果对于y

在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx

.

2.反函数的性质

0 1 x

y

O(1,0)1x

logayx

0 1 x

y

O(1,0)

1xlogayx (1)原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称.

(2)函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域. (3)若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上. (4)一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念 形如()yxR的函数，叫做幂函数，其中为常数. 2.幂函数的性质 (1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y

轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1). (3)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数.如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x

轴与y轴.

(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当qp(其中,pq互

质，p和qZ)，若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数. (5)图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方. 【典型例题】 类型一：指数、对数运算

例1.计算

(1) 22271loglog12log42482； (2)33lg2lg53lg2lg5；

(3)222lg5lg8lg5lg20lg23；(4)lg0.7lg20172 【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12；(2)1；(3)3；(4)14。

【解析】(1)原式=122227111log12loglog2243762； (2)原式=22lg2lg5lg2lg2lg5lg53lg2lg5 =2lg10lg5lg23lg2lg53lg2lg5 =1-3lg2lg5+3lg2lg5=1 (3)原式=22lg52lg2lg51lg2lg2 =2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5) =2+lg5lg2=3；

(4)令xlg0.7lg20172，两边取常用对数得 lg0.7lg201

lglg72x





=1lg2lg7(lg71)(lg2)

=lg7lg2lg7lg2lg7lg2 =lg14

14,x即lg0.7lg20172=14。

【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.