【名校试卷】2020年福建省莆田第六中学高三 5月模拟考试数学(文科)试题(word版)

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福建省2020届高三数学模拟考试试题文(含解析)

【点睛】本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题.
5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去
掉，这样，原来的一条线段就变成了 4 条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到 16 条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，
21.4 万台， B 错误；
对于 C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为
4.9 14.1 21.4 30.0 44.7 23.02
5
万台， C 错误；
对于 D ，从 2017 年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为 52.0% ， 61.4% ， 57.5% ，
均超过 50% ， D 正确. 故选： D .
线垂直于弦.
8.关于函数 f (x) x sin x ， x [ , ] ，有下列三个结论：① f (x) 为偶函数；② f (x) 有 3
个零点；③
f
(x)
在
0,
2
上单调递增.其中所有正确结论的编号是（
）.
A. ①② 【答案】D
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
【解析】
【分析】
由奇偶性定义可知①正确；令 f x 0 可求得零点，知②正确；根据导函数恒正可确定③正
当
x
0,
2
时，
sin
x
0
，
cos
x
0
，
f
x
0
，
f
x 在
0,
2
上单调递增，③正确.

【终稿】福州市2020届高三数学5月调研卷(文数)试卷

，求数列{bn} 的前 n
项和．
18．（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体中， ABC − A1B1C1 为三棱柱，且 AA1 ⊥ 平面 ABC， AA1 = AC ，四边形 ABCD 为平行四边形， AD = 2CD ， ADC = 60 ．
（1）求证： AB ⊥ 平面 ACC1A1 ；
（2）若 CD = 2 ，求四棱锥 C1 − A1B1CD 的体积． 19．（本小题满分 12 分）
i =1
i =1
i =1
i =1
ui
=
1 xi
,i
= 1, 2,3,
,8 ）；
（1）用反比例函数模型求 y 关于 x 的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0．01），并用其估计产量为 10 千件
时每件产品的非原料成本．
参考数据： 0.61 6185.5 = 61.4 , e−2 = 0.135
福州市 2020 届高三文科数学 5 月调研卷
（满分：150 分考试时间：120 分钟）
第 Ⅰ 卷（选择题,共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 z = | i | ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 2−i
A． 2 7 3
B． 5
C． 7 3
D． 2 5
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 C : x2 + y2 =1+ x y 就是其中之一(如图)，给出下列三个
结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3；

2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)(有解析)

2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x =n 2,n ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}2. |1+2i 2−i |=( )A. 35B. 1C. 53D. 23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10=5，a 7=1，则a 1=( )A. −12B. −1C. 12D. 144. 函数y =1x −ln(x +1)的图象大致为( )A. B. C. D.5. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a6. 阅读程序框图，则输出的S 等于( )A. 14B. 20C. 30D. 557. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A 、B ，为抛物线上两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A. √33B. 4√33C. 8√33D. 2√338. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AD =2，AA 1=3，则异面直线AC 1与CD 1所成角的余弦值为( )A. √35B. −√35C. 4√35D. −4√359. 设x ，y ∈N ∗，x +y =15，则xy >36的概率是 ( )A. 13B. 59C. 47D. 7910. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)=( )A. −√22B. √22C. √32D. −√3211. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过双曲线C 的右顶点作x轴的垂线与其渐近线交于A ，B 两点，若|AB|=2√55|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √612. 已知函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，若f(x)=9，则x 的值是( )A. 7B. 3或−3或7C. 1，45或±3D. 45二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ +b ⃗ 与3a ⃗ −b ⃗ 平行，则实数x 的值是______． 14. 设x ，y 满足约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0，则z =2x −y 的最小值为______．15. 在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2ann+1−1，则a 3= ______ ． 16. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为12π，则这个正四棱柱的体积为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性)进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]女性用户频数2040805010分值区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男性用户频数4575906030(Ⅰ)完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不计算具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P(K2≥k0)0.100.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828，其中n=a+b+c+d参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边，．(1)求A．(2)已知点D在边BC上，DC=2BD=2,AC=√3，求AD．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=√3．(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)求三棱锥P−QMB的体积．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为π3，O为坐标原点OBF，三角形的周长为3+√3．(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．21. 已知函数f(x)=(x 2−2x −5)e 2x−1，求函数f(x)的极值．22. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4cosϕy =2sinϕ，(φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线ι的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=m ．(1)把曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)已知曲线C 与直线ι交于A ，B 两点，若∠AOB =90°，求m 的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x +1|．(1)若a=−1，求不等式f(x)≤3的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)+|x+2|≤x+6在x∈[−1,1]上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：B解析：解：因为1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=i，所以|1+2i2−i|=1，故选：B．化简代数式，根据复数模的定义，求出复数的模即可．本题考查了复数的化简问题，考查复数求模，是一道基础题．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．设该等差数列的公差为d，则根据通项公式和前n项和公式列出关于a1、d的方程组，通过解方程组即可得到答案．解：设等差数列{a n}的公差为d，则{a1+6d=110a1+10×92d=5，解得{a1=−1 d=13．故选：B．解析：本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C．解：函数定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，由于y′=−1x2−1x+1=−x+1+x2x2(x+1)<0，所以函数y=1x−ln(x+1)在(−1,0)，(0,+∞)单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1−ln2>0，故排除C，故选A．5.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．6.答案：C解析：本题考查程序框图循环结构的应用，属于基础题．直接运行计算即可．解：由题意知：S=12+22+⋯+i2，当i=5时，循环程序终止，故S=12+22+32+42=30．故选C．解析：解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60°，直线AB 的方程为y =√3(x −1)，联立直线AB 与抛物线的方程可得A(3,2√3)，B(13,−2√33)，所以|AB|=√(3−13)2+(2√3+2√33)2=163，而原点到直线AB 的距离为d =√32，所以S △AOB =12×163×√32=4√33，当直线AB 的倾斜角为120°时，同理可求．故选B ．根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB 的倾斜角为60°，可得直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，求出A ，B 的坐标，即可求出△AOB 的面积．本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，C 1(0,1，3)，C(0,1，0)，D 1(0,0，3)，则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,3)，CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,3)，则cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14×√10=√35．∴异面直线AC 1与CD 1所成角的余弦值为35．故选：C ．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值得答案．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础题．9.答案：C解析：本题考查等可能事件的判断与概率计算，由x +y =15，列举出所有结果，满足xy >36的有8种，求出概率即可.属于基础题．解：∵x ，y ∈N ∗，x +y =15，则(x,y)为(1,14)，(2,13)，…，(13,2)，(14,1)共14种情况，由xy =x(15−x)>36，解得：3<x <12，又x ∈N ∗，故满足条件的(x,y)为 (4,11)，(5,10)，(6,9)，(7,8)，(8,7)，(9,6)，(10,5)，(11,4)共8个，则所求概率为47．故选C ．10.答案：B解析：解：由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32．且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2．∴f(x)=sin(3π2x −π2)， ∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin3π4=√22．故选：B ．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：C解析：求得A 点坐标，即可得到|AB|，即可求得a 和c 的关系，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，双曲线的离心率及渐近线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．解：双曲线C 的渐近线方程为y =±ba x ，右顶点为(a,0)，∴A(a,b)，则|AB|=2b ，又焦距|F 1F 2|=2c ，|AB|=2√55|F 1F 2|，∴2b =2√55×2c ，则b 2=45c 2，a 2=c 2−b 2=15c 2， ∴双曲线的离心率e =ca =√5，故选C ．12.答案：D解析：解：根据题意，函数f(x)={x +2(x ≤−1)x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)，分3种情况讨论：①，当x ≤−1时，f(x)=x +2，若f(x)=9，即x +2=9，解可得x =7，又由x ≤−1，x =7不符合题意， ②，当−1<x <2时，f(x)=x 2，若f(x)=9，即x 2=9，解可得x =±3，又由−1<x <2，x =±3均不符合题意；③，当x≥2时，f(x)=2x，若f(x)=9，即2x=9，解可得x=4.5，又由x≥2，x=4.5符合题意；综合可得：x=4.5；故选：D．根据题意，按x的取值范围分3种情况讨论，分析f(x)的解析式，求出x的值，综合三种情况即可得答案．本题考查分段函数的性质，注意函数解析式的形式，属于基础题．13.答案：2解析：本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出x的值．解：向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(2,x)，则a⃗+b⃗ =(3,1+x)，3a⃗−b⃗ =(1,3−x)，又a⃗+b⃗ 与3a⃗−b⃗ 平行，则3(3−x)−(1+x)=0，解得x=2．故答案为2．14.答案：−2解析：解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出不等式对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z ，经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 取得最小值，由{y =0x −y +1=0，解得x =−1，y =0，即A(−1,0)，代入z =−2，即目标函数z =2x −y 的最小值为−2，故答案为：−2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.答案：−13解析：解：在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2ann+1−1，则a 2=2a 12−1=1，a 3=2a 23−1=−13．故答案为：−13．利用数列的首项以及递推关系式逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力，是基础题．16.答案：8解析：由球的表面积求出球的直径，根据正四棱柱的对角线长等于球的直径，求正四棱柱的底面边长，再求其体积．本题考查四棱柱的体积，球的表面积计算公式，考查学生的空间想象能力，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径．解：由球的表面积为12π，得4πR2=12π⇒R=√3，设正四棱柱底面正方形边长为a∵正四棱柱的对角线长等于球的直径，即：2R=√2a2+22，∴2√3=√2a2+4，得a=2，∴正四棱柱的体积为V=a2×2=8．故答案是8．17.答案：解：(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．…(4分)(Ⅱ)2×2列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500≈5.208>2.706，K2=500(140×120−180×60)2200×300×320×180所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．解析：(Ⅰ)利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；(Ⅱ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)在△ABC中，由余弦定理得：，化简得a2=b2+c2+bc，所以，又A∈(0,π)，所以A=2π3．(2)依题意BC=BD+DC=3，在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得，又B∈(0,π)，故B=π6或5π6，又因为A=2π3，故B=π6，从而C=π6，所以AB=AC=√3，在△ABD中，由余弦定理，，即√32=22√3×1，解得AD2=1，又因为AD>0，故AD=1．解析：本题主要考查正余弦定理的应用，属于中档题．(1)利用余弦定理有，化简得a2=b2+c2+bc，根据余弦定理即可求解；(2)根据题意有BC=BD+DC=3，根据正弦定理可求得，又A=2π3，结合B的范围即可求得B=π6，则C=π6，则AB=AC=√3，根据余弦定理即可求解．19.答案：(Ⅰ)证明：∵AD//BC，Q为AD的中点，BC=12AD，∴BC=QD，∴四边形BCDQ为平行四边形，∵∠ADC=90°，∴BC⊥BQ，∵PA=PD，AQ=QD，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，则PQ⊥BC，又∵PQ∩BQ=Q，PQ∩BQ⊂平面PQB，∴BC⊥平面PQB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)解：∵在Rt△PQB中，PQ=√PA2−AQ2=√3，BQ=CD=√3，∴S△PQB=12PQ×QB=32，由(Ⅰ)知，BC⊥平面PQB，∴V C−PQB=13S△PQB×BC=13×32×1=12，又∵M是线段PC得中点，∴V P−QMB=V M−PQB=12V C−PQB=12×12=14，∴三棱锥P−QMB的体积是14．解析：本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查了利用等积法求多面体的体积，属于中档题．(Ⅰ)由已知可得四边形BCDQ为平行四边形，结合∠ADC=90°，得BC⊥BQ，再由已知证明PQ⊥平面ABCD，得到PQ⊥BC，结合线面垂直的判定可得BC⊥平面PQB，则平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)在Rt△PQB中，求得PQ，BQ，得到三角形PQB的面积，由(Ⅰ)知，BC⊥平面PQB，可得棱锥C−PQB的体积，再由等积法即可求得三棱锥P−QMB的体积．20.答案：解：(1)由题意可得：bc =tanπ3，a+b+c=3+√3，又a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=√3，c=1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)证明：A(2,0)．设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).联立{my +t =x x 24+y 23=1，化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0，∴y 1+y 2=−6mt3m 2+4，y 1⋅y 2=3t 2−123m 2+4，(∗)∵以PQ 为直径的圆经过点A ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，即(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=0，化为：(m 2+1)y 1y 2+(mt −2m)(y 1+y 2)+(t −2)2=0，把(∗)代入可得：(m 2+1)⋅3t 2−123m 2+4+(mt −2m)⋅−6mt3m 2+4+(t −2)2=0，化简可得：t =2或27． t =2舍去．代入直线l 的方程：my +t =x ，可得：my +27=x ．可得直线l 经过定点：(27,0)．解析：(1)由题意可得：bc =tan π3，a +b +c =3+√3，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (2)A(2,0).设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).与椭圆方程联立化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0.以PQ 为直径的圆经过点A ，可得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，把根与系数的关系代入化简可得：t.即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：∵f ′(x)=(2x −2)e 2x−1+2(x 2−2x −5)e 2x−1=2(x 2−x −6)e 2x−1．令f ′(x)=0，解得：x =−2或x =3． 1°当x <−2时，f ′(x)>0，∴f(x)单调递增； 2°当−2<x <3时，f ′(x)<0，∴f(x)单调递减； 3°当x >3时，f ′(x)>0，∴f(x)单调递增．∴当x =−2时，f(x)取得极大值等于3e −5；当x =3时，f(x)取得极小值等于−2e 5．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．直接求导，利用导数研究单调性即可得出极值．22.答案：解：(1)曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1，直线l 的直角坐标方程为x +y −√2m =0． (2)由直线ι：代入椭圆极坐标方程ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=16，得，整理得(4m 2−8)tan 2θ−16tanθ+m 2−8=0. 由且m 2≠2.由∠AOB =90°，可得tanθ1·tanθ2=−1，即m 2−84m 2−8=−1⇒m =±4√55，满足条件．解析：本题主要考查曲线的参数方程、直角坐标方程，关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可． (1)曲线C 的普通方程为x 216+y 24=1，直线l 的直角坐标方程为x +y −√2m =0．(2)由直线ι：代入椭圆极坐标方程ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=16，得，求m 的值．23.答案：解：(I)a =−1时，f(x)=|x −1|+|x +1|={−2x,x <−12,−1≤x ≤12x,x >1，所以f(x)≤3等价于{x <−1−2x ≤3，或{−1≤x ≤12≤3，或{x >12x ≤3；即−32≤x ≤32，所以不等式f(x)≤3的解集为{x|−32≤x ≤32};(II)由题知问题等价于不等式|x +a|+|x +1|+|x +2|≤x +6在x ∈[−1,1]上恒成立，且当x ∈[−1,1]时，|x +1|=x +1，|x +2|=x +2，所以不等式等价于|x +a|≤3−x ，解得x −3≤a +x ≤3−x ，即−3≤a≤3−2x，又函数y=3−2x在x∈[−1,1]上的最小值为1，所以−3≤a≤1，即a的取值范围是[−3,1]．解析：(I)a=−1时利用分段讨论法求出不等式f(x)≤3的解集，再求并集即可；(II)把问题等价于不等式|x+a|+|x+1|+|x+2|≤x+6在x∈[−1,1]上恒成立，由x∈[−1,1]时去掉绝对值，得出|x+a|≤3−x，从而求得a的取值范围．本题考查了求含有绝对值的不等式解集问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2020年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷文科数学

＋
ｄ)
Ｐ(Ｋ２ ≥ ｋ) ｋ
０�� ０５０３�� ８４１
０�� ０１０６�� ６３５
０�� ００１１０�� ８２８
文科数学试卷第４页 (共６页)
１８�� (１２分) △ＡＢＣ的内角Ａꎬ Ｂꎬ Ｃ的对边分别为ａꎬ ｂꎬ ｃꎬ 已知ａｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＡ＋２ｂｃｏｓＢ＝０. (１) 求Ｂꎻ (２) 设Ｄ为ＡＣ上的点ꎬ ＢＤ平分 ∠ＡＢＣꎬ 且ＡＢ＝３ＢＤ＝３ꎬ 求ｓｉｎＣ.
１９�� (１２分) 如图ꎬ 四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是菱形ꎬ ＡＢ＝ＡＣ＝２ꎬ ＰＡ＝２３ ꎬ ＰＢ＝ＰＤ�� (１) 证明: 平面ＰＡＣ ⊥ 平面ＡＢＣＤꎻ (２) 若ＰＡ ⊥ ＡＣꎬ Ｍ为ＰＣ的中点ꎬ 求三棱锥Ｂ－ＣＤＭ的体积 .
Ａ�� －２
Ｂ�� ０
Ｃ�� ６
４��
函数ｆ
(ｘ)
＝
２ｘｘ２＋
１
的图象大致为
Ｄ�� ５Ｄ�� １０
Ａ��
Ｂ��
Ｃ��
Ｄ��
文科数学试卷第１页 (共６页)
５��
已知２ａ
＝
１ꎬ ３
ｂ
＝
５－
１２
１１��
已知双曲线Ｃ:
ｘ２ａ２
－
ｙ２ｂ２
＝１(ａ
>
ｂ
>
０) 的右焦点为Ｆꎬ
Ｏ为坐标原点 ��

开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试(五)数学文科试题 Word版含解析

开卷教育联盟·2020届全国高三模拟考试（五）数学（文科）时量：120分钟满分：150分1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (4)A x y x ==-，{}2|230B x x x =--≥，则()A B ⋂=R（）.A. (3,4)B. (,1)-∞-C. (,1)(3,4)-∞-⋃D. (1,3)[4,)-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】求解对数型函数定义域和一元二次不等式，解得,A B ，再通过交运算和补运算求得结果. 【详解】由40x ->得4x <，所以{|4}A x x =<；由2230x x --≥得1x ≤-或3x ≥，所以{|1B x x =≤-或3}x ≥. 所以{|1A B x x ⋂=≤-或34}x ≤<，则(){|13A B x x ⋂=-<<R或4}(1,3)[4,)x ≥=-⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查对数型函数的定义域求解，一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.2.已知复数11i z =+，222z i =-，则12z z =（）.A.12i B. 12i -C.1122i + D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算法则，整理化简即可求得结果.【详解】因为121(1)(22)422(22)(22)82z i i i i i z i i i +++====--+，故选：A.【点睛】本题考查复数的运算法则，属基础题. 3.下列说法正确的是（）.A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀≥，210x x ++≥”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题【答案】D 【解析】【分析】根据否定题和逆否命题的定义，结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断，结合选项，进行逐一判断即可.【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；方程2560x x --=的解是1x =-或6，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误；命题“00x ∃<，20010x x ++<”的否定是“0x ∀<，210x x ++≥”，故C 错误；命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题的否命题和逆否命题的求解，涉及命题充分性和必要性的讨论，属综合基础题.4.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．【详解】当x<0时，f （x ）<0．排除AC ，f ′（x ）()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x eee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′（x ）()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0，存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数，当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确，故选D ．【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．5.设20192020log log a ==120002019c =，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算、指数函数的性质，利用12和1进行分段，由此比较出三者的大小关系.【详解】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=；2020202020201110log log 2019log 2020;222b <==<=120202019 1.c =>故选：C.【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题. 6.在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则2020a =（）. A. 2ln2020+ B. 22019ln2020+ C. 22020ln2020+ D. 2020ln2020+【答案】A 【解析】【分析】通过赋值，利用累加法，即可求得结果. 【详解】因为12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以1ln(1)ln n n a a n n +-=+-，所以21ln 2ln1a a -=-，32ln 3ln 2a a -=-，……20202019ln 2020ln 2019a a -=-，以上各式累加得20201ln 2020ln1a a -=-，即20201ln20202ln2020a a=+=+.故选：A.【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.7.如图，在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，E，F分别为BD，AC的中点，则异面直线AE与BF所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π【答案】B【解析】【分析】设DA AB BC x===，利用向量的夹角公式，计算出异面直线AE与BF夹角的余弦值，由此求得异面直线AE与BF所成的角.【详解】由于在等腰三角形ABC与ABD中，90DAB ABC∠=∠=︒，平面ABD⊥平面ABC，根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面ABC，BC⊥平面ABD，所以AD BC⊥.依题意设DA AB BC x===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以22AE BF x==.设异面直线AE与BF所成的角为θ，则cos cos,AE BFθ=AE BFAE BF⋅=⋅()()12AB AD AF ABAE BF+⋅-=⋅()()1122AB AD AB BC AB AE BF⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅()111222AB AD BC AB AE BF⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅()214AB BC AD BC AB AB AD AE BF⋅+⋅--⋅=⋅2211142222AB x AE BF-⋅===⋅，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.8.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）. A. ()f x 的最小正周期是π，最小值为1B. ()f x 的最小正周期是π，最小值为3-C. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为1D. ()f x 的最小正周期是2π，最小值为3-【答案】D 【解析】【分析】利用周期的定义，即可判断周期性；利用二倍角公式化简函数为二次型三角函数，即可求得函数最值.【详解】因为()2sin()cos2()2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=-+≠，所以π不是()f x 的周期，故排除A ，B ；因为(2)2sin(2)cos2(2)2sin cos2()f x x x x x f x πππ+=+++=+=，所以2π是()f x 的一个周期；又因为2213()2sin cos22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-. 故选：D.【点睛】本题考查函数周期的定义，涉及二次型正弦函数最值得求解，以及余弦的二倍角公式，属综合中档题.9.等比数列{}n a 中，11a =，128a =，函数()()()1212()f x x x a x a x a =--⋅⋅-…，则(0)f '=（）.A. 122B. 152C. 182D. 212【答案】C 【解析】【分析】对多项式函数进行求导，即可求得结果.【详解】设()()()1212()g x x a x a x a =--⋅⋅-…，则()()f x xg x =，所以()()()f x g x xg x +''=，所以()()666318121112112(0)(0)822f g a a a a a a '==⋅⋅====….故选：C.【点睛】本题考查多项式函数的导数求解，属中档题.10.已知ABC 内角,,A B C 对应边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，则c 的值为 D. 【答案】C 【解析】【分析】如图所示，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m --+=，计算得到答案. 【详解】如图所示：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D则12AD AC BD BC == ，设,2AD m BD m ==，则CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠= ，ADC BDC π∠+∠= 故222221546024m m m m m --+=∴=，36c AB m === 故选C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力. 11.已知ABC 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>恒成立，则实数t 的取值范围是（）.A. 33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 2323,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 233⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<，即可求得结果.【详解】因为ABC 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-，由||1k AB tBC +>两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-，由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.12.已知椭圆22221x y a b +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B 两点，且112F B AF =，则椭圆的离心率=（）C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】利用直线过椭圆的焦点坐标，可得直线方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和112F B AF =的条件，建立a b c 、、的关系式，进而求椭圆的离心率即可．【详解】椭圆22221x y a b+=的左右焦点分别为12F F 、，过10F c -（，）且斜率为1k =的直线为y x c =+联立直线与椭圆方程22221x y a b y x c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x 后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b +++-=（）因为直线交椭圆于A ，B ，设1122A x y B x y （，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y ,y y cb c b a b a b a b -+=-=++ 且112F B AF =，可得212y y =-，代入韦达定理表达式可得 2222221122222,2cb c b a b y y a b a b --=--=++ 即222222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭化简可得229c 2a =所以3c e a ==故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点(3,4)，则tan α=__________. 【答案】7- 【解析】【分析】根据三角函数的定义，可得旋转后角度的正切值，利用正切的和角公式即可求得结果. 【详解】设旋转后对应的角为β，则4tan 3β=，故tan tan4tan tan 741tan tan 4πβπαβπβ+⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭-⋅. 故答案为：7-.【点睛】本题考查三角函数的定义，以及正切的和角公式，属综合基础题.14.谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.具体操作是：先取一个实心正三角形（图1），挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）（图2），然后在剩下的三个小三角形中又各挖去一个“中心三角形”（图3），我们用黑色三角形代表剩下的面积，用上面的方法可以无限连续地作下去.若设操作次数为3（每挖去一次中心三角形算一次操作），在图中随机选取一个点，则此点取自黑色三角形的概率为__________.【答案】2764【解析】【分析】根据三角形相似容易知黑色三角形面积与最大三角形面积之比，根据几何概型的概率计算公式，即可求得.【详解】由图可知，操作次数为n 时，黑色三角形的面积与最大三角形的面积之比为34n n .当3n =时，概率为2764. 故答案为：2764. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 的直线与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为点E ，O 为坐标原点，当OEF 的面积取到最大值时，双曲线C 的离心率为__________. 2【解析】【分析】由F 点到渐近线的距离即可求得FE ，利用均值不等式求得OEF 的面积取得最大值时对应的,a b 取值即可求得离心率. 【详解】由题意，2c =，易得点(c,0)F 到直线by x a=的距离为22||bcFE b ca b ===+，所以||OE a =，则OEF 的面积()2221111212444S ab ab a b c ==⋅≤+==，当OEF 的面积取到最大值时，a b ==..【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及利用均值不等式求最值，属中档题.16.函数3()f x x x =+，对于[0,2]x ∈，都有|(1)|2xf ax e -+≤，则实数a 的取值范围是___．【答案】21[1,]2e e - 【解析】【分析】由题意，利用函数()f x 的奇偶性和单调性，转化得出2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，分别作出函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(),-∞+∞为单调递增，且()12f =，()212xf ax e -≤-+≤，即111xax e -≤-+≤，即2x x e axe ax ⎧≥⎨≤+⎩①作出xy e =与y ax =的图象，直线y ax =作为曲线xy e =切线可求得a e =，当[]0,2x ∈时，x e ax a e ≥⇔≤；②作出xy e =与2y ax =+的图象，[]0,2x ∈时，222x x e ax e a ≤+⇔≤+，故2112a e ≥-，综上可得211,2a e e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数的图象的应用，其中解答中根据函数的奇偶性和函数的单调性，转化为2x x e ax e ax ⎧≥⎨≤+⎩，利用函数xy e =，y ax =和2y ax =+，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理与计算能力，属于中档试题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.数列{}n a 满足212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列1na 的前n 项和为n S ，求满足9n n a S ≤的n 的取值范围. 【答案】（1）2(1)n a n n =+（2）[3,)+∞，n ∈N . 【解析】【分析】（1）利用递推公式，借助下标缩1，即可求得数列n a ；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n S ，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）因为212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n ∈N ，① 所以当1n =时，14a =. 当2n ≥时，2121(1)(1)23n a a an n n-+++=-+-…，② ①②两式相减，整理得2(1)n a n n =+，显然14a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2(1)n a n n =+. （2）由（1）得111112(1)21n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111111122231212(1)n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…，不等式9n n a S ≤，即18(1)2(1)n n n n+≤+，整理得29n ≥，所以3n ≥，n ∈N .所以满足不等式的n 的取值范围是[3,)+∞，n ∈N .【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式，以及利用裂项求和法求数列的前n 项和，属综合中档题.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ， 33AB CD ==，AB AD ⊥，AB PA ⊥，且2AD PA ==，22PD =，13PE PB =（1）证明：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面ECD 的距离；【答案】（1）见解析；（2）1313【解析】【分析】（1）取PA 的三等分点F ，法一，利用线面平行的判定定理证明.法二，利用面面平行判定定理证明；（2）法一，利用等积转换即B ECD E BCD V V --=，即可求得，法二，利用空间向量法，求点到面的距离.【详解】(1)解法一：取PA 的三等分点F ，连结,DF EF ，则13PF PA =又因为13PE PB =，所以13EF AB =且//EF AB ，因为13CD AB=且//AB CD ，所以EF CD =且//EF CD ，四边形CDFE 是平行四边形，所以//CE DF ，又平面DF ⊂平面 PAD ，CE ⊄平面 PAD ，所以//CE 平面 PAD .解法二：取AB 的三等分点G ，连结,FG CG ，则13AG AB =，又因为13PE PB =，所以23EG PA =且//EG PA ，EG ⊄平面PAD ， PA ⊂平面PAD ， //EG ∴平面PAD ，因为13CD AB=且//AB CD ，所以AG CD =且//AG CD ，四边形ADCG 是平行四边形.所以//AD CG ，CG ⊄平面PAD ，DA ⊂平面PAD ，//CG ∴平面PAD ，又因为EG CG G ⋂=，,EG CG ⊂平面CEG ，所以平面//CEG 平面PAD ，又因为CE ⊂平面CEG ，所以//CE 平面PAD .(2)解法一：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=，所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，点E 平面ABCD 的距离是43，DF ==12112BCD S ∆=⨯⨯=，11122ECD S CD DF ∆=⨯⨯=⨯=，因为B ECD E BCD V V --=，所以，1141,333h h =⨯⨯=点B 到平面ECD 的距离为13. 解法二：设点B 到平面ECD 的距离为h .因为2PA AD ==，PD =222PA AD PD +=所以，PA AD ⊥，因为,PA AB AB AD A ⊥⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，分别以,,AD AB AP 为x 轴y 轴z 轴，建立空间坐标系，4(0,0,0),(0,3,0),(2,1,0),(2,0,0),0,1,3A B C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭’40,2,3BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面CDE 法向量1(,,)n x y z =，因为4203yx z=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以1(2,0,3)n =，设BE与平面ECD所成角为θ，则点B到平面ECD的距离11||cos13BE nh BEnθ⋅====，点B到平面ECD的距离为.【点睛】本题主要考查的是直线与平面平行的证明，点到面的距离的求法，以空间向量法求距离的应用，及解题时要注意认真审题，注意等价转化思想的合理应用，是中档题.19.自2017年起，部分省、市陆续实施了新高考，某省采用了“33+”的选科模式，即：考试除必考的语、数、外三科外，再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中，任意选取三科参加高考，为了调查新高考中考生的选科情况，某地区调查小组进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物理是否有关.已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占选物理人数的35，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为1:4.（1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有100人，试完成下面的列联表：（2）根据第（1）问的数据，能否有99%把握认为选择化学与选择物理有关？（3）若研究得到在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理又选化学的人数至少有多少？（单位：千人；精确到0.001）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）列联表详见解析（2）有99%把握认为选择化学与选择物理有关（3）至少有11.943千人【解析】【分析】（1）根据题意，即可求得表格中缺失的数据；（2）结合列联表，计算2K，即可进行判断；（3）设选物理又选化学的人数为x千人，据此重新求得列联表，以及2K，根据其大于等于6.635，即可求得结果.【详解】（1）列联表如下：（2）由列联表可知22500(150********)2506.6352502502003003K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%把握认为选择化学与选择物理有关.（3）设选物理又选化学的人数为x千人，则列联表如下：所以22221042533955492333x x x K x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==⋅⋅⋅，在犯错误概率不超过0.01的前提下，则2 6.635K ≥，即56.6359x ≥，解得11.943x ≥（千人），所以选物理又选化学的人数至少有11.943千人.【点睛】本题考查根据题意补全列联表，2K 的计算，以及由犯错误的概率计算参数的范围，属综合中档题. 20.已知函数21()ln 2f x x m x =-，2()(1)g x x m x =-+，m ∈R . （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 的切线经过点(2,1)A ，求m 的值；（2）当m 1≥时，求函数()()()F x f x g x =-的零点的个数. 【答案】（1）12m =（2）有且只有一个零点【解析】【分析】（1）求导，可得含参数m 的切线方程，根据切线过点的坐标满足切线方程，即可求得m ；（2）求()F x 求导，利用导数研究函数单调性，同时对参数进行分类讨论，即可得到()F x 的零点个数.【详解】（1）由题知切点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，又由21()ln 2f x x m x =-得()m f x x x '=-，所以切线的斜率(1)1k f m '==-，切线方程为1(1)(1)2y m x -=--，把点(2,1)A 代入切线方程，解得12m =.（2）21()(1)ln 2F x x m x m x =-++-，定义域(0,)+∞，所以2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m F x x m x x x-++--'=-++-=-=-. ①当1m =时，2(1)()x F x x -'=-，有()0F x '≤在(0,)+∞恒成立，()F x 在(0,)+∞上单调递减，此时21()2ln 2F x x x x =-+-，其中3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以函数()F x 有且只有一个零点.②当1m 时，易知当(1,)x m ∈时，有()0F x '>，()F x 单调递增；当(0,1)x ∈或(,)x m ∈+∞时，有()0F x '<，()F x 单调递减. 其中1(1)02F m =+>，令2001(1)02x m x -++=解得022x m =+或00x =（舍去），所以(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以函数()F x 有且只有一个零点.综上所述，当m 1≥时，函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点.【点睛】本题考查导数的及意义，以及利用导数研究函数零点个数的问题，涉及分类讨论，属综合中档题.21.在平面直角坐标系xOy 中，一个动圆经过点(1,0)F 且与直线1x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点(4,0)C 作直线交曲线E 于A ，B 两点，问曲线E 上是否存在一个定点P ，使得点P 在以AB 为直径的圆上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2:4E y x =（2）存在；定点(0,0)P 【解析】【分析】（1）根据抛物线定义，即可求得轨迹方程；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，结合PA PB ⊥，即可恒成立问题，即可求得P 点坐标.【详解】（1）由题意，圆心到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程是2:4E y x =.（2）因为过点(4,0)C 的直线交曲线E 于A ，B 两点，所以可设直线方程为4x my =+，211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由244x my y x=+⎧⎨=⎩整理得24160y my --=， 216640m ∆=+>，124y y m +=，1216y y =-，假设存在定点200,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意，显然01y y ≠且02y y ≠，则PA PB ⊥，即0PA PB ⋅=. 因为221010,44y y PA y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，222020,44y y PB y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=，即()()()()()()102010201020160y y y y y y y y y y y y --+++--=，因为10y y ≠且20y y ≠，所以()()1020160y y y y +++=，即()2120120160y y y y y y ++++=，所以200164160my y -+++=，即20040y my +=，上式要恒成立，所以00y =，即定点(0,0)P .综上所述，存在定点(0,0)P 满足题意.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程，以及抛物线中定点的寻求，属综合中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos p p ρθ=>-. （1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且111||||OA OB +=，求p 的值. 【答案】（1）(R)θαρ=∈；22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（2）2p = 【解析】【分析】（1）消去参数t ，即可求得直线的普通方程，再化简为直角方程即可；利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，求得,OA OB ，代值计算即可.【详解】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），得当2πα=时，直线l 的普通方程是0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=，直线l 过原点、倾斜角为α，其极坐标方程为θα=和θαπ=+.综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<，也可以写成(R)θαρ=∈. 由(0)1cos p p ρθ=>-，得cos p ρρθ-=，又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以222()x y x p +=+，整理得22(0)2p y p x p ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. （2）设()11,A ρθ，(),B ρθ22，解方程组1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，得11cos p ρα=-，即||1cos p OA α=-；解方程组1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，得21cos p ρα=+，即||1cos p OB α=+. 所以111cos 1cos 2||||OA OB p p pαα-++=+=，又已知111||||OA OB +=，所以2p =. 【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程之间的转化，极坐标方程和普通方程之间的转化，以及利用极坐标求解距离问题，属综合中档题.23.已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=.（1（2）证明：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c . 【答案】（1；（2）见解析【解析】【分析】（12≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，即可得出结论．（2）将1a b c ++=代入所证等式的左边，利用基本不等式，证得结论.【详解】（1）2≤（12+12+12）（a +b +c ）＝3，+当且仅当13a b c ===（2）111111111++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b c a b c a b c a b c a b c28+++=⋅⋅⋅=b c a c a b bc a b ca b c 当且仅当13a b c ===取“=” 【点睛】本题考查了基本不等式与柯西不等式的应用，利用柯西不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，属于中档题．。

【附加15套高考模拟试卷】福建省四地六校2020届高三第三次联考(5月)数学(文科)试卷含答案

福建省四地六校2020届高三第三次联考（5月）数学（文科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（） A ．210x y +-= B ．210x y -+= C ．10x y -+= D ．10x y ++= 2．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）A ．B ．C ．D ．3．点(,)P x y 为不等式组220380210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，所表示的平面区域上的动点，则yx 最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．13-4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，平面α经过11B D ，直线1||AC α，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A ．3．322 C ．34D 65．已知0＜a ＜1，0＜c ＜b ＜1，下列不等式成立的是（）A ．b ca a > B ．c c a b b a +>+ C ．b c log a log a<D ．b cb ac a >++6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱长为（）A ．32B ．19C ．92 D ．227．几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是（）A ．B ．C ．D ．8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1B ．22C ．62-D ．62+9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921- B ．201922- C ．202022- D ．202021-11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．43π B ．2πC ．83πD ．103π12．已知向量()a 1,1=-r，()b 2,3r =-，且()a a mb ⊥+r r r ，则m (= )A ．25B ．25-C ．0D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三模拟考试文科数学(PDF有答案)

题
设数
数记数
应写
说证过
骤
题为选题
项为
项数ĵ
数项
题为题个试题
教学
试题军真 Į
由扫描全能王扫描创建
绝启
数学
题
务将
号填写试
题卡并将号条码贴题卡
选择题时选
题
铅笔题卡对应题
标号涂
动
净
选涂
标号
选择题时将写题卡写试
试结
将试
题卡并
选择题题
题
题Hale Waihona Puke 题给ç则个选项
项
题
复数
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为
轭复数则复数
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积
视图
积为
虚为视图
线为圆
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福州市2020年高三数学(文)5月高考模拟试卷附答案解析

福州市2020年高三数学（文）5月高考模拟试卷一、单选题1．集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （）A ．{2}B ．{3}C ．{1，2}D ．{2，3}2．复数z 满足2iz 1i=-，那么z 是( )A B ．C ．2D ．3．函数2()ln (1)f x x x =--零点个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．04．把编号为1，2，3，4的四颗小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一颗小球．若小球不能放入与小球有相同编号的盒子，则1号小球放入2号盒子的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．165．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．36．已知F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点，过F 做y 轴的垂线，与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点．O 为坐标原点，若OAB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．2B C D ．7．AD 是ABC ∆的中线，若π4,3AD BC B ===，则ABC ∆的面积为（）A ．B ．2C ．D ．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π9．F 为抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，AB 中点00(,)M x y ，若032x =，则（） A ．013y =±B ．012y =±C ．01y =± D ．032y =±10．函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,(0))f 对称，则当π[0,]2x ∈时，()g x 的值域为（）A ．[1,4]B ．[1,3]C ．[2,1]-D ．[1,1]-11．一批学生（既有男生也有女生）报名参加志愿者公益活动．初步估计女生人数的2倍比男生人数至多多8人，男生人数的2倍比女生人数至多多5人，则参加活动的男生人数女生人数的最大值为（）A ．67B ．74C ．4D ．312．若函数22()log (1)f x x ax =-+的定义域为R ，且当12x >时，(1)()f x f x -<，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,2)- B ．(2,1)-C ．(,1)-∞D ．(1,2)-二、填空题13．已知12,e e →→是两个单位向量，12212,2a e e b e e →→→→→→=+=-．若a b →→⊥，则向量12,e e →→的夹角为_______．14．()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，(1)0g -=，则((1))f g =_____．15．已知222cos sin cos αααα-，则πcos(2)6α+=_______．16．已知(1,1),(1,1)A B --，动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点．记直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，且满足ππtan()2tan()44βα-=-，则点P 的轨迹长度为________．三、解答题17．数列{}n a 满足：132a =，122n n a a n +=++．（1）求3a ；（2）记n n b a n =-，求证：数列{}n b 为等比数列；（3）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．18．三棱锥P ABC -中，2,AB AC BC PA PB =====PAB ⊥面ABC ．（1）求PC 长；（2）求三棱锥体积；（3）PAC ∆内（含边界）上是否存在H 点，使BH ⊥面PAC ．若存在H 点，求出H 点的位置；若不存在H点，说明理由．19．现从某学校中选出M 名学生，统计了M 名学生一周的户外运动时间（分钟）总和，得到如图所示的频率分布直方图和统计表格．（1）写出,,M m n 的值，并估计该学校人均每周的户外运动时间（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）假设2,2a b ≥≥，则户外运动时长为[90,110)的学生中，男生人数比女生人数多的概率．（3）若4,6a b ==，完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．动点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离和该动点到直线4x =的距离的比是常数12．（1）求动点M 轨迹方程C ；（2）已知点(2,0)A -，问在x 轴上是否存在一点P ，使得过P 点的任一条斜率不为0的弦交曲线C 于,M N 两点，都有0AM AN ⋅=uuu r uuu r．21．定义在[0,]π上的函数()(sin cos )e cos x f x x x a x =-+，2a ≥．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为2240x y x +-=，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．以坐标O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(4,0)P ，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 与12,C C 的交点分别为,O A ，,O B ．当PAB △为等腰直角三角形时，求直线l 的方程．23．函数()22f x x x a =--+，R a ∈．（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集；（2）设函数1()42g x x =+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的值．解析福州市2020年高三数学（文）5月高考模拟试卷一、单选题1．集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （）A ．{2}B ．{3}C ．{1，2}D ．{2，3}【答案】D【解析】先求解集合B 再求交集即可.(){|20}{|20}B x x x x x x =-≥=≥≤或,故{2,3}A B =I .故选：D .【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 2．复数z 满足2iz 1i=-，那么z 是( )A B ．C ．2D ．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：()()()2i 1i 2i z 1i 1i 1i 1i +===-+--+Q ，z ∴=．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．函数2()ln (1)f x x x =--零点个数是（） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】数形结合分析函数ln y x =的图象与函数2(1),0y x x =->的图象的交点个数即可. 【详解】函数2()ln (1)f x x x =--的零点个数即为方程2ln (1)0x x --=的解的个数,即为函数ln y x =的图象与函数2(1),0y x x =->的图象的交点个数,画出对应函数图象,易知有两个交点.故选：B . 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出两个函数图像得到交点个数.属于基础题. 4．把编号为1，2，3，4的四颗小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一颗小球．若小球不能放入与小球有相同编号的盒子，则1号小球放入2号盒子的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】分析1号小球所有可能放入的情况求解即可. 【详解】因为1号小球不能放入1号盒子,所以只能从234,,三个盒子选一个,且每种情况对应的情况数相同.故放入2号盒子的概率为13.故选：B . 【点睛】本题主要考查了列举法求解古典概型的问题,属于基础题.5．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞，执行第二次循环得到43s i ==，，不满足4i ＞，，执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，，经过第四次循环得到05s i ==，，满足判断框的条件执行“是”输出0S =．故选B ．6．已知F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点，过F 做y 轴的垂线，与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点．O 为坐标原点，若OAB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD ．【答案】D【解析】根据OAB ∆是等边三角形可知渐近线的斜率为进而根据渐近线的方程求出ab=再根据,,a b c 的关系求解离心率即可.【详解】OAB ∆是等边三角形,渐近线的斜率为所以ab b a =,所以双曲线的离心率c e a ===故选：D . 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法,需要根据题意建立,,a b c 的关系式求解.属于基础题.7．AD 是ABC ∆的中线，若π4,3AD BC B ===，则ABC ∆的面积为（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】A【解析】在ABD ∆中,由正弦定理可得π2BAD ∠=,再根据2ABC ABD S S ∆∆=求ABC ∆的面积即可. 【详解】在ABD ∆中,由正弦定理可得sin sin AD BD B BAD=∠,2sin sin 3BAD =∠,解得sin 1BAD ∠=,所以π2BAD ∠=.则1AB =,12212ABC ABD S S ∆∆==⨯⨯故选：A . 【点睛】本题主要考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的应用,需要根据边角关系确定所用的正弦定理与面积公式.属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】C【解析】先画出直观图,再根据该几何体外接的正方体的外接球半径的求法求解即可. 【详解】还原该几何体的直观图,如图所示可见该几何体是四棱锥,5个顶点都是边长为2的正方体的顶点.所以外接球的半径就为=,所以外接球的表面积为12π. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了根据三视图求解外接球表面积的问题,需要根据题意确定正方体的外接球半径.属于基础题. 9．F 为抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，AB 中点00(,)M x y ，若032x =，则（） A ．013y =± B ．012y =±C ．01y =± D ．032y =±【答案】C【解析】利用点差法求解弦AB 的斜率,进而求得AB 方程,再代入032x =求解即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,故21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,相减可得()2212124y y x x -=-,故121212042y y x x y y y -==-+,即焦点弦AB 的斜率为02y ,又()1,0F .故AB 方程是()021y x y =-,化简可得0220x y y --=, 将03(,)2M y 代入该直线方程可得01y =±.故选：C . 【点睛】本题主要考查了点差法求解焦点弦方程的问题,属于中档题.10．函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,(0))f 对称，则当π[0,]2x ∈时，()g x 的值域为（）A ．[1,4]B ．[1,3]C ．[2,1]-D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数关于点对称的性质可得()g x 的解析式,再根据三角函数图像求解值域即可. 【详解】由题意函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,1)对称,∴满足()()12g x f x +-=,∴ππ()22sin(2)22sin(2)66g x x x =--+=+-,当π[0,]2x ∈时,∴ππ5π2[,]666x -∈-,∴()[1,4]g x ∈.故选：A . 【点睛】本题主要考查了根据函数的性质求解解析式的问题,同时也考查了根据三角函数的定义域求值域的问题.属于中档题.11．一批学生（既有男生也有女生）报名参加志愿者公益活动．初步估计女生人数的2倍比男生人数至多多8人，男生人数的2倍比女生人数至多多5人，则参加活动的男生人数女生人数的最大值为（）A ．67B ．74C ．4D ．3【答案】D【解析】设女生人数为x ,男生人数为y .再根据题意列出关于,x y 满足的不等式,再画出可行域,根据男生人数女生人数的几何意义求解即可. 【详解】设女生人数为x ,男生人数为y . 因为有男生和女生,所以男生女生至少有一个人,又因为人数必须是正整数,所以满足此约束条件28251(N )1(N )x y y x x x y y ++-≤⎧⎪-≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩,作出可行域如图所示,所以yx在(1,3)点处取得最大. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了线性规划的实际运用,需要根据题意画出可行域中的整点,再根据所求量的几何意义求解即可.属于中档题.12．若函数22()log (1)f x x ax =-+的定义域为R ，且当12x >时，(1)()f x f x -<，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,2)- B ．(2,1)- C ．(,1)-∞D ．(1,2)-【答案】B【解析】根据二次函数以及对数函数的性质可知240a ∆=-<,再根据函数的性质可得对称轴与12x =的位置关系,再列式求解不等式即可. 【详解】由题知210x ax -+>在R 上恒成立,故240a ∆=-<,22a -<<. 容易得知()f x 有对称轴,即2ax =,又当12x >时,(1)()f x f x -<,所以对称轴在12x =左侧,122a ∴<,即1a <. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的性质运用,包括值域以及二次函数的恒成立问题,以及对称轴与单调性和函数值大小的问题.属于中档题.二、填空题13．已知12,e e →→是两个单位向量，12212,2a e e b e e →→→→→→=+=-．若a b →→⊥，则向量12,e e →→的夹角为_______．【答案】π2【解析】根据a b →→⊥可知0a b ⋅=r r ,计算可得120⋅=u r u u r e e ,进而可得向量12,e e →→的夹角.【详解】221221112212(2)(2)23230a b a b ⊥⇒⋅=+⋅-=-+⋅+=⋅=r r r r u r u u r u u r u r u r u r u u r u u r u r u u re e e e e e e e e e ,所以120⋅=u r u u r e e ,故12,u r u u re e 的夹角为π2. 故答案为：π2【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算,同时也考查了垂直的数量积表示.属于基础题.14．()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，(1)0g -=，则((1))f g =_____．【答案】0【解析】根据奇偶函数的性质代入求解即可. 【详解】()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,由题知(1)(1)0=-=g g ,((1))(0)0f g f ∴==.故答案为：0 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性求解抽象函数值的问题.属于基础题.15．已知222cos sin cos αααα-，则πcos(2)6α+=_______．【答案】6-【解析】看利用降幂公式化简可得3cos221αα=-,再根据辅助角公式求解即可. 【详解】因为222cos sin cos αααα-,∴1cos21cos222ααα-+-=, 3cos221αα∴=-,则ππcos sin 2sin )166αα-=-,即πcos(2)6α+=.故答案为：6-【点睛】本题主要考查了降幂公式与辅助角公式求解三角函数值的问题,需要根据题意确定所用的公式,属于中档题.16．已知(1,1),(1,1)A B --，动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点．记直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，且满足ππtan()2tan()44βα-=-，则点P 的轨迹长度为________．【解析】根据斜率的公式可得PA k 与PB k ,再代入ππtan()2tan()44βα-=-化简求解即可得点P 的轨迹方程,继而根据动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点求出长度即可. 【详解】设直线PA 的斜率为PA k ,直线PB 的斜率为PB k ,∴11tan ,tan 11PA PB n n k k m m αβ+-====+-, 又因为ππtan()2tan()44βα-=-,知tan 1(tan 1)21tan 1tan βαβα--=++,即111(1)112111111n n m m n n m m -+---+=-+++-+,()222n m n m m n m n --=+-++. 因为动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内一点,故m n ≠. 即()222m n m n +-=++,化简可得6m n +=,即(,)P m n 的轨迹为方程6x y +=.又圆心(2,4)在6x y +=上,所以P 的轨迹长度为圆221(2)(4)2x y -+-=.故答案为：【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及直线的斜率与圆的方程等.需要根据题意代入斜率公式化简求解,并根据直线与圆的位置关系确定轨迹长度.属于中档题.三、解答题17．数列{}n a 满足：132a =，122n n a a n +=++．（1）求3a ；（2）记n n b a n =-，求证：数列{}n b 为等比数列；（3）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．【答案】（1）258；（2）见解析；（3）22122n n n ++-【解析】(1)根据122n n a a n +=++,分别代入1,2n =求解即可. (2)根据n n b a n =-,在等号左侧构造出11(1)n n a b n ++-+=再证明即可. (3)根据(2)可得1()2n n a n =+,再分组根据等差等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）∵132a =,∴1212924a a ++==,23222528a a ++==. （2）∵122n n a a n +=++,∴12[(1)]n n a n a n +-+=-,∴112n n b b +=,∴数列{}n b 是以11112b a =-=,公比为12的等比数列. （3）由（2）知1()2nn n b a n =-=,∴1()2n n a n =+,2123211(1)111(1)212212122222212n n n n n n n n n S a a a a n -+++=++++=++++++=+=--L L .【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的问题,同时也考查了分组求和以及等差等比数列的求和.属于中档题.18．三棱锥P ABC -中，2,AB AC BC PA PB =====PAB ⊥面ABC ．（1）求PC 长；（2）求三棱锥体积；（3）PAC ∆内（含边界）上是否存在H 点，使BH ⊥面PAC ．若存在H 点，求出H 点的位置；若不存在H点，说明理由．【答案】（1）3；（2）43；（3）H 存在，在棱PA 上，且5AH =．【解析】(1)根据勾股定理可得CA AB ⊥,进而可得90CAP ∠=︒,再用勾股定理计算PC 即可.(2) 作AB 的中点M ,连接PM 可知PM ⊥平面ABC ,再求解体积即可. (3) 作BH PA ⊥于H ,再证明BH ⊥面PAC 即可.【详解】（1）∵222AB AC BC +=,∴90,CAB CA AB ∠=︒⊥.∵平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,CA ⊂平面ABC ,且CA AB ⊥,可知CA ⊥平面PAB ,90CAP ∠=︒.∴3PC ==.（2）作AB 的中点M ,连接PM ,由题意知PM⊥平面ABC ,∴13ABC V S PM ∆=⋅21142323=⨯⨯.（3）作BH PA ⊥于H ,H 在PA 上.sin sin AH AB ABH AB APM =∠=∠=. ∵CA ⊥平面PAB ,BH⊂平面PAB ,∴BH CA ⊥,且BH PA ⊥,CA ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,CA PA A =I ,∴BH ⊥平面PAC ,即H 存在,在棱PA 上,且AH =.【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面线线与面面垂直的证明和性质,同时也考查了根据垂直求解线段长度以及体积的问题等.属于中档题.19．现从某学校中选出M 名学生，统计了M 名学生一周的户外运动时间（分钟）总和，得到如图所示的频率分布直方图和统计表格．（1）写出,,M m n 的值，并估计该学校人均每周的户外运动时间（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）假设2,2a b ≥≥，则户外运动时长为[90,110)的学生中，男生人数比女生人数多的概率．（3）若4,6a b ==，完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）20M =，0.005n =，0.01m =，112分钟；（2）37；（3）列联表详见解析，没有90％的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”.【解析】(1)根据频率分布直方图的面积和为1以及区间[)110,130与[)130,150间的比例关系列式求解即可.(2)利用枚举法将所有可能的情况列举再求解即可. (3)根据图表补全列联表,再求出2K 分析即可.【详解】（1）由人数比可得2m n =,20(3)0.5n m +=,0.005n ∴=,0.01m =.2200.00520M ==⨯该校人均户外运动时间为800.11000.51200.21400.11600.1112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟. （2）设“户外运动时长为[90,110)的男女人数分布”为总事件Ω,Ω={}(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2)共7种,“男生人数比女生人数多”为事件A ,包含{}(8,2),(7,3),(6,4)共三个, 则3()7P A =. （3）()222038180.808 2.706416119K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以没有90％的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”. 【点睛】本题主要考查了枚举法解决古典概型的问题,同时也考查了频率分布直方图的应用以及独立性检验的问题.属于中档题.20．动点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离和该动点到直线4x =的距离的比是常数12．（1）求动点M 轨迹方程C ；（2）已知点(2,0)A -，问在x 轴上是否存在一点P ，使得过P 点的任一条斜率不为0的弦交曲线C 于,M N 两点，都有0AM AN ⋅=uuu r uuu r．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，坐标为2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)根据题意列出点(,)M x y 满足的关系式,再化简方程即可.(2) 设(,0)P t ,再讨论当MN ⊥x 轴时可得127t =-,即若存在定点,则定点坐标为2(,0)7P -.再讨论斜率存在时,设MN 的方程为2()7y k x =+,联立椭圆方程,求出韦达定理,证明0AM AN ⋅=uuu r uuu r即可.【详解】（1）由题意,知12=,即2224(1)(4)x y x ⎡⎤-+=-⎣⎦.解得曲线C 的方程为22143x y +=.（2）法一：设(,0)P t ,易知||2t <,①若MN ⊥x 轴时,由0AM AN ⋅=uuu r uuu r ,此时(,2)M t t +,满足椭圆方程22(2)143t t ++=,∴271640t t ++=,解得122,27t t =-=-（舍）,可知若存在定点,则定点坐标为2(,0)7P -.②当直线MN 斜率存在时,设斜率为k ,1122(,),(,)M x y N x y设MN 的方程为2()7y k x =+,联立椭圆方程22143x y+=,消去y 得22221616(34)120749k x k x k +++-=,∴212221221673416124934k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩.1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+uuu r uuu r ,∴1212122()4AM AN x x x x y y ⋅=++++uuu r uuu r2121212222()4()()77x x x x k x x =++++++22222221616(1)(12)()24497(2)403473449k k k k k k k +--=++++=++, 综合①②可知,存在点2(,0)7P -,使得0AM AN ⋅=uuu r uuu r .（2）（解法二）设(,0)P t ,易知||2t <,设1122(,),(,)M x y N x y .若MN 不垂直x 轴,MN 的斜率为k ,则直线MN 的方程为()y k x t =-, 1122(),()y k x t y k x t =-=-,22121212[()]y y k x x t x x t =-++,12120(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=⇒+++=u u u u r u u u r,即是22221212(1)(2)()40k x x k t x x k t ++-+++=①,由22()3412y k x t x y =-⎧⎨+=⎩,得22222(34)84120k x k tx k t +-+-=,2221212228412,,3434k t k t x x x x k k -+==++代入①式得22222222(1)(412)(2)(8)(4)(34)0k k t k t k t k t k +-+-+++=化简,整理得22[7164]0k t t ++=②,为使0AM AN ⋅=uuu r uuu r 与斜率k 无关,由②式得出271640t t ++=,解得122,27t t =-=-（舍）,这说明MN 与x 轴不垂直时,MN 是过7(,0)2P -的弦,恒有0AM AN ⋅=uuu r uuu r ,若MN ⊥x 轴时,MN ：2x 7=-,AMN ∆是等腰三角形,AM AN =, 212(,)77M -,24||7MN =,||AM |||MN AM =,可见AMN ∆是等腰直角三角形,AM AN ⊥,综上,过2(,0)7P -的弦MN 总有0AM AN ⋅=uuu r uuu r .【点睛】本题主要考查了轨迹方程求解,以及联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理求解定点的问题.需要根据题意讨论直线没有斜率时定点坐标,再根据定点坐标分析当斜率不存在时是否满足条件.属于难题. 21．定义在[0,]π上的函数()(sin cos )e cos x f x x x a x =-+，2a ≥．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）3π42e a =或πe a >【解析】（1）求导可得()(2e )sin x f x a x '=-⋅，再求得极值点ln2a x =，并分析ln 2ax =与区间[0,]π端点的大小关系，进而求得在区间[0,]π上导函数的正负以及原函数的单调性即可；（2）根据（1）所得的单调性，分析极值点的正负或等于0是否满足条件，再结合区间端点的正负，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】()(cos sin )e (sin cos )e sin (2e )sin x x x f x x x x x a x a x '=++--=-⋅.（1）[0,π]x ∈时，sin 0x ≥恒成立，令2e 0x a -=，得ln 02ax =≥. ①当ln02a=，即2a =时，2e 0x a -≥在[0,]π上恒成立，则()0f x '≥在[0,]π恒成立，()f x 在[0,π]上单调递增； ②当lnπ2a≥,即π2e a ≥时,2e 0x a -≤在[0,π]上恒成立，则()0f x '≤在[0,]π恒成立,()f x 在[0,]π上单调递减；③当0lnπ2a <<，即π22e a <<时，若[0,ln ],2e 02x ax a ∈-≤，即[0,ln ]2a x ∈时,()0f x '≤，()f x 单调递减；若(ln ,π],2e 02xa x a ∈->，即(ln ,π]2a x ∈时，()0f x '>,()f x 单调递增.综上所述,当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增；π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减；当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增；（2）①当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增，而(0)10f a =-+>，此时()f x 无零点；②当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增.若函数()f x 在[0,]π上有唯一零点，则有(ln )02af =或(π)0f <.ln 2(ln )0[sin(ln )cos(ln )]e cosln [sin(ln )cos(ln )]02222222a a a a a a a a f a =⇒-+=+=,解得3π43πln 2e 24a a =⇒=.π(π)0e 0f a <⇒-<，解得πe a >，故ππe 2e a <<.③当π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减，(0)0,(π)0f f ><，()f x 在[0,]π上存在唯一零点. 综上可知，3π42e a =或πe a >.【点睛】本题主要考查了含参数的函数单调性的讨论，同时也考查了利用导数结合函数的单调性解决函数的零点问题，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为2240x y x +-=，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．以坐标O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(4,0)P ，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 与12,C C 的交点分别为,O A ，,O B ．当PAB △为等腰直角三角形时，求直线l 的方程．【答案】（1）1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的普通方程tan y x α=⋅；（2）12yx =. 【解析】（1）根据极坐标以及直角坐标的关系化简1C ，再相除消去t 可得直线l 的普通方程；（2）画图结合极坐标的几何意义可知ABP △是直角三角形，BP 是斜边，再分0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα两种情况求解即可. 【详解】（1）222x y ρ=+，cos x ρθ=，故2240x y x +-=即24cos 0ρρθ-=，1:4cos C ρθ∴=，又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin tan cos y t x t ααα==，tan y x α∴=⋅.所以，直线l 的普通方程为tan y x α=⋅；（2）由题可知4cos ,4sin OA OB αα==，OAP △是直角三角形，所以4sin PA α=.ABP ∆是直角三角形，BP 是斜边.当π(0,)4α∈时，若ABP ∆是等腰直角三角形，则4cos 4sin 4sin AB PA ααα=-==，得1tan 2α=. 当ππ(,)42α∈时，若ABP △是等腰直角三角形，则4sin 4cos 4sin AB PA ααα=-==，无解.综上可知，直线l 的方程为12y x =时，ABP △是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查了直角坐标方程和参数方程与极坐标方程的互化，同时也考查了极坐标的几何意义的运用，属于中档题.23．函数()22f x x x a =--+，R a ∈．（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集；（2）设函数1()42g x x =+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的值．【答案】（1）2{|4}3x x -≤≤；（2）83a =或24a =-【解析】(1)分当12x ≤-,122x -<<与2x ≥三种情况去绝对值,再分段求不等式()1f x ≥-即可.(2)因为绝对值中2y x =-与2y x a =+的零点分别为12x =与22ax =-.故分两根的大小关系确定讨论参数a21 的范围,再去绝对值求解()f x 与1()42g x x =+只有一个公共点的情况即可. 【详解】（1）1a =时,()221f x x x =--+. 当12x ≤-时,()2213f x x x x =-++=+,令31x +≥-,得4x ≥-,所以142x -≤≤-；当122x -<<时,()22131f x x x x =---=-+,令311x -+≥-,得23x ≤,所以1223x -<≤；当2x ≥时,()2213f x x x x =---=--,令31x --≥-,得2x -≤,无解. 综上所述,()1f x ≥-的解集为2{|4}3x x -≤≤. （2）当4a >-时,222,2()2232,22222,2a x x a x a x a f x x x a x a x x x a x a x ⎧-++=++≤-⎪⎪⎪=---=-+--<<⎨⎪---=---≥⎪⎪⎩, ()y f x =与1()42g x x =+的图象只有一个交点,故可知2424a a a -++=-+,解得83a =；当4a =-时,()2242f x x x x =---=--,此时无交点；当4a <-时,222,2()2232,22222,2x x a x a x a f x x x a x a x a x x a x a x ⎧⎪-++=++≤⎪⎪=-++=+-<<-⎨⎪⎪---=---≥-⎪⎩, ()y f x =与1()42g x x =+的图象只有一个交点,故可知2424a a a --=-+,解得24a =-.综上所述,83a =或24a =-. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及分类讨论分析函数零点的问题,需要根据绝对值中的零点去绝对值分析.属于中档题.。

【终稿】福州市2020届高三数学5月调研卷数学(文科)试卷

初高中数学学习资料的店 1 初高中数学学习资料的店福州市2020届高三文科数学5月调研卷第 Ⅰ 卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数||2i z i=-，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B I 的元素个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===,则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，m ，80，93，其中0m >,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为A ．70B ．75C ．80D ．855．如图给出的是计算1111352019++++L 的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．123S S i =++ B ．121S S i =++ C ．11S S i =++ D ．121S S i =+- 6．用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值为A ．28B ．21C ．20D ．19 7．函数()2ln x f x x x =-的图像大致为第5题正视图侧视图第6题。

2020年福建福州高三下学期高考模拟数学试卷(文科)

四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 已知直角坐标系中，曲线的参数方程为
，（为参数），以为极点，轴的
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
．
（ 1 ）写出的普通方程和的直角坐标方程．
（ 2 ）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围．
23. 已知
，
则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有人选择素描，选项，，判断正确．
不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：
情形一甲
乙
丙
丁情形二甲
乙
丙
丁
素描
素描
摄影
摄影
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此不正确．
故选．
10. B
解析:
依题意，
，
．
（1）当
时，求曲线
在
（ 2 ）若存在
，使得
处的切线方程．成立，求的取值范围．
21. 已知椭圆：
（
）的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线
相切．（ 1 ）求的方程．
（ 2 ）直线是以
交椭圆于
，
两点，且
，已知上存在点，使得
为顶角的等腰直角三角形．若在直线右下方，求的值．
13
∴ ∴ 即整理得由
，故得
，，
，，①
∴
，解得
∴
，②
，③
由① ②得，
，④
将④代入②得
，⑤
将④⑤代入③得
解得
．
综上，的值为．
，，
，

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2020年福建省莆田第六中学高三 5月模拟考试试题数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．10sin3π=（）A B ．C ．12 D ．12-2．函数()sin f x x x =的最小正周期是（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．已知ABC △的三边长分别为3,5,7，则最大的内角的余弦值为（）A ．1B ．0C ．．12- 4. 已知向量(2,3)a =r ，(3,2)b =r，则a b -=r r （）A B ．2C ．D ．505．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r（）A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r6．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式是（） A. B. C.D.7．已知3cos cos()3x x π+-=，则sin()3x π+=（） A ．6 B ．6- C ．13 D ．13-8.函数，命题0:p x R ∃∈，使得0()1f x =-；命题:q x R ∀∈，()()f x f x π+=，则下列命题中为假命题的是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q⌝∨9．已知函数21()sin 2f x x =-，若将其图象沿x 轴向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则实数ϕ的最小值为（）A. πB.34π C. 2π D. 4π 10．已知x =6π是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()()π2f f π<，则()f x 的单调递增区间是（） A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 11. 若函数()sin 2cos()sin f x x x ϕϕ=++（0ϕπ<<）在[,]2ππ为增函数，则ϕ的取值范围是（）A. (0,]4πB. [,]42ππC. 3[,]24ππD. 3[,)4ππ12．已知函数2,()ln ,x a f x x ⎧+=⎨⎩ 00x x <>，若0x R ∃∈，使得00()()f x f x =-，则实数a 的取值范围是（） A ．1[ln(2),)2e -+∞ B ．1[ln 2,)2-+∞ C ．1(,ln 2]2-∞- D ．1(,ln(2)]2e -∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知1sin 3α=，[0,]2πα∈，则cos α=_________ 14. 已知向量()()()1,1,24,3,,2a a b c x b c x =+==-r r r r r r，若//，则的值为__________15．已知非零向量a r ，b r 满足2a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为__________16．对任意的锐角α，都有sin m n αα<<，则n m -的最小值为__________三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．如图，在四边形中，，．已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的长．18.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且2(cos )sin c a B b A -= (1)求tan A 的值；（2）求sin(2)6A π+的值。

19．已知函数23()3sin cos 2f x x x x =+⋅-，（x R ∈）（1）若对任意[0,]2x π∈，都有不等式()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围；（2）记ABC ∆的对边为,,a b c ，且a 为函数()f x 的最大值，23A π=，求ABC ∆周长的最大值。

20．过抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 的斜率为3，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA ⊥MB ，并说明理由．21. 已知函数2()ln f x ax x x =+()a R ∈的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=垂直。

（1）求实数a 的值；（2）若存在k Z ∈，使得()f x k >恒成立，求k 的最大值。

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的普通方程和极坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且，求α的值.23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()42()f x x a x a R =-++∈的图象关于点(1,0)中心对称。

（1）求实数a 的值；（2）解不等式()3f x ≥。

答案一、选择题1-5：BCDAA 6-10：BDBDB 11-12： CD 二、填空题13、3 14、4- 15、3π 16、21π- 三、解答题17.（Ⅰ）在中，由正弦定理，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（代入数据1分）所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在中，由余弦定理，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分即，解得或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分又，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18、解（1）由正弦定理及2(cos )sin c a B b A -=可得2(sin sin cos )sin sin C A B B A -=………………2分得：2(sin()sin cos )sin sin A B A B B A +-=………………4分2cos sin sin sin A B B A =，又sin 0B ≠………………5分所以2cos sin A A =，得tan 2A =，………………6分（2）tan 2A =Q ，所以2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5A A A A A A A ===++………………8分 222222cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5A A A A A A A --===-++………………10分所以31sin(2)sin 2cos 2622A A A π+=+………………11分 433-=………………12分 19. 解：（1）3333()(1cos 2)sin 222f x x x =-+- ……… 2分 313(sin 2cos 2)3sin(2)26x x x π=⋅-⋅=- ……… 4分当2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，即[,]63x k k ππππ∈-+时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递增区间是[,]63k k ππππ-+，k Z ∈……… 6分（2）法一：由（1）可知max ()3a f x == ……… 7分在ABC ∆中，由正弦定理可知：23sin sin b c B C==，所以23sin ,23sin b B c C == 8分所以ABC ∆的周长323(sin sin )ABC C a b c B C ∆=++=++ ……… 9分13323(sin sin())323(sin cos )322B B B B π=++-=++……… 10分323sin()3B π=++ ……… 11分因为03B π<<，所以2333B πππ<+<，所以当32B ππ+=，即6B π=时，ABC C ∆有最大值，最大值为323+。

……… 12分法二：由（1）可知max ()3a f x ==，……… 7分在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos93b c bc π+-⋅=，即229b c bc ++=……… 8分 2()9b c bc +=+（*）因为,0b c >由基本不等式可得2()2b c bc +≤，……… 10分代入（*）可得22()()94b c b c ++≤+，解得23b c +≤，当且仅当b c =时取到等号。

… 11分所以b c +的最大值为23，所以ABC ∆的周长最大值为323+……… 12分 20. 解：（1）∵|AF |＝2，∴由抛物线的定义，可得1+＝2，∴p ＝2 ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y ；．．．．．．．．．．．．．．4分（2）∵F （0，1），直线l 的斜率为2，∴设直线l 的方程是：y ＝3x +1，与抛物线方程联立，消去y ，得，x 2﹣12x ﹣4＝0，．．．．．．．．．．．．．．5分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝12，x 1x 2＝﹣4．．．．．．．．．．．．．．．6分假设抛物线C 上存在一点M ，使得MA ⊥MB ．设M （m ，n ），则MA ⊥MB ，即＝0，．．．．．．．．．．．．．．7分∴（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+（y 1﹣n ）（y 2﹣n ）＝0，．．．．．．．．．．．．．．8分 ∵x 12＝4y 1，x 22＝4y 2，m 2＝4n ，．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴（y 1﹣n ）（y 2﹣n ）＝（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）（x 1+m ）（x 2+m ），．．．．．．．．．．．．．．10分由于M 与A ，B 不重合，∴16+（x 1+m ）（x 2+m ）＝0，即16+m 2+m （x 1+x 2）+x 1x 2＝0，．．．．．．．．11分化简得，16﹣4+12m +m 2＝0，解得m ＝﹣6+2，或﹣6﹣2．．．．．．．．．．．．．．．12分故抛物线C 上存在一点M （﹣6+2，15﹣6）或（﹣6﹣2，15+6），使得MA ⊥MB ．21．解：（1）定义域：(0,)+∞，()2ln 1f x ax x '=++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以(1)213f a '=+=，解得1a = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）要使得()f x k >恒成立，则min ()f x k >。