概率论与数理统计课件——概率论1

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区别样本点与随机事件
(1) 样本点也是一个随机事件，
它是不可分割的基本的随机事件
样本点 ←→ 元素
随机事件←→ 集合
(2) 随机事件是由样本点构成的，
它可以分解成样本点(基本随机事件) 的并集
随机事件A 发生 A 中的某一个样本点发生
样本点 发生 所有包含这个 的随机事件都发生
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例1.2： 抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
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§2
样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}， 称S中的元素e为基本事件或样本点． 例1.3： S={正面，反面}； 一枚硬币抛一次 记录一城市一日中发生交通事故次数 S={0,1,2,„}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
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(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件，当且仅 当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 S＝{0,1,2,„}； 例1.4:观察41路车邑大站候车人数，
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,„} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。 如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含 任何样本点。
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二、概率论的发展
1、雅各.伯努利
2、拉普拉斯 3、科尔莫戈洛夫
4、中国的概率研究现状
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1、雅各.伯努利
《猜度术》
《分(解)析概率论》 分析方法
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3、科尔莫戈洛夫 (1903-1987)
1933年出版
<概率论基本概 念> 建立了 公理化体系
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4、中国的概率研究现状
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
fn(H)
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
表 2
实验者
德·摩根 蒲丰
K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
nH
fn(H)
2048 4040
12000 24000
确定性现象
自然界与社会生活中的两类现象
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象(随机现象)：结果不确定

例1.1：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
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概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
第五章 大数定律和中心极限定理
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
6
概率论的概述 一、概率论的起源 二、概率论的发展 三、概率论的应用
四、学习要求
7
1.首次应用:
意大利的一位贵族问伽利略:掷三粒骰子， 出现9点与出现10点各有六种不同的组合,但 经验上发现出现10点的次数多于9点,是何缘 故?
概率论与数理统计
2013-12-29
1
概率论与数理统计
关开中 教授 五邑大学数学与计算科学学院
2
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。


概率论( Probability Theory ) 是研究与 揭示随机现象的统计规律性的一门数学学 科。 (数理) 统计学( Statistics ) 是应用概率论 的方法，研究如何收集与处理带有随机性 影响的数据的一门学科。
某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记 f ( A) 15 17 88%
A={听课迟到}，则 # 频率
f n ( A)
n
反映了事件A发生的频繁程度。
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例：抛硬币出现的正面的频率
表 1
试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n =5 n =50 n =500
(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）
1 A B：事件A发生一定导致B发生

B A
S
A B 2 A＝B B A

例1.5： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
(8) 至少有两个发生，
AB∪BC∪AC
或
ABC ABC ABC ABC
(9) 最多只有一个发生，
AB BC AC
or
ABC ABCABCABC
(10) 最多有两个发生，
A B C
or
ABC
or
A B C A B C A B C A B C ABC ABC ABC
1、候振廷：1978年获英国戴维逊奖 2、王梓坤：预报地震24次有17次准 确或较准确
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四、学习要求与参考书目
一、学习要求：
1 排列组合知识 求导 2 微积分知识: 积分(二重积分)
反常积分等。
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第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
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§1 随机试验(E)
B A
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事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
A B { x | x A 或 x B }：A与B至少有一发生。
S A B

A与B的积事件，记为 A B, A B, AB
A B { x | x A 且 x B }：A与B同时发生。
A B
n
S
A：A , A , A 至少有一发生
随机变量 离散型随机变量及其分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布
第三章
• • • • 3.1 3.2 3.3 3.4
多维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量
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第四章 随机变量的数字特征
• • • • 4.1 4.2 4.3 4.4 数学期望 方差 协方差及相关系数 矩、协方差矩阵
又 B AB，由2。 知P( B AB) P( B) P( AB)
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
#3 的推广：
。
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1
n
n
1 i j n

P ( Ai A j )

1i j k n
i 1 i 1 k k
称P(A)为事件A的概率。
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P( A) 0不能 A ；
性质：
1 P( A) 1 P( A)
P( A) 1不能 A S；
A A S P( A) P( A) 1 P() 0
2 若A B，则有 P( B A) P( B) P( A) P( B) P( A)
□
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§3 频率与概率
(一)频率 n f ( A) A ； 定义：记 n n 其中 n A—A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称f n ( A)为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
1 n； 一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为
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2.“点”问题
1653年梅耳问帕斯卡:他与赌友赌掷 骰子(shaizi)每人押32个金币,约定五战 三胜,在梅耳2:1领先时,梅耳接到通知要 陪同国王接见外宾,赌局就此终止,梅耳应 分得这64个金币的多少呢?
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3.梅耳猜想
掷一粒骰子四次至少出现一个 6的机会要比掷两粒骰子四次至少 出现一对6的机会更大些，这是否 成立？
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例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)． 解： S={1,2,„,8} A={1,2,3}
P A 3 8
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例2：从上例的袋中不放回的摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解： P( A) C1C1 / C 2 15 53.6%
nH
2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
fn(H)
0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6
nH
22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
fn(H)
0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.48 0.54 0.62
i 1 2 n i 1 n
A ：A , A
i 1 i 1
2
, An同时发生
S A B

当AB=Φ 时，称事件A与B不相容的，或互斥的。
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A B A B { x | x A 且 xB }
S A B
A A S A B S , 若 ,称A, B互逆、互斥 A的逆事件记为A, A A A B
S
“和”、“交”关系式
A
n n i i
A
1 2 n
A A
i i 1 i 1