第二章 第6课 函数的单调性
函数单调性教案-ppt课件
定义：
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
探求新知
y y f(x)
注意：
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
取x1，x2； x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
在给定的区间上任
x x 取x1，x2； 1
1 证明函数f（x）=-x2在0, 上是减函数.
2、预习下节课我们要学习的内容——最大(小)值.
函数单调性
复习思考
1 函数的概念？
设A，B为非空数集，如果按某一确定的对应关系f，使对于 集合A中任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对 应，那么就称对应f：A→B为从集合A到B的映射；即f：A→B的 一个函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.
函数的三要素：定义域、值域、对应关系
2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区
间上为减函数。这
个给定的区间就为
单调减区间。
巩固反思
例1 如右图是定义 在闭区间 [-5，5]上的 函数y=f(x) ，根据图 象说出函数的单调区 间，以及在每一单调 区间上，它是增函数 还是减函数.
解：函数y=f(x) 的单调区间有[-5,-2) , [-2,1) , [1,3) , [3,5).
在定义域区间内，
① 图像从左到右一直上升——x的值增大,函数值y也增大； ② 图像从左到右一直下降——x的值增大,函数值y反而减小. 问题2：那么对于二次函数的变化规律又是怎样描述的呢？
y
北师大版高中数学选择性必修第二册 第二章 6.1 函数的单调性
么区别?
问题1:运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)
是增函数.相应地,v(t)=h'(t)的正负性是怎样的?
√3
由 x>0,解 f'(x)<0,得 0<x< 3 .
√3
√3
∴函数 f(x)=3x -2ln x 的单调递增区间为( 3 ,+∞),单调递减区间为(0, 3 ).
2
反思感悟求不含参数的函数y=f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,函数在解集内单调递增.
性.( √ )
微练习
若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在区间
递增,在区间
答案 (1,+∞)
内单调
内单调递减.
(-∞,1)
解析 由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在
区间(-∞,1)内单调递减.
二、函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系
反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法:
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)
是相应单调区间的子集;
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则
高考第6课函数的单调性
第6课函数的单调性【自主学习】第6课函数的单调性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.2.(必修1P55习题8改编)函数f (x )=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .【答案】342⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】函数f (x )的定义域是(-1，4)，令u (x )=-x 2+3x+4，则u (x )=23--2x ⎛⎫⎪⎝⎭+254的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.因为e >1，所以函数f (x )的单调减区间为342⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(必修1P44习题4改编)已知函数y=f (x )是定义在R 上的单调减函数，则满足f (2-a 2)<f (a )的实数a 的取值范围为 . 【答案】(-2，1)【解析】由于f (x )在R 上是单调减函数，所以由f (2-a 2)<f (a )，可得2-a 2>a ，解得-2<a<1.4.(必修1P44习题2改编)若函数f (x )=x 2-mx+3在[2，+∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-∞，4]【解析】依题意得2m≤2，解得m ≤4.1.函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2.复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1 (2015·南京一中)已知函数f (x )=-xx a (x ≠a ). (1)若a=-2，求证：f (x )在(-∞，-2)上单调递增；(2)若a>0且f (x )在(1，+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围.【思维引导】用定义证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结论.【解答】(1)任取x 1<x 2<-2，则f (x 1)-f (x 2)=112x x +-222x x +=12122(-)(2)(2)x x x x ++.因为(x 1+2)(x 2+2)>0，x 1-x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(-∞，-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=11-x x a -22-x x a =2112(-)(-)(-)a x x x a x a .因为a>0，x 2-x 1>0，所以要使f (x 1)-f (x 2)>0， 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立，所以a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(0，1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f (x 1)-f (x 2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式 已知函数f (x )=x+1x ，求证：函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数. 【解答】在区间(0，1]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2.则f (x 1)-f (x 2)=111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(x 1-x 2)+2112-x x x x =121212(-)(-1)x x x x x x ， 因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0， 又因为0<x 1<x 2≤1， 所以x 1x 2>0，x 1x 2-1<0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在区间(0，1]上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2 若函数f (x )=-11ax x +在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a 的取值范围. 【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f (x )=-11ax x +=a-11a x ++，设x 1<x 2<-1，则f (x 1)-f (x 2)=11-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-21-1a a x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=211a x ++-111a x ++=1221(1)(-)(1)(1)a x x x x +++. 又函数f (x )在(-∞，-1)上是减函数， 所以f (x 1)-f (x 2)>0， 由于x 1<x 2<-1，所以x 1-x 2<0，x 1+1<0，x 2+1<0， 所以a+1<0，即a<-1.故实数a 的取值范围是(-∞，-1).【精要点评】已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解.需要注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间112⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，那么f(2)的取值范围为.(2)已知函数f(x)=21-212-1xx a xa a x⎧+≤⎪⎨⎪>⎩，，，，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为.【答案】(1)[7，+∞)(2)(1，2]【解析】(1)由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11，所以求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域，当然就应先求其定义域.二次函数f(x)在区间112⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是增函数，由于其图象开口向上，于是-12a≤12，解得a≤2，故f(2)≥-2×2+11=7，即f(2)的取值范围是[7，+∞).(2)由题意，得12+12a-2≤0，且a>1，解得1<a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].抽象函数的单调性例3已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-23，且当x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.【思维引导】(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f(x)为单调减函数的首选方法是选用单调性的定义来证.(2)用函数的单调性即可求最值.【解答】(1)方法一：因为函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，令x=y=0，得f(0)=0.再令y=-x，得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2，则x1-x2>0，f(x)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).1因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2).因此函数f(x)在R上是减函数.方法二：设x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x)=f(x1-x2).2因为当x>0时，f(x)<0，而x1-x2>0，所以f(x1-x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在R上为减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[-3，3]上也是减函数，所以f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，所以函数在[-3，3]上的最大值为2，最小值为-2.【精要点评】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2，在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小，或比较12()()f xf x与1的大小.有时根据需要，需作适当地变形，如x1=x2·12xx或x 1=x2+x1-x2等；利用函数单调性可以求函数最值.变式已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.【解答】(1)设x1<x2，所以x2-x1>0，因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x2-x1)>1.又f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1，f(3)=4⇒f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2，所以f(a2+a-5)<2=f(1)，因为f(x)在R上为增函数，所以a2+a-5<1⇒-3<a<2，即不等式的解集是(-3，2).1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(1，+∞)【解析】因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，所以x<-1或x>1.2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】11 73⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】因为函数f(x)=(3-1)41log1aa x a xx x+<⎧⎨≥⎩，，，在区间(-∞，+∞)上是减函数，那么在每一段上都是递减的，可知3a-1<0，0<a<1，且3a-1+4a≥0，所以实数a的取值范围是1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为.【答案】1 4【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0，得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数，故原命题等价于方程x2=x-k有唯一解，由Δ=0，得k=1 4.4.(2015·陕西卷改编)设f(x)=ln x，0<a<b，若p=f，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭，r=12[f(a)+f(b)]，有下列关系式：①q=r<p；②q=r>p；③p=r<q；④p=r>q，其中正确的是.(填序号)【答案】③【解析】p=f(ab)=ln ab=12ln ab，q=f2a b+⎛⎫⎪⎝⎭=ln2a b+，r=12[f(a)+f(b)]=12 ln ab.因为2a b+>ab，且f(x)=ln x在(0，+∞)上是单调增函数，所以f 2a b+⎛⎫⎪⎝⎭>f(ab)，所以q>p=r.5.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2，2)上是减函数，所以由f(m-1)-f(1-2m)>0，得f(m-1)>f(1-2m)，所以-2-12-21-22-11-2mmm m<<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，即-1313-2223mmm⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪⎩，，，解得-12<m<23，所以实数m的取值范围是12-23⎛⎫⎪⎝⎭，.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第11~12页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、填空题1.(2014·郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，那么满足f(x)<f(2x-3)的x的取值范围是.2.若函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞，1]上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则实数a的值是.3.函数y=-(x-3)|x|的单调增区间是.4.若函数f(x)=12axx++在区间(-2，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是.5.若函数f(x)=x-[1，4]上单调递增，则实数a的最大值为.6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3，+∞)，则实数a的值为.7.(2014·成都外国语学校)已知函数f(x)=1000-10xxx>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，g(x)=x2f(x-1)，那么函数g(x)的单调减区间是.8.(2015·福建卷)若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在[m，+∞)上单调递增，则实数m的最小值等于.二、解答题9.试讨论函数f (x )=2-1ax x ，x ∈(-1，1)的单调性(其中a ≠0).10.已知函数f (x )=log a (3x 2-2ax )在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，求实数a 的取值范围.11.已知函数f (x )=22x x ax ++，x ∈[1，+∞).(1)当a =12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意的x ∈[1，+∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在R 上的函数y =f (x )，f (0)≠0，当x >0时，f (x )>1，且对任意的a ，b ∈R ，有f (a +b )=f (a )·f (b ). (1)求f (0)的值；(2)求证：对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0； (3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)若f (x )·f (2x -x 2)>1，求x 的取值范围.【检测与评估答案】第6课函数的单调性1.(3，+∞)【解析】依题意得，不等式f(x)<f(2x-3)等价于x<2x-3，解得x>3，即x的取值范围是(3，+∞).2.5【解析】依题意可得对称轴为x=-1 22a⨯=1，所以a=5.3.32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】y=-(x-3)|x|=22-30-30.x x xx x x⎧+>⎨≤⎩，，，作出该函数的图象如图所示，观察图象知单调增区间为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.(第3题)4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=1112axx++-2212axx++=1221122-2-(2)(2)ax x ax xx x+++=1212(-)(2-1)(2)(2)x x ax x++>0，由x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，知2a-1>0，所以a> 12.5.2 【解析】令x =t ，所以t ∈[1，2]，即f (t )=t 2-at ，因为f (x )在[1，4]上单调递增，所以2a≤1，即a ≤2，所以a 的最大值为2.6.-6 【解析】容易作出函数f (x )的图象(图略)，可知函数f (x )在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又已知函数f (x )的单调增区间是[3，+∞)，所以-2a=3，解得a=-6.7.[0，1) 【解析】由条件知g (x )=22101-1x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，其图象如图所示，其单调减区间是[0，1).(第7题)8.1 【解析】由f (1+x )=f (1-x )，得函数f (x )关于直线x=1对称，故a=1，则f (x )=2|x-1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，+∞)上单调递增，故m ≥1，所以实数m 的最小值等于1.9.方法一：任取x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2，则f (x 2)-f (x 1)=222-1ax x -121-1ax x =12122221(-)(1)(-1)(-1)a x x x x x x +.因为-1<x1<x2<1，所以|x1|<1，|x2|<1，x1-x2<0，21x-1<0，22x-1<0，|x1x2|<1，即-1<x1x2<1，所以x1x2+1>0.因此，当a>0时，f(x2)-f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，此时函数为减函数；当a<0时，f(x2)-f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，此时函数为增函数.方法二：f'(x)=-222(1)(-1)a xx+，x∈(-1，1)，所以当a>0时，f'(x)<0，此时函数为减函数；当a<0时，f'(x)>0，此时函数为增函数.10.当0<a<1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则2132113-2022aa⎧≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪⨯⋅>⎪⎪⎝⎭⎩，，解得0<a<3 4.当a>1时，若f(x)=log a(3x2-2ax)在区间112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则21331-20aa⎧≥⎪⎨⎪⨯>⎩，，无解.综上，实数a的取值范围是34⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)当a=12时，f(x)=x+12x+2.因为f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，所以f(x)在区间[1，+∞)上的最小值为f(1)=7 2.(2)方法一：在区间[1，+∞)上，f(x)=22x x ax++>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立.设函数y=x2+2x+a，因为y=(x+1)2+a-1在[1，+∞)上单调递增，所以当x=1时，y min=3+a，当且仅当y min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>-3.方法二：f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)单调递增，所以当x=1时，f(x)min=3+a.当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，所以a>-3. 综上，实数a的取值范围为(-3，+∞).12.(1)令a=b=0，则f(0)=f(0)·f(0)，又f(0)≠0，解得f(0)=1.(2)当x<0时，-x>0，所以f(0)=f(x)·f(-x)=1，因为x>0时，f(x)>1>0，所以f(-x)=1()f x>0.又f(0)=1>0，所以对任意的x∈R时，恒有f(x)>0.(3)设x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)>1，所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1)>f(x1)，即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1，可得f(x+2x-x2)>1，即f(3x-x2)>f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数，所以3x-x2>0，所以0<x<3. 即x的取值范围是(0，3).。
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
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03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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感谢您的观看
单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
函数的单调性ppt课件
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
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2
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
函数的单调性(公开课课件)
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
名师导学高考数学一轮总复习第二章函数第6讲函数的单调性课件文新人教A版
第五页，共35页。
5.对任意 a，b∈R，记 max{a，b}＝ba，，aa<≥bb. ，函数 fx＝ 3
max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是 2 .
【解析】作出函数 y＝x＋1和 y ＝x－2的图象，如图，由图可知 f(x)
＝x2＋－1x，，xx≥<1212，所以 f(x)的最小值
为 f12＝32.
第六页，共35页。
【知识要点】
1.单调函数的有关概念
(1)增函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说
f(x)在这个区间上是增函数.
(2)减函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说
立.
即
a≥
x2＋2x x＋1
＝
（x＋1）2－1 x＋1
＝
(x
＋
1)
－
1 x＋1
对
任
意
x∈(－1，1)都成立.
令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋（x＋11）2>0.
∴y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1，1)上单调递增.
∴y<(1＋1)－1＋1 1＝32.
∴a≥32.
第十九页，共35页。
(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减， 则 f′(x)≤0 对任意 x∈R 都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0 对任意 x∈R 都成立， ∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0 对任意 x∈R 都成立.
2.判断函数单调性的常用方法
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(－2,1) ． 足 f(2－a2)＜f(a)的实数 a 的取值范围为________
【解析】因为f(x)在R上是单调减函数，所以由f(2－a2)＜f(a)，可得2－a2＞a， 解得－2＜a＜1.
4. (必修 1P44 习题 2 改编)若函数 f(x)＝x2－mx＋3 在[2，＋∞)上是增函数，则实
导函数法 (3)______________ ．
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第二章
函数与基本初等函数Ⅰ
研题型 ·技法通关
第10页
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1 1 x1 x2 e
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函数与基本初等函数Ⅰ
课堂导学 目标1 函数单调性的判断与证明 1 求证：f(x)＝e ＋ x在(0，＋∞)上是增函数． e
f(x1)>f(x2) x1<x2 时，都有____________( f(x1)<f(x2) 或都有______________) 两个自变量x1，x2，当________ ，那
么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)． (2) 如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间 上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的_____________ 单调区间 ；若函数是增函数，则称
单调性 ，并且具有这样的规律：_____________________________________ 增增(或减减)则增，增减(或减增)则减 ． 具有________
3. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法
函数单调性的定义法 (1)________________________ ； 函数的图象法 ； (2)_____________
增区间 ；若函数为减函数，则称该区间为__________ 减区间 ． 该区间为__________
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第二章
函数与基本初等函数Ⅰ
2.
复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a， b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上
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函数与基本初等函数Ⅰ
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函数与基本初等函数Ⅰ
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第 6课
函数的单调性
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函数与基本初等函数Ⅰ
栏 目 导 航
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链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
(－∞，4] ． 数 m 的取值范围为___________
m 【解析】依题意得 2 ≤2，解得m≤4.
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函数与基本初等函数Ⅰ
知识梳理 1. 函数单调性的定义
给定区间上 的函数f(x)，如果对于属于这个区间的______ (1) 一般地，对于_______________ 任意
2
32 ＋3x＋4，则u(x)＝－x－2 ＋
3 3 25 的单调减区间为2，4.因为e>1，所以函数f(x)的单调减区间为2，4. 4
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函数与基本初等函数Ⅰ
3. (必修 1P44 习题 4 改编)已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的单调减函数，那么满
x
1 1 1 1 x x 【解答】任取 0＜x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝ex1－e x2＋ex1－ex2＝(e x2－e x1) e . x1 x2 x2 x1 e 因为 x2>x1>0，所以 e >e ， >e0＝1，
1 2
所以
e x2－e x1>0，
1 e
x1 x2
1
<0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
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【精要点评】证明函数单调性的基本步骤：(1) 设变量；(2) 作差(作商)，变形； (3) 定号；(4) 下结论．其中(2)(3)是解题的关键．在遇到其他综合问题时，也可以使 用图象法、复合函数单调性规律等方法来解题．
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1 已知函数f(x)＝x＋ x，求证：函数f(x)在区间(0,1]上是单调减函数． 【解答】在区间(0,1]上任取x1，x2，且x1<x2，
x2－x1 x1－x2x1x2－1 1 1 则f(x1)－f(x2)＝x1＋x －x2＋x ＝(x1－x2)＋ x x ＝ . x x 1 2 1 2 1 2
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链教材 ·夯基固本
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激活思维 1.
②③ ．(填序号) (必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是______
①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数； ②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数； ③若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间[0，＋∞)上 也是单调增函数，则函数f(x)在R上是单调增函数； ④若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上 也是单调增函数，则函数f(x)在R上是单调增函数．
【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析．
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第二章
函数与基本初等函数Ⅰ
2.
3 ，4 2 2 (必修1P55习题8改编)函数f(x)＝ln(4＋3x－x )的单调减区间是___________ ．
【解析】函数f(x)的定义域是(－1,4)，令u(x)＝－x