北京市部分区2016届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：平面向量
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：导数及其应用.docx
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（东城区2016届高三上学期期中）若曲线f （x ）＝在点（1，a ）处的切线平行于x轴，则a ＝2、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝为实数，若f（x ）在x ＝－1处取得极值，则a ＝3、（海淀区2016届高三上学期期末）直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45o ，则___.t =参考答案 1、12 2、1 3、14二、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x =． (Ⅰ) 求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）设()()()1h x f x k x =--，若()h x 存在最大值，且当最大值大于22k -时，确定实数k 的取值范围．2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知函数()(21)ln 2kf x k x x x=-++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当e k =时，试判断函数()f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数()f x 的单调区间.3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数ln ()xf x x=． （Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21[,e ]e上的零点个数5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数()e xf x x a =-，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； （Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数3()g x x =，请写出曲线()y f x =与()y g x =最多有几个交点.（直接写出结论即可）6、（东城区2016届高三上学期期中） 已知函数（I ）若a ＝1，求f （x ）的单调区间与极值； （II ）求证：在（I ）的条件下，f （x ）＞g （x ）＋12； （III ）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值是－1？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由。
2016年高考数学文真题分类汇编：平面向量 Word版含标准答案
2016年高考数学文试卷分类汇编平面向量一、选择题1、（2016年四川高考）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足，则的最大值是 (A)443 (B) 449 (C)43637+ (D)433237+ 【答案】B2、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC •u u u r u u u r 的值为（ ）（A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B3、（2016年全国III 卷高考）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则ABC ∠= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】30.o2、（2016年江苏省高考）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ .【答案】783、（2016年山东高考）已知向量a =(1,–1)，b =(6,–4)．若a ⊥(ta +b )，则实数t 的值为________．【答案】5-4、（2016年上海高考）如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA ×uu u r uu r 的取值范围是.【答案】[2]-5、（2016年全国I 卷高考）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. 【答案】23- 6、（2016年全国II 卷高考）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.【答案】6-7、（2016年浙江高考）已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．7。
北京市部分区2016届高三上学期期中期末数学理试题分类汇编：复数、推理与证明
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编 复数、推理与证明一、复数1、（朝阳区2016届高三上学期期末）复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-2、（东城区2016届高三上学期期末）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - 3、（丰台区2016届高三上学期期末）复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-14、（海淀区2016届高三上学期期末）已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为A.1B.1-C. iD.i -5、（石景山区2016届高三上学期期末）在复平面内，复数2i 1i-对应的点到原点的距离为________6、（西城区2016届高三上学期期末）已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.参考答案1、D2、B3、D4、A5、26、13i --二、推理与证明1、（朝阳区2016届高三上学期期末）设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <2、（海淀区2016届高三上学期期末）已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B C A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C ===o o o ；②75,60,45A B C ===o o o ；③75,75,30A B C ===o o o .(ii) 若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，且其顶角的度数为___.3、（海淀区2016届高三上学期期中）对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ； ⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是4、（石景山区2016届高三上学期期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，12AB CD =，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起，使得面BEFC ⊥面ADFE ，若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为( )A.直线B.椭圆C.圆D.抛物线参考答案 1、B 2、②；45o 3、2； [36,)+∞ 4、CA BC DE F P A B C D F E。
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（东城区2016届高三上学期期中）曲线处的切线方程是A、x＝1B、y＝12C、x＋y＝1D、x－y＝12、（东城区2016届高三上学期期中）已知定义在R上的函数()f x的图象如图，则的解集为参考答案1、B2、A二、填空题1、（东城区2016届高三上学期期中）若过曲线上的点P的切线的斜率为2，则点P的坐标是参考答案1、（e，e）三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数()()2ln 1f x x =+.（Ⅰ）若函数()f x 在点()()00P x f x ，处的切线方程为2y x =，求切点P 的坐标；（Ⅱ）求证：当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-；（其中e 2.71828=⋅⋅⋅） （Ⅲ）确定非负实数．．．．a 的取值范围，使得()()220,x f x x a x ∀≥≥-成立.2、（朝阳区2016届高三上学期期末） 已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；（ⅱ）试判断方程ln 3()2x f x x =+是否有实数解，并说明理由．3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--． （Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．6、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝。
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北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编函数一、选择题1、（昌平区2016届高三上学期期末）下列函数中，为偶函数的是（ ） A. y x =B. 2x y =C.sin y x =D. cos y x =2、（朝阳区2016届高三上学期期末）下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A ．()f x x =B ．1()f x x=C ．()e xf x = D ．()sin f x x = 3、（朝阳区2016届高三上学期期中）下列函数在(,0)(0,)-∞+∞上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是A ．2y x =-B ．1y x -=C ．2log y x =D ．2xy =-4、（大兴区2016届高三上学期期末）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(1,1)-内有零点的函数是（A ）12log y x=（B ）21xy =-（C ）212y x =-（D ）3y x =- 5、（东城区2016届高三上学期期末）给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2xy =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④6、（东城区2016届高三上学期期中）下列函数中，定义域与值域相同的是7、（丰台区2016届高三上学期期末）函数0.5()log (1)f x x =-的定义域为（A ）(1,)-+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(,0)-∞8、（海淀区2016届高三上学期期末）已知下列函数：①3()f x x x =-；②()cos 2f x x =；③()ln(1)ln(1)f x x x =--+，其中奇函数有_________个.9、（海淀区2016届高三上学期期中）下列函数中为偶函数的是 A ．B ． | |C ． －D ．10、（石景山区2016届高三上学期期末）若函数()y f x =的定义域为{}|22x x M =-≤≤,值域为{}|02N y y =≤≤,则函数()y f x =的图象可能是（ ）11、（顺义区2016届高三上学期期末）下列函数中为奇函数的是 （ ） （A ）sin y x x =⋅（B ）cos y x x =⋅（C ）ln ||y x =（D ）21x y =-12、（西城区2016届高三上学期期末）下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ） （A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x = 13、（北京临川学校2016届高三上学期期末）函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)14、（昌平区2016届高三上学期期末）设0.5222,0.5,log 0.5a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c >>15、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞16、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数)21()(2≤≤-=x x a x f 与1)(+=x x g 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（A ）5[,)4-+∞ （B ）[1,2] （C ）5[,1]4- （D ）[1,1]-17、（东城区2016届高三上学期期中）函数1()ln f x x x=-的零点个数为A 、0B 、1 B 、2 D 、3 18、（东城区2016届高三上学期期中）三个数之间的大小关系是A 、c ＜a ＜bB 、c ＜b ＜aC 、a ＜b ＜cD 、b ＜c ＜a 19、（东城区2016届高三上学期期中）、函数f （x ）＝的图象可能是20、（丰台区2016届高三上学期期末）某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有0.48830.53830.7883单价（元/度）年用电量（度）28804800o电费（元/年）年用电量（度）480028802439.841406.30B AO① ②0.7883元/度0.5383元/度0.4883元/度线段PQ 左侧阴影部分的面积表示年用电量为x 度时的电费x o48002880年用电量（度）PQ③ 参考数据：0.4883元/度⨯2880度=1406.30元，0.5383元/度⨯(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③21、（海淀区2016届高三上学期期中）如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数 （ >0，且≠1）及 （ ，且 ≠1）的图象与线段OA 分别交于 点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则 ， 满 足 A ． < <1 B ． < <1 C ． > >1D ． > >122、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞ C.1(,)(1,)2-∞-+∞D.(,0)(0,1)-∞23、（顺义区2016届高三上学期期末）下设函数()|21|,xf x c b a =-<<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是 （ ）（A ）222a c +> （B ）222a c +≥ （C ）222a c +≤ （D ）222a c +<参考答案1、D 2、D 3、C 4、B 5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、B11、B 12、C 13、C 14、C 15、C 16、D 17、B 18、A 19、D 20、B 21、A 22、D 23、D二、填空题1、（大兴区2016届高三上学期期末）若log 22a =，则a 等于 ．2、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝＝3、（丰台区2016届高三上学期期末）已知下列函数：①3()f x x x =-；②()cos 2f x x =；③()ln(1)ln(1)f x x x =--+，其中奇函数有_________个.4、（海淀区2016届高三上学期期末）若lg lg 1a b +=，则___.ab =5、（海淀区2016届高三上学期期中）函数()22x f x =-的定义域为_____.6、（顺义区2016届高三上学期期末）123123,2,log 3-三个数中最大的数是_________.7、（顺义区2016届高三上学期期末）.已知函数2,0()(1),0x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(2)(2)________f f +-= 8、（西城区2016届高三上学期期末）已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.9、（西城区2016届高三上学期期末）某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. ○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）参考答案1、22、13、24、105、[1,)6、7、48、19、4 是。
北京市各区高三数学上学期期中、期末考试分类解析(10)平面向量
十、平面向量1．（西城区高三期末考试理3）已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ D ）A.1)-B.(1,-C.(1)-D.(- 2．（西城区高三期末考试文2）若向量=a ，(0,2)=-b ，则与2+a b 共线 的向量可以是（ D ）A.1)-B.(1,-C.(1)-D.(-3．（海淀区高三期末考试理2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么→EF =（ D ）A.1123AB AD - B.1142AB AD + C.1132AB DA +D.1223AB AD -4．（朝阳区高三期末考试理1）已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则 实数x 的值为（ C ）A.9B.1C.1-D.9-5．（朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理2）已知向量a ，b 满足|a |= 8，|b |= 6， a ·b = 24，则a 与b 的夹角为（ B ）A. 30B. 60C. 90D.1206．（顺义区高三尖子生综合素质展示文7）直线1ax by +=与圆122=+y x 相交于不同的A,B 两点（其中b a ,是实数），且0OA OB ⋅>(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点1(0,)2距离的取值范围为（ D ）A.(1,)+∞B.1(,)2+∞C.1(2D.11(,22+ 7．（东城区高三示范校高三综合练习(一)理3）已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b与2-a b 共线，则nm等于（ C ） A ．2-； B.2C ．21-D.21F8．（东城区高三期末考试文8）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关 于y 轴对称，向量)0,1(=a ，则满足不等式20OA AB +⋅≤a 的点),(y x A 的集合用阴影表 示为（ B ）9．（东城区高三期末考试理10）若非零向量a ，b 满足b a b a -==，则a 与b a +的夹角为 ．答案：30。
北京市海淀区2016届高三数学上学期期中试卷文(含解析)
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为( )A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是( )A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称 D．f（x）的值域为6．“x=0”是“sinx=﹣x”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b 满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为__________．10．若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=__________．11．若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=__________．12．已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为__________．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为__________．14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为__________（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递增，求a的取值范围．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如=1，=2，=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x≤0}，M={0，1，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可做出判断．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即P={x|0≤x≤1}，∵M={0，1，3，4}，∴P∩M={0，1}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用．【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论．【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用数量积公式则•=||•||COS60°求解即可．【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．4．数列{a n}的前n项和S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1的值为( ) A．0 B．1 C．3 D．5【考点】数列递推式．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），可得S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，代入解出即可得出．【解答】解：∵S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），∴S2﹣S1=22﹣1=3，又S2=3，∴S1=0，则a1=0．故选：A．【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列结论中错误的是( )A．f（x）=cos2x B．f（x）的最小正周期为πC．f（x）的图象关于直线x=0对称 D．f（x）的值域为【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故B正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6．“x=0”是“sinx=﹣x”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：x=0时：sinx=sin0=0，是充分条件，而由sinx=﹣x，即函数y=sinx和y=﹣x，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=﹣x的草图，由图得交点（0，0）推出x=0，是必要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的交点问题，是一道基础题．7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b 满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．8．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．10．若角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得cos（α+）的值．【解答】解：角α的终边过点（1，﹣2），则cos（α+）=﹣sinα=﹣=，故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．11．若等差数列{a n}满足a1=﹣4，a3+a9=a10﹣a8，则a n=n﹣5．【考点】等差数列的通项公式．【专题】函数思想；待定系数法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得公差d的方程，解方程可得通项公式．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a3+a9=a10﹣a8，∴﹣4+2d﹣4+8d=﹣4+9d﹣（﹣4+7d），解得d=1∴a n=﹣4+n﹣1=n﹣5故答案为：n﹣5【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出公差是解决问题的关键，属基础题．12．已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点．若∥，则点B的坐标为（2，4）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣4，2x﹣4）．∵∥，∴0﹣（2x﹣4）=0，解得x=2，∴B（2，4），故答案为：（2，4）．【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则ω的最小值为6．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】应用题；规律型；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin=sin（ωx++φ），∴φ=++φ+2kπ．即ω=﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值为：6故答案为：6【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），均有（t为常数），则称数列{a n}具有性质P（t）（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为3（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则实数a的取值范围是a≥8．【考点】数列递推式；全称命题．【专题】函数思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则t的最大值为（2）根据定义≥7恒成立，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）若数列{a n}的通项公式为a n=n2，具有性质P（t），则==m+n，由得m+n≥t，∵∀m，n∈N*（m≠n），∴当m+n=1+2时，t≤3，则t的最大值为3．（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，具有性质P（7），则≥7恒成立，即==m+n+≥7，即当m=1，n=2时，=m+n+=1+2+≥7，即≥4则a≥8．故答案为：3，a≥8【点评】本题主要考查递推数列的应用，以及不等式恒成立问题，考查学生的运算和推理能力．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{a n}的前n项和为S n，求证＜2．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）作差﹣2化简即可得出．【解答】（I）解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a3=4．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．【点评】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用已知表达式，直接求解f（）的值；（Ⅱ）化简函数的表达式，利用函数f（x）的周期公式求解，通过正弦函数的单调递增区间求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（）=sin（2×﹣）+cos（2×﹣）===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）．所以f（x）=2（sin（2x﹣）+cos（2x﹣））=2sin（2x﹣+）=2sin2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以周期T==π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，k∈Z．所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，三角函数的正确的求法，得到求解的求法，考查计算能力．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=﹣3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得f′（x）≥0对x∈成立，只要f′（x）=x2+2x+a在上的最小值大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间和对称轴的关系，求得最小值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈成立，只要f′（x）=x2+2x+a在上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a≥0的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是a≥1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的各项均不为0，其前n和为S n，且满足a1=a，2S n=a n a n+1．（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）若a=﹣9，求S n的最小值．【考点】数列递推式．【专题】计算题；分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由2S n=a n a n+1，可得2a1=a1a2，又a1=a≠0，即可得出a2．（Ⅱ）由2S n=a n a n+1，可得a n+1﹣a n﹣1=2，于是数列{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，即可得出．（Ⅲ）当a=﹣9时，a n=，利用2S n=a n a n+1，可得S n，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（Ⅱ）∵2S n=a n a n+1，∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1a n，两式相减得到：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴数列{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1时，a n=a1+2（k﹣1）=a+2k﹣2=a+n﹣1，当n=2k时，a n=2+2（k﹣1）=2k=n，∴a n=．（Ⅲ）当a=﹣9时，a n=，∵2S n=a n a n+1，∴S n=，∴当n为奇数时，S n的最小值为S5=﹣15；当n为偶数时，S n的最小值为S4=﹣10，所以当n=5时，S n取得最小值为﹣15．【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如=1，=2，=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．【考点】函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】新定义；转化思想；归纳法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据Ω函数的定义，分别求k=1，a=，进行证明即可；（Ⅲ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则令=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（）=f（）=f（1）所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则令=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（﹣）=f（）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设k∈N•，取a∈（k2，k2+k），令=k，m=，则一定有m﹣=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（），所以f（x）是Ω函数．）方案二：设k∈N•，取a∈（k2﹣k，k2），令=﹣k，m=﹣，则一定有m﹣=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（），所以f（x）是Ω函数．）（Ⅲ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则=0，所以f（）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。
【数学】北京市朝阳区2016届高三上学期期中考试(文).docx
北京市朝阳区 2016 届高三上学期期中考试数学试卷（文科）（考试时间120 分钟满分150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .1. 已知集合A{ x x2} ，B＝{ x (x1)(x3)0} ，则A∩B=（）A ． { x x 1}B．{ x 2 x 3}C．{ x 1 x 3}D． { x x 2 或x 1}2. 设平面向量a( x,1) ，b (4, x) , 且a b1,则实数x的值是（）A ．2B ．111 C． D ．353.下列函数在(,0)(0, ) 上既是偶函数，又在(0, ) 上单调递增的是（）A ．y x2B ．y x 1C．y log 2 x D． y2x4．已知tan 1，那么 tan(π3) 等于（）4A ．2B．2C．1D．1 225.要得到函数y sin(2 x) 的图象，只需将函数y sin 2x 的图象（）3A ．向左平移个单位B．向右平移个单位66 C．向左平移个单位D．向右平移个单位336.下列命题正确的是（）A.“x 1”是“x23x 2 0 ”的必要不充分条件1C. 若 p q 为假命题，则 p, q 均为假命题D. 命题 “若 x 23x 20 ，则 x2 ”的否命题为 “若 x 2 3x 20, 则 x 27.在 ABC 中，已知 AB AC4 ， BC3 ， M , N 分别是 BC 边上的三等分点，则AM AN的值是（）21 C ． 6D ． 8A ． 5B ．48. 已知函数 f (x)x 2, 0 x a,若存在实数 b ，使函数 g(x)f ( x) b 有两个零点，2x ,xa.则实数 a 的取值范围是（）A ． (0, 2)B ． (2, )C ． (2, 4)D ． (4, )第二部分（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在答题卡上 .1 9.若集合 { a,0,1} ={ c, , 1} ，则 a _____,b_______.b10.设等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 a 3 a 6 12 ， S 4 8 ，则 a 9 的值是．11.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是 ________．12．已知函数 f (x) 2sinx (0 )的最小正周期为，则，在 0,( ) 内满足 f ( x 0 ) 0的 x 0＝．π π13. 若函数 f (x) a sin xcosx 在区间 ( ,) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 .6 414. 如 图 ， 在 ABC 中 ， A B A C 4 ，BAC 90 ， D 是 BC 的 中 点 ， 若 向 量AM1AB mAC （ m R ），且点 M 在 ACD 的内部（不含边界） ，则 AM BM 的取值范4围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) 2 3sin xcosx2cos 2x. 222（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f ( x) 的单调递减区间.16.（本小题满分 13 分）设等差数列a n的前n项和为 S n，n N ，公差d0, S315, 已知a1, a4, a13成等比数列 .（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 b n a2n，求数列b n的前n项和T n.17.（本小题满分14 分）如图 , 在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1底面ABC ,AC CB ,点 D 是 AB 的中点．（Ⅰ）求证：AC BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面 CDB1.(Ⅲ )设AB2AA1, AC BC ,在线段A1 B1上是否存在点M ，使得 BM CB1?若存在,确定点 M 的位置;若不存在，说明理由.18.（本小题满分 13 分）在 ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知 cos B 1 ．2（Ⅰ）若 a 2, b 2 3 ，求 ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin A sin C 的取值范围．19. （本小题满分13 分）已知函数 f ( x) a ln x x2( a 1) x ，a R．2（Ⅰ）若函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上单调递减，求 a 的取值范围；（Ⅱ）当 a 1 时，证明1 f ( x).220.（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) e x (ax2bx 1) (其中 a ，b R ),函数f ( x)的导函数为f ( x)，且f ( 1)0．(Ⅰ )若b 1 ，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；(Ⅱ )若函数 f (x) 在区间 [ 1,1] 上的最小值为0 ，求 b 的值．参考答案一、：（分 40分）号12345678答案B D C A B B C C 二、填空：（分 30分）号91011121314答案1,115①④ 2 ,[1, )2,62（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答：（分 80 分）15.（本小分 13 分）（I ）由已知可得：f ( x)3sin x cosx 12sin( x)1 .6所以 f (x) 的最小正周期 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..7 分（II ）由2k x2k， k Z ,22得 2k x2k, k Z .33因此函数 f (x) 的减区 [2 k,2 k] , k Z.33⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..13分16.（本小分 13 分）解：（ I）依意，3a32 d15,12( a13d)2a1 ( a1 12d ).a13,解得d2.因此 a n a1( n 1)d 3 2(n 1) 2n 1, 即a n2n 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6分(Ⅱ )依意，b n a2n22n12n 11.T n b1 b2b n(221)(231)(2n 1 1)=2223...2n1n4(1 2 n )n122n2n 4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..13分17.（本小分14 分）（ I）在三棱柱ABC A1 B1 C1中，因 CC1底面ABC，AC底面ABC，所以 CC1AC .又 AC BC ，BC CC1 C ,所以 AC平面BCC1B1．而BC1平面BCC1B1，AC BC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..4分(Ⅱ )CB1与 C1 B 的交点E，DE，因 D 是 AB 的中点， E 是BC1的中点，E 所以 DE ∥AC1.因 DE平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..9分(Ⅲ )在段A1B1上存在点M，使得BM CB1,且M段A1B1的中点 .明如下：因 AA1底面 ABC ， CD底面 ABC ,M 所以 AA1CD .E 由已知 AC BC ，D段AB的中点，所以 CD AB .又 AA 1 AB A ，所以 CD 平面 AAB B .1 1取 段 A 1 B 1 的中点 M ， 接 BM . 因 BM 平面 AA 1B 1 B ，所以 CD BM .由已知 AB 2AA 1 ，由平面几何知 可得 BM B 1 D .又 CD B 1D D ,所以 BM 平面 B 1CD .又 11BC平面 B CD ，所以 BMCB 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..14分18. （本小 分 13 分）（I ）在ABC 中，因 cos B1 ，2所以 B2π， sin B3 .32由正弦定理ab ,sin A sin B可得2 2 31 sin A, sin A.322又 A 角， A，所以 C .66所以 S ABC1ab sin C211 22 3223 .. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（II ） sin A sinCsin( C) sinC3= sin C3cosC 1 ( sin C)22=3sin 2C1(1 cos2C )441sin(2C) 1 .264因 C(0,) ，3所以2C5( ,) .666 sin(2C)( 1 ,1].62所以 sin A sin C 的取范是1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分(0, ] .419.（本小分 13 分）解：（ I）函数的定域(0,) .因 f ( x)a(ax2(a 1)x a( x1)( x a) x1)x x. x又因函数 f ( x) 在(1,3)减，所以不等式( x1)(x a)0 在(1,3)上成立.g( x) ( x1)(x a) ， g (3)0 ，即 93(a1)a0 即可，解得 a 3.所以a的取范是[3,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅱ）当 a 1 ， f ( x)ln x x2，2f (x)1xx21(x1)(x 1) x x x.令 f(x)0 ，得x1或 x 1 （舍）.当 x 化， f ( x), f ( x) 化情况如下表：x(0,1)1(1, )f ( x)0+f (x)极小所以 x 1,函数f ( x)的最小f (1)1 . 2所以 f (x)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分成立 .220.（本小分 14 分）解：因 f (x)e x (ax2bx1) ，所以f( x)e x[ ax2(2a b) x b 1] ．因 f(1)0 ，所以 a(2 a b)b10 ．所以 a 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( Ⅰ)当a1， b1，f (0)1, f (0) 2 ，所以曲 y f (x) 在点(0, f (0)) 的切方程y12( x0) ．即 2x y 10．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(Ⅱ )由已知得f ( x)e x (x2bx 1)，所以f ( x) e x[ x2(2b) x b 1]e x ( x 1)(x b1)．（ 1）当b11，即 b0，令 f(x) e x (x1)(x b1) 0 得，x 1 或 x b1 ；(x1)(1)0 得，．令) e (f x x x b b 1 x1所以函数 f (x) 在 (1,) 和 (,b1)上增，在( b1, 1) 上减．所以函数 f (x) 在区 [1,1] 上增．所以函数 f ( x) 在区 [1,1] 上的最小 f ( 1) e 1 (2b)0 ．解得 b 2 ．然合意．（ 2）当b11，即 b0 ，f ( x)e x( x1)20 恒成立，所以函数 f ( x) 在 (,) 上增．所以函数 f (x) 在区 [ 1,1] 上增．所以函数 f ( x) 在区 [ 1,1]上的最小 f (1) e 1 (2b) 0 ．解得 b 2 ．然不符合意．（ 3）当b11，即 b0 ，令 f ( x) e x ( x1)(x b1) 0 得，x1或 x b 1 ；x1)(1) 0得，．令( ) e (f x x x b1x b 1所以函数 f (x) 在 (, 1) 和 ( b 1,) 上增，在 (1, b1) 上减．①若 b 11，即 b 2 ，函数 f ( x) 在区 [ 1,1] 上减．所以函数 f (x) 在区 [ 1,1] 上的最小 f (1)e(2b)0 ．解得 b 2 ．然合意．②若 b 11，即 2b0 ，函数 f ( x) 在在 (1,b1) 上减，在( b 1,1) 上增．此，函数 f ( x) 在区 [1,1] 上的最小 f ( b1) e b 1(b2)0 ．解得 b 2 ．然不合意．上所述， b 2 或b 2 所求．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分。
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北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类
汇编
平面向量
一、选择题
1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m 的
值为
A. 2-
B. 2
C.
12 D. 1
2
- 2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知B A ,为圆9)()(:2
2
=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足13||=+CB CA ，则=AB
A. 23
B.
C. 2
D. 4
3、（朝阳区2016届高三上学期期中）设平面向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 且⋅a b 1=-, 则实数
x 的值是
A ．2-
B ．1-
C ．13-
D ．15
-
4、（大兴区2016届高三上学期期末）若向量,,a b c 满足∥a b ，且⊥a c ，则(2)⋅+c a b 等于
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）0
5、（东城区2016届高三上学期期末）已知向量(1,2)=a ，(2,)x =-b .若+a b 与-a b 平行，则实数x 的值是
（A ）4 （B ） （C ）1-
（D ）4-
6、（朝阳区2016届高三上学期期中）在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=
3，,M N 分
别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是 A ．5 B ．
4
21
C ．6
D ．8
7、（丰台区2016届高三上学期期末）已知向量(3,-4)a = ，(,)b x y = ，若a //b ，则 （A ）340x y -= （B ）340x y += （C ）430x y += （D ）430x y -=
8、（海淀区2016届高三上学期期末） 如图, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若
AE AB AC λμ=+ ，
则λμ+的值为 A.
12 B. 1
2
- C. 1 D.1-
9、（海淀区2016届高三上学期期中）在中，∠A 60°，|
|2，|
|1，则
的
值为 A ．
B ．-
C ．1
D ．-1
10、（顺义区2016届高三上学期期末）对于非零向量,a b ，“230a b += ”是“a ∥b ”成
立的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条件
11、（西城区2016届高三上学期期末）设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =
，则AM =
（ ）
（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2
AB AC +
参考答案
1、C
2、A
3、D
4、D
5、D
6、C
7、C
8、A
9、C 10、A 11、D 二、填空题
1、（朝阳区2016届高三上学期期中）如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠= ，D
是BC 的中点，若向量14
AM AB mAC =+
（m ∈R ），且点M 在ACD ∆的内
部（不含边界），则AM BM ⋅ 的取值范围是 ．
2、（海淀区2016届高三上学期期中）已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B
为直线2y x =上一个动点.若AB
//，则点B 的坐标为____.
3、（石景山区2016届高三上学期期末）已知向量()3,4a →=-，()m b ,1=→，若()0a a b →→→
⋅-=，则=m ___________
4、（延庆区2016届高三3月模拟）平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1,2)a =
，
1(3,1)2
a b -=
，则a b ⋅= ；
参考答案
1、()6,2-
2、(2,4)
3、7
4、0。