广东省仲元中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题 含答案
精品：【全国百强校】广东省仲元中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
第Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．120-°的角所在象限是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C 【解析】试题分析：由象限角得定义可知，120-°的角所在象限是第三象限角. 考点：象限角.2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 【答案】C考点：弧度制.3．在四边形ABCD 中，+=，则下列结论一定正确的是( ) A ． ABCD 一定是矩形 B ． ABCD 一定是菱形 C ． ABCD 一定是正方形 D ． ABCD 一定是平行四边形【答案】D 【解析】试题分析：在四边形ABCD 中，∵AC AB AD AC AB BC =+=+，，AD BC =，即//AD BC ，且AD BC =，如图所示；∴四边形ABCD 是平行四边形． 考点：向量的加法及其几何意义．4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ． 54 【答案】D 【解析】试题分析：由任意角的三角函数公式可知，4sin 5α==. 考点：任意角的三角函数. 5．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 【答案】C考点：正弦函数的单调性．6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ) A ．91-B ．92C ．98-D ． 32 【答案】C 【解析】 试题分析：()21118sin cos ,sin cos 1sin 2sin 23999αααααα+=∴+=⇔+=∴=-，故选C.考点：1.同角的基本关系；2.正弦的二倍角公式. 7．向量)1,2(),2,1(=-=，则（ ）A ． a ∥bB ． a ⊥bC ． a 与b 的夹角为60°D ． a 与b 的夹角为30° 【答案】B 【解析】 试题分析：(1,2),(2,1)(1,2)(2,1)0a b a b a b =-=∴⋅=-⋅=∴⊥.考点：平面向量的数量积的坐标运算.8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足λ=,10<<λ,则AM AB ⋅的最大值( ) A ． 4 B ．2 C ．λ2 D ．λ2- 【答案】A考点：平面向量的数量积.9．函数x x y 22sin cos -=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数 【答案】A【解析】 试题分析：22()cos sin ()()cos 2()f x x x x R f x x x R =-∈∴=∈，所以函数()f x 是最小正周期为π的偶函数.考点：1.余弦的二倍角公式；2.三角函数的性质.10．若函数x x f 2sin )(=，则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为（ ） A ． )0,4(πB ． )0,3(πC ． )0,2(πD ． )0,(π 【答案】C 【解析】试题分析：令22,x k k Z ππ=+∈，所以,2x k k Z ππ=+∈，所以()f x 图象的一个对称中心的坐标为)0,2(π.考点：正弦函数的性质.11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位【答案】B考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数x y 2sin =到函数12cos -=x y 的图像，即可得到选项．【方法点睛】三角函数图象变换： (1)振幅变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈=,sin ω (3)相位变换 R x x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ (4)复合变换 Rx x y ∈=,sin −−−−−−−−−−−−→−<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ−−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ωωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω.12．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，D 为AB 的中点，若PB PA PC PD ++=+)1(2λ，且PBA ∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】B考点：平面向量的基本定理及其意义．【思路点睛】本题考查平面向量的基本定理，通过D 为AB 的中点可得2PD PA PB =+，利用()21PD PC PA PB λ+=++化简可得PC PA λ=，通过PBA 与PBC 的面积相等可得P 为AC 的中点，进而可得结论．第Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量)1,2(-=_________． 【答案】5 【解析】(22a =+=.考点：向量的模.14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________． 【答案】23 【解析】()75sin 4515sin 60︒+︒=︒+︒=︒+︒=︒=考点：三角恒等变换.15．已知向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，则锐角α等于 ． 【答案】4π考点：1.平面向量平行的坐标运算公式；2.任意角的三角函数值.【思路点睛】向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，根据平面向量平行的坐标运算公式，可得12sin cos 6sin 21ααα=⇒=，然后再根据三角函数值，所以22,2k k Z παπ=+∈，又α为锐角，即可求出结果.16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且DC BD 2=,若R AC AB AD ∈+=μλμλ,,,则=λ ，=μ ． 【答案】31，32考点：平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题主要考查平面向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由2=得到1322AC AB AD =-+，这即可得到12,33AD AB AC =+，从而可以求出λ和μ的值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知函数)6sin()(π+=x x f .(1)利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图（先在答题卡中所给的表格中填上所需 的数值，再画图）；(2)当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值． 【答案】（1）详见解析；（2）函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，取得最小值时对应的x 的值为π．【解析】试题分析：（1）利用“五点作图法”即可列出表格，作出图像； (2)[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x ， 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1，当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-.试题解析：解：(1)列表如下……………3分 图像（略） ……………6分 (2)[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x ……………7分 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1， ……………8分当6116ππ=+x ，即π=x 时，函数()f x 取得最小值1-， ……………9分 ∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．……10分考点：1.五点法作函数()y Asin x ωϕ=+ 的图象；2.正弦函数的图象． 【方法点睛】①函数sin y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,1)2π-，(2,0)π；函数cos y x =的图象在[0,2]π上的五个关键点的坐标为：(0,1)，(,0)2π，(,1)π-，3(,0)2π，(2,1)π．18．(本小题满分12分)已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ． 【答案】（1）1m =-；（2）考点：数量积表示两个向量的夹角．19．（本小题满分12分）已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos(1)根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的 上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【答案】（1）1cos 126y t π=+；（2）上午9∶00至下午3∶00. 【解析】试题分析：(1)设函数()()si 0(0)n f t A t k A ωϕω=++>>，，从表格中找出同(6)0.5，和(12)1.5，是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期12T =并得到6πω=，算出12A =和1k =，最后根据6x =时函数有最小值0.5解出2πϕ=，从而得到函数()y f t =近似表达式；考点：三角函数的图像与性质． 20．(本小题满分12分)已知向量)1,2(),sin ,(cos -==θθ （1）若b a ⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0,2πθ，求)4sin(πθ+的值． 【答案】（1）13 ；（2【解析】试题分析：（1）由⊥可知，0sin cos 2=-=⋅θθ，所以θθcos 2sin =， 然后再利用同角的基本关系，即可求出结果；（2）由)1sin ,2(cos +-=-θθ2=，化简可得0sin cos 21=+-θθ，①，又1sin cos 22=+θθ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ，再利用两角和公式即可求出结果.考点：1.同角的基本关系；2.两角和差的正弦公式.21．（本小题满分12分） 已知(3sin ,1)a x =，(cos ,2)b x = （1）若//a b ，求tan 2x 的值； （2）若()()f x a b b =-⋅，求()f x 的单调递增区间．【答案】（1 ；（2）,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）//23sin cos 0a b x x ⇒-=，化简可得tan x =；然后再利用两角和的正切公式即可求出结果；（2）215()()3sin cos cos 22cos 222f x a b b x x x x x =-⋅=--=--5sin(2)62x π=--……………8分然后再根据正弦函数的性质，即可求出结果.考点：1.平行向量平行的坐标运算公式；2.三角函数的性质.【方法点睛】三角函数()sin y A x k ωϕ=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T πω=可求得；2.单调性：令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令 2,2x k k Z πωϕπ+=+∈或2,2x k k Z πωϕπ+=-+∈，即可求出函数取最大或最小值时的x 取值集合.22．（本小题满分12分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=(1)求)24(πf 的值；(2)若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值；(3)若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x x x x <，分别求实数 a 与2111x x +的取值范围．【答案】（11+ ；（2）6π；（3）(2,3) 【解析】 试题分析：(1)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入24x π= 即可． (2)根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定m 的范围． (3)把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定a 的范围，根据函数的对称，求得12x x +的值，进而表示出2111x x +的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x x x x <等价于 直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++（02x π<<）有两个交点.∵当02x π<<时， 由(2)知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， …9分 且(0)2,()3,()0,62f f f ππ=== ∴ 23a << 即实数a 的取值范围是(2,3) ……………10分考点：1.函数中的恒等变换应用；2.三角函数的单调性．。
【百强校】2015-2016学年广东仲元中学高一下期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年广东仲元中学高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：137分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知是所在平面内一点，D 为AB 的中点，若，且与的面积相等，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、要得到的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向右平移个单位，再向上平移个单位B ．向左平移个单位，再向下平移个单位D．向左平移个单位，再向下平移个单位3、若函数，则图象的一个对称中心的坐标为（）A． B． C． D．4、函数是（）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的奇函数5、在边长为的正方形中，点满足,,则的最大值（）A． B． C． D．6、向量，则（）A．∥B．⊥C．与的夹角为60°D．与的夹角为30°7、已知，则（）A． B． C． D．A． B． C． D．9、已知角的终边经过点，则的值为（）A． B． C． D．10、在四边形中，，则下列结论一定正确的是（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是平行四边形11、已知一个扇形的周长是半径的倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A． B． C． D．12、°的角所在象限是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知，是线段上一点，且,若,则，．14、已知向量与向量平行，则锐角等于．15、计算sin 15°＋sin 75°＝________．16、已知平面向量，则_________．三、解答题（题型注释）17、已知函数（1）求的值；（2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的最大值；（3）若关于的方程在区间内有两个实数根，分别求实数与的取值范围．18、已知，（1）若，求的值；（2）若，求的单调递增区间．19、已知向量（1）若，求的值；（2）若，求的值．20、已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y ＝f （t ），下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数（1）根据以上数据，求函数的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？21、已知向量且（1）求实数的值；（2）求向量与的夹角．22、已知函数.（1）利用“五点法”画出函数在闭区间上的简图（先在答题卡中所给的表格中填上所需的数值，再画图）； （2）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值．参考答案1、B2、B3、C4、A5、A6、B7、C8、C9、D10、D11、C12、C13、，14、15、16、17、（1）；（2）；（3）18、（1）；（2）19、（1）；（2）20、（1）；（2）上午9∶00至下午3∶00．21、（1）；（2）22、（1）详见解析；（2）函数取得最大值时对应的的值为，取得最小值时对应的的值为．【解析】1、试题分析：∵为的中点，∴，又∵，∴，∴，又∵与的面积相等，∴为的中点，即，故选：B．考点：平面向量的基本定理及其意义．【思路点睛】本题考查平面向量的基本定理，通过为的中点可得，利用化简可得，通过与的面积相等可得为的中点，进而可得结论．2、试题分析：函数，所以只需把函数的图象，向左平移个长度单位，再向下移动1各单位，即可得到函数的图象．考点：函数的图象变换．【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数到函数的图像，即可得到选项．【方法点睛】三角函数图象变换：（1）振幅变换（2）周期变换（3）相位变换（4）复合变换.3、试题分析：令，所以，所以图象的一个对称中心的坐标为.考点：正弦函数的性质.4、试题分析：，所以函数是最小正周期为的偶函数.考点：1.余弦的二倍角公式；2.三角函数的性质.5、试题分析：，，所以当时，的最大值为4.考点：平面向量的数量积.6、试题分析：.考点：平面向量的数量积的坐标运算.7、试题分析：，故选C. 考点：1.同角的基本关系；2.正弦的二倍角公式.8、试题分析：作出函数的图象，∵，由图知，．又，所以，可得的取值范围是.考点：正弦函数的单调性．9、试题分析：由任意角的三角函数公式可知，.考点：任意角的三角函数.10、试题分析：在四边形中，∵，，即，且，如图所示；∴四边形是平行四边形．考点：向量的加法及其几何意义．11、试题分析：设该扇形的半径为，由弧度制的定义可知，该扇形的圆心角的弧度数为.考点：弧度制.12、试题分析：由象限角得定义可知，°的角所在象限是第三象限角.考点：象限角.13、试题分析：∵；∴；∴；∴又；∴，．考点：平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题主要考查平面向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由得到，这即可得到，从而可以求出和的值．14、试题分析：向量与向量平行，所以，所以，又为锐角，所以.考点：1.平面向量平行的坐标运算公式；2.任意角的三角函数值.【思路点睛】向量与向量平行，根据平面向量平行的坐标运算公式，可得，然后再根据三角函数值，所以，又为锐角，即可求出结果.15、试题分析：. 考点：三角恒等变换.16、试题分析：.考点：向量的模.17、试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入即可．（2）根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定的范围．（3）把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定的范围，根据函数的对称，求得的值，进而表示出的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．试题解析：解：（1）∵∴（2）由得∴在区间上是增函数∴当时，在区间上是增函数若函数在区间上是单调递增函数，则∴，解得∴的最大值是（3）解法1：方程在区间内有两实数根等价于直线与曲线（）有两个交点.∵当时，由（2）知在上是增函数，在上是减函数，…9分且∴即实数的取值范围是∵函数的图象关于对称∴．∵，∴．∴.∵函数在内递增∴∴所以的取值范围为．解法2：设，则，方程在区间内有两实数根等价于直线与曲线，有两个交点.在上是增函数，在上是减函数，且∴，即实数的取值范围是考点：1.函数中的恒等变换应用；2.三角函数的单调性．18、试题分析：（1），化简可得；然后再利用两角和的正切公式即可求出结果；（2）然后再根据正弦函数的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1），故；所以（2）令所以的单调递增区间是考点：1.平行向量平行的坐标运算公式；2.三角函数的性质.【方法点睛】三角函数的一般性质研究：1.周期性：根据公式可求得；2.单调性：令，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令或，即可求出函数取最大或最小值时的取值集合.19、试题分析：（1）由可知，，所以，然后再利用同角的基本关系，即可求出结果；（2）由可得，，化简可得，①，又，且②，可解得，再利用两角和公式即可求出结果.试题解析：解：（1）由可知，，所以，所以（2）由可得，，即，①又，且②，由①②可解得，所以．考点：1.同角的基本关系；2.两角和差的正弦公式.20、试题分析：（1）设函数，从表格中找出同和是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期并得到，算出和，最后根据时函数有最小值解出，从而得到函数近似表达式；（2）根据（1）的解析式，解不等式，可得，取，将得到的范围与对照，可得从点到点共小时的时间可供冲浪者进行运动．试题解析：解：（1）由表中数据知周期T＝12，∴，由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.∴A＝0.5，b＝1，∴．（2）由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴cos t＋1＞1，∴cos t＞0，∴2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.①∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24．∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00．考点：三角函数的图像与性质．21、试题分析：（1）由已知首先求出的坐标，然后利用向量垂直的数量积公式关于的方程，解之，即可求出结果；（2）由（1）可知,然后利用数量积公式求夹角．试题解析：解: （1）∵,∴．∵,∴解得．（2）由（1）知,∴,,∴．∵，∴．考点：数量积表示两个向量的夹角．22、试题分析：（1）利用“五点作图法”即可列出表格，作出图像；（2），由图像可知，当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值.试题解析：解：（1）列表如下（2）由图像可知，当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值，函数取得最大值时对应的的值为，函数取得最小值时对应的的值为．考点：1.五点法作函数的图象；2.正弦函数的图象．【方法点睛】①函数的图象在上的五个关键点的坐标为：，，，，；函数的图象在上的五个关键点的坐标为：，，，，．。
广东省仲元中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题
广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一数学学科试卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1、设全集U N =,集合2{|650},{2,3,4}A x N x x B =∈-+≤=，则()U A C B =I （ ） A. {1,3,5} B. {1,2,4,5} C. {1,5} D. {2,4} 2、cos 42cos78sin 42sin 78oooo-=（ ）A ．12-B ．12 C ．2- D ．23、若a b c >>，则下列不等式成立的是（ ） A.11a c b c >-- B. 11a cb c<-- C. ac bc > D. ac bc <4、设02απ≤<，若sin αα>，则角α的取值范围是（ ）A. ()32ππ，B. ()3ππ， C. 4()33ππ， D. 2()33ππ，5、要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32πx sin y的图象，只需将函数x sin y 2=的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 6、ABC ∆中，02,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（ ）A ．3 B ．3± C ．3- D ．37、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45=10=35a S ，，则公差d =（ ） A.1 B.2 C.3 D.48、已知数列{}n a 是公差为1，各项均为正数的等差数列，若131,,a a 成等比数列，则过点6(2,)P a 和5(,8)Q a 的直线的斜率是（ ）A.34 B. 14 C. 14- D. 139、若函数2()2sin ()sin()(0)26w f x x wx w π=+->，且()f x 的最小正周期为π，则实数w =（ ）A.12 B.1 C. 32D.2 10、已知()3*211n a n N n =∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．1011、已知,,a b c r r r 是同一个平面内的三个单位向量，且a b ⊥r r ，则()()a c b c -⋅-r r r r的取值范围是（ ）A.[-B.[C. 2,2]D.[112、若不等式12(12)4lnln 44x xa x ++-≥对任意(,2]x ∈-∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. ,2]∞（-C. 43,]32∞-（- D. 43)32-∞[,+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分) 13、若1x >，则11x x +-的最小值为____________ 14、已知tan 7θ=，则2sin cos cos θθθ+=__________15、在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若5,7,3a b B π===，则ABC S ∆=______16、数列1，2，3，4，5，6，…，n ，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式n a n=，前n 项和(1)2n n n S +=.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … … …根据以上排列规律，数阵中的第n 行（3≥n ）的第3个（从左至右）数是__________.三、解答题(本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）已知向量1(cos ,),,cos 2),2a xb x x x R =-=∈r r，设函数()f x a b =⋅r r1）求()f x 的最小正周期；2）用五点作图法做出()f x 在区间[0,]π上的草图； 3）写出()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.18、（本小题满分12分）某工厂生产A ，B 两种型号的童车，每种童车都要经过机械、油漆和装配三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等条件，可以确定各车间每日的生产能力，我们把它们拆合成有效工时来表示.现将各车间每日可利用的有效工时数、每辆童车的各个车间加工时所花费的工时数以及每辆童车可获得的利润情况列成下表：试问这两种型号的童车每日生产多少辆，才能使工厂所获得的利润最大？19、（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*n N n n n S ∈+=22， 数列{}n a 满足()*n n N n b log a ∈+=342.1）求n n b a ，； 2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T .20、（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知,cos ,36AB B AC ==边上的中线BD =，求sin A 的值.21、（本小题满分12分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<． 1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；2）设函数()f x 的图像关于直线0=x x 对称，证明102x x <．22、（本小题满分12分）已知数列1{}1n a a =中，且221(1)k k k a a -=+-， 2+123kk k a a =+，其中1,2,3k =L .1）求35,a a ；2）求{}n a 的通项公式.广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一数学学科答案选择填空题CABCBD CBDCDC 317、解：（1）………………2分的最小正周期为…………………………………………………………3分（2）列表得……5分作图：（草图，仅供参考）…………8分（3）由图像可得在上的最大值为1，最小值为……………………10分18、解：设（单位辆）分别是A,B两种型号童车的日生产量，工厂每日可获得利润为元，则，其中满足约束条件：………………………………………1分，即，………………4分作出可行域如由图：……………………………………7分将化成直线，当变化时，直线的斜率为，在轴上的截距为的一簇平行直线，当直线在轴上的截距最大时取最大值.由图易知，直线过A点时，取最大值，由得………………………………9分由于A点不是整数点，在可行域的整数点中，是最优解.此时（元）…………………………………………………………………11分答：生产A种童车2辆，B种童车32辆，能使工厂获得最大利润，最大利润为332元. ………………………………………………………………………………………………12分19、解:(1) 由，得，当时，.又也适合上式，所以………………………………………3分由，得……………………………………6分(2)由(1)知，所以………………………………8分所以故………………………………………………………………12分20、解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，……2分设BE=x，在ΔBDE中利用余弦定理可得：，…4分，解得，（舍去）.…………………………5分故BC=2，从而，即，………7分又在内，，……………………………………………………………9分由正弦定理得，…………………………………………12分解法二：在内，由得，………………………………2分以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，不妨设点A位于第一象限，则，……………………………………4分设=（x，0），则…………………………6分，………………………………………………8分解得：，（舍去），故，………………………9分于是，……………………11分∴.…………………………………………………12分解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC做PN⊥BC交BC的延长线于N，则，…………3分，…………5分而，,………8分………………10分故由正弦定理得，∴………………12分21、证明:(Ⅰ)令因为是方程的根，所以设当时，由于得，又得，即.由得，，，,得，由此得.(Ⅱ)依题意知因为是方程的根，即是方程的根,∴，因为，所以．22、解：（I）所以.(II) ，所以，同理，………………所以由此得，于是的通项公式为：当n为奇数时，，当n为偶数时，.。
【百强校】2015-2016学年广东实验中学高一下期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年广东实验中学高一下期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：157分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c 成等比数列，且，则角A 的大小及的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．2、数列的前项和为，则（ ）A ．B ．30C ．28D ．143、利用基本不等式求最值，下列运用正确的是（ ）A ．B ．C ．已知，D ．4、已知数列的通项公式为，则当n 等于（ ）时，取得最小值？A ．16B ．17C ．18D ．16或175、下列命题中正确的个数是（ ）①；②；③；④A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6、在数列中，，，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．7、在中，若，则一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形8、设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A ．63B ．45C ．36D ．279、在中，，，，则的值为（）A ．B ．C ．或D ．不存在11、设，则的大小关系为（）A． B． C． D．不能确定12、已知等差数列中，，则该数列前9项和等于（）A．4 B．8 C．36 D．72第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、若数列满足，且，则通项________________.14、等差数列与等比数列之间是存在某种结构的类比关系的，例如从定义看，或者从通项公式看，都可以发现这种类比的原则. 按照此思想，请把下面等差数列的性质，类比到等比数列，写出相应的性质：若为等差数列，，则公差；若是各项均为正数的等比数列，，则公比_________________.15、关于的不等式的解集为________________.16、在锐角中，，，则的值等于____________.三、解答题（题型注释）17、设是函数的图象上的任意两点. （1）当时，求的值；（2）设，其中，求；（3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前项的和，求证.18、设二次函数.（1）若 求的取值范围；（2）当时，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．19、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c. 已知.（1）求角的大小；（2）当时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状.20、设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）若，为数列的前项和. 求.21、已知关于的函数.（1）当时，求函数的最小值，并求出相应的的值；（2）求不等式的解集.22、如图，角为钝角，且，点、分别是在角的两边上不同于点的动点.（1）若=5，=，求的长；（2）设，且，求和的值.参考答案1、B2、D3、D4、A5、C6、A7、D8、B9、C10、B11、A12、C13、14、15、16、17、（1）；（2）；（3）证明见解析．18、（1）；（2）．19、（1）；（2），等腰三角形．20、（1），；（2）．21、（1）；（2）．22、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：成等比数列，，，，，，又，，．故选B．考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、等比中项．【思路点睛】先利用等比中项的概念表示出，得到，再利用余弦定理的推论得出，根据角的范围求出的值，再通过等量代换及正弦定理将转化为后再求.本题主要考查正弦、余弦定理，等比中项，同角三角函数的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．2、试题分析：，，，．故选D．考点：数列求和．【方法点睛】由，利用分组求和法和等差数列求和公式求.方法二：对于数列，往往考虑并项求和，注意考虑项数是奇数还是偶数．本题主要考查数列求和，属于基础题．3、试题分析：在A中不是常数，故A选项错误；在B中时无解，取不到最小值，故B选项错误；在C中未必为正，故C选项错误；在D中均为正，且时，取最小值，故D选项正确．故选D．考点：基本不等式．【思路点睛】利用基本不等式求最值时，要注意①各项皆为正数，②和或积为定值，③注意等号成立的条件．可概括为：一“正”，二“定”，三“相等”．在A中中不是定值，不满足条件②，在B中不成立，不满足条件③，在C中可能为负数，不满足条件①，而D选项满足基本不等式求最值的三个条件．本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题．4、试题分析：由得，，也就是说数列的前项均为负项，从第开始为正项，所以前项的和最小．故选A．考点：1、数列的性质；2、数列的通项公式．5、试题分析：①正确，不等式的同向可加性；②错误，反例：若，则不成立；③正确；④错误，反例：若，则不成立．故选C．考点：不等式的基本性质．6、试题分析：，，，，······，，以上各式左右两边分别相加得，，又适合上式，．故选A．考点：1、数列求和；2、由数列递推公式求通项公式．7、试题分析：由正弦定理及得，即，又均为三角形的内角，或，或．故选D．考点：1、正弦定理；2、二倍角公式．8、试题分析：由题设条件得，即，，．故选B．考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式．9、试题分析：据题意,由正弦定理,将，，代入可得,那么为或.故本题选.考点：余弦定理；特殊角的三角函数值10、试题分析：设等比数列的公比为，则，即，两式相除得．故选B．考点：等比数列的通项公式．11、试题分析：．故选A．考点：不等式的性质．12、试题分析：．故选C．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式．13、试题分析：，，设，则，，即，又，是等比数列，其中首项为，公比为，，即，即，．所以答案应填：．考点：1、数列通项公式的求法；2、等比数列．【方法点睛】求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，本题中的递推式为（为常数）时，可同除，得，令从而化归为（为常数）型．求递推式形如（为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求．本题体现了数学中化未知为已知的化归思想，主要考查数列通项公式的求法和等比数列的概念，有一定的难度，属于压轴题．14、试题分析：由等比数列的通项公式得，，∵，∴，∴．所以答案应填：．考点：等差数列与等比数列的综合．【方法点睛】利用等比数列的通项公式，可得，结合条件，即可得到结论．本题考查类比推理，等比数列的公比与等差数列的公差进行类比．类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．简称类推、类比．它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性相同的结论的推理，是从特殊推向特殊的推理．本题还考查等比数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15、试题分析：，，所以不等式的解集为．所以答案应填：．考点：1、绝对值不等式；2、一元二次不等式组．16、试题分析：由正弦定理及已知得，．所以答案应填：．考点：1、正弦定理；2、二倍角公式．17、试题分析：（1）由已知条件和对数的运算性质求；（2）采用倒序相加法求，再求；（3）先求出数列的通项，对进行先放缩，再裂项，即可证得，因为，所以要证，只证即可．试题解析：（1），（2）①②两式子相加得（3），，，又，，故.另外的放缩方法：，，（）当时（从第4项开始放缩）检验当、、时不等式成立．考点：1、对数的运算性质；2、数列求和．【方法点睛】证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，常用放缩法来解决，这类问题的求解策略是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：；；⑵将分子或分母放大（或缩小）；⑶利用基本不等式放缩，如：等．本题第三小题中先放缩再求和，考查学生的思维能力和计算能力，属于压轴题．18、试题分析：（1）把和用含有的代数式表示，联立关于的方程组解出，然后把也用含有的代数式表示，最后转化为用和表示，由和的范围求得的范围；（2）法一：对分和两种情况进行讨论，即可求出实数的取值范围；法二：分离变量，构造函数，求出函数的最值，即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）方法一：，，且.方法二：设，即，比较两边系数：，，下同方法一.（2）解法1：由于，图象的对称轴为，（1）当时，函数在时为增函数，要在成立，而，只需，即，则，此与矛盾，此不可能．（2）当时，若，即，则在时为增函数，要在成立，由于，只需，即，则，因此；若，即，要在成立，由于，只须，解得；综上，所求的的取值范围为．解法2：时，，即，即时，且恒成立，当时，显然，且均成立当时，恒成立，则，而在最大值为，∴当时，恒成立，则而在最小值为，∴，∴，而，因此所求的的取值范围为．考点：1、不等式的基本性质；2、函数的值域；3、函数的值．【易错点睛】本题考查了函数值的求法，训练了利用不等式求函数的值的范围，解答第一小题的关键是把转化为含有和的表达式，此题是易错题，学生往往会直接由和的范围联立求出和的范围，然后把用的代数式表示，由和的范围求解的范围，忽略了其中和是相关联的；在第二小题中，分类讨论时容易考虑不全，本题考查不等式的基本性质，分类讨论、函数与方程的数学思想以及分析解决问题的能力，有一定的难度，属于压轴题．19、试题分析：（1）由正弦定理将化为，再通过变形求，进而求出角；（2）法一：利用重要不等式和余弦定理得出，再由三角形的面积公式，可得△ABC面积的最大值，法二：先求出的外接圆的半径，再利用正弦定理将表示为函数，根据的范围求出面积的最大值即可．试题解析：（1）由，得又，，又，，（2）解法一：由余弦定理得，，即当且仅当时，“=”成立△ABC面积的最大值为，此时△ABC为等腰三角形.解法二：，由正弦定理，当，即时，△ABC面积的最大值为，此时△ABC为等腰三角形.考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形的面积．20、试题分析：（1）首先利用条件求出公差，再利用的关系求出，根据，利用作差法求得；（2）先根据（1）写出数列的通项，因为为等差数列，是等比数列，所以是差比数列，再利用乘公比错位相减法求其前项的和．试题解析：（1）数列为等差数列，公差，可得由，令，则，又，所以.当时，由，可得. 即.所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.（2）∴∴.，从而.（写成也可）考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的概念；3、数列求和．21、试题分析：（1）由已知可得，直接基本不等式求最值即可；（2）等价于，即且，即可得结果. 试题解析：（1）因为且当且仅当，即时，函数取得最小值.（2）由标根法得：原不等式的解集为.考点：1、基本不等式求最值；2、分式不等式的解法.22、试题分析：（1）先求，再利用余弦定理求出；（2）先求出的值，进而求出，，再利用，即可求得结论．试题解析：（1）是钝角，，在中，由余弦定理得：所以，解得或（舍去负值），所以（2）由. 在三角形APQ中，.∵,考点：1、和差角公式；2、余弦定理．。
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题 含答案
广东仲元中学2015学年第一学期期中考试高一年级数学学科必修一模块试卷第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分,满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集为U R =，{}|0A x x =>，{}|1B x x =>则UB A ⋂为（ ）A ．{}|0x x <B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x >D ．{}|01x x ≤<2．函数()()ln 1f x x =-的定义域是 ( )A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．()1,+∞3．下列函数中表示同一函数的是（ ） A ．()44y x y x ==与B ．233x y x y x==与C ．21y x x y x x =+=⋅+与 D ．211y y x x ==与4．函数221y xx =-+在闭区间[]0,3上的最大值和最小值之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时函数()f x 是减函数，则()3f -，()f π，()3.14f -的大小关系为(）A ．()()()3.143f f f π=->-B ．()()()3.143f f f π<-<-C ．()()()3.143f f f π>->-D ．()()()3 3.14f f f π<-<-6．若21025x-=,则10x 的值为（ ）ABCD7．函数()31log ,9y x x =+> 的值域为（ )A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．R8．方程3log3x x +=的解所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,+∞9．定义在*N 的函数()f x 满足()12f =且有则()12f 的值为（ ）A BCD ．110。
广东仲元中学2016学年第一学期期中考试高一数学试题
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x)
3x 5, x 0 x 5,0 x 1 .
2x 8, x 1
（ 1）求
f ( 3) ，
1 f( )，
f ( 1) 的值；
2
（ 2）建立直角坐标系画出这个函数的图象；
（ 3）指出 f ( x) 的最大值 .
.
14．函数 f ( x) x2 2(a 1)x 2 单调递减区间为 ( , 4] ，则实数 a 的值为
.
15．设函数 f x 满足 f x 1 f 1 log 2 x ，则 f 2 ___________． 2
16．已知函数 f ( x ) ex e x 1( e 是自然对数的底数 )，若 f ( a ) 2 016，则 f ( a ) 的
值为 ___________．
三、解答题：
17．（本题共 2 小题，每小 题 5 分，满分 10 分）
（ 1）计算： （ 2）解方程：
1 72
27
－
1 3
29 ＋ 64
－
log3(6x 9) 3
log2 9
.
log2 3
18. （本小 题满分 12 分）
已知集合 A { x | 2 x 5} ， B { x | m 4 x 3m 2} . （ 1）若 A B B ，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 A B B ，求实数 m 的取值范围 .
f ( x) （ ）
1 A ． 2x
B ． log1 x
2
C． l o g2 x
6．已知幂函数 (x) 的图象过点（ 3， ），则 (4) =（ ）
D． x2
A．
B．1
x
7．函数 y
广东省仲元中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
广东仲元中学2016学年第二学期期中考试高一年级数学试卷命题人： 审题人： Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与60-°的终边相相同的角是（ ） A ．3πB ．23π C ．43π D ．53π 2．已知一个扇形的圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长与半径的比等于（ ） A ．21 B ．1 C ．2D ．43．在平行四边形ABCD 中，则下列结论中错误．．的是( ) A ．||||AB AD = 一定成立 B ．+= 一定成立 C ．AD BC = 一定成立 D ．BD AD AB =- 一定成立4．已知α为三角形的一个内角，且4cos 5α=，则tan α的值为（ ） A ．34-B ．34C ．43D ．43±5．向量(2,1),(4,)a b x =-=-，若∥，则x 的值是（ ） A ．8-B ．2-C ．2D ． 86．已知向量(cos ,1),(1,sin )a b αα==，若15a b =，则sin 2α=( ) A ．2425-B ．1225-C ．75-D ．45- 7．函数22cos sin 22x xy =-的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=- B ．0 C ．0=x D. 12x π= 8．函数()2sin ,(0,)3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域是（ ）A. (1,2]-B. (2)C. [2]D.(2]9．已知函数2()2sin 1f x x =-，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．4π B ．2πC ．34πD ．π10．已知P 为∆ABC 边BC 上一点，,AB a AC b ==，若2∆∆ABP ACP S S =，则AP =（ ） A ．1322+a b B ．1233+a b C ．3122+a b D ．2133+a b11．若函数()sin f x x π=对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则||21x x -的最小值是（ ） A ． 4B ．2C ．1D ．2112.已知单位向量,,a b a b =0，点Q 满足2()OQ a b =+，曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<<Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(3,),(0)a x x =>，若2a =，则x = 。
广东仲元中学2016学年第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试题及参考答案
广东仲元中学2016学年第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷一．选择题（共12小题，5分/小题，共60分）1．已知34tan =x ，且x 在第三象限，则x cos =（ ） A ．54 B ．54-C ．53D ．53-2．已知312sin =α，则)4(cos 2πα-=（ ）A ．31-B ．31C ．32- D ．323．要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．若向量，满足||=，=（﹣2，1），•=5，则与的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．若31)3sin(=-απ，则=+)23cos(απ（ ）A ．97B ．32C ．32-D ．97-6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，a =2，c =，则C=（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7．等差数列{n a }的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{n a }前6项的和为（ ） A ．﹣24 B ．﹣3 C ．3D ．88．在等比数列{n a }中，若1a =2，4a =16，则{n a }的前5项和5S 等于（ ） A ．30 B ．31 C ．62 D ．649．变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（ ） A ．223 B ．5 C ．5 D ．29 10．锐角三角形ABC 的三边长c b a ,,成等差数列，且21222=++c b a ，则实数b 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．（6，7]11．已知*,R y x ∈，且满足xy y x 22=+，那么y x 4+的最小值为（ ） A ．3﹣B ．3+2C ．3+D ．412．如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若=x+y（R y x ∈,），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则21+++y x y 的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．[，]D ．[，]二．填空题（共4小题，5分/小题，共20分） 13．函数43cos 3sin )(2-+=x x x f ，（∈x [0，]）的最大值是 ． 14．在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R ），且=﹣4，则λ的值为 ．15．等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，已知3S =，6S =，则8a = ．16．若关于x 的不等式b x x a ≤+-≤43432的解集恰好为[b a ,]，那么a b -= ．y三．解答题（共6小题,共70分） 17．（10分）已知函数x x x f 2sin )42sin(22)(++=π． （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若函数)(x g 对任意R x ∈，有)6()(π+=x f x g ，求函数)(x g 在[﹣，]上的值域．18．（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(φω（其中22,0,0πφπω<<->>A ），其部分图象如图所示．（I ）求)(x f 的解析式； （II ）求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间上的最大值及相应的x 值．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若10S =110，且421,,a a a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设数列{n b }满足)1)(1(1+-=n n n a a b ，若数列{n b }前n 项和n T ．20．（12分）某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2000元．甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工一件甲所需工时分别为1h ，2h ，加工一件乙设备所需工时分别为2h ，1h ．A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和500h ，分别用y x ,表示计划每月生产甲，乙产品的件数．（Ⅰ）用y x ,列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．21．（12分）已知在△ABC 中，三条边c b a ,,所对的角分别为A 、B ，C ，向量m =（A A cos ,sin ），n =（B B sin ,cos ），且满足•=C 2sin ． （1）求角C 的大小；（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等比数列，且•（﹣）=﹣8，求边c 的值并求△ABC 外接圆的面积．22．（12分）若正项数列{n a }满足：)(,*11N n a a a a n n nn ∈-=++，则称此数列为“比差等数列”． （1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值； （2）设数列{n a }是一个“比差等数列” （i ）求证：42≥a ；（ii ）记数列{n a }的前n 项和为n S ，求证：对于任意*N n ∈，都有2452-+>n n S n ．广东仲元中学2016学年第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）DDCCD BACCC BC二．填空题（共4小题）13． 1 ．14．．15．32 ．16． 4 ．三．解答题（共6小题）17．解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=； ..........(5分)（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]． .........(10分)18．解：（I）由图可知，A=1（1分），所以T=2π（2分）所以ω=1（3分）又，且所以（5分）所以．（6分）（II）由（I），所以==（8分）=cosx•sinx（9分）=（10分）因为，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]故：，当时，g（x）取得最大值．（12分）19．解析：（Ⅰ）由题意知：…..…（4分）解得a1=d=2，故数列a n=2n；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，…..（8分）则…..（10分）=…（12分）20．解：（Ⅰ）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分 .........（5分）（Ⅱ）设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y由z=3x+2y可得y=﹣x+z，截距最大时z最大．结合图象可知，z=3x+2y在A处取得最大值由可得A（200，100），此时z=800故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．.................(12分)21．解：（1）∵向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），且满足•=sin2C，∴sin（A+B）=2sinCcosC，∴cosC=，∴C=； ...........(4分)（2）∵sinA，sinC，sinB成等比数列∴sin2C=sinAsinB，∴c2=ab，∵•（﹣）=﹣8，∴•=﹣8，∴ab=16，∴c=4，设外接圆的半径为R，由正弦定理可知：2R=∴R=，∴S=． ...........（12分）22．（1）解：一个“比差等数列”的前3项可以是：2，4，； ...........（2分）（2）（i）证明：当n=1时，，∴===，∵a n＞0，∴，则a1﹣1＞0，即a1＞1，∴≥2+2=4，当且仅当时取等号，则a2≥4成立； ...........（7分）（ii）由a n＞0得，a n+1﹣a n=≥0，∴a n+1≥a n＞0，则a n+1﹣a n=，由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，a n﹣a n﹣1≥1，以上 n﹣1个不等式相加得，a n≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），当n≥2时，S n=a1+a2+a3+…+a n≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2=﹣2=，当n=1时，由（i）知S1=a1＞1≥，综上可得，对于任意n∈N*，都有S n＞． ...........（12分）。
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广东仲元中学2015学年第二学期期中考试高一年级试数学试卷命题人：叶春风 审题人：苏宏英Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．120-°的角所在象限是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ )A ．21 B ．1C ．2D ．43．在四边形ABCD 中，AD AB AC +=，则下列结论一定正确的是（ ）A ． ABCD 一定是矩形B ． ABCD 一定是菱形C ． ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为( ）A ．53- B ．53C ．54-D ．54 5．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是( ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ）A ．91-B ．92C ．98-D ．32 7．向量)1,2(),2,1(=-=b a ，则（ ）A ． a ∥bB ． a ⊥bC ． a 与b 的夹角为60°D ． a 与b 的夹角为30°8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足CD CM λ=，10<<λ，则=⋅AB AM ()A ． 4B ．2C ．λ2D ．λ2- 9．函数x x y 22sin cos -=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数10．若函数x x f 2sin )(=,则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为( )A ． )0,4(πB ．)0,3(πC ．)0,2(πD ． )0,(π11．要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象（ )A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位,再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位12．已知P是ABC∆所在平面内一点，D 为AB 的中点,若PB PA PC PD ++=+)1(2λ,且PBA∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为( ）A ．2-B ．1- C ．1D ．2Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分． 13．已知平面向量)1,2(-=a =_________． 14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________．15．已知向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行，则锐角α等于 ．16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且DC BD 2=,若R AC AB AD ∈+=μλμλ,,，则=λ ，=μ ．三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数)6sin()(π+=x x f .(1)利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图(先在答题卡中所给的表格中填上所需 的数值，再画图）；(2）当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．18．（本小题满分12分)已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( (1)求实数m 的值；（2)求向量a 与b 的夹角θ．19．(本小题满分12分）已知某海滨浴场海浪的高度y （米)是时间t (0≤t ≤24,单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t ),下表 是某日各时的浪高数据：经长期观测,y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos（1）根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动?20．（本小题满分12分） 已知向量)1,2(),sin ,(cos -==b a θθ （1）若b a ⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=-2,0,2πθb a ，求)4sin(πθ+的值．21．(本小题满分12分） 已知(3sin ,1)a x =,(cos ,2)b x =(1）若//a b ，求tan 2x 的值； (2)若()()f x a b b =-⋅,求()f x 的单调递增区间．22．(本小题满分12分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=（1)求)24(πf 的值；（2)若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值;(3）若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x xx x <，分别求实数a 与2111x x +的取值范围．广东仲元中学2015学年期中考试高一数学答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分．CCDDC CBAAC BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,满分20分．13．514．23 15．4π16． 31，32三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分) 解：（1)列表如下…………3分 图像（略） …………6分 (2）[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x……………7分 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1,……………8分当6116ππ=+x ，即π=x 时,函数()f x 取得最小值1-，……………9分∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．……10分 18． （本题满分12分)解： （1）∵(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =， ∴3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b .……………2分 ∵(3)-⊥a b c ，∴(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c =3(13)(3)4m =-+-⨯990m =--= ……………5分 解得1m =-。
……………6分 (2）由（Ⅰ）知(1,3),=a (1,2)=-b ，∴5b =a ，……………7分==a b ,……………8分 ∴5cos 10b θ===⨯b a a 。
……………10分 ∵[0,]θπ∈， ∴4πθ=。
……………12分 19． (本小题满分12分）解： (1）由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝＝＝, ……………2分由t ＝0,y ＝1.5，得A ＋b ＝1。
5。
由t ＝3，y ＝1。
0，得b ＝1。
0. ∴A ＝0。
5，b ＝1，∴16cos 21+=t y π。
(5)分（2）由题知，当y 〉1时才可对冲浪者开放，∴cos t ＋1〉1， ……………6分∴cos t 〉0，∴2kπ－〈t 〈2kπ＋,k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z 。
① ……………9分∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1,2，得0≤t 〈3或9〈t 〈15或21<t ≤24. ……………11分∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00。
……………12分20．（本小题满分12分）解：(1）由b a ⊥可知，0sin cos 2=-=⋅θθb a ，所以θθcos 2sin =，……………3分所以……………5分(2)由)1sin ,2(cos +-=-θθb a 可得， ……………6分b a 22)1(sin )2(cos ++-=θθ64cos 2sin 2θθ-+，即0sin cos 21=+-θθ，① ……………8分 又1sincos 22=+θθ,且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ②， ……………9分 由①②可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ， ……………10分 所以1027)5453(22)cos (sin 22)4sin(=+=+=+θθπθ． (12)分21．(本小题满分12分）解://23sin cos 0a b x x ⇒-=，……………2分故tan x =……………3分 所以22tan tan 21tan x x x ==-．……………5分（2）215()()3sin cos cos 22cos 222f x a b b x x x x x =-⋅=--=-- 5sin(2)62x π=--……………8分令222,,26263k x k k Z k x k k Zπππππππππ-+≤-≤+∈⇒-+≤≤+∈……………10分所以()f x 的单调递增区间是,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦……………12分22．（本小题满分12分） 解：（1）∵()2cos21f x x x ++ ……………1分12cos 2)12x x =++ 2sin(2)16x π=++……………3分∴()2sin()12sin 11241264f ππππ=++=+ (4)分（2）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈∴()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 ∴当k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ……………5分 若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数,则[,][,]36m m ππ-⊆-……………6分∴630m m m π⎧≤⎪⎪π⎪-≥-⎨⎪⎪>⎪⎩，解得06m π<≤……………7分 ∴m的最大值是6π……………8分（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x xx x <等价于直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++(02x π<<）有两个交点。
∵当02x π<<时， 由（2）知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， …9分 且(0)2,()3,()0,62f f f ππ=== ∴23a << 即实数a的取值范围是(2,3)……………10分 ∵函数()f x 的图象关于6x π=对称 ∴123x xπ+=.∵12x x <，∴106x π<<。