插值与拟合实验报告
实验2插值与拟合
数值分析实验报告实验2 插值与拟合2.1 实验目的掌握牛顿插值法的基本思路和步骤；掌握最小二乘法的基本思路和拟合步骤。
培养编程与上机调试能力。
2.2 算法描述2.2.1 牛顿插值法基本思路给定插值点序列（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =构造牛顿插值多项式)(u N n 。
输入要计算的函数点,x 并计算)(x N n 的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面)(x N n 的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。
2.2.2 牛顿插值法计算步骤1. 输入n 值及（))(,i i x f x ,,,1,0,n i =；要计算的函数点x 。
2. 对给定的,x 由[][][]00010101201101()()(),()(),,()()(),,n n n N x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++--- 计算()n N x 的值。
3. 输出()n N x 。
2.2.3 最小二乘法基本思路已知数据对()(),1,2,,j j x y j n = ，求多项式0()()m ii i p x a x m n ==<∑使得20110(,,,)n m in i j j j i a a a a x y ==⎛⎫Φ=- ⎪⎝⎭∑∑ 为最小，这就是一个最小二乘问题。
2.2.4 最小二乘法计算步骤用线性函数()p x a bx =+为例，拟合给定数据(),,1,2,,i i x y i m = 。
算法描述：步骤1：输入m 值，及(),,1,2,,i i x y i m = 。
步骤2：建立法方程组TA AX AY =。
步骤3：解法方程组。
步骤4：输出()p x a bx =+。
2.3 实验内容1. 给定sin110.190809,sin120.207912,sin130.22491,o o o ===构造牛顿插值函数计算'sin1130o 。
实验二：插值与拟合
实验二：插值与拟合
实验目的：
1. 掌握用MATLAB 计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析。
2. 掌握用MATLAB 作线性最小二乘的方法。
3. 通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意两者的联系与区别。
实验要求：
1. 编制计算拉格朗日插值的m 文件。
2. 练习interp1与interp2使用方法。
3. 通过实例，对三种插值结果进行比较。
4. 最小二乘拟合进行参数估计，并作图进行比较。
实验内容:
1. 选择一些函数，在n 个节点上（n 不要太大，如，5-11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m 个插值点的函数值（m 要适中，如50-100），通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较，通过增加n ，再作比较，由此作初步分析。
(1)π20,sin ≤≤=x x y (2)11,)1(2
1
2≤≤--=x x y (3)22,cos 10≤≤-=x x y (4)22),exp(2≤≤--=x x y
2. 用给定的多项式，如35623-+-=x x x y ，产生一组数据（x i ，y i ，
i=1,2,…,n），再在y i上添加随机干扰（可用rand产生），然后用x i 和添加了随机干扰的y i作3次多项式拟合，与原系数比较，如果作2或4次多项式拟合，结果如何？
3.在化工生产中，常常需要知道丙烷在各种温度T和压力P下的导
热系数K，下面是实验得到的一组数据：
试求T=99和P=10.3下的K。
学生 实验一 拟合与插值
实验一拟合和插值教学目的１.了解最小二乘法的原理.２.通过实例的学习,懂得如何用拟合和插值的方法解决实际的问题,并能注意它们的联系与区别,会用Matlab来求解教学内容１.拟合与插值的原理及简单分类．２.相应问题的实例建模及用软件求解的实现．３.练习与上机实验的内容．插值：求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。
所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。
绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线（称为样条曲线），并使连接点处有连续的曲率。
拟合：Zj2.m课堂练习与作业：1， 所有例题上机实现；P9 1.5 上机实现 2.4. 用下列数据拟合函数112223sin()k x y e k x x -=+中的参数12,k k 。
数据序号 y/kg x1/cm2 x2 x3 1 15.02 23.73 5.49 1.21 1415.94 23.52 5.18 1.98 2 12.62 22.34 4.32 1.35 15 14.33 21.86 4.86 1.59 3 14.86 28.84 5.04 1.92 16 15.11 28.95 5.18 1.37 4 13.98 27.67 4.72 1.49 17 13.81 24.53 4.88 1.39 5 15.91 20.83 5.35 1.56 18 15.58 27.65 5.02 1.66 6 12.47 22.27 4.27 1.50 19 15.85 27.29 5.55 1.70 7 15.80 27.57 5.25 1.85 20 15.28 29.07 5.26 1.82 8 14.32 28.01 4.62 1.51 21 16.40 32.47 5.18 1.75 9 13.76 24.79 4.42 1.4622 15.02 29.65 5.08 1.7010 15.18 28.96 5.30 1.66 23 15.73 22.11 4.90 1.8111 14.20 25.77 4.87 1.64 24 14.75 22.43 4.65 1.8212 17.07 23.17 5.80 1.90 25 14.35 20.04 5.08 1.5313 15.40 28.57 5.22 1.665. p163 5.6 结合上课ppt（数学建模实例：人口预报问题）。
第七讲 插值与拟合实验
y i = f ( xi ) 。插值函数一般是已知函数的线性组合或称为加权平均。用代数多项式作为插
值函数的插值法称为多项式插值，相应的多项式称为插值多项式。 插值和拟合是函数逼近的简单但又十分重要的方法。 插值法可以导出数值微分、 数值积 分和微分方程数值解等多方面的计算方法， 是数值分析的基本课题。 同时插值和拟合在工程 实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用。 本实验将主要研究几种基本的插值方法（如 Lagrange 插值、分段线性插值、三次样条 插值等）和数据的最小二乘拟合方法。要求学会 Mathematica 提供的插值函数和拟合函数的 使用方法，会用这些函数解决实际问题。
基函数。容易证明
⎧1 li ( x j ) = δ ij = ⎨ ⎩0
i= j , i, j = 0,1& Ln ( xi ) = y i , i = 0,1, " , n 。 还可以从其他角度出发，构造出插值多项式，如牛顿(Newton)插值公式。 Lagrange 插值法最大的优点是函数具有很好的解析性质（无穷次可微） ，但是它也存在 固有的缺点：可能出现严重的振荡现象，并且多项式函数的系数依赖于观测数据。 例 1 考虑函数
3、 三次样条插值 在工程设计和机械加工等实际问题中，要求插值函数有较高的光滑度。在数学上，光滑 程度的定量描述是：函数（曲线）的 k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有 k 阶光滑性。自 然，光滑性阶数越高其曲线光滑程度就越好。而上面介绍的分段线性插值，只具有零阶光滑 性，也就是不光滑的。虽然，提高分段函数如多项式函数的次数，可以提高整体曲线的光滑 程度， 但是， 是否存在较低次多项式达到较高光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的 例子。 样条曲线本身就来源于飞机、船舶等外形曲线设计问题。在工程实际中，要求此类曲线 应该具有连续的曲率，即连续的二阶导数。人们普遍使用的样条曲线是分段三次多项式。 定义 设 在 区 间 [a,b] 上 给 定 一 组 节 点 a = x 0 < x1 < " < x n = b 上 的 函 数 值
实验三 插值法和拟合实验
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x1=-5:1:5; y=5./(1+x1.^2); [C,L]=lagran(x1,y); xx=-5:0.1:5; yy=polyval(C,xx); hold on plot(xx,yy,'k*',x1,y,'o')
%描绘 lagran 函数插值图像以及插值点
[C,D]=newpoly(x1,y) x2=-5:0.01:5; y2=polyval(C,x2); plot(x2,y2,'r:') %作牛顿插值图像 x0=-5:0.05:5; y1=interp1(x1,y,x0,'linear');%求分段线性插值函数在 x0 上的值 plot(x0,y1,'-'); grid on x=-5:1:5; y=5./(1+x.^2); dx0=0.0739645; dxn=-0.0739645; S=csfit(x,y,dx0,dxn) x1=-5:0.01:-4;y1=polyval(S(1,:),x1-x(1)); x2=-4:0.01:-3;y2=polyval(S(2,:),x2-x(2)); x3=-3:0.01:-2;y3=polyval(S(3,:),x3-x(3)); x4=-2:0.01:-1;y4=polyval(S(4,:),x4-x(4)); x5=-1:0.01:-0;y5=polyval(S(5,:),x5-x(5)); x6=0:0.01:1;y6=polyval(S(6,:),x6-x(6)); x7=1:0.01:2;y7=polyval(S(7,:),x7-x(7)); x8=2:0.01:3;y8=polyval(S(8,:),x8-x(8)); x9=3:0.01:4;y9=polyval(S(9,:),x9-x(9)); x10=4:0.01:5;y10=polyval(S(10,:),x10-x(10)); plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8,x9,y9,x10,y10,x,y,'.') %作三次样条插值图像 grid on 2.估计某地居民的用水速度和每天的总用水量. function [a,b]=csd(X1,Y1) %最小二乘法 xmean=mean(X1) ymean=mean(Y1) sumx2=(X1-xmean)*(X1-xmean)'; sumxy=(Y1-ymean)*(X1-xmean)'; a=sumxy/sumx2 b=ymean-a*xmean
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
matlab实验报告 插值和拟合
建模中数据处理和分析班级 学号 姓名 实验地点 完成日期 成绩（一）实验目的与要求应用matlab 处理数据并分析，主要学会并熟练掌握数据拟合和插值。
（二）实验内容1. 用下面一组数据拟合ktbea t c 02.0)(-+=中的参数a ，b ，k2.在某山区测得一些地点的高程如下表。
平面区域为 1200<=x<=4000,1200<=y<=3600) 试作出该山区的地貌图X Y 120016002000240028003200360040001200 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 1600 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 2000 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 2400 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 2800 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 3200 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 36001480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980（三）实验具体步骤 实验1要先建立一个M 文件，文件中代码如下： function F=myfun(x,xdata) F=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*xdata) 接下来在command window 中输入如下代码： Clc Clearxdata=[100:100:1000];ydata=[4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59]/1000; x0=[0.2 0.05 0.05];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@myfun,x0,xdata,ydata) 接着MATLAB 会进行若干次运算，并给出结果：所以拟合的结果是a=0.0063，b=-0.0034，c=0.2542 然后，我们作图看看拟合的结果，输入代码plot(xdata,0.0063-0.0034*exp(-0.02*0.2542*xdata),xdata,ydata,'o') 得到图像如下：实验二建立一个m 文件，在其中输入代码如下： x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;100200300400500600700800900100044.555.566.57x 10-3temps=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];mesh(x,y,temps)xi=1200:30:4000;yi=1200:30:3600;zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)meshz(xi,yi,zi)colordef black运行后打开图形窗口的属性设置对话框，对背景，颜色等属性进行设置，得到下图：（四）实验结果实验中顺利得到拟合结果以及一个三维图像，虽然过程艰辛，但结果十分美好。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。