人教版 选修4-5 第5讲-绝对值三角不等式ppt课件

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∵|2b|=|a+b+c-（a-b+c）| ≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2， ∴|b|≤1， ∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b| ≤|f（1）|+3|a|+|b|≤1+6+1=8， 即|f（2）|≤8. 方法二 ∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，| f（1）| ≤1，|f（-1）|≤1. 由f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c，f（0）=c知
ab
ab
大小关系是( D)
A.m n
B.m n
C.m n
D.m n
5、如果实数x, y满足 cos x cos y cos x cos y ,且x ( , ),
2 则 (cos x cos y)2可写成( D )
A.cosx-cosy
B. cosx cos y
C.cos y cos x
又f（-1）=|1-a+b|，
|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|，
∴4M≥|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）|
=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|
≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2，
M 1.
2
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（3）解 当M 1时,| f (0) || b | 1 ,
答案：a≤1.
4
2.绝对值三角不等式的3个推论
推论1 如果a、b、c是实数, 那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
当且仅当ab ≤0时,
当且仅当ab ≥0时,
等号成立.推论2 如果a、b是实数, 那么
等号成立.
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
2 (3)当 M 1 时，试求出f（x）的解析式.
2
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（1）证明 ∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，
M≥|f（1）|=|1+a+b|，
2M≥|1-a+b|+|1+a+b|
≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|，
∴M≥|1+b|.
（2）证明 依题意，M≥|f（-1）|，
M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，
D. cos y cos x
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6、设m等于 a 、b 和1中最大的一个，当 x m时，
求证：a x
b x2
2.
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典例分析
例3 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有 |f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤7.
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典例分析
例4 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的 定义域为［-1，1］，且|f(x)|的最大值为M. (1)证明： |1+b|≤M; (2)证明: M 1 ;
定理 1（绝对值三角形不等式）如果 a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
rr 如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr ab r
rb a
rr ab
rr ab
3
A、a b a b 2
B、a b a b <2
C、a b a b 2 D、不可能比较大小
3、如果a,b都是非零实数，则下列不等式中不成立的是
A、a b a b
B、2 ab a b (ab 0)
C、a b a + b
D、b a 2
ab
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补充练习:
4、已知 a b , m a b , n a b ,则m, n之间的
课前热身：
3 1.设x 0,则y x2 2的最小值是_________. x
2.函数y x4 (2 x2 )(0 x 2)的最大值为 _3_2_/_2_7__.
3.已知0 x 1, 求函数y x(1 x)2的最大值.
答案：3 2 9
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高中新课程数学选修4-5
2
1.绝对值三角不等式
2
2
1 b 1 22
①
同理 1 1 a b 1
②
2
2
1 1a b 1
③
2
2
② ③得 3 b 1
④
2
2
由①④得b 1 , 2
当b
1 时, 2
分别代入②③得01aa1
0
a
0,
因此f (x) x2 1 . 2
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典例分析
例3 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有 |f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤7. 证明 方法一 ∵当|x|≤1时,|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，即|c|≤1. 又|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1， ∴|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1. 又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| ≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|， 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4， ∴|a|≤2.
变式2 - 2 已知| x a | ,0 | y b | , y (0, M ).
2M
2|a|
求证：| xy ab | .
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例 : 若 x m , y m ,下列不等式中一定成立的是( B )A.源自 - y B. x y 2
C . x y 2
D. x y
练习：
推论3 如果a、b是实数, 那么 ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
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典例分析
例2 求函数y | x 3 | | x 1|的最大值和最小值 .
答案：-4≤y≤4.
变式2 -1 若不等式 | x - 4 | - | x - 3 | a对一切x R恒成立， 求a 的取值范围.
答案：a≥1.
1、设m, 0, x a , y b , a m, y m,
2
2
求证：xy ab m
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补充练习: 1、“ x a m且 x a m”是“ x y 2m”
（x, y, a, m R)的
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
2、设 a 1, b 1,则 a b a b 与2的大小关系是
典例分析
[例 1] 已知|A－a|<3s，|B－b|<3s，|C－c|<3s. 求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.
变式例 1-11 已知ε> 0,|x - a|<ε,|y - b|<ε,
求证: |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
变式1- 2 若关于x的不等式 | x 3 | | x 4 | a的解集为 空集，求 a的取值范围.