东方随机过程填空题总练习
随机过程试题
一、填空题（每小题3分，共15分）1、设随机变量X 的特征函数为 ()(1)itnX t p pe ϕ=-+，则EX = 。
2、设{((),()),}X t Y t t T ∈为二维实值随机过程，则它们的互协方差函数为12(,)XY C t t = 。
3、设{()X n ，1,2,n = }是独立同分布的随机变量序列，{}()1P X n p ==，{}()01P X n p ==-，则对m n ≠，X 的自相关函数(),X R m n = 。
4、全期望公式为 ()E E Y X ⎡⎤⎣⎦= 。
5、非齐次泊松过程{(),0}N t t ≥，其中强度函数为()sin (0)t t at a λ=+≠，则[()]E N t =。
二、选择题（每小题3分，共15分）1、下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（ ）（A ）严平稳过程 （B ）宽平稳过程 （C ）正态过程 （D ）泊松过程2、关于齐次马氏链的遍历性与平稳分布，下面说法正确的是（ ） （A ）平稳分布即为稳态概率（B ）平稳分布存在，则齐次马氏链具有遍历性 （C ）马氏链不具有遍历性时，其平稳分布也可能存在 （D ）平稳分布是唯一的3、已知标准正态分布随机变量的特征函数为22()e υϕυ-=，则2(2,)X N μσ 的特征函数为 ()X ϕυ=（ ） （A ）{}222exp i συμυ-+（B ）{}222exp i συμυ-（C ）{}222exp i συμυ-2+（D ）{}222exp i συμυ-24、下面的随机过程中不一定是马尔可夫过程的是（ ） （A ）宽平稳过程 （B ）非齐次泊松过程 （C ）维纳过程 （D ）泊松过程5、设()1()()N t n Y t X n ==∑是复合泊松过程，2(|()|),1,2,E X n n <+∞= ，则下面说法错误的是（ ）（A ）()((1))Y m t tE X λ= （B ）()((1))Y D t tD X λ= （C ）()(())Y m t tE X n λ= （D ）2()(())Y D t tE X n λ= 三、计算题1、（20分）设齐次马氏链{(),1,2,3}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移概率矩阵110221203323055P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1） 画出概率转移图； （2）讨论其遍历性，并求平稳分布； （3）求概率{(4)3|(1)1,(2)2}P X X X ===； （4）若已知(1)X 的分布律如下表所示:分别计算{(1)1,(2)2,(3)3}P X X X ===以及(3)X 的分布律。
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程习题
随机过程习题一、判断题：5个，10分1、随机过程依照状态空间，可分为离散状态过程和连续状态过程。
2、非齐次泊松过程一定是独立增量过程。
3、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Tn是第n次更新发生的时刻，N(t)?n?Tn?t4、任意马尔可夫链都存在极限分布。
5、时齐的连续时间马尔可夫链的转移速率qij有qii?二、填空题：5个，15分?qj?iij。
1、若随机变量X的矩母函数为et2?2，则其期望E(X)为．2、设随机过程X(t)?R?t?C,t?(0,?),C为常数， R服从区间[0,1]上的均匀分布,则其均值函数为．3、设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次。
则它在使用期内只维修过一次的概率是．4、人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，若某人投保时健康, 3年后他仍处于健康状态的概率是．5、设时齐连续时间马尔可夫链{X(t),t?0}是正则的，由状态i经时间t后转移到状态j的概率为Pij(t)，则limP(t)? ．ijt?0三、计算题：5个，40分1、设数Y在区间(0,1)上随机地取值,当观察到Y=y(02求P{N(1)?2N(1)?1}。
4、设?N(t),t?0?是一个更新过程，Xn是第n?1次更新和第n次更新相距的时间，且P(Xi?1)?1， 3P(Xi?2)?2，i?1,2,?，求P{N(2)?1}。
35、设马尔可夫链的状态空间S?{1,2,3,4}，转移概率矩阵为 ?1??4P??0?0??1?14000141001??4?0?， 1??0??试判断状态1是否是常返态。
四、应用题：2个，1题10,2题15分，共25分 1、一队同学顺次等候体检，设每人体检所需要的时间服从均值为2min的指数分布，并且与其他人所需时间是相互独立的，则1h内平均有多少同学接受过体检？在这1h内最多有40名同学接受过体检的概率是多少？ 2、我国某种商品在国外销售情况共有连续24个季度的数据（1表示畅销，2表示滞销）： 112122111212112211212111 如该商品销售状态满足马尔可夫性和齐次性. 1)确定销售状态的转移概率矩阵； 2)如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售情况； 3)如果影响销售所有因素不变，预测长期的销售情况. 五、证明题：1个，10分将2个红球放入盒子甲，4个白球放入盒子乙，每次从两个盒子中各取一球交换，以X(n)记第n次交换后盒子甲中的红球数。
随机过程试题及答案说课材料
随机过程试题及答案收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ijp ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
东方随机过程填空题总练习
随机过程练习题---客观题专题一、填空题（每空3分）1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则n X X X +++ 21的特征函数是 。
2．{}=)(X Y E E 。
3．（1）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
（2）设随机变量X 服从标准正态分布，则X 的特征函数为 。
4．条件期望)(Y X E 是关于 的函数， （是or 不是）随机变量。
5．宽平稳过程中的协方差函数γ(t,s)只与 有关。
6．宽平稳过程中的均值函数满足7．随机过程{X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。
8．{X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，{}==-+n t X s t X P )()( 。
,1,0=n9．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额服从B （10000，0.2）的二项分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。
10．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量．设各客车内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]内到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程．11．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 内到达的顾客不超过3人的概率是 ．12．强度为λ的泊松过程的前后次事件发生时间间隔是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
{强度为λ的泊松过程的前后次事件发生时间间隔是相互独立的随机变量，且服从参数为 的同一指数分布。
}13．有限状态空间不可约马氏链的状态均为 。
14．非周期正常返状态称为 。
15．马尔可夫链的一步转移矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.03.05.05.0P ， 则=)1(12P ，=)2(12P 。
16．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
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1．设随机变量X 服从参数为的泊松分布，则X 的特征函数为 。
λ2．设随机过程 其中为正常数，和是相互X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ωA Φ独立的随机变量，且和服从在区间上的均匀分布，则的数学期望A Φ[]0,1X(t)为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设是与泊松过程对应的一个等待时间序列，则服{}n W ,n 1≥{}X(t),t 0≥n W 从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量，则 这个随机⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵，步转移矩阵，二者之ij P=(p )n (n)(n)ij P (p )=间的关系为 。
7．设为马氏链，状态空间，初始概率，绝对概率{}n X ,n 0≥I i 0p P(X =i)=，步转移概率，三者之间的关系为 。
{}j n p (n)P X j ==n (n)ij p 8．设是泊松过程，且对于任意则}),({0≥t t X 012≥>t t {(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程解的一般形式为 。
()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰10．记 。
()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→一一一一一一一t +a 得 分评卷 人二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：A,B,C 。
P(BC A )=P(B A )P(C AB) 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设为马尔科夫链，状态空间为，则对任意整数和{}n X ,n 0≥I n 0,1<n l ≥≤，步转移概率 ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，i,j I ∈n (n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑证明并说明其意义。
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F(0,x)8P{X(0)Vx} ‘031x<0;< .r < 1;M>4分P{i l0<5} = P{N(5) >10} =工it=10 e 心(12.5)*k\=i-Ek=0e"5(12.5)*V.®0.79857 (5)随机过程参考答案及评分标准一、填空(每空5分)1.才儿匚 + 2min(/] ,0)2.Vr n eT,limEIX(0-X(r n)l2 = 0 或limE I X(x + /i)-X(x) l2 = 0■ t^>t…"TO3.5at74.—24'o r二、解：(1).心0时，X(0)~ I 25 3 J(2). m * (/) = EX (/) = 1 x * + sin / x * + cos / x * = * (1 + sin / + cos t).R x (?, ,t2) = EX(/J • EX (切=1 x P { W]} + sin £ sin t2P {w2} + cos £ cos t2P {w3} = -{l + COS(r i _?2)} .......................................................................................................................Cx(t\ ,t2) = Rx(t\) —EX (G • X 律)=Rx(t[，G)-m.Y(?1)m A-(?2)= — +—008(^ -Z2)- —(sin t x +cos/] + cos t2 + sinr2)- — sinZ2(cos+sin/J.................................................................................................. 3分二、解：N⑴为何到达的顾客数，贝U N(f)~P(2.5)—2.5x5 /r\斥10 1(1)-列“⑸=吩爲诂严•(12®。
随机过程 考试题与答案
（2）
0.4 0 0.6 0.4 0 0.6 0.22 0.36 0.42
P(2)
0.5
0.5
0
0.5
0.5
0
0.45
0.25
0.30
0.1 0.6 0.3 0.1 0.6 0.3 0.37 0.48 0.15
2
（3） P X (2) 0
pk
(0)
pk(
2) 0
0.7 0.22
p(2) 01
k
p0k
pk1
1 4
3 4
3 4
1 3
0
1 4
7 16
4、设平稳过程的自相关函数为 RX ( ) ea sin b | | ，则其谱密度为
SX ()
b b a2 ( b)2 a2 ( b)2
二、简答题（每小题 10 分，共 20 分） 1、什么是平稳过程的自相关函数遍历性，如何判别？
Z (t) X (t) X (t ) 也是均方连续的平稳过程，则 X (t) 的自相关函数 RX ( ) 具有
遍历性的充要条件是
1
lim T 2T
2T 1
2T
1 2T
(RZ
(1)
RX
( ) 2 )d1
0
其中 RZ (1) E[ X (t) X (t ) X (t 1)X (t 1)]
N (t)
则Y (t)
X (n)
(t 0) 的特征函数Y (t) (v)
e e t[X (1) ( )1]
t[exp{ 2v2 / 2}1]
n 1
3、设 X (n), n 0为一齐次马氏链，其状态空间 E 0,1,2，它的一步转移概率
为 p00 1/ 4, p01 3 / 4, p10 p11 p12 1/ 3, p21 1/ 4, p22 3 / 4, 则两步转移概率
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随机过程练习题---客观题专题
一、填空题(每空3分)
1. X1,X2^ X n是独立同分布的随机变量，X i的特征函数为g(t)，贝U
X i X^ X n的特征函数是____________________ 。
2. ______________________ E｛E(YX)｝ = 。
3. __________________________________________________________________ (1)设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 _________________________ 。
(2)设随机变量X服从标准正态分布，则X的特征函数为________________ 。
4. ________________________ 条件期望E(XY)是关于的函数， (是or不是)随机变量。
5. 宽平稳过程中的协方差函数丫(t,s)只与_________________ 有关。
6. 宽平稳过程中的均值函数满足 __________
7. 随机过程｛X(t), t _______________________________________ > 0｝为具有参数■ .0的齐次泊松过程，其均值函数为________________________________ ;
方差函数为___________ 。
8. ｛X(t), t > 0｝为具有参数■0的齐次泊松过程，
P「X(t s) —X(t)二n丄 ___________________ 。
n =0,1,
9. 在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.若
每次赔付金额服从 B ( 10000，0.2 )的二项分布，求一年中保险公司的平均赔付金
额______________________ 。
10. 到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车
内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在［0，t］内到达汽车总
站的乘客总数是___________________ (复合or非齐次)泊松过程.
11. 设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3
人的概率是___________________ .
12. 强度为入的泊松过程的前后次事件发生时间间隔是相互独立的随机变量，且服从均值
为____________ 的同一指数分布。
｛强度为入的泊松过程的前后次事件发生时间间隔是
相互独立的随机变量，且服从参数为 ____________ 的同一指数分布。
｝
13. ___________________________________________ 有限状态空间不可约马氏链的状态均为______________________________________________ 。
14. ______________________________ 非周期正常返状态称为。
15•马尔可夫链的一步转移矩阵为P=10.5 0.51则昂)= ,P22)=
[0.3 0.7 一------ ---------------
16•设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p ij) , n步转移矩阵P(n)=(p j n))，二者之间的关系
为______________ 。
17•在马氏链汉.,n _0l 中，记f j n)= j,1^v 乞n-1,X n =jX°=i?,n _1,
f j 二f j(n)，若f ii < 1，称状态i 为___________
n=1
18•设N (t )是参数为入的泊松过程，第一次事件发生的时刻T1在已知N (t) =1的条件下的条件概率密度为__________________ 。
19、
对一齐次Markov链，其任意n步转移概率与n步首次到达概率之间的大小关系为_____ 。
20、设顾客以一Poisson过程来到某商店，平均速率为每分钟有3人，每个顾客购买货物的概率2/3，则在[0，t]内来该商店消费的人数服从参数为_____________________ 分布。
21、设{N ( t ) }是参数为3 的Poisson 过程。
则P{N(1)<3}= _______________________ ; P{N(1)=1,N(3)=2}= _______________ ; E[N(1)N(3)]= __________ 。
22、某人有2把伞用于上下班，如果一天开始时他在家(一天结束时他在办公室)而且天下雨，只要伞可取到，他将拿一把到办公室(家)中。
如果天不下雨，那么他不带伞，假设每天的开始(结束)下雨的概率为0.2，不下雨的概率为0.8且与过去情况独立。
记Xn 为第n次出门(包括从家到办公室及从办公室到家)时此人身边的雨伞数。
则Markov链{Xn}
- [
转移矩阵P =。
I ・
23、若{X(t), t >0}为具有参数()=1 t的非齐次泊松过程，则当t=3时，其均值函数
E [X⑶]= ___________ ; P「X ⑷ _ X (1) ___________________ 。
二、选择题(每题4分)
1、下列哪些不属于齐次泊松过程的性质：( )。
A.计数过程
B. 独立增量
C. 正交增量
D. 平稳增量
2、下列哪个是齐次泊松过程、非齐次泊松过程、复合泊松过程共有的性质(
A.计数过程
B. 独立增量
C. 正交增量
D. 平稳增量
3、若状态i和j互通，则下属说法错误的是( )。
A. i和j周期相同
B. i 和j平均返回时间相同
C. i和j同为常返或非常返
D. i 和j同为正常返或零常返
4、下列各项描述中，( )不是平稳过程的条件。
A.均值是常数
B. 相关函数只与时间差有关
C.实二阶矩过程
D. 功率谱密度为常数
5、下列关于宽平稳过程中的自相关函数R(t,s)表达式不正确有( )
2 2
A.2cos(t-s);
B.2sin(t-s);
C.2-sin (t-s);
D. cos (t-s)
6下列关于宽平稳过程中的自相关函数R(T )关于时间差T的性质说法不正确有( ) A.在T =0取非负值；B关于T的偶函数；
C、在T =0取最大值；D关于在T € R上是连续的。
7、关于强度为2的齐次Poisson过程的自协方差函数C (5, 8)=( )
A. 16
B. 10
C. 170
D. 52
8•关于强度为2的齐次Poisson过程的自相关函数r (5, 8)=( )
A. 16
B. 10
C. 170
D. 160
9•对于有限状态不可约的Markov链，状态1的平均返回时间为4,则lim p-^ =( )
A.不存在
B.与i的取值有关
C. 4
D. 0.25
10.设顾客到达某商店是Poisson事件，平均每小时以30人的速度到达，贝U相继到达的两顾客的时间间隔为大于2分钟的概率为( )
A. e1
B. 1- e -1
C. e -60
D. 1- e -60。