德拜驰豫及弛豫极化的微观机制
合集下载
电介质物理 第十四讲 德拜弛豫及弛豫极化的微观机制
G Ae( 0 Ee cos
A[1
上式表明朗之万理论中的波尔兹曼因子变为一个随时间变化的加权因子。
讨论上式： t 0 时， G Ae E cos KT 为稳态时的正则分布。当撤去电场的瞬时，热运动还来 不及使分子解除取向； t 时， G A ，与 θ 无关，分子取向完全解除，处于完全热运动混乱状态； t 时，G 减少到稳态时的 1/ e 36.8% ，热运动的解除取向作用不断加强， 定义为弛豫时间。 在电场突然撤去以后，在原电场方向分子偶极矩的统计平均值为：
分解成实部虚部：
1 1 i
( ) ( s )
' r " r
1 1 2 2
德拜弛豫方程
( ) ( s ) 1 2 2
德拜弛豫的特点
r' ( ) ( s )
德拜弛豫方程
1 1 2 2
其中 J d K
G
( n0 G ) 2 sin 为热运动引起的分子扩散速率，与截点的
密度梯度 n0 成正比，K 为扩散系数，负号表示扩散转移的方向（密度 减小方向）跟密度梯度（密度增大方向）相反，如果没有电场作用，分子 1 2 作混乱排布，在一定温度下，G 是偶极分子能量（动能）的函数， 2 mv G 与 和 t 无关， G 为常数，密度各处均匀，因而没有扩散。 0 ， J d 0 。 Jd 的意义：在电场作用和热运动使球面交点的密度不均匀， 引起从密度大的地方向密度小的地方转移—扩散。
e 0
dn(t ) n0G( , t )d n0G( , t )2 sin d
其中 n0G( , t ) 为单位立体角内球面交点的密度。
【西安交通大学】【电介质物理】【姚熹、张良莹】【课后习题答案】
第二章 变化电场中的电介质2-1 什么是瞬时极化、缓慢极化？它们所对应的微观机制代表什么？极化对电场响应的各种情况分别对何种极化有贡献？ 答案略2-2 何谓缓慢极化电流？研究它有何意义？在实验中如何区分自由电荷、束缚电荷随产生的传到电流？ 答案略2-3 何谓时域响应、频域响应？两者的关系如何？对材料研究而言，时域、频域的分析各由什么优缺点？ 答案略2-4 已知某材料的极化弛豫函数ττ/1)(t e t f -=，同时材料有自由电荷传导，其电导率为γ，求该材料的介质损耗角正切δtg 。
解 ：由弛豫函数 ττ/1)(t e t f -=可知 德拜模型极化损耗 P tg δ，漏导损耗 G tg δ 如果交变电场的频率为 ω； 则P tg δ=22)(τϖεεωτεε∞∞+-s s G tg δ=)11(220τωεεεωεγ+-+∞∞s 该材料的介质损耗正切为：δtg =P tg δ+G tg δ 2-5在一平板介质（厚度为d ，面积为S ）上加一恒定电压V ，得到通过介质的总电流为Vt e I -+=βα,已知介质的光频介电常数为 ∞ε，求单位体积内的介质损耗、自由电子的电导损耗、极化 弛豫与时间的关系。
若施加频率为ω的交变电场，其值又为多少？并求出介质极化弛豫函数f （t ）。
解 ：在电场的作用下（恒场）介质中的功率损耗即为介质 损耗电功 dt t VI Vdq dA )(==)1()()(0Vt ttVt e Vt Vdt e dt t VI A ---+=+==⎰⎰βαβαV t I Ve V tAW Vt )(=+=∂∂=-βα 单位体积中的介电损耗 ：)(1Vt Ve V ds ds W w -+==βα自由电子电导损耗 ： dsVw α=1极化弛豫损耗 ： Vte dsV w -=βα电导率 ：dsV R V I s d R ραρ====0, , 电流 ： Vt e I -+=βα 其中 α=R I 为传导电流 Vt r e I -=β为极化电流另一方面 dt dPs dt s d dt dQ I r r r r ===)(σ ττεεε/00)(t s r e E dt dP -∞-=故 Vt t sr e e E I --∞=-=βτεεετ/00)( 有 d sV d VE V s βεεετ=-==∞20)(,,120sVd s εβεε+=∞因而，加交变电场w 时 ：221)(τωεεεε+-+='∞∞s r极化损耗 ： 2211)(τωωτεεε+-=''∞s r电导损耗 ： sVdrωεαωεγε002=='' 单位体积中的极化损耗功率 ：)1(2)(21222220210τωτωεεεεωε+-=''=∞d V E W s r r 单位体积中的电导损耗功率 ：dsV W G α= G r W W W += 弛豫函数 ：Vt t Ve e f --==ττ/12-6若介质极化弛豫函数ττ/1)(t e t f -=，电导率为γ，其上施加电场E(t)=0 (t<0);E(t)=at (t>0 , a 为常数) 求通过介质的电流密度。
第十七讲 德拜驰豫理论的偏离和修正概要
B）复介电常数与频率的经验关系
实验上确定分布函数 f ( ) 的形式与确定 和 频率的关系完全是一回事，当 f ( ) 已知，可计算 和 与频率的关系，若 和 与频率的关系已知，可利用傅立叶积 分求出 f ( ) 的形式。通常用 和 与频率的的经验关系来概括实验结果。
0 0 " r
r'' '' rm
0.5
0.10
0.30 0.50
0
1.00
2 1
lg '' '' 不同下 r / rm与 / m关系 m
0
1
2
r" 根据极值条件： th( ( 0 )) sec h( ( 0 )) 0
有：
m
1
0
因此富奥斯-寇克伍德经验关系也可表示为： " " r" m sec h( ln ) rm ( s )
m
2
Cole—Cole 经验关系与 Fouss—Kirkwood 经验关系存在 一定关系，两个经验公式中弛豫时间分布参数 h 和 间有近似 关系：
复极化率为：
r ( )
i
rei Ai 1 i i
假设不同弛豫时间的一系列弛豫极化具有相同的宏观极化率 re ， 则：
P( ) 0 ( re
i
Ai ) E 0 r ( ) E 1 i i
r re
利用上式进行定量计算，首先须确定弛豫时间分布函数 f ( ) ， f ( ) 取决于电介质中的微 观弛豫机构，对每一种电介质应该从理论上或实验方法逐个予以确定，实际上往往采用大量 实验所积累的一些通用分布函数和经验关系来计算。
第十四讲德拜驰豫及弛豫极化的微观机制
t 时刻，分子取向的分布可用单位球面上对应点的分布来表示。设 n0 为单位体积内偶极
分子数， G(,t) 为电场作用下偶极子在空间的分布几率。在 t 时刻，在立体角增量
d 2 sind 内的球面上交点数目为：
z
dn(t) n0G( ,t)d
Ee
sin
n0G( ,t)2 sin d
其中 n0G( ,t) 为单位立体角内球面交点的密度。
场转矩 M 立即消失，布朗运动多次碰撞引起摩擦，使偶极分子统计取向缓慢 消失，从而出现弛豫。
1) 偶极分子取向的分布函数及其极化的弛豫函数 ε 无限大的均匀电介质，加阶跃电场 E，相应的有效电场为 Ee ，偶极分子只发生
在电场方向的转向，其偶极矩大小不变。取球坐标系（1,, ）单位球，沿 方向有一定 向的偶极分子，用沿偶极矩方向到单位球面上的一个截点（交点）来表示该偶极分子，
德拜方程
将
f
(t)
1
et /
代入
r
(
)
( s
)
0
f
( y)eiy dy
由于 f ( y)eiy dy 1 ey eiy dy 1
0
0
1 i
则可得：
r
()
( s ) 1 i
与
C—R
简单串联电路比较，
C
re
复电容量与弛豫极化贡献的电介质
复极化率
re
为：
r（e ）
)E(t)
0
* r
E
电介质复极化率为：
()
re 1 it
电介质复介电常数为：
r
(
)1Βιβλιοθήκη ()re 1 it
其中介电常数的实部 εr’(ω)，虚部 εr’’(ω)及 tgδ(ω)分别为：
2014-第四章-5-交变电场中电介质的损耗-弛豫机制与松弛时间
4-106
式中，n1 + n2 = n，两个平衡位置离子浓度的变化为：
下面讨论几种情况：
4-107
电场引起的位能变化 △U
设电场较弱，△U《 kT，于是，ω12、ω21 可近似表示为：
4-108
加电场4-109 式中，ω Nhomakorabea 为无电场时，离子从 1 到 2 或由 2 到 1 跃迁的几率。
因此，式 ( 4 -107 ) 可改写为：
4-97
4-98
将式 (4 - 97) 和 (4 - 98) 代入式 (4 - 95a)，且设 μ0Ei / kT《 1，就有
4-99
其中，
4-100
如果 Ei 为正弦交变电场，且表示为 Ei ＝E io eiωt 设 n1 - n2＝A eiωt，用式 ( 4 - 99 ) 计算电场方向 ( + x ) 的平均感应偶极矩：
图 4-16 松弛时间分布
这些结果说明： 与德拜方程中单一松弛时间情况不同， 多数介质弛豫过程的松弛时间彼此分散 性很大，这样，ε’r - log ω 弥散曲线变得 比较平坦，弥散频率范围展宽，而ε’’r log ω 吸收曲线变宽，且其最大吸收值 ( ε’’r m ) 实际比由德拜方程算出的要小。 不过该曲线仍保持大体对称。
4-101
计及瞬时极化分量并假定有效场为洛仑兹场，用克-莫方程，于是有：
4-102
（注意：确定 =0 和 = ∞ 对应的εrs 和εr∞ ）
由式 (4 -72) 可知，对 εr* 可写成： 式中：
4-103
4-104
所得结果与极性液体德拜弥散方程一样。 但极性固体松弛时间分布要宽一些，且 εr’’ 最大值亦比理论值小得多。 上述理论称之为固体德拜理论。
式中，n1 + n2 = n，两个平衡位置离子浓度的变化为：
下面讨论几种情况：
4-107
电场引起的位能变化 △U
设电场较弱，△U《 kT，于是，ω12、ω21 可近似表示为：
4-108
加电场4-109 式中，ω Nhomakorabea 为无电场时，离子从 1 到 2 或由 2 到 1 跃迁的几率。
因此，式 ( 4 -107 ) 可改写为：
4-97
4-98
将式 (4 - 97) 和 (4 - 98) 代入式 (4 - 95a)，且设 μ0Ei / kT《 1，就有
4-99
其中，
4-100
如果 Ei 为正弦交变电场，且表示为 Ei ＝E io eiωt 设 n1 - n2＝A eiωt，用式 ( 4 - 99 ) 计算电场方向 ( + x ) 的平均感应偶极矩：
图 4-16 松弛时间分布
这些结果说明： 与德拜方程中单一松弛时间情况不同， 多数介质弛豫过程的松弛时间彼此分散 性很大，这样，ε’r - log ω 弥散曲线变得 比较平坦，弥散频率范围展宽，而ε’’r log ω 吸收曲线变宽，且其最大吸收值 ( ε’’r m ) 实际比由德拜方程算出的要小。 不过该曲线仍保持大体对称。
4-101
计及瞬时极化分量并假定有效场为洛仑兹场，用克-莫方程，于是有：
4-102
（注意：确定 =0 和 = ∞ 对应的εrs 和εr∞ ）
由式 (4 -72) 可知，对 εr* 可写成： 式中：
4-103
4-104
所得结果与极性液体德拜弥散方程一样。 但极性固体松弛时间分布要宽一些，且 εr’’ 最大值亦比理论值小得多。 上述理论称之为固体德拜理论。
晶体极化的微观机制
q 为p与E之间的夹角.
W - p E - pEcosq
朗之万(Langevin)根据波尔兹曼分布定律,给出在外电场作用 下,气体和液体的取向极化所导致的极化强度
P0 N 0 p0 cosq
P0 ——分子固有电偶极矩
N0 ——单位体积内被取向极化的分子数
(1)
<cosq > ——热平衡分布下cosq 的平均值,称为朗之万函数, 记为L
n nn 1 ] 2
2
(12)
可求出准确到二级微扰近似下的能量
ni
(0) n i
i ni Hn
ki ni 2
Ei2
i ki Hn
(0) ni
(0) εk
i
e 1 (ni )w 2 w
ki ni
x ki ni
ni k i
2
e 2 Ei2 1 (ni )w 2 2 w 2
(7)
朗之万-德拜极化理论的局限性
朗之万-德拜极化理论成功解释了极性分子气体和液体的极 化，但是却不能解释晶体极化问题. 主要表现在两个方面： （1）朗之万-德拜理论给出的取向极化率反比于温度:
2 p0 0 3kT
但是,对于离子晶体，极化率随温度变化很小,例如对于NaCl 晶 体,约为3.4×10-41/K. （2）对于各向异性晶体的极化问题,朗之万-德拜理论更不
目录
1. 朗之万-德拜(Langevin-Debye)极化理论及其局限性 2. 晶体极化机制应由量子理论和统计物理解释 3. NaCl 晶体在外电场中的极化率与极化强度
4. 各向异性晶体的极化
5. 结语
1. 朗之万-德拜(Langevin-Debye)极化理论
极化弛豫和介电损耗
上式还表明，r’和r”都可以由同一个函数 导出，所以它们不可能是独立的。现在求他 们的关系。
对上边两个式子作傅里叶变换，可得到衰 减函数为
(x)2
0'r(')r()
c
os'xd',
(x)2
0'r'(')s
in'xd'
由此可得到熟知的Kramers-Kronig关系
'r()r()2P 0'r'(')'2'2d'
因为介质损耗与电场强度的频率、温度以及 极化机制等都有关系，是一个比较复杂的问 题。介质损耗大的材料，做成元件质量也差， 有时甚至不能使用。所以介质损耗的大小， 是判断材料性能的重要参数之一。
注意:在某一频率范围的介质损耗小，并不 等于在所有频率范围内的介质损耗都小。
例如，铌酸锂LiNbO3晶体在室温（20C） 时的损耗因子tan()与频率的关系如图2-18 所示。从图中可以看出，在频率为107Hz附 近损耗很大，因此设计器件时就应考虑避开 此频率附近。如选用LiNbO3晶片做纵向振 动时就不应选择大小约为7.67.625.4的晶 片。
令上式两边实部和虚部分别相等，得出：
'r
()
r
()
r (0) r () 1 ()2
'r'
()
r (0) r () 1 ()2
德拜介电弛豫中电容率实部和虚部与频率的关系
由此图可以看出，等于-1时，‘r 急剧 下降，此时
r ' r(0 )r( )/2
同时 “r呈现极大值：
r '' r(0 )r( )/2
式中（t-u)为衰减函数，它描写电场撤除 后D随时间的衰减。显然当t时， （t-u) 0.
对上边两个式子作傅里叶变换，可得到衰 减函数为
(x)2
0'r(')r()
c
os'xd',
(x)2
0'r'(')s
in'xd'
由此可得到熟知的Kramers-Kronig关系
'r()r()2P 0'r'(')'2'2d'
因为介质损耗与电场强度的频率、温度以及 极化机制等都有关系，是一个比较复杂的问 题。介质损耗大的材料，做成元件质量也差， 有时甚至不能使用。所以介质损耗的大小， 是判断材料性能的重要参数之一。
注意:在某一频率范围的介质损耗小，并不 等于在所有频率范围内的介质损耗都小。
例如，铌酸锂LiNbO3晶体在室温（20C） 时的损耗因子tan()与频率的关系如图2-18 所示。从图中可以看出，在频率为107Hz附 近损耗很大，因此设计器件时就应考虑避开 此频率附近。如选用LiNbO3晶片做纵向振 动时就不应选择大小约为7.67.625.4的晶 片。
令上式两边实部和虚部分别相等，得出：
'r
()
r
()
r (0) r () 1 ()2
'r'
()
r (0) r () 1 ()2
德拜介电弛豫中电容率实部和虚部与频率的关系
由此图可以看出，等于-1时，‘r 急剧 下降，此时
r ' r(0 )r( )/2
同时 “r呈现极大值：
r '' r(0 )r( )/2
式中（t-u)为衰减函数，它描写电场撤除 后D随时间的衰减。显然当t时， （t-u) 0.
德拜驰豫理论的偏离和修正概要
豫损耗开始起作用，并且逐渐起主导作用，最后出现
损耗峰值，呈现出介质弥散现象，当频率很高时，
T1 T2
lg 记及漏导的损耗角正切与频率关系
1，则有 tg
s
0
1
，两个损耗项
都随频率增加而减少，当 时， tg 0 。
tg 与温度的关系：
电导率： Ae B T
当温度很低，由于 值小，电导引起的损耗比较小，介质损耗主要决定于弛豫过程； 当温度很高， 很高，漏导损耗呈指数式上升，主要考虑电导的影响。
f ( )d 0 1 i
r
(
)
( s
)
0
f ( )d 1 i
实部：
' r
(
)
( s
)
f ( )d 0 1 2 2
虚部：
" r
(
)
( s
)
f ( )d 0 1 2 2
Schweidler方程
利用上式进行定量计算，首先须确定弛豫时间分布函数 f ( ) ， f ( ) 取决于电介质中的微 观弛豫机构，对每一种电介质应该从理论上或实验方法逐个予以确定，实际上往往采用大量 实验所积累的一些通用分布函数和经验关系来计算。
极化强度 Pr (t) 是由弛豫时间相差不大的一系列弛豫运动提供的，弥
散区域 ii 被展宽， Pr (t) 为弛豫时间i 不等的各个极化分量 Pri (t) 的加 权和， Pr (t) Pri (t)Ai 。
i
设在一定温度下，电介质材料有 N 种按不同比例分布的 弛豫时间常数i （i= 1,2,…….N），则弛豫函数为各弛豫函数 的迭加：
tg 与频率的关系：
（1）.对于静电场 0 ，则 tg ，在静电场， tg 无意义， tg 只在 0 的交变电场中才有意 tg
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
时间，电介质建立热平衡极化强度的最大值 Prm 0 re E0 。
假设在
t
时刻，
Pr
的增长速度
dPr dt
正比于最大值
Prm
与该时刻
Pr
值之差：
dPr dt
1（
0
re E0
Pr
)
其中
re
s
，1
为比例常数，具有时间量纲，称时间常数。
解上述方程可得： Pr (t) 0 re E0 (1 et / ) ( s ) 0 E0 (1 et / )
对 t 求导，则
dPr dt
( s
)
0 E0
1
e t
/
可得弛豫函数：
f
(t)
1
et /
如果施加的是交变电场 E E0eit ，
则
Pr(ω)的稳态解为： Pr () 0 (s
)
0
f ( y)E(t
y)dy
10 re E 1 i
总极化强度为：
P(,
t)
P
(t)
Pr
()
0
(
1
re it
场转矩 M 立即消失，布朗运动多次碰撞引起摩擦，使偶极分子统计取向缓慢 消失，从而出现弛豫。
1) 偶极分子取向的分布函数及其极化的弛豫函数 ε 无限大的均匀电介质，加阶跃电场 E，相应的有效电场为 Ee ，偶极分子只发生
在电场方向的转向，其偶极矩大小不变。取球坐标系（1,, ）单位球，沿 方向有一定 向的偶极分子，用沿偶极矩方向到单位球面上的一个截点（交点）来表示该偶极分子，
G t
1 s in
[KT
s in
G
(0Ee
sin 2 )G]
当时间足够长，达平衡 时
G t
0
，则：
G Ce 0Ee cos KT
1
re i
' re
()
i
" re
()
其中
' re
()
1
re 2
2
s 1 2 2
，
" re
()
re 1 2
2
( s ) 1 2 2
显然
' re
(
)
' r
(
)
，
" re
()
" re
()
由以上可得：
当
0 时，
' re
(0)
s
，
" re
(
)
0；
当
时，
' re
()
0
，
" re
)E(t)0ຫໍສະໝຸດ * rE电介质复极化率为：
()
re 1 it
电介质复介电常数为：
r
(
)
1
()
re 1 it
其中介电常数的实部 εr’(ω)，虚部 εr’’(ω)及 tgδ(ω)分别为：
' r
()
( s
) 1
1 2
2
" r
(
)
( s
)
1 2 2
tg
()
" r
(
)
( s
)
' r
(
)
s 2 2
作混乱排布，在一定温度下，G
是偶极分子能量（动能）的函数，
1 2
mv
2
与 和 t 无关，G 为常数，密度各处均匀，因而没有扩散。
G
0
，
Jd 0 。 Jd 的意义：在电场作用和热运动使球面交点的密度不均匀，
引起从密度大的地方向密度小的地方转移—扩散。
第二项 JE 为电场促使分子趋向与电场方向取向的分子取向密度流：
② 加交变电场 E E0eit 。
Debey 假定：一方面极性液体中的偶极分子在电场转矩 M 0E sin 作用 下，发生旋转取向，另一方面，极性分子作一种布朗运动（热运动），布朗运
动同样使极性分子产生转动，阻碍分子的定向取向，使分子发生碰撞而引起
摩擦力作用，两种作用使分子取向达到一种统计平衡。当电场突然撤除，电
在极化弛豫过程中，弛豫极化强度 Pr 和有效电场 Ee (t) 都是时间的函 数，同样 M (t) 与W (t) 亦是时间的函数。经足够长时间，达平衡时 J 0 ， Ee (t) Ee ，有效场与时间无关。则得到以下方程：
Kn 0
G
n0G
W
0
解方程得： G CeW K
在平衡状态下： K KT
德拜方程
将
f
(t)
1
et /
代入
r
(
)
( s
)
0
f
( y)eiy dy
由于 f ( y)eiy dy 1 ey eiy dy 1
0
0
1 i
则可得：
r
()
( s ) 1 i
与
C—R
简单串联电路比较，
C
re
复电容量与弛豫极化贡献的电介质
复极化率
re
为：
r（e ）
( )
0
二 极化弛豫的微观机制
1 自由点偶极子转向极化的微观机制-德拜理论
郎之万理论：恒定电场作用下偶极子取向
E
0
cos
0 L(x)
0
(
e e
x x
ex ex
1) x
2 0
Ee
3KT
4 0
Ee3
45K 3T 3
......
德拜理论：可变电场作用下偶极子取向：
① t 0 时，加恒定电场 t 0时，拆去电场，t 0 时电介质行为。
d
x 偶极分子分布
设 J 为单位时间内穿过 常数的圆周 2 sin 的交点数，对称扩散流， 假设
J Jd JE
其中 Jd
K
(n0G) 2
s in
为热运动引起的分子扩散速率，与截点的
密度梯度 n0
G
成正比，K
为扩散系数，负号表示扩散转移的方向（密度
减小方向）跟密度梯度（密度增大方向）相反，如果没有电场作用，分子
第十五讲 德拜驰豫及弛豫极化的 微观机制
一 德拜弛豫方程
复介电常数 依赖于弛豫函数 f ( y) ， f (y) 决定于极化微观机制，它与介质组 成，结构，物理状态及外界温度有关，通常由实验来确定。
分析 Pr 的建立过程， t 0 ， Pr 0 ，加阶跃电场 E(t) E0 S(t) ，经过足够长
t 时刻，分子取向的分布可用单位球面上对应点的分布来表示。设 n0 为单位体积内偶极
分子数， G(,t) 为电场作用下偶极子在空间的分布几率。在 t 时刻，在立体角增量
d 2 sind 内的球面上交点数目为：
z
dn(t) n0G( ,t)d
Ee
sin
n0G( ,t)2 sin d
其中 n0G( ,t) 为单位立体角内球面交点的密度。
JE n0G v 2 sin
v 为 t 时刻 角处分子的平均角速度。
偶极分子的转向是受电矩 M 的作用引起的，假定：
v
1
M
(t
)
为内摩擦有关的常数。
则： W (t) 0 Ee (t) cos
M
(t)
dW d
0 Ee (t) sin
故
J
(Kn0
G
n0G v
)2 sin
其中负号表示力矩使偶极矩趋向 角的减小方向。
G Ce W K Ce 0Ee cos KT A[1 0 Ee cos ] KT
按照以上假设，单位时间内进入 d 2 sind 带状区域内的截点数为：
J
d
J
J
d
这一数值等于 dn (t) n0G2 sin d 对时间的增长率，则：
G
1
J
t 2n0 sin
有以上讨论可得到扩散微分方程为：