美国高中学生数学竞赛题

美国高中学生数学竞赛题

1.(1995年文理)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值。

答案：64。

2.(1989年文)如果(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于()

A.-2

B.-1

C.0

D.2

答案：(A)

3.(1989年理)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=____。

答案：-2。

题源：(美28届10题)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a0，那么a7+a6+…+a0等于()

A.0

B.1

C.64

D.-64

E.128

答案：(E)

改编点评：1题将指数7改为6，改为简答题；2题将底数(3x-1)改为(1-2x)，展开式改为x的升幂排列，所求结论中去掉了常数项a0，3题改编方法同2题，改为填空题。

4.(1990年文)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()

A.-26

B.-18

C.-10

D.10

答案：(A)

题源：(美33届12题)设f(x)=ax7+bx3+cx-5，其中a.b和c是常数，如图f(-7)=7，那么f(7)等于()

A.-17

B.-7

C.14

D.21

E.不能唯一确定

答案：(A)

改编点评：降低了次数，减少了一个字母系数，降低了难度。

5.(1990年文理)如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值是()

A. B. C. D.

答案：(D)

题源：(美35届29题)在满足方程(x-3)2+(y-3)2=6的实数对(x，y)中，的最大值是()

A.3+2

B.2+

C.3

D.6

E.6+2

答案：(A)

改编点评：圆方程中的圆心坐标、半径作了改变，题设的叙述方式也作了变化。

6.(1990年文理)函数y=+++的值域是()

A.{-2，4}

B.{-2，0，4}

C.{-2，0，2，4}

D.{-4，-2，0，4}

答案：(B)

题源：(美28届8题)非零实数的每一个三重组(a，b，c)构成一个数。如此构成的所有数的集是()

A.{0}

B.{-4，0，4}

C.{-4，-2，0，2，4}

D.{-4，-2，2，4}

E.这些都不对

答案：(B)

改编点评：将a、b、c改为三角函数，考查的知识面更广。

7.(1992年文理)长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为()

A.2

B.

C.5

D.6

答案：(C)

题源：(美35届25题)一个长方体的表面积为22cm2，并且它的所有棱的总长度为24cm，那么它的对角线的长度(按cm计)是()

A. B. C. D. E.不能被唯一确定

答案：(D)

改编点评：作了两个方面的变化：将全面积22cm2改为11，去掉单位。

8.(1992年文理)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么()

A.f(2)＜f(1)＜f(4)

B.f(1)＜f(2)＜f(4)

C.f(2)＜f(4)＜f(1)

D.f(4)＜f(2)＜f(1)

题源：(美35届16题)函数f(x)对于一切实数x都满足f(2+x)=f(2-x)，如果方程f(x)=0恰好有四个不同的实根，那么这些根的和是()

A.0

B.2

C.4

D.6

E.8

答案：(E)

改编点评：题源是一个抽象函数问题，有一些难度，作为高考题是不合适的，8题主要采用题源中对称轴的表达方式，通过设计一个二次函数，结合对称性考查函数的单调性。

9.(1994年文理)已知sinθ+cosθ=，θ∈(0，π)，则ctgθ的值是____。

答案：-。

题源：(美29届15题)若sinx+cosx=，且0≤x≤π，那么tgx是()

A.-

B.-

C.

D.

答案：(A)

改编点评：x改为θ，将求正切值改为求余切值，改成填空题。

10.(1995年文理)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若=，则等于()

A.1

B.

C.

D.

答案：(C)

题源：(美20届32题)设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，如果对所有的n，有=，则第一个数列与第二个数列的第十一项的比是()

A. B. C. D. E.不能确定

答案：(A)

改编点评：改变的比值，设问方式作了较大变化，将求某一项的比值改为求比值的极限。

11.(2002年文理)不等式(1+x)(1-|x|)＞0的解集是()

A.{x|0≤x＜1}

B.{x|x＜0且x≠-1}

C.{x|-1＜n＜1}

D.{x|x＜1且x≠-1}

答案：(D)

题源：(美27届7题)若x是实数，那么(1-|x|)(1+x)是正数的充分必要条件是() A.|x|＜1 B.x＜1 C.|x|＞1 D.x＜-1 E.x＜-1或-1＜x＜1

答案：(E)

改编点评：改变了设问方式，将求充要条件改为求不等式解集。