2021新高考数学二轮总复习课件：专题七 7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线
高考数学复习：圆锥曲线的定点、定值、定直线【热点聚焦】纵观近几年的高考试题，圆锥曲线的定点、定值、定直线问题是热点之一.从命题的类型看，主要是大题.一般说来，考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系问题，综合性较强，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长、面积、参数、几何量为定值，或定点在某直线上、定直线过某点等.难度往往大些.【重点知识回眸】（一）定值问题1.定义：定值问题是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．3.常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.4.定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算（二）定点问题1.求解圆锥曲线中的定点问题的两种思路：(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组()0g()0f x y x y =⎧⎨=⎩，，；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，则可以特殊解决.2.求解圆锥曲线中的定点问题的方法（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y .常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）3.一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转.（三）定直线问题探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，即先利用题设条件探求出动点T 的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点T 在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点T 的坐标为(x，y)，根据题设条件得到已知曲线上的动点R 的坐标，再将动点R 的坐标代入已知的曲线方程，即得动点T 在定直线上．【典型考题解析】热点一定值问题【典例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【典例2】如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）.(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||MN MN -为定值，并求此定值.【典例3】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，B 在x 轴的上方，且点B 的横坐标为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设点P 为抛物线C 上异于A ，B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线于E ，G 两点，x 轴与准线的交点为H ，求证：HG HE ⋅为定值，并求出定值.【典例4】已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH = ．证明：直线HN 过定点．【典例5】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【典例6】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【总结提升】动直线l 过定点问题的常见思路设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k(x ＋m)，故动直线过定点(－m,0)．【典例7】设椭圆的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上.【典例8】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅= ，证明：直线PQ 过定点．【典例9】设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右两个焦点，O 为坐标原点，若点P 在双曲线C 的右支上，且1122,OP OF PF F == 的面积为3.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若双曲线C 的两顶点分别为()()12,0,,0A a A a -，过点2F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.1．已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.2．在平面直角坐标系中，动点(),M x y 与定点()5,0F 的距离和M 到定直线16:5l x =的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设()2,0P ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为32，右焦点F.(1)求双曲线C 的方程；(2)若12,A A 分别是C 的左､右顶点，过F 的直线与C 交于,M N 两点（不同于12,A A ）.记直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，请问12k k 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()11,0F -，上、下顶点分别为A ，B ，190AF B ∠=︒．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆上有三点P ，Q ，M 满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r ，证明：四边形OPMQ 的面积为定值．5．已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ．(1)求L 的方程；(2)已知点()3,2B --，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．7．在直角坐标系xOy 中，已知定点(0,1)F ，定直线:3l y =-，动点M 到直线l 的距离比动点M 到点F 的距离大2．记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线？(2)设0(2,)P y 在C 上，不过点P 的动直线1l 与C 交于A ，B 两点，若90APB ∠=︒，证明：直线1l 恒过定点．8．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，M 为直线3x =-上任意一点，过F 作MF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．证明：OM 经过线段PQ 的中点N ．（其中O 为坐标原点）9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2.(1)求E 的方程；(2)过点()4,0M -且斜率不为0的直线l 与E 自左向右依次交于点B ，C ，点N 在线段BC 上，且MB NBMC NC =，P 为线段BC 的中点，记直线OP ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.10．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，圆O ：222x y a +=，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 和圆O.(1)求C 的方程；(2)过圆O 上一点P （不在坐标轴上）作C 的两条切线1l ，2l ，记1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，直线OP 的斜率为3k ，证明：()123k k k +为定值.12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．。
新高考数学圆锥曲线热点问题-第2课时 定点、定值、探索性问题精品课件
解:(1)根据题意,可得焦点F的坐标为,则当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=,代入抛物线方程可得y2=2p·,则A,B,所以|AB|=2p,又|OF|=,所以S△AOB=·|OF|·|AB|=×2p==8,解得p=4,所以抛物线E的标准方程为y2=8x.
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(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则有k1===,同理k2=.设直线AC的方程为x=ty+3,与抛物线方程联立,得y2-8ty-24=0,所以y1y3=-24,同理y2y4=-24,所以y3=-,y4=-,所以====.设直线AB的方程为x=my+2,与抛物线方程联立,得y2-8my-16=0,所以y1y2=-16,所以==,所以为定值.
(2)证明:直线CD过定点.
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即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.①将x=my+n代入+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=,代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0,解得n=-3(舍去)或n=.故直线CD的方程为x=my+,即直线CD过定点.若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点.综上,直线CD过定点.
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[总结反思] 解决存在性(探索性)问题的一些技巧:(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.(2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去.(3)核心变量的求法:①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解.②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解.
圆锥曲线定点问题ppt(共24张PPT)
xN＝84tt22－＋21，
yM＝4t12＋2t 9.
yN＝4t24＋t 1.
(10 分)
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴上，不妨设这个定
点为 Q(m，0)，
12t
4t
又 kMQ＝148t－24＋t28＋9t2－9 m，kNQ＝84tt224－ ＋t2＋21－1 m，
kMQ＝kNQ，所以化简得(8m－32)t2－6m＋24＝0，
第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 构建模板 解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤 圆锥曲线中的定点问题 定点问题的常见解法：
与参数无关，故得到一个关于定点坐标的 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这
∴k＝－b，此时 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 即直线 l 过定点(1,0)．
【例 1】 (13 分)(2015·石家庄模拟)椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0) 的离心率为 23，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. (1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动 点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为
(1)解 因为抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，
所以p2＝1，所以 p＝2.所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x. (2)证明 ①当直线 AB 的斜率不存在时，设 At42，t， Bt42，－t.因为直线 OA，OB 的斜率之积为－12， 所以tt2·－t2t＝－12，化简得 t2＝32.
将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x 中， 得 k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0， 其中 Δ＝－32kb＋64>0.
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。
新高考数学二轮复习考点知识专题讲解12---圆锥曲线中的定点、定值问题
新高考数学二轮复习考点知识专题讲解圆锥曲线中的定点、定值问题【考点一】圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P 满足|PB → ||AB → |＝PA →·BA → .记点P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)设D 为直线y ＝－2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F.证明：直线EF 过定点．【变式1】本例若改为：已知点A(0，4)，B(0，1)，动点P 满足|PA|＝2|PB|，设动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的轨迹方程；(2)若Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．【变式2】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的长轴与短轴长度之比为2∶ 3 ，焦距为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设左焦点为F ，l 为过点F 的一条直线，交椭圆C 于M 、N 两点，过点N 做x 轴的垂线，交椭圆C 于点P ，连接PM.求证直线PM 恒过定点．【考点二】圆锥曲线中的定值问题【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17 ，0)，F 2(17 ，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2，记M 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12 上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【变式】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点( 2 ，1)，离心率为22 .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t(t≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．参考答案【考点一】圆锥曲线中的定点问题【典例1】(2021·滨州一模)已知点A(0，－1)，B(0，1)，动点P 满足|PB → ||AB → |＝PA →·BA → .记点P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)设D 为直线y ＝－2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F.证明：直线EF 过定点．【解析】(1)设P(x ，y)，则PA → ＝(－x ，－1－y)，PB → ＝(－x ，1－y)，AB → ＝(0，2)，BA → ＝(0，－2)，所以|PB → ||AB → |＝PA → ·BA → ，（－x ）2＋（1－y ）2 ＝1＋y 化简得x 2＝4y ，所以C 的方程为x 2＝4y.(2)由题意可设D(t ，－2)，E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)， 由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由x 2＝4y ，得y ＝x 24 ，则y′＝x 2 ，所以k DE ＝x 12，直线DE 的方程为y －y 1＝x 12 (x －x 1)，即y －y 1＝x 12 x －x 21 2，①因为E(x 1，y 1)在x 2＝4y 上，所以x 21＝4y 1，即x 21 2＝2y 1，②将②代入①得x 1x －2y 1－2y ＝0， 所以直线DE 的方程为x 1x －2y 1－2y ＝0， 同理可得直线DF 的方程为x 2x －2y 2－2y ＝0，因为D(t ，－2)在直线DE 上，所以tx 1－2y 1＋4＝0，又D(t ，－2)在直线DF 上，所以tx 2－2y 2＋4＝0，所以直线EF 的方程为tx －2y ＋4＝0， 故直线EF 过定点(0，2). 【变式1】本例若改为：已知点A(0，4)，B(0，1)，动点P 满足|PA|＝2|PB|，设动点P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线E 的轨迹方程；(2)若Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 【解析】(1)设点P 的坐标为(x ，y)，|PA|＝2|PB|，即x 2＋()y －42＝2x 2＋()y －12，整理得x 2＋y 2＝4，所以曲线E 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4；(2)依题意，ON⊥QN，OM⊥QM，则M ，N 都在以OQ 为直径的圆F 上， 因为Q 是直线l ：y ＝x －4上的动点，设Q(t ，t －4)，则圆F 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t －42 ，且经过坐标原点即圆的方程为x 2＋y 2－tx－(t －4)y ＝0.又因为M ，N 在曲线E ：x 2＋y 2＝4上，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4x 2＋y 2－tx －()t －4y ＝0， 可得tx ＋(t －4)y －4＝0，即直线MN 的方程为tx ＋(t －4)y －4＝0.由t∈R 且t(x ＋y)－4y －4＝0可得，⎩⎨⎧x ＋y ＝04y ＋4＝0 ，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1 ，所以直线MN 过定点(1，－1).【变式2】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的长轴与短轴长度之比为2∶ 3 ，焦距为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设左焦点为F ，l 为过点F 的一条直线，交椭圆C 于M 、N 两点，过点N 做x 轴的垂线，交椭圆C 于点P ，连接PM.求证直线PM 恒过定点．【解析】(1)设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c所以2a∶2b＝2∶ 3 且2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝ 3 ，c ＝1， 所以椭圆方程为x 24 ＋y 23＝1；(2)由题意可知F(－1，0)，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x 2，－y 2)，所以⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1）x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2 ，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM 方程为：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0，则x ＝－y 1（x 1－x 2）y 1＋y 2 ＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝k （x 1＋1）x 2＋k （x 2＋1）x 1k （x 1＋1）＋k （x 2＋1） ＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2 ＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2－8k 23＋4k 2＋2 ＝－4故直线PM 恒过定点(－4，0). 【考点二】圆锥曲线中的定值问题【典例2】(12分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17 ，0)，F 2(17 ，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2，记M 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12 上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和． 【规范解答】(1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2，所以轨迹C 为双曲线右支，………………2分 c 2＝17，2a ＝2，所以a 2＝1， 由c 2＝a 2＋b 2，b 2＝16，所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ＞0). ………………4分(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n ，设AB ：y －n ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －n ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2－y 216＝1，消去y 得(16－k 21 )x 2＋(k 21 －2k 1n)x －14k 21 －n 2＋k 1n －16＝0，……………6分所以x 1＋x 2＝k 21 －2k 1nk 21 －16，x 1x 2＝14k 21 ＋n 2－k 1n ＋16k 21 －16 ， |TA|＝1＋k 21 ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－12 ，|TB|＝1＋k 21 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12 ，…………………………8分所以|TA|·|TB|＝(1＋k 21)⎝⎛⎭⎪⎫x 1－12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12＝（n 2＋12）（1＋k 21 ）k 21 －16， 设PQ ：y －n ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫x －12 ，同理|TP|·|TQ|＝（n 2＋12）（1＋k 22 ）k 22 －16，…………………………10分 因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以1＋k 21 k 21 －16 ＝1＋k 22 k 22 －16 ，1＋17k 21 －16 ＝1＋17k 22 －16，所以k 21 －16＝k 22 －16，即k 21 ＝k 22 ， 因为k 1≠k 2，所以k 1＋k 2＝0.所以C 的方程为x 2－y 216＝1(x ＞0). …………………………12分【变式】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点( 2 ，1)，离心率为22 .(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t(t≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAPB 的顶点P 在椭圆C 上，求证：平行四边形OAPB 的面积为定值．【解析】(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1c a ＝22a 2＝b 2＋c2解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆方程为x 24 ＋y 22＝1；(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋tx 24＋y22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2(t 2－2)＝0，所以Δ＝(4kt)2－8(2k 2＋1)(t 2－2)＝8[2(2k 2＋1)－t 2]＞0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1 ，x 1x 2＝2（t 2－2）2k 2＋1，所以y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2t2k 2＋1. 因为四边形OAPB 是平行四边形， 所以OP → ＝OA → ＋OB → ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－4kt 2k 2＋1 ，2t 2k 2＋1 )，则P(－4kt 2k 2＋1 ，2t2k 2＋1). 又因为点P 在椭圆上，所以4k 2t 2（2k 2＋1）2 ＋2t 2（2k 2＋1）2 ＝1，即t 2＝2k 2＋12.因为|AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝221＋k22（2k2＋1）－t22k2＋1＝231＋k22k2＋1.又点O到直线l的距离d＝||t1＋k2，所以平行四边形OAPB的面积S＝2S△OAB＝|AB|·d＝23|t|2k2＋1＝62k2＋12k2＋1＝ 6 .即平行四边形OAPB的面积为定值 6 .。
第8章 命题探秘2 第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题 课件(共39张PPT)
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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3
探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
法二：设T(x，y)，Mx3，14x23，Nx4，14x24.
由xx2324＝ ＝44yy34， 得(x3＋x4)(x3－x4)＝4(y3－y4)，
所以x3＋4 x4＝xy33－－xy44. 设Q(x，y5)，则直线MN的斜率k＝yx5－－12，
所以直线AB过定点0，21. (2)略.
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
02
典型考题·技法突破
技法一 技法二 技法三 技法四
直接推理解决直线过定点问题 直接推理解决曲线过定点问题 定直线的方程问题 直接推理解决定值问题
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
点评：动直线l过定点问题的基本思路 设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝ mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
[思维流程]
第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
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探本朔源·技法示例 典型考题·技法突破 课后限时集训
[解] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为F0，p2，所以过F且斜率为1的直线的方程为y＝x＋p2. 由y＝x＋p2， 消去y并整理，得x2－2px－p2＝0，易知Δ＞0.
圆锥曲线中的定点、定值问题-高中数学总复习课件
3，0）.
综上，直线 PQ 过定点（－3，0）.
高中总复习·数学
参数法求定值
【例3】 已知 O 为坐标原点，过点 M （1，0）的直线 l 与抛物线 C ：
y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，且 · ＝－3.
程为 y ＝±（ x －1），
2
联立 x 2－ ＝1求解可得 x ＝－3，直线 PQ 过点（－3，0）.
2
当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， P （ x
1， y 1）， Q （ x 2， y 2），
高中总复习·数学
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代入 x 2－ ＝1，整理得（ k 2－2） x 2＋2 kmx ＋ m 2＋2＝0，易知Δ
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2
代入 ＋ ＝1，得（3＋4 k ） x ＋4 k （3－2 k ） x ＋4（ －
4
3
2
k ）2－12＝0.
3
设 E （ xE ， yE ）， F （ xF ， yF ），∵点 A （1， ）在椭圆上，
2
∴ xE ＝
3
−
2
4（
）2 −12
3+4 2
，
高中总复习·数学
3
yE ＝ kxE ＋ － k .
圆锥曲线中的定点、定值问题
处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可
设出直线方程为 y ＝ kx ＋ m ，然后利用条件建立关于 k ， m 的等量关
系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入
【高中数学课件】圆锥曲线中的定值、定点问题
总结提炼：
• 有关定点问题，多出现在直线过定点问题，一种 方法是先求出直线方程，后把参数的同次项合并， 令各次项系数为0即可得到定点，另一种方法是利 用特殊情况找到定点，后证明曲线过该点即可。
思考：
• 如图,椭圆
的两焦点F1,F2与短轴
两端点B1,B2构成∠B2F (2)若直线l:y=kx+m与椭
成立。 • 例2、已知一动圆M,恒过点F （1,0），且总与直线x=-1 • 相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）探究在
曲线C上,是否存在异于原点的 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 两点, 当 y1 y2 16 , 直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标; 若不存在,说明理由.
圆锥曲线中的定值、定点问题
一、曲线过定点问题：
• 例1、（课本P79页第19题）设直线L与抛物线y2=2px(p＞ 0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，其中y1＞y2。
• （1）若 OA • OB 0，AB • OX 0，求L与x轴的交点坐标。 • （2）是否存在定点M，使得当L经过M点时，总有OA • OB 0
且MA MB ， 若M为定点，证明：直线
EF的斜率为定值.
总结提炼：
• 定值问题：
• 解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊 位置得出定值，然后通过证明在一般位置也成 立．二是通过把所要证明为定值的量表示为另外 一个或两个引起变化的量的函数或方程，然后通
过化简变形，证明结果与引起变化的量无关．
• 例5、已知抛物线Q:x2=2py(p＞0)上任意一点到焦 点F的距离的最小值为1.
• (1)求实数p的值; • (2)设圆M过A(0,2),且圆心M在抛物线Q上,EG是圆
圆锥曲线中的定点、定值问题讲义-2023届高三数学二轮专题复习
专题复习：圆锥曲线中的定点、定值问题一、方法指导圆锥曲线是高考数学中的重点和难点，其中定点问题更是难点中的难点。
通过对近几年高考数学试卷的分析，可以发现圆锥曲线定点问题一直是高频考点，且题目难度较大，对学生的数学思维和解题能力要求较高。
因此，在高三二轮复习中，学生需要加强对圆锥曲线定点问题的复习，掌握其解题方法和技巧。
二、知识梳理圆锥曲线的定义和性质直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的定点问题及其解法三、方法总结直接法：通过联立直线和圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解。
这种方法适用于直线过定点但不与x轴平行的情况。
参数法：引入参数来表示直线的斜率或截距，再通过参数的取值范围来确定定点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴平行或重合的情况。
反证法：假设定点不是坐标原点，则过该定点的直线与圆锥曲线有两个交点。
根据韦达定理，这两个交点的横坐标之和等于两倍的定点横坐标，这与题意矛盾。
因此，定点必须是坐标原点。
这种方法适用于直线过定点且与x轴垂直的情况。
由特殊到一般法如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.3.利用推论解题推论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.推论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.推论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.推论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k AB为定值.推论5设点A，B是椭圆x 2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b 2a2推论6过圆锥曲线的焦点F的直线（斜率存在）交圆锥曲线于P，Q两点，PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ=e2，e为圆锥曲线的离心率.推论7过圆锥曲线的焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，过点A，B分别作较近准线l 的垂线AA1，BB1，垂足分别为点A1，B1，设准线l与焦点所在轴交于点P，M为PF中点，则（1）AA1与BB1过点M;（2）A1F+B1F为定值.一、动直线过定点1、齐次式：例1、椭圆C :x 24+y 2=1，C (0，1)，设直线l 不过点P ，且与C 交于A 、B 两点，若k PA +k PB =−1，证明：直线l 过定点.2、参数法：例2、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3、特殊到一般例2、（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．4、待定系数法例3、椭圆C ：22143x y +=左右顶点分别为A 、B ，k ≠0的直线与C 交于M 、N 两点，K BM =2K AN ，证明：直线过定点，并求出该定点.解：A (−2，0) B (2，0)设直线：y =kx +b (k ≠0) M (x 1，y 1) N (x 2，y 2) 直线与曲线联立得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−120 则x 1x 2=4b 2−123+4k 2x 1+x 2=−8kb3+4k 2K BM =2K AN 所以y 1x1−2= 2y 2x 2−2x 2y 1+2y 1=2x 1y 2−4y 2即k x 1x 2−(4k +b )x 2+2(b −k )x 1−6b =0代入得：−12b 2k −8k 2b −12k −18b −(6k +8k 3+9b +12k 2b )x 2=0待定系数有：{−12b 2k −8k 2b −12k −18b =06k +8k 3+9b +12k 2b =0得(2k −b )(2k +3b ) =0若b =2k ,则过定点(−2，0)，不成立； 若−3b =2k ,则过定点(23，0)，成立.5、y 1−y 2或x 1−x 2型例4、已知双曲线C ：x 23−y 2=1,过(3，0)的直线l 交C 于P 、Q 两点，过P 作直线x =1的垂线，垂足为A ，证明：AQ 过定点解：当l 斜率不存在时P (3，√2) Q (3，−√2) 或P (3，−√2) Q (3，√2)过P 作x =1垂线：A (1，√2)或A(1，−√2)此时AQ ：y =√2x −2√2或y = −√2x +2√2 过定点(2，0) 当l 斜率存在时 l ：y =k (x −3) P (x 1，y 1) Q (x 2，y 2) 与双曲线联立得：(1−3k 2)x 2+18k 2x −27k 2−3=0 有x 1x 2=−27k 2−31−3k 2x 1+x 2=−18k 21−3k 2AQ :y =y 1+y 2x 2−1x −x 2(y 2−y 1)x 2−1+y 2令y =0 x =y 2−x 2y 1y 2−y 1= −kx 1x 2+4kx 2−3k2−x 1)=−x 1x 2+4x 2−3x 2−x 1= 27k 2=31−3k 2−3+4x 2−(x 1+x 2−2x 2)= 36k 21−3k 2+4x 218k 21−3k 2+2x 2=2过定点（2，0）二、动点在定直线上的问题例3、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+， 所以3b c =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c =所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x = 故点M 在定直线4x =上.三、其他曲线过定点例4、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=， 解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--.在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.二、例题讲解例1A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值； (2)直线AB 经过一定点．例2如图，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于Q 点． (1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．例3如图，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的相异两点，Q ，P 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．三、课时练习1．已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1)2．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b23．直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a＝1相切，则k ，a 的取值范围分别是( )A ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 C ．a ∈(0，1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．a ∈(0，1]，k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12 4．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y－3)2＝1上一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．32＋15．抛物线y 2＝12x 与直线3x －y ＋5＝0的最近距离为______．6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是____．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的顶点)，AH ⊥MN ，垂足为H ，且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．。
最新-2021高考数学文二轮复习课件：1532 圆锥曲线中的定点、定值和最值问题 精品
(1)求椭圆 E 的方程；
[解] (1)由已知，点( 2，1)在椭圆 E 上．
因此，aa222＋ －bb122＝＝1c2，，
ca＝
2 2.
解得 a＝2，b＝ 2. 所以椭圆 E 的方程为x42＋y22＝1.
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得||QQAB||＝||PPAB||恒成立？若存在，求出
当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立x42＋y22＝1， 得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. y＝kx＋1，
其判别式 Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 所以 x1＋x2＝－2k42＋k 1，x1x2＝－2k22＋1. 因此x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝2k.
且
O
到直线
AB
的距离
d＝
t2＋12 t2＋1.
设△AOB 的面积为 S(t)，所以
S(t)＝12|AB|·d＝12
－2t2－122＋2≤ 22，
当且仅当 t2＝12时，等号成立．
故△AOB
面积的最大值为
2 2.
建模规范答题
课题 19 参数法求圆锥曲线的定点问题
已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2－1，离心
(2)直线 l：y＝kx＋m(m≠0)与椭圆交于 A、B 两点，若线段 AB 的中点 C 在直线 y＝12x 上，O 为坐标原
点，求△OAB 面积 S 的最大值．
[解] (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(xc，yc)， y＝kx＋m 代入方程x42＋y22＝1， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0(*)，