人教版九年级数学上册切线长定理
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人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案
此外，小组讨论的环节中，我发现学生们在讨论切线长定理的实际应用时，思路不够开阔。这可能是因为他们在日常生活中对几何图形的观察不够细致，或者是缺乏将理论知识应用到实际中的经验。我打算在之后的课程中，增加一些观察和分析实际几何图形的练习，帮助学生培养从生活中发现数学的能力。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。
九年级数学上册切线长定理PPT课件(人教版)
切 （线12）长过 切定任 线理意长的一 是基点 指本总 切图可 线形以 上的作 某研圆 一究的 点两 与条 切切 点线 间（ 的线）段的长。
条过半圆径 外的一直点线可是以圆引的圆切的线几条. 切线？
必（须24）掌切写握线出并长图能是中灵指所活切有应线的用上等。某腰一三点角与形切点间的线段的长。
（过1圆2）外过写一任出点意图可一中以点与引总∠圆O可A的C以相几作等条圆的切的角线两？条切线（ ）
经过半径的外端并且垂直于这
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别
是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？
并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
。
P
∠OPA=∠OPB
O
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
1、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 2、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB 50
连结PO，则 APO 25 度。
A O
P
B
（2）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C， DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长 为8CM，则Δ PDE的周长为________
AD
C
P
E B
课堂小结
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角 相等，弧相等，垂直关系提供了理论 依据。必须掌握并能灵活应用。
最新人教版初中九年级上册数学《切线长定理》精品课件
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，
OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
（3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，且AB=11cm， BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( C )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.9cm
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=(C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
5.如图，一个油桶靠在墙 边，量得WY =1.65m， 并且XY⊥WY，这个油桶 底面半径是多少?
解：设圆心为O，连接OW,OX. ∵YW,YX均是⊙O的切线， ∴OW⊥WY,OX⊥XY， 又∵XY⊥WY, ∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°， ∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX. ∴四边形OWYX是正方形. ∴OW=WY=1.65m. 即这个油桶底面半径是1.65m.
P.
A
B
. O
(1)知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理. (2)会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质. (3)能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
推进新课
知识点1 切线长定理
画一画：1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
切线长定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
（3）写出图中所有的全等三角形？
△ AOP≌ △ BOP， △ AOC≌ △ BOC，△ ACP≌ △ BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形？
△ ABP，△ AOB
练习
1.如图， P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O的切线,A和B为切点. （1）若PA=3，则PB= ＿3＿＿ （2）若PA=2x-1,PB=x+5,则x=＿6＿＿
中考链接
如图，PA，PB切⊙O于A,B,MN切
⊙O于C，交PA于M，交PB于N，
PA=7.5cm，则△PMN的周长是（ C）
A.7.5cm
B.10cm
C.15cm
D.12.5cm
巩固练习
△ABC中,∠ ABC=50°, ∠ACB=70 °, 点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数．
解：∵点O是⊙O的内心 ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠1=1/2∠ABC=25° ∠3=1/2∠ACB=35° ∴∠BOC=180°－25°－35° =120°
解：连接AO，BO. ∵PA，PB是⊙O的两条切线, ∴OA⊥AP ，OB⊥BP.
又 OA=OB， OP=OP,
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP (HL)
∴ PA=PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两 条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角.
符号语言
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
1.理解切线长的概念.理解并掌握切线长 定理.
2.知道三角形内切圆、内心的概念.
3.运用切线长定理和三角形内切圆知识 解题.
复习旧知
1、直线和圆有什么位置关系？
相交、相切、相离
△ AOP≌ △ BOP， △ AOC≌ △ BOC，△ ACP≌ △ BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形？
△ ABP，△ AOB
练习
1.如图， P 为⊙O 外一点，PA，PB 为⊙O的切线,A和B为切点. （1）若PA=3，则PB= ＿3＿＿ （2）若PA=2x-1,PB=x+5,则x=＿6＿＿
中考链接
如图，PA，PB切⊙O于A,B,MN切
⊙O于C，交PA于M，交PB于N，
PA=7.5cm，则△PMN的周长是（ C）
A.7.5cm
B.10cm
C.15cm
D.12.5cm
巩固练习
△ABC中,∠ ABC=50°, ∠ACB=70 °, 点O是⊙O的内心，求∠ BOC的度数．
解：∵点O是⊙O的内心 ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ∴∠1=1/2∠ABC=25° ∠3=1/2∠ACB=35° ∴∠BOC=180°－25°－35° =120°
解：连接AO，BO. ∵PA，PB是⊙O的两条切线, ∴OA⊥AP ，OB⊥BP.
又 OA=OB， OP=OP,
∴ Rt△AOP≌Rt△BOP (HL)
∴ PA=PB， ∠OPA=∠OPB.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两 条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角.
符号语言
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理
1.理解切线长的概念.理解并掌握切线长 定理.
2.知道三角形内切圆、内心的概念.
3.运用切线长定理和三角形内切圆知识 解题.
复习旧知
1、直线和圆有什么位置关系？
相交、相切、相离
九年级数学切线长定理课件人教版
B
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB
∵OA=OB
∴OP垂直平分AB
例题讲解： 已知：如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O 于点D、E，交AB于点C。 （1）写出图中所有的垂直关系； B OA⊥PA，OB⊥PB， OP⊥AB
:
.A 1.切线长：在经过 圆外一点的圆的切 F o. . P D 线上，这点和切点 .B 小 之间的线段的长， 结 叫做这点到圆的切 ： 线长。 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角。
达 标 检 测
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、 PB 为⊙ O 的切线，A和B是切点， BC是直径 求证：AC∥OP
（2）写出图中所有的全 E 等三角形；
O
。
C D A
P
△OAP≌△OBP;△OCA≌△OCB △ACP≌△BCP
（3）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相 等？ PB=PA;BC=AC 弧BD=弧AD; 弧EB=弧EA
A E P
O C B
D
（5）如果PA=4cm，
PD=2，①求半径OA的长。
②求弦AB的长。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。
A P
思考： 切线长 和切线 的区别？
O
B
小结：切线是直线，不可以度量；切线长 是指切线上的一条线段的长，可以度量。
探索！
o.
.BA
B B A B
.P
OB是⊙O的一条半径吗？PB是 线段PA与PB， ∠ APO 与∠BPO ⊙O的切线吗？ 有什么关系？
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB
∵OA=OB
∴OP垂直平分AB
例题讲解： 已知：如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O 于点D、E，交AB于点C。 （1）写出图中所有的垂直关系； B OA⊥PA，OB⊥PB， OP⊥AB
:
.A 1.切线长：在经过 圆外一点的圆的切 F o. . P D 线上，这点和切点 .B 小 之间的线段的长， 结 叫做这点到圆的切 ： 线长。 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角。
达 标 检 测
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、 PB 为⊙ O 的切线，A和B是切点， BC是直径 求证：AC∥OP
（2）写出图中所有的全 E 等三角形；
O
。
C D A
P
△OAP≌△OBP;△OCA≌△OCB △ACP≌△BCP
（3）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相 等？ PB=PA;BC=AC 弧BD=弧AD; 弧EB=弧EA
A E P
O C B
D
（5）如果PA=4cm，
PD=2，①求半径OA的长。
②求弦AB的长。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。
A P
思考： 切线长 和切线 的区别？
O
B
小结：切线是直线，不可以度量；切线长 是指切线上的一条线段的长，可以度量。
探索！
o.
.BA
B B A B
.P
OB是⊙O的一条半径吗？PB是 线段PA与PB， ∠ APO 与∠BPO ⊙O的切线吗？ 有什么关系？
初中数学：切线长定理
切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角. ∵ PA、PB分别与⊙O相切于点A、B ∴ PA=PB, ∠APO=∠BPO
人教版《数学》九年级（上）
应用延伸
例 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B. 连接AB，若∠ APO =30°，PA=2，求AB的长.
人教版《数学》九年级（上）
应用延伸
人教版《数学》九年级（上）
小结提升
这节课你学到了什么知识？ 在解题的过程中你有什么解题的心得？ 在和同学交流的过程中，你有什么体会？
人教版《数学》九年级（上）
分层作业
必做题
1.教材101页第6题. 2.第102页第11题. 选做题 1.在教材101页第6题的图中，连接OB、OP，图中有哪些角与 ∠OAB、∠AOP相等？ 2.如图，PA、PB、QC分别与⊙O相切于点A、 B、C，CQ、BP的延长线交于点M ，当点A
例 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B. （1）连接AB，若∠ APO =30°，PA=2，求AB的长. （2） 延长BO，交⊙O于点C，过点C作⊙O的 切线交PA的延长线于点Q ，
②QO与AB的位置关系，并证明.
人教版《数学》九年级（上）
应用延伸
在弧BC上运动时，△MQP的周长会发生变
化吗？请说明理由.
人教版《数学》九年级（上）
情境引入
人教版《数学》九年级（上）
情境引入
人教版《数学》九年级（上）
情境引入
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长.
人教版九年级上册24.2.2
人教版《数学》九年级（上）
自主探索
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫切线长. 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的
人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)
举例解释：
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程