最新人教版初中九年级数学上册《切线长定理》导学案

24.2.2直线和圆的位置关系

第3课时切线长定理

一、新课导入

1.导入课题：

情景：如图，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.

问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？

问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？

这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).

2.学习目标：

（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.

（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.

（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.

3.学习重、难点：

重点：切线长定理及其运用.

难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.

二、分层学习

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第99页“思考”之前的内容.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学方法：完成探究提纲.

(4)探究提纲：

①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？能作两条.

②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，

如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长.

③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？

PA＝PB,∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP,进而得出结论.

④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.

文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.

∴PA = PB,OP平分∠APB .

2.自学：学生结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.

②差异指导：根据学情确定指导方案.

（2）生助生：小组内相互交流、研讨.

4.强化：

（1）切线长定理及它的证明.

（2）交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB交OP于点C，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP与⊙O的交点为D，且PA＝4，PD＝2，你能求出⊙O的半径长吗？

解：AB⊥OP,OA⊥AP,OB⊥BP;△OAC≌△OBC,△OAP≌△OBP,△ACP≌△BCP.设⊙O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在Rt△OAP中，OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.

解得r=3. 即⊙O的半径长为3.

1.自学指导：

(1)自学内容：教材第99页“思考”到第100页的内容.

(2)自学时间：8分钟.

(3)自学方法：阅读，画图，推理，猜想.

(4)自学参考提纲：

①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.

因为⊙I与BA,BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；

因为⊙I与CA,CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；

所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点.

a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；

b.过I作ID⊥BC于D，以I 为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求.

②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等.

③已知：如图，在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长.

设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.

由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.

解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.

2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.

②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.

（2）生助生：生生互动，交流，研讨.

4.强化：

(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.

(2)如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数.

解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

×（50°+75°）＝62.5°.

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB＝117.5°.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？

2.教师对学生的评价：

(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.

(2)纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）:本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续，从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念，经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识和基本技能，并能解决简单的问题.

(时间：12分钟满分：100分)

一、基础巩固（70分）

1.(10分) 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为（C）

A.3cm

B.4cm

C.5cm

D.9cm

2.(10分) 如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=（C）

A.172°

B.130°

C.133°

D.100°

3.(10分)如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P、Q为切点，若VP=3cm，则VQ=3cm.若∠PVQ

3.

＝60°，则⊙T的半径PT＝cm

4.(20分)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P 的度数.

解：∵PA是⊙O的切线.

∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.

∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.

∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.

∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.

5.(20分)如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m, 并且x Y⊥WY,这个油桶底面半径是多少?

解：设圆心为O，连接OW,O x.

∵YW,Y x均是⊙O的切线，

∴OW⊥WY,O x⊥x Y，

又∵x Y⊥WY,∴∠OWY＝∠O x Y＝∠WY x＝90°，

∴四边形OWY x是矩形，又∵OW=O x.

∴四边形OWY x是正方形.∴OW=WY=1.65m.

即这个油桶底面半径是1.65m.

二、综合应用（15分）