2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷(二)(学生版)
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（二）
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）
1.已知集合{}
2|320A x x x =-+=，集合{}|05,B x x x N =<<∈，则A
B =（ ）
A.{}1,2
B.{}1
C.{}2,3
D.{}1,4 2.若[1,1]x ∈-，则函数22x
y =-的值域为（ ） A.[1,1]- B.[2,0]- C.3
[,0]2
-
D.[1,0]- 3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=，若41a =，则12a =（ ）
A.64
B.31
C.24
D.15 4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ）
A.3210x y ++=
B.3210x y +-=
C.2350x y -+=
D.2380x y -+=
5.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）
A.2y x =±
B.3y x =±
C.2
2
y x =±
D.32
y x =±
6.函数1
11
y x =
+-的图象是下列图象中的（ ）
7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ===，则C 的大小
为（ ）
A.30
B.45
C.150
D.30或150
8.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+，则“1λ=”是“a b ⊥”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最小值是（ ）
A.10
B.3
C.
272 D.11
3
10.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中所给的数据，可得该几
何体的体积为（ ） A.
52 B.2 C.3 D.32
11.已知函数1
()2(0)f x x x x
=+
-<，则()f x 有（ ） A.最大值0 B.最小值0 C.最大值4- D.最小值4-
12.若点G 为ABC ∆的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =（ ）
A.
3122a b - B.31
22
a b + C.2a b - D.2b a - 13.已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则tan(2)4
π
α+的值为（ ）
A.195-
B.519-
C.3117-
D.1731
-
14.已知,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥ C.,//m m n n αα⊥⊥⇒ D.,//l l βαβα⊥⊥⇒
15.已知数列{}n a 满足0n a >，22
1114n n n n a a a a ++++
=+，且11
2
a =，则该数列的前2020项的和为（ ）
A.
30272 B.1514 C.3029
2 D.1515
16.已知正数,x y 满足1x y +=，则
1114x y
++的最小值为（ ） A.
73 B.2 C.9
5
D.43
17.设椭圆M 的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时
也与圆2:C x
2()(y b b +-为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为（ ）
A.
32- B.21- C.12+ D.32
+ 18.已知矩形ABCD 中，4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，
在点P 从A 到F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为（ ） A.2π B.2π C.
22π D.1
2
π 二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）
19.已知圆C 的方程为2
2
240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为 ，该圆的面积为 .
20.若函数2
1
()(27)(0)m f x m m x
m -=-->是幂函数，则实数m = .
21.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则1θ 2θ（填“>”、“=”或“<”）.
22.已知函数2()()323
x n
f x m x nx =-++，函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围是 . 三、（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求(
)12
f π
的值；
(2)若3()10f α=-，04πα<<.求()8
f π
α+的值.
24.已知抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线
220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的
中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)若直线AB 过焦点F ，求AF BF ⋅的值；
(2)是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．
25.已知函数2
()(0,1)ax
f x a b x b
=
>>+满足(1)1f =，且()f x 在R 上有最大值324. (1)求()f x 的解析式；
(2)当[1,2]x ∈时，不等式2
3()(2)m
f x x x m
≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.。
2023年1月浙江数学学考卷(含答案)
2023年1月浙江数学学考卷(含答案)一. 选择题1. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的根为（）- [x] $1$ 和 $3$- [ ] $-1$ 和 $-3$- [ ] $1$ 和 $-3$- [ ] $-1$ 和 $3$2. 若 $f(x) = x^2 + bx + 1$ 恰有一个零点，则 $b$ 的取值范围是（）- [ ] $(-\infty, -2)$- [ ] $(0, +\infty)$- [x] $(-2, 0)$- [ ] $(-2, +\infty)$...二. 简答题1. 证明勾股定理。
答：勾股定理是三角形中最基本的定理之一。
证明如下：在直角三角形中，假设直角所对应的三角形边长分别为$a$，$b$，$c$，其中较长的直角边为 $c$。
通过勾股定理可得，$a^2 + b^2 = c^2$。
我们来进行证明。
...三. 计算题1. 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x -1$ 的导数。
答：首先，求导数即求导。
对每一项依次求导可得：$$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1) \\&= 3x^2 - 4x + 1\end{aligned}$$因此，函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x -1$ 的导数为 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$。
...四. 解答题1. 解方程 $2x - 1 = \sqrt{3x + 5}$。
答：将方程两边都平方可得：$$\begin{aligned}(2x-1)^2 &= 3x+5 \\4x^2-4x+1 &= 3x+5 \\4x^2-7x-4 &= 0 \\(4x+1)(x-4) &= 0 \\\end{aligned}$$因此，方程的解为 $x_1 = -\frac{1}{4}$ 和 $x_2 = 4$。
浙江省2021年高中数学1月学业水平考试试题
浙江省2021年高中数学1月学业水平考试试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.） 1.已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =（ ）A. {}4B. {}1,6C. {}2,4D.{}1,2,4,6【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算,即可求解.【详解】因为集合{}1,2,4A =,{}2,4,6B = 由集合的并集定义可知{}1,2,4,6A B =故选:D【点睛】本题考查了集合的并集运算,属于基础题. 2.()tan a π-=（ ） A. tan a - B. tan aC. tan a ±D.1tan a【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式,化简即可求解. 【详解】由诱导公式可知()tan a π-tan a =-故选:A【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题. 3.66log 2log 3+=（ ）A. 0B. 1C. 6log 5D. 12log 5【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算及常数对数的值即可求解. 【详解】根据对数的运算性质可知66log 2log 3+()6log 23=⨯6log 61==故选:B【点睛】本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题. 4.圆22280x y x ++-=的半径是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径. 【详解】因为圆22280x y x ++-= 化为标准方程可得()2219x y ++= 所以圆的半径为3 故选:B【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题. 5.不等式12x -<（ ） A. {}13x x -<< B. {}13x x <<C. {1x x <-或}3x >D. {1x x <或}3x >【答案】A【分析】根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解. 【详解】不等式12x -<当1x ≥时,不等式可化为12x -<,即3x <.所以13x ≤< 当1x <时,不等式可化为12x -<,即1x -<.所以11x -<< 综上可知,不等式的解集为13x ,即{}13x x -<<故选:A【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式,属于基础题.6.椭圆221259x y +=的焦点坐标是（ ）A. ()5,0-，()5,0B. ()0,5-，()0,5C. ()4,0-，()4,0D. ()0,4-，()0,4【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得,a b .再根据椭圆中a b c 、、的关系即可求得焦点坐标.【详解】椭圆221259x y +=所以为焦点在x 轴上,且2225,9a b ==由椭圆中222a b c =+可得22225916c a b =-=-= 因而4c =所以焦点坐标为()4,0-,()4,0 故选:C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中a b c 、、的关系及焦点坐标求法,属7.若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值. 详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:将12y x =-平移即可得目标函数122z y x =-+因而当经过点()0,2A 时,目标函数的截距最大此时20224z x y =+=+⨯= 所以2x y +的最大值是4 故选:D【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题. 8.已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（ ）A. 只有一条，不在平面α内B. 只有一条，且在平面α内C. 有无数条，一定在平面α内D. 有无数条，不一定在平面α内【答案】B 【解析】 【分析】假设m 是过点P 且平行于l 的直线， n 也是过点P 且平行于l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案.【详解】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾， 故过点P 且平行于l 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选B【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．9.过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y ++=B. 210x y +-=C. 270x y -+=D.270x y --=【答案】D 【解析】 【分析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解.【详解】因为直线230x y +-=可化为1322y x =-+ 当直线垂直时的斜率乘积为1,所以2k = 因为经过点()3,1A -由点斜式可知直线方程为()123y x +=- 化简可得270x y --= 故选:D【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（ ）A. 1B. 3C. 2D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理,即可求得b 的值.【详解】在ABC ∆中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 若60A =︒,45B =︒,3a = 由正弦定理可知sin sin a b A B = 代入可得3sin 60sin 45b =解得6b = 故选:D【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题. 11.函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像.【详解】因为()sin f x x x =⋅而()g x x =为偶函数, ()sin h x x =为奇函数,所以()sin f x x x =⋅为奇函数,所以排除C,D.当0.001x =时, ()0.0010.0010.0010g ==>,()0.001sin0.0010h =>,所以()0.0010.001sin0.0010f =⋅>,所以排除B 选项.故选:A【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于基础题.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.13B.23C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积.【详解】由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:则由三视图中的线段长度可知12112ABC S ∆=⨯⨯= 则121233P ABC V -=⨯⨯= 故选:B【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题.13.设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.【详解】因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当0a b +>时, 223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,所以330a b +>.即“0a b +>”是“330a b +>”的充分条件.当330a b +>时,由于223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭成立,所以0a b +>,即“0a b +>”是“330a b +>”的必要条件.综上可知, “0a b +>”是“330a b +>”的充要条件 故选:C【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.14.设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及124PF PF =,用a 表示出12PF PF 、,再在三角形12F PF 中由余弦定理求得a c 、的关系,进而求得离心率.【详解】1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足124PF PF =所以121224PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得128323a PF a PF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为1260F PF ∠=︒,122F F c = 所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠,代入可得 2222644821499332a a c a a =⨯⨯⨯+- 化简可得22913c a =,即222139c e a ==所以e =故选:B【点睛】本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题.15.点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A. B. C. D.【答案】C 【解析】【详解】易知, 选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成的折线;选项(D)中当点P 走过的路程为2lx =时，OP 不是最大值(过点P 作OP 的垂线交椭圆于点P′, 显然, OP′>OP);选项(C)中πsin πl x y l= , 其图像如图.选C.16.设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（ ）A. 7B. 9C. 12D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据数列{}n a 满足的条件,讨论n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n 的最大值.【详解】数列{}n a 满足11a =,2212n n a a -=+,2121n n a a +=-23a =则21211n n a a +--= 则当n ∈奇数时, 12n n a +=所以4n a n -≤,代入可得142n n +-≤,解不等式可得79n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是9 则当n ∈偶数时, 22n n a =+所以若4n a n -≤,代入可得242nn +-≤,解不等式可得412n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是12 综上可知, n 的最大值是12 故选:C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.17.设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2xy =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅，2I BP BA =⋅.（ ） A. 若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B. 若12I I =，则AP BQ = C. 若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D. 若AP BQ =，则12I I =【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项.【详解】根据题意,在直线AB 上取','P Q ,且''AP BQ =.过','P Q 分别作直线AB 的垂线,交曲线2x y =于12,P P 和交2log y x =于12,Q Q .在曲线2x y =上取点3P ,使13AP AP =.如下图所示:1cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB =⋅=⋅∠=⋅ 2cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA =⋅=⋅∠=⋅若''AP BQ =,则''AQ BP =若12I I =,则''AQ BP =即可.此时P 可以与1P 重合,Q 与2Q 重合,满足题意,但是()PQ AB R λλ=∈不成立,且AP BQ ≠所以A 、B 错误;对于C,若()PQ AB R λλ=∈,则PQ AB ∥,此时必有1P 与1Q 对应(或2P 与2Q ),所以满足 12I I =,所以C 正确;对于D,对于点3P ,满足13AP AP =,但此时3P 在直线AB 上的投影不在P'处,因而不满足''AQ BP =,即12I I ≠,所以D 错误综上可知,C 为正确选项 故选:C【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性强,较为复杂,属于难题. 18.如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）A.56π B.23π C.2π D.4π 【答案】B 【解析】 【分析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点则22,0,,,0,3333r a r a M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2cos ,sin ,0,,0,33ra OA r r ON θθ⎛⎫==⎪⎝⎭设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11x =,解得11cos 2,sin ry z aθθ=-=- 所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m n m nα⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33ra B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r ra x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x =,解得221cos 2,sin ry z aθθ--==-所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足cos 1k h k hβ⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<< 所以203πθ<≤所以θ的最大值是23π 故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题. 二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分） 19.设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，若22a=，34a =，则1a =______，4S =______.【答案】 (1). 1 (2). 15 【解析】根据等比数列的通项公式,可求得1a 与q .再求得4a ,即可求得4S 的值. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式可知11n n a a q -=而22a =,34a = 所以2123124a a q a a q ==⎧⎨==⎩,解方程组可得112a q =⎧⎨=⎩ 所以3341128a a q ==⨯=所以41234+++S a a a a =124815=+++=故答案为:1;15【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n 项和的求法,属于基础题.20.设u ，v 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-，()2,4,v m =--.若a β∥，则实数m =______.【答案】4 【解析】 【分析】根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m 的值. 【详解】因为a β∥,且u ,v 分别是平面a ,β的法向量 则u v ∥因为()1,2,2u =-,()2,4,v m =-- 所以存在λ,满足u v λ= 则()()1,2,22,4,m λ-=--即12242m λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩解得124m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故答案为:4【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题. 21.在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.【答案】916【解析】 【分析】作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.【详解】作'B M CD ⊥于交CD 于M因为,'AD CD AD DD ⊥⊥ 且'CD DD D ⋂= 所以AD ⊥平面'DB C 而AD ⊂平面ACD所以平面ACD ⊥平面'DB C 又因为平面ACD平面'DB C DC =,且'B M CD ⊥所以'B M ⊥平面ACD则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角 因为直角ABC ∆中,3AB =,4AC =所以5BC ==341255AB AC AD BC ⨯⨯===则165DC ===所以169'555DB BC DC =-=-= 在直角三角形'B DC 中,9'95cos 'cos '16165DB B DM B DC DC ∠=∠=== 故答案:916【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题.22.已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.【答案】2+【解析】 【分析】根据函数()f x 存在a R ∈在[]2,b 上恰有两个零点,则求得当2x =时满足条件的a .再由当x b =时取到零点,即可求得b 的值.【详解】因为函数()226f x x ax =+--,()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则必在2x =与x b =时恰好取到零点的边界若2x =时,()f x 的零点满足()2222260f a =+--=解方程求得2a =或4a =-当2a =时, ()2226f x x x =+--,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()22260f b b b =+--=,且2b >解方程可得2b =(舍)或4b =-(舍)当4a =-时, ()2426f x x x =---,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则()24260f b b b =---=,且2b >解方程可得2b =-舍)或2b =+综上可知,当2b =+()f x 在[]2,b 上恰有两个零点故答案为: 2+【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题.三、解答题（本大题共3小题，共31分） 23.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R （Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（Ⅰ）3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭π（Ⅲ）⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】 （Ⅰ）将3π代入解析式,即可求得3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. （Ⅱ）根据正弦的二倍角公式化简后,即可求得()f x 的最小正周期. （Ⅲ）根据正弦函数的图像与性质,可求得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】（Ⅰ）2sin cos 33636f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin cos 266222ππ==⨯⨯=即33f π⎛⎫=⎪⎝⎭（Ⅱ）因()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ== （Ⅲ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 因此当233x ππ-=-,即0x =时,()32minf x =- 当232x ππ-=,即512x π=时,()max 1f x = 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了正弦函数的求值,正弦函数的图像与性质简单应用,属于基础题.24.如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）； （Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围.注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.【答案】（Ⅰ）32t p =；（Ⅱ）24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）将M 的横坐标为t 代入抛物线1C 解析式可得()2,M t t ,再代入抛物线2C解析式,化简即可用t 表示p 的值.（Ⅱ）设出点A 的坐标,结合M 的坐标即可表示出直线MA 的方程.联立抛物线1C ,根据相切时判别式0∆=可得2kt ,表示出直线MA 的方程.利用两点式表示出直线MA 的斜率,即可用t表示出点A 的坐标.同理可求得B 点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出MB ,利用点到直线距离公式求得A 到直线MB 的距离,即可表示出MBA ∆的面积S .结合S 的取值范围,即可求得t 的取值范围.【详解】（Ⅰ）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t tt >又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222t pt =,则32t p =（Ⅱ）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=则()()222420k kt t k t ∆=--=-=因此2kt即直线MA 的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k ty x t y t t t --====-+- 从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此2t MB t =-=点2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==故MBA ∆的面积23911272232t t S MB d === 即32732t S =因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即31272432t ≤≤ 解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题,两点间距离公式及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.25.设,a b ∈R ，函数2()3f x ax bx =+-，()||g x x a =-，x ∈R . （I ）若()f x 为偶函数，求b 的值； （Ⅱ）当12b =-时，若(),()f x g x 在[1,)+∞上均单调递增，求a 的取值范围； （Ⅲ）设[1,3]a ∈，若对任意[1,3]x ∈，都有()()0f x g x +≤，求26a b +的最大值. 【答案】（I ）0b =；（Ⅱ）114a ；（Ⅲ）－15.【分析】（I ）由题意函数为偶函数，运用偶函数定义求出b 的值 （Ⅱ）代入12b =-，求出满足题意的条件，得到不等式组，即可求出结果 （Ⅲ）由题意化简()()0f x g x +≤，去绝对值后转化为恒成立问题，求解满足条件的不等式，继而求出26a b +的最大值【详解】（Ⅰ）若()f x 为偶函数，则对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=， 即2233ax bx ax bx --=+- 亦即0bx =， 则0b =；（Ⅱ）由题意，得0,1,21,a baa >⎧⎪⎪-≤⎨⎪⎪⎩，其中12b =-， 则114a ； （Ⅲ）对任意[]1,3x ∈，()()0f x g x +恒成立等价于对任意[]1,3x ∈，()230ax bx x a +-+-恒成立，且()230ax bx x a +---恒成立，即()2130ax b x a ++--≤恒成立，且()2130ax b x a +-+-≤恒成立.分别令函数()()213F x ax b x a =++--，()()213G x ax b x a =+-+-，注意到0a >，故对任意[]1,3x ∈，()0F x 与()0G x 恒成立的充要条件是()()()()10,30,10,30,F FG G ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即830,240,10360,a b a b a b ⎪+⎪⎨+-⎪⎪+-⎩亦即2,8,342,102.3b a b b a a b ⎧⎪⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎪⎩因[]1,3a ∈，故810242233a a a -≤-≤-≤， 因此83a b -. 从而22286616153a a b a a a ⎛⎫++⨯-=-- ⎪⎝⎭， 即2615a b +≤-，当且仅当1a =，83b =-时，等号成立， 所以26a b +最大值是－15.【点睛】本题考查了运用函数的奇偶性定义求参量的值，运用函数单调性求参量的值以及运用不等式问题求解最值，考查了转化的思想，需要熟练掌握解题方法.。
浙江省年高中数学1月学业水平考试试题
那么由
可得 ,
, 是 的两个三等分点
那么
所以
设平面 的法向量为
那么 ,代入可得
化简可得
令 ,解得
所以
平面 的法向量为
由图可知,二面角 的平面角 为锐二面角,所以二面角 的平面角 满足
，那么“ 〞是“ 〞的〔〕
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为
当 时, ,所以 .即“ 〞是“ 〞的充分条件.
当 时,由于 成立,所以 ,即“ 〞是“ 〞的必要条件.
综上可知, “ 〞是“ 〞的充要条件
所以
所以
故答案为: ;
【点睛】此题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n项和的求法,属于根底题.
， 分别是平面 ， 的法向量， ， .假设 ，那么实数 ______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m的值.
【详解】因为 ,且 , 分别是平面 , 的法向量
那么
的图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像.
【详解】因为
而 为偶函数, 为奇函数,所以 为奇函数,所以排除C,D.
当 时, , ,所以 ,所以排除B选项.
应选:A
【点睛】此题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于根底题.
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(二)(含解析)
浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题（二）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.已知集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}|05,B x x x N =<<∈，则A B =（ ） A.{}1,2 B.{}1 C.{}2,3 D.{}1,4解析：选 A 因为{}{}2|3201,2A x x x =-+==，{}{}|05,1,2,3,4B x x x N =<<∈=，所以A B ={}1,2.故选A.2.若[1,1]x ∈-，则函数22x y =-的值域为（ ）A.[1,1]-B.[2,0]-C.3[,0]2- D.[1,0]- 解析：选C 因为[1,1]x ∈-，所以12[,2]2x ∈，所以322[,0]2x -∈-.故选C. 3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=，若41a =，则12a =（ ）A.64B.31C.24D.15解析：选D 因为数列是等差数列，所以79412a a a a +=+，所以1216115a =-=.故选D. 4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（ ）A.3210x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=解析：选B 由题可得，设垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为320x y c ++=，因为直线过点(1,2)A -，所以340c -++=，解得1c =-，所以直线l 的方程为3210x y +-=.故选B.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> ）A.y =B.y =C.y x =D.32y x =±解析：选 A 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，所以3ca =，即223c a =22a b =+，解得2b a =，所以2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±.故选A. 6.函数111y x =+-的图象是下列图象中的（ ）解析：选B 由题可得，函数111y x =+-的图象可由函数1y x=的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，结合函数1y x=的图象可知，选项B 满足条件，故选B.7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ==，则C 的大小为（ ）A.30B.45C.150D.30或150解析：选A 因为1,3,60c b B ===，所以由正弦定理sin sin b c B C =可得sin 1sin 2c B C b ==.因为b c >，所以B C >，知90C <，解得30C =.故选A.8.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+，则“1λ=”是“a b ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A 因为(,2),(1,1)a b λλ=-=+，且a b ⊥，所以(1)20a b λλ⋅=+-=，解得1,2λ=-.所以可知是充分不必要条件.故选A.9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是（ ）A.10B.3C.272 D.113解析：选B 由题可得，约束条件表示的平面区域如图所示，是一个以2251020(1,),(1,),(,)3639为顶点的三角形及其内部区域.由线性规划的特点可知，目标函数3z x y =+在点2(1,)3处取得最小值，其最小值为3.故选B.10.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中所给的数据，可得该几何体的体积为（ ） A.52B.2C.3D.32解析：选D 由题可得，结合三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积为13(12)1122V =⨯+⨯⨯=.故选D . 11.已知函数1()2(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（ ）A.最大值0B.最小值0C.最大值4-D.最小值4-解析：选 C 因为0x <，所以0x ->，所以111()2()2()x x x x x x -+=-+≥-⋅=--，所以12x x +≤-，所以124x x +-≤-.当且仅当1x x=，1x =-时，()f x 有最大值4-.故选C. 12.若点G 为ABC ∆的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =（ ） A.3122a b - B.3122a b + C.2a b - D.2b a -解析：选D 因为点G 为ABC ∆的重心，所以有0GA GB GC ++=.因为,BG a GC b ==，所以GA BG GC a b =-=-，所以22AB GB GA GC BG b a =-=-=-.故选D. 13.已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则tan(2)4πα+的值为（ ）A.195-B.519-C.3117-D.1731- 解析：选 D 因为3sin 5α=，且α是第二象限角，所以可得3tan 4α=-，所以22tan tan 21tan ααα=- 324297116-==--，所以241tan 21177tan(2)2441tan 23117πααα-++===--+.故选D. 14.已知,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥C.,//m m n n αα⊥⊥⇒D.,//l l βαβα⊥⊥⇒解析：选B 对于选项A ，由两平行平面内的各一条直线平行或异面可知，选项A 错误，排除；对于选项C ，,m m n α⊥⊥可以得到//n α或n α⊂，选项C 错误，排除；对于选项D ，,l βαβ⊥⊥可以得到//l α或l α⊂，选项D 错误，排除；对于选项B ，//,l l αβαβ⊥⇒⊥成立，故选B.15.已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和为（ ） A.30272 B.1514 C.30292D.1515解析：选D 因为2211111,24n n n n a a a a a ++=++=+，所以当1n =时，解得21a =；当2n =时，解得312a =；所以可知该数列是以2为周期的周期数列，所以该数列的前2020项和为202011010101015152S =+⨯=.故选D.16.已知正数,x y 满足1x y +=，则1114x y++的最小值为（ ）A.73B.2C.95D.43解析：选C 由题可得，()414144141141144145x y x y x y x y ⎛⎫+⋅++ ⎪+⎝⎭+=+=++ 4(14)4415249414555y xx y ++++++=≥=，当且仅当4(14)4414y x x y+=+，51,66x y ==时取得好.故选C.17.设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时也与圆2:C x2()(y b b +-为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为（ ）A.322- B.21- C.122+ D.323+ 解析：选A 设直线方程为y x m =+，因为直线与椭圆相切，所以代入椭圆方程，可得22222222()20b a x a mx a m a b +++-=，所以由0∆=可得222m a b =+.又因为直线与圆相切，所以2b m b -=，解得(12)m b =+，所以2222(12)b a b +=+，由222b ac =-，所以有22(221)(222)a c +=+，解得222222322221c e a +-===+.故选A. 18.已知矩形ABCD 中，4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 到F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为（ ） A.2π B.2π C.22π D.12π 解析：选C 连接AF 交DE 于点O ，由已知条件易知AF DE ⊥，翻折后可得PO DE ⊥，且2OP ，所以有DE ⊥平面POA ，所以点P 的轨迹是在平面POA 内的半圆.连接OC ，取OCD 中点，连接GH ，由中位线可得1//,2GH PO GH PO =，所以点G 是GH 为半径的半圆轨迹.因为122GH PO ==2.故选C.二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知圆C 的方程为22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为 ，该圆的面积为 .解析：(1,2);5π 由题可得，22(1)(2)5x y -+-=，所以可知该圆的圆心为(1,2)，半径为5r =，所以其面积为25r ππ=.20.若函数21()(27)(0)m f x m m x m -=-->是幂函数，则实数m = .解析：4 因为函数是幂函数，所以2271m m --=，解得4m =或2-.因为0m >，所以4m =.棱21.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是所BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC成的角为2θ，则1θ 2θ（填“>”、“=”或“<”）.解析：< 连接AP ，则11A PA θ∠=，12A PC θ∠=或2πθ-，设APC θ∠=，则122sin sin sin sin θθθθ=<，所以12θθ<.22.已知函数2()()323x nf x m x nx =-++，函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围是 .解析：8[0,)3设()t f x =，()y f t =，因为A B =，所以()0f t =时，0t =，即(0)0f =，所以03n m -=，所以3n m =，所以43n m n +=.因为2()2(2)f x x nx x x n =+=+，由()0f t =得0,2t t n ==-，而()2f x n =-无解，即2220x nx n ++=无解，所以2480n n ∆=-<，解得02n <<.又0n =时符合题意.综上可知02n ≤<，所以48[0,)33n m n +=∈. 三、（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求()12f π的值；(2)若3()10f α=-，04πα<<.求()8f πα+的值.解：1()sin()sin sin cos sin 22f x x x x x x π=+=-=-.(1)所以11()sin12264f ππ=-=-.(2)因为13()sin 2210f αα=-=-，所以3sin 25α=.因为04πα<<，所以022πα<<.所以4cos 25α=.所以()sin 2()sin(2)884f πππααα+=-+=-+sin 2cos cos 2sin44ππαα=--324272525210=-⨯-⨯=-. 24.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)若直线AB 过焦点F ，求AF BF ⋅的值；(2)是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为()0,2F ，4p =， 所以抛物线方程为y x 82=，与直线22y x =+联立消去y 得：016162=--x x ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则16,162121-==+x x x x ， 所以1212||||(2)(2)(24)(24)AF BF y y x x ⋅=++=++=80.(2)假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，则p x x p x x 4,42121-==+， 可得),2,2(p p Q由0=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ， 即0)22)(222()2)(2(2121=-+-++--p x p x p x p x ，所以0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， 代入得01342=-+p p ，解得14p =或1p =-（舍）． 25.已知函数2()(0,1)ax f x a b x b =>>+满足(1)1f =，且()f x 在R上有最大值4. (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，不等式23()(2)mf x x x m≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.解：(1)(1)11af b==+，所以1a b =+. 因为当0x >时，2()4ax a f x b x b x x==≤=++，所以1b +=，解得2b =或12b =.因为1b >，所以2b =，所以3a =. 所以23()2xf x x =+. (2)因为23(2)mx x m+-在[1,2]上恒有意义，所以1m <或2m >. 问题即为22332(2)x mx x x m≤++-对[1,2]x ∈恒成立， 即mx x m≤-对[1,2]x ∈恒成立， 所以有m m x m x x-≤-≤. (i)当1x =时显然成立，当1x ≠时，21x m x ≤-，所以4m ≤(ii)对于21x m x ≥+对[1,2]x ∈恒成立，等价于2max1x m x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭.令1t x =+，则1[2,3]x t =-∈，所以22(1)121x t t x t t -==+-+，其在[2,3]上单调递增， 所以2max4=13x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即43m ≥. 综上可得，实数m 的取值范围是(2,4].。
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷(三)(学生版)
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（三）（原卷版）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.函数22101y x x =-+的值域为A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[4,)+∞2.1和4的等比中项为（ ）A.2B.2-C.2±D.4±3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 的大小为（ ）A.60B.120C.45D.1354.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） 2π2π22π D.π 5.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin()3y x π=+的图象（ ） A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度 6.已知经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是（ ）A.1m <B.1m >-C.11m -<<D.1m >或1m <- 7.设平面向量(2,),(3,1)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为（ ） A.32 B.23 C.32- D.23- 8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 为（ ） A.16 B.17 C.18 D.199.已知抛物线2:C y x =的焦点为00,(,)F A x y 是C 上一点，032AF x =，则0x =（ ） A.14 B.12C.1D.2 10.点(3,1,5),(4,3,1)A B -的中点坐标为（ ） A.1(,2,3)2 B.7(,1,2)2- C.(12,3,5)- D.14(,,2)3311.若x 、y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为A.5B.4C.2 212.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（ ）A.11AC AD ⊥B.11D C AB ⊥C.1AC 与DC 成45角D.11A C 与1B C 成60角14.设,0a b >，则4(1)(1)ba a b++的最小值为（ ）A.5B.7C.9D.1315.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A.若,l m m α⊥⊂，则l α⊥B.若,//l l m α⊥，则m α⊥C.若//,l m αα⊂，则//l mD.若//,//l m αα，则//l m16.下列四个命题中正确的是( ) A.若,a b R ∈，则a b a b -<+ B.若,a b R ∈，则a b a b -<+ C.若实数,a b 满足a b a b -=+，则0ab ≤ D.若实数,a b 满足a b a b -<+，则0ab <17.已知F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,12)+D.(2,12)+18.如图所示，平行四边形ABCD 中，4,2AB AD ==，60DAB ∠=.,E F 在边CD ，CB 上，且满足CDCE CD =，CBCF CB =.若将CEF ∆沿EF 折起，使得平面CEF 与平面ABFED垂直.则直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为（ ）A.35B.25C.110D.310二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==+，若{}1A B =，则实数a = ，A B = .20.在ABC ∆中，AB AC ⊥，2,4AB AC ==，则AB BC ⋅=. 21.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=恒有公共点，则实数a 的取值范围是 .22.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3x f x g x +=.若对[1,2]x ∈，恒有()(2)0af x g x +≥，则实数a 的取值范围是 .三、（本大题共3小题，共31分.）23.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222b a c ac =+-.(1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围.24.已知椭圆2222:1(0)x y C m n m n+=<<的离心率为32，且经过点3(,1)2P . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0)l y kx t k =+≠交椭圆C 于,A B 两点，D 为AB 的中点，OD k 为直线OD 的斜率，求证：OD k k ⋅为定值.25.已知函数2()()1x a f x a R x +=∈+. (1)当1a =时，解不等式()1f x >； (2)对任意的(0,1)b ∈，当(1,2)x ∈时，()b f x x>恒成立，求实数a 的取值范围.。
浙江省数学学业水平考试模拟试卷(2)
浙江省数学学业水平考试模拟试卷(2)浙江省数学学业水平考试试卷一、选择题(本大题共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
每小题中只有一个选项是符合题意的。
不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合P=}1,0{，Q=}2,1,0{，则P I Q =（ ）A.}0{B.}1{C.}1,0{D.}2,1,0{2．直线053=-+y x 的倾斜角是( )A ．ο120 B ．ο150 C ．ο60 D ．ο303．下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的几何体是（ ）A ．圆锥B ．正方体C ．正三棱柱D ．球4．下列函数中，为奇函数的是（ ）A. y =x +1B. 1y x= C. 3log y x = D . 1()2xy =5．下列函数中，在区间),0(+∞内单调递减的是（ ）A. x y ln =B.2-=x y C.xy 2= D.3x y =6．经过点()0,2且斜率为3的直线方程是（ ）A ．063=+-y xB ．063=-+y xC ．063=--y xA. ()+∞,0B. ()2,0C. ()+∞,1D. ()1,015．0==c b 是二次函数c bx ax y ++=2的图象经过原点的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 16．下列各式其中正确的有（ ）①222(l o g 3)2l o g 3=； ②222l o g 32l o g 3=； ③222l o g 6l o g 3l o g 18+=； ④222l o g 6l o g 3l o g 3-=. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个17．函数()x x x f 2log +=π的零点所在区间为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡81,0 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,81 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 18．函数)4cos()4cos()(ππ--+=x x x f 是（ ） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数19．已知ABC ∆，32=⋅，︒=∠30BAC ，则ABC ∆的面积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 420．已知实数54321,,,,a a a a a 构成等比数列，其中8,251==a a ，则3a 的值为（ ）A. 5B. 4C. 4-D. 4±21．若3log log 22=+y x ，则y x +2的最小值是（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12 22．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心,E 为1CC 的中点，那么异面直线OE 与1AD 所成角的余弦值等于（ ）A. 62B. 63C. 33D.2223．椭圆12222=+by a x ()0>>b a 的长轴被圆222b y x=+与x 轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是（ ）A ．21B ．22C ．33D ．322 24．已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支与A 、B 两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则m 的值为（ ）A. 8B. 9C. 16D. 2025．已知平面α内有两定点B A ,,3=AB ，N M ,在α的同侧且α⊥MA ,α⊥NB ，2,1==NB MA ,在α上的动点P 满足PNPM ,与平面α所成的角相等，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）（第EOA 1B 1C1D1DCB AA. π9B. π8C. π4D. π二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）26．已知21tan =α，则ααααsin cos sin cos -+ = . 27．已知幂函数()x f y =的图象过点()2,2，则()9f = .28．圆心在直线x y 2=上，且与x 轴相切于点()0,1-的圆的标准方程 .29．在平面直角坐标系中，椭圆12222=+by ax( 0>>b a )的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = .30．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 .三、解答题(本大题共4小题，第31,32题每题7分，第33,34题每题8分，共30分)31．(本题7分)已知παπα223,53cos <<=，，求α2cos 、α2sin 的值．32．如图所示，四棱锥P –ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD = 2AB，PA ⊥底面ABCD ，E为PC的中点.（Ⅰ）证明：EB ∥平面PAD ；（Ⅱ）若PA = AD ，证明：BE ⊥平面PDC.33．(本题8分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m 所得弦长AB＝35．(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．34．(本题8分)定义在D 上的函数f （x ），如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有Mx f ≤)(成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界．已知函数24121)(-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxa x f ．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在]0,(-∞上的值域，并判断函数f（x）在]0,(-∞上是否为有界函数，请说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
2023年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷(1月份)+答案解析(附后)
2020年浙江省普通高校招生学业水平考试数学试卷（1月份）一、单选题（本大题共18小题，共54分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.( )A. B. C. D.3.( )A. 0B. 1C.D.4.圆的半径是( )A. 2B. 3C. 6D. 95.不等式的解集是( )A. B.C. 或D. 或6.椭圆的焦点坐标是( )A. ，B. ，C. ，D. ，7.若实数x，y满足不等式组则的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知直线平面，，那么过点P且平行于l的直线( )A. 只有一条，不在平面内B. 只有一条，在平面内C. 有两条，不一定都在平面内D. 有无数条，不一定都在平面内9.过点且与直线垂直的直线方程是( )A. B. C. D.10.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则( )A. 1B.C. 2D.11.函数的图象大致是( )A.B.C.D.12.某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积单位：是( )A.B.C. 1D. 213.设a，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.设点、分别是双曲线、的左、右焦点．若双曲线上存在一点P，使得，且，则该双曲线的离心率是( )A. B. C. D.15.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是( )A. B. C. D.16.设数列满足，，，，则满足的n 的最大值是( )A. 7B. 9C. 12D. 1417.设点A ，B 的坐标分别为，，P ，Q 分别是曲线和上的动点，记，，( )A. 若，则B. 若，则C.若，则D. 若，则18.如图，在圆锥SO 中，点A 、B 是上的动点，是的直径，点M 、N 是线段SB 的两个三等分点，，记二面角、的平面角分别为、，若，则的最大值是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共15分）19.设等比数列的前n 项和为，若，，则__________，__________.20.设，分别是平面，的法向量，，若，则实数__________.21.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑ēnà是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折至的位置，使得四面体为一个鳖臑，则直线与平面ADC所成角的余弦值是__________.22.已知函数若存在，使得在上恰有两个零点，则实数b的最小值是__________.三、解答题（本大题共3小题，共31分。
2021年浙江省普通高中学业水平考试_数学_含答案
浙江省普通高中学业水平考试数学卷选择题部分一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
每小题中只有一个选项是符合题意的。
不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB 的元素个数是(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2．22log 12log 3-=(A)2- (B)0 (C)12(D)2 3．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 4．函数R))(3π2sin()(∈+=x x x f 的最小正周期为 (A)2π(B) π (C) π2 (D) 4π 5．直线230x y ++=的斜率是 (A)12-(B)12(C)2- (D)2 6．若1x =满足不等式2210ax x ++<，则实数a 的取值范围是 (A)(3,)-+∞ (B)(,3)-∞- (C)(1,)+∞ (D)(,1)-∞ 7．函数3()log (2)f x x =-的定义域是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)(,2]-∞ (D)(,2)-∞ 8．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3 (C)(1,0),3- (D)(1,0),3(第3题图)9．各项均为实数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a = (A)2 (B)2- (C)2 (D)2- 10．下列函数中，图象如右图的函数可能是(A)3y x = (B)2xy = (C)y x =(D)2log y x =11．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(A) ()+∞,0 (B)()2,0 (C)()+∞,1 (D) ()1,0 13．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（A ）p ⌝：∈∃0x R,020<x （B ）p ⌝：∈∃0x R, 020≤x （C ）p ⌝：x ∀∈R,20x < （D ）p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ 14．若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则实数a 的值为(A)1 (B)0 (C)1- (D)1± 15．在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面 16．在△ABC 中，三边长分别为c b a ,,，且︒=30A ，︒=45B ，1=a ，则b 的值是(A)21(B) 22 (C) 2 (D) 2617．若平面向量,a b 的夹角为60，且|2|=|a b |，则 (A)()⊥+a b a (B)()⊥-a b a (C)()⊥+b b a (D)()⊥-b b a(第10题图)18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与面11B BCC 所成角的正切值为 (A)62 (B) 63(C)2 (D)2219．函数44sin cos y x x =-在]3π,12π[-的最小值是(A)1- (B)32- (C)12(D)1 20．函数1()2x f x x=-的零点所在的区间可能是 (A)(1,)+∞ (B)1(,1)2 (C)11(,)32 (D)11(,)4321．已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为 (A)0 (B)18 (C)96 (D)60022．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则此双曲线的离心率是(A)3 (B)22 (C)3 (D)10 23．若将一个真命题．．．中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题．．．，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． 其中是“可换命题”的是(A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④CD A 1B 1C 1E（第18题图）24．用餐时客人要求：将温度为10C 、质量为25.0 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至C C ～︒︒4030.服务员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、5.2 kg 质量为的热水中，5分钟后立即取出．设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提高的温度1t C ∆与2m kg 水降低的温度2t C ∆满足关系式11220.8m t m t ⨯∆=⨯⨯∆，则符合客人要求的x 可以是(A)4 (B)10 (C)16 (D)2225．若满足条件20,20,210x y x y kx y k -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--+≤⎩的点(,)P x y 构成三角形区域，则实数k 的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)(0,1) (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞非选择题部分二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)26．已知一个球的表面积为4πcm 3，则它的半径等于 ▲ cm ．27．已知平面向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．28．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．29．数列{}n a 满足⎩⎨⎧≤≤≤≤=--,1911,2,101,2191n n a n n n 则该数列从第5项到第15项的和为 ▲ ．30．若不存在．．．整数x 满足不等式2(4)(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是 ▲ ．三、解答题(共4小题，共30分) 31．(本题7分) 已知,54sin ),π,2π(=∈θθ求θcos 及)3πsin(+θ的值.32．（本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，）（A ） 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB .（B ）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD ，32,2,3===AB AD PA ,BC =6.(1)求证:;PAC BD 平面⊥ (2)求二面角A BD P --的大小.（第33题B 图）DA B 1CBA C （第33题A 图）33．(本题8分) 如图，由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线 2(1)y a x =-（0y ≥，0a >）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点(2,3).（1）求a 的值；（2）设(1,0)A ,(1,0)B -，过A 且斜率为k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于P ,A ,Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？ 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．34．(本题8分) 已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；(2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．yxO A B PQ（第33题图）参考答案一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题及答案
绝密★启用前2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{4,5,6},{3,5,7}A B ==，则A B =（ ）A ．∅B ．{5}C ．{4,6}D ．{3,4,5,6,7}答案B【分析】根据题意，找两个集合的公共元素，即可得A B .解：因为{4,5,6},{3,5,7}A B ==，所以{}5A B =.故选：B.2．函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[3,2)(2,)---+∞D ．[3,2)(2,)-⋃+∞答案C【分析】根据函数解析式，列不等式组3020x x +≥⎧⎨+≠⎩求解即可.解：根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选：C.3．33log 18log 2-=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案B【分析】利用对数的运算性质计算即可得答案. 解：333318log 18log 2log log 922-===. 故选：B.4．以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是（ ）A ．22(1)(2)20x y +++=B ．22(1)(2)20x y -+-=C ．22(1)(2)5x y +++= D ．22(1)(2)5x y -+-=答案D【分析】由中点坐标公式求圆心坐标()1,2，再求半径即可得答案. 解：解：根据题意得AB 的中点即为圆心坐标，为()1,2， 半径为()()2221025r =-+-=，所以以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是22(1)(2)5x y -+-=. 故选：D.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．43答案A【分析】根据三视图知该几何体为三棱柱，由三视图得几何元素的长度，由三棱柱的体积公式求出几何体的体积.解：如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为2，高为1，几何体的高为2，所以三棱柱的体积为112222V Sh ==⨯⨯⨯=.故选：A.6．不等式|1|24x -<的解集是（ ） A ．(1,3)-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞答案A【分析】根据题意得12x -<，再解绝对值不等式即可得答案. 解：解：由指数函数2xy =在R 上单调递增，12242x -<=， 所以12x -<，进而得212x -<-<，即13x .故选：A.7．若实数,x y 满足不等式组3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6答案C【分析】根据实数,x y 满足的约束条件画出可行域，将2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-，由直线在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.解：由实数,x y 满足约束条件3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，画出可行域如图所示阴影部分：将2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-， 当直线经过点()2,1A 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时目标函数取得最大值，最大值是5， 故选：C8．若直线1:3410l x y 与2:320()l x ay a -+=∈R 平行，则1l 与2l 间的距离是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45答案C【分析】根据1l 与2l 平行，列式求解得4a =，利用平行线间的距离公式代入求解即可. 解：因为1l 与2l 平行，所以3120a -+=，得4a =，所以2:3420l x y -+=，所以1l 与2l 间的距离为35d ==.故选：C.9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin b A =，则B =（ ） A ．6πB ．6π或56π C ．3πD ．3π或23π答案D【分析】根据2sin b A =，利用正弦定理得到2sin sin B A A =求解.解：因为在ABC 中，2sin b A =，所以2sin sin B A A = 因为sin 0A ≠，所以sin 2B =， 因为则()0,B π∈,B =3π或23π故选：D10．已知平面,αβ和直线l ，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,//l l αβ，则//αβ B ．若//,l l αβ⊂，则//αβ C ．若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥ D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ⊥答案C【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.解：解：对于A 选项，若//,//l l αβ，则//αβ或相交，故A 选项不正确； 对于B 选项，若//,l l αβ⊂，则//αβ或相交，故B 选项不正确；对于C 选项，若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥，为面面垂直的判定定理，故C 选项正确；对于D 选项，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ，故D 选项不正确. 故选：C.11．若,a b ∈R ，则“14ab ≥”是“2212a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案A【分析】结合,a b ∈R ，222a b ab +≥和充分，必要条件的概念求解即可. 解：解：当14ab ≥，由于,a b ∈R ，22112242a b ab +≥≥⨯=，故充分性成立；当,a b ∈R ，不妨设1,1a b =-=，2212a b +≥成立，114ab =-≥不成立，故必要性不成立. 故“14ab ≥”是“2212a b +≥”的充分不必要条件. 故选：A. 12．函数()2sin ()ln 2xf x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案A【分析】先根据条件分析出()f x 的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到()f x 的大致图象. 解：因为()()()()()22sin sin ln +2ln 2x xf x f x x x ---===-⎡⎤-+⎣⎦，且()f x 的定义域为R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，所以排除BC ，又因为当0x >且x 较小时，可取0.1x =，所以()()()sin 0.10.10ln 20.01f =>+，所以排除D ， 故选：A.点评：本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*1112,1,n na a n a +=-=-∈N ，则（ ） A ．40100a a < B ．40100a a > C ．40100S S < D ．40100S S >答案D【分析】首先通过列举数列的项，得到数列{}n a 是周期数列，利用周期判断选项. 解：211312a a =-=，321113a a =-=，43112a a =-=-，541312a a =-=，…… 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，前三项和316S =-， 40313112a a a ⨯+∴===-，100333112a a a ⨯+===-，所以40100a a =，4034025136S S a =+=-，100310015332S S a =+=-，所以40100S S >. 故选：D点评：关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列{}n a 中的项，判断数列是周期数列.14．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是（ ）A ．45B ．35C ．310D ．1010答案A【分析】取11A B 的中点N ，连接,EN FN ,可得四边形ANED 为平行四边形，所以//AN DE ，则FAN ∠（或其补角）为异面直线DE 与AF 所成角，在ANF 中由余弦定理可求解.解：取11A B 的中点N ，连接,,EN FN AN由,E N 分别为1111,C D A B 的中点，则11//EN A D 且11EN A D = 在正方体中11//AD A D 且11AD A D =,所以//EN AD 且EN AD = 所以四边形ANED 为平行四边形，所以//AN DE 则FAN ∠（或其补角）为异面直线DE 与AF 所成角. 设正方体的棱长为2，则在ANF 中，11122NF D B ==,415AN AF ==+= 所以2224cos 25255AF AN FN FAN AF AN +-∠===⋅⨯⨯ 故选：A点评：思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．某简谐运动的图象如图所示.若,A B 两点经过x 秒后分别运动到图象上,E F 两点，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB GB EF GB ⋅=⋅ B ．AB AG EF AG ⋅>⋅C ．AE GB BF GB ⋅=⋅D ．AB EF BF AG ⋅>⋅答案B【分析】简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出,E F 两点的坐标，利用数量积的坐标表示逐一验证四个选项即可得正确答案. 解：设()sin f x A x ω=， 由图知1A =，24T πω==，解得2πω=，所以()sin2f x x π=，假设00,sin2E x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()001,sin 12F x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭即001,cos 2F x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()1,1AB =，()1,0GB =，001,cos sin 22EF x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1AG =，00,sin 2AE x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，00,cos 12BF x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于选项A ：11101AB GB ⋅=⨯+⨯=，00cos si 110n212EF x G x B ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⋅=⨯+⨯， 所以AB GB EF GB ⋅=⋅，故选项A 成立； 对于选项B ：10111AB AG ⋅=⨯+⨯=，000cossin22224x x F AG x E ππππ⋅=⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭显然EF AG ⋅最大值为2，AB AG EF AG ⋅>⋅不成立，故选项B 不成立；对于选项C ：0AE GB x ⋅=，0BF GB x ⋅=，所以AE GB BF GB ⋅=⋅，故选项C 成立； 对于选项D ：0coss 221inx AB EF x ππ⋅=+-，0cos12F x B AG π-⋅=所以00cossincos 12sin 21222x x AB EF AG x x BF ππππ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭⋅-⋅=+， 因为sin12x π≤，所以2sin02x π->，即0AB EF BF AG ⋅-⋅>，所以AB EF BF AG ⋅>⋅，故选项D 成立， 故选：B点评：关键点点睛：本题的关键点是求出三角函数的表达式()sin2f x x π=，根据点B与点A 时间间隔相差1秒，若设00,sin 2E x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()001,sin 12F x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭这是解题的关键点.16．已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5答案D【分析】令()1t f x =+，利用代数式法结合零点存在定理得出函数()f t 的零点()11,2t ∈，22t =-，30t =，然后作出函数()1t f x =+，直线1t t =、2t =-、0t =的图象，观察三条直线1t t =、2t =-、0t =与函数()1t f x =+的图象的交点个数，由此可得出结论.解：令()()21ln 1,011,0x x x t f x x x ⎧-+>⎪=+=⎨⎪+≤⎩.①当0t >时，()1ln f t t t=-，则函数()f t 在()0,∞+上单调递增， 由于()110f =-<，()12ln 202f =->， 由零点存在定理可知，存在()11,2t ∈，使得()10f t =；②当0t ≤时，()22f t t t =+，由()220f t t t =+=，解得22t =-，30t =.作出函数()1t f x =+，直线1t t =、2t =-、0t =的图象如下图所示：由图象可知，直线1t t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线0t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点； 直线2t =-与函数()1t f x =+的图象有且只有一个交点. 综上所述，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为5. 故选：D.点评：思路点睛：求解复合函数的零点个数，步骤如下： （1）确定内层函数与外层函数； （2）求出外层函数的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数的交点个数()1,2,3,,i a i n =，由此可得到原函数的零点个数为123n a a a a ++++.17．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（ ）A 2B 171- C ．12D 151- 答案B【分析】首先求直线AP 方程，并求点P 的坐标，根据222PB AF a ==，整理为关于,a c 的齐次方程，再求2e . 解：()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c =-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理为：6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得：64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得21178e -+=，或21178e -=（舍）. 故选：B点评：方法点睛：本题考查求椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABC E F O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭答案C【分析】补全底面为正方形ABCG ，由正方形性质有面GDB ⊥面ABCG ，进而可证ECHF 为平行四边形，则(0,)2CHO πθ∠=∈为直线EF 与平面BOD 所成角，△ABD 中由余弦定理知21cos 1tan DAB θ∠=-，结合棱锥侧面为全等三角形知(0,)2DAB π∠∈，即可求θ的取值范围.解：由AB BC =，90ABC ︒∠=，将底面补全为正方形ABCG ，如下图示，O 为ABCG 对角线交点且GB AC ⊥，又CD DA =有DO AC ⊥，DO GB O ⋂=， ∴AC ⊥面GDB ，而AC ⊂面ABCG ，故面GDB ⊥面ABCG ，若H 为DG 的中点，连接FH ，又,E F 为棱,BC DA 的中点，则//FH AG 且2AG FH =， 而//BC AG ，2BC AG EC ==，有,EC FH 平行且相等，即ECHF 为平行四边形.∴可将EF 平移至HC ，直线EF 与平面BOD 所成角为(0,)2CHO πθ∠=∈，且Rt CHO △中90COH ∠=︒，令2AB BC CD DA ====，2OC =2222tan tan OC BD OH θθ===， ∴△ABD 中，2222cos AB BD AB BD DAB BD +-⋅⋅∠=，即21cos 1tan DAB θ∠=-，∵DAB DAG DCB DCG ≅≅≅，即(0,)2DAB π∠∈，∴21011tan θ<-<，解得tan 1θ>（tan 1θ<-舍去）， 综上有(,)42ππθ∈，故选：C点评：关键点点睛：补全几何体，应用正方形、中位线、平行四边形性质，根据线面角的定义确定对应的平面角，结合余弦定理及空间角的范围，求线面角的范围.二、填空题19．已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||a b +=______. 答案3【分析】根据||2,||1,1a b a b ==⋅=-，由()2||a b a b +=+求解.解：因为||2,||1,1a b a b ==⋅=-， 所以()2||a b a b +=+，222a a b b =+⋅+， ()222113=+⨯-+=，故答案为：320．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.答案22【分析】由题得双曲线的渐近线方程为y x =±，48c =，故,2a b c ==，进而得2a =，故实轴为22.解：解：以两焦点所在直线为y 轴，两焦点所在线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系， 设双曲线的焦距为2c ，由题意得双曲线的渐近线方程为y x =±，48c =， 所以,2a b c ==，进而得2a =.故双曲线的实轴长为：22. 故答案为：22点评：本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为y x =±，48c =，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.21．已知,0a b ∈>R ，若存在实数[0,1)x ∈，使得2||bx a b ax --成立，则ab的取值范围是________.答案21+-⎡⎢⎣⎦【分析】不等式两边同除以b ，先将题意转化为2x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解，即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤，再求出函数对应最值即得结果. 解：解：因为0b >，故不等式两边同除以b ，得21a a x x b b -≤-，令at b=∈R ，即不等式21x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解.去绝对值即得2211tx x t tx -≤-≤-，即2211tx x t x t tx ⎧-≤-⎨-≤-⎩ 即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤即可，由1()1f x x -=+在[0,1)x ∈上，1[1,2)x +∈，11,112x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，即()11,2f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故min ()1t f x ≥=-；由()()()22111()211221121x x g x x x x x x ++===+++-+++-+，利用基本不等式()211x x ++≥+，当且仅当211x x +=+即,)11[0x ∈=时等号成立，故1()2g x ≤=，即max ()g x =，故t ≤， 综上：t的取值范围是1t -≤≤，即a b的取值范围是1ba-≤≤.故答案为：12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点评：方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数（或范围）时的常用方法：（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；（2）根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.三、双空题22．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若141,64a a ==，则q =____，3S =____.答案4 21【分析】首先根据341a q a =得到4q =，再计算3S 即可.解：因为34164a q a ==，所以4q =. 33142114S -==-.故答案为：4；21四、解答题23．已知函数1()cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求函数()f x 的最小正周期； （3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.答案（1（2）2π；（3）[0,1]. 【分析】（1）本题将3x π=代入()f x 中进行计算即可得出结果；（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可得出结果； （3）本题首先可根据20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后通过正弦函数性质即可求出值域.解：（1）1cos 322222f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即32f π⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）1()cos sin sin 2626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的最小正周期2T π=. （3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==；当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =，故()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1]. 24．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程； （2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.答案（1）31y x =±+；（2）212. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.解：（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E 211k=+，即3k =所以，直线l 的方程为31y x =±+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由24y kx tx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-， ∴221020||||11PA PB k x k x ⋅=+-+-()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-.由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++--===++.点评：关键点点睛：（1）由过抛物线焦点的直线与圆相切求斜率，写出直线方程.（2）由直线与抛物线、圆的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式、两直线垂直的性质求参数值.25．设[]0,4a ∈，已知函数24(),1x af x x x -=∈+R . （1）若()f x 是奇函数，求a 的值； （2）当0x >时，证明：()22af x x a ≤-+； （3）设12,x x ∈R ，若实数m 满足()()212f x f x m ⋅=-，证明：1()(1)8f m a f --<. 答案（1）0a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由于函数的定义域为x ∈R ，进而结合奇函数()()f x f x -=-即可得0a =；（2）采用作差比较大小，整理化简得()222412(4)(1)01221x a a x a ax x x x -⎛⎫--+=-+- ⎪++⎝⎭≤； （3）令4t x a =-，222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R ，进而得()f x ≤≤再结合题意即可得22m -≤≤，再分0m a -≤和0m a ->两种情况讨论，其中当0m a ->时，结合（2）的结论得1()(1)(1)(1)228a a f m a f m a a --≤--≤-≤，等号不能同时成立.解：解：（1）由题意，对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-，即224()4()11x a x ax x ---=--++，亦即44x a x a --=-+，因此0a =；（2）证明：因为0x >，04a ≤≤，()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+.所以，()22af x x a ≤-+. （3）设4t x a =-，则222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R ， 当0t =时，0y =；当0t ≠时，216162y a t at =+++；max ()0f x =>，min ()0 f x =<，()f x ≤≤由()()212f x f x m ⋅=-得2max min ()()4 m f x f x -⋅=-≥，即22m -≤≤.①当0m a -≤时，()0f m a -≤，4(1)02a f -=≥，所以1()(1)8f m a f --<；②当0m a ->时，由（2）知，4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤，等号不能同时成立.综上可知1()(1)8f m a f --<. 点评：本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域()f x ≤≤进而结合题意得22m -≤≤，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.。
2021年1月浙江省普通高中学业水平考试化学仿真模拟试题02(学生版)
D．AlCl3 溶液加入过量的氨水：Al3++3NH3·H2O=Al(OH)3↓+3NH4+ 13．已知 FeCO3 与砂糖混用可以作补血剂。某校化学小组同学在实验室里制备 FeCO3 的流程如图所示。 下列说法正确的是( )
A．过滤操作需要用到的玻璃仪器只有烧杯和漏斗 B．沉淀过程中有 NH3 放出 C．可利用 KSCN 溶液检验 FeSO4 溶液是否变质 D．产品 FeCO3 在空气中高温分解可得到纯净的 FeO 14．下列说法不正确的是( ) A．对煤进行综合利用，主要是为了提高煤的燃烧效率 B．石油的裂解所需温度比裂化更高，乙烯可以从石油裂解气中得到 C．可燃冰是甲烷与水在高压下形成的天然气的水合物 D．植物秸秆经水解、酶催化发酵可转化为酒精 15．下列说法不正确的是( ) A．油脂皂化反应中加入乙醇的主要目的是增加反应物的接触面积，以加快反应速率 B．在淀粉水解液中先加过量的氢氧化钠、再滴加碘水，溶液未变蓝，说明淀粉己经完全水解 C．氨基酸分子中都含有-COOH 和-NH2，在—定条件下，它们之间能发生反应生成高分子化合物 D．游泳场馆常用硫酸铜溶液做池水的消毒剂，其原理利用蛋白质的变性 16．如图为反应 2H2(g)＋O2(g)===2H2O(g)的能量变化示意图，下列说法错误的是( )
A．X、Y、Z 三种元素的最高正价依次增大 B．Y、Z 形成的简单氢化物，后者稳定性强 C．Y、Z 形成的简单阴离子，后者半径小 D．工业上用电解 W 和 Z 形成的化合物制备单质 W 12．下列离子方程式不．正．确．的是( ) A．Ba(OH)2 溶液中滴加 NaHSO4 至完全沉淀：Ba2++OH-+H++SO42-=BaSO4↓+H2O B．漂白粉的生产原理：2OH-+Cl2=Cl-+ClO-+H2O C．MnO2 与浓盐酸加热：MnO2＋4H＋＋2Cl－ Mn2＋＋Cl2↑＋2H2O