初中数学竞赛圆

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初中数学竞赛：共圆点问题

初中数学竞赛：共圆点问题同在一个圆上的许多点称为共圆点，或者说这些点共圆．证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考：(1)要证明若干点共圆，先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角．(2)要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等．(3)如果两线段AB，CD相交于E点，且AE·EB=CE·ED，则A，B，C，D四点共圆．(4)若相交直线PA，PB上各有一点C，D，且PA·PC=PB·PD，则A，B，C，D四点共圆．(5)若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆．(6)要证明若干点共圆，先证其中四点共圆，然后再证其余点都在此圆上．共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介．例1 设⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，Y是⊙O1，⊙O2的切点，R，S分别是⊙O1，⊙O2与⊙O3的切点，连心线O1O2交⊙O1于P，交⊙O2于Q．求证：P，Q，R，S四点共圆．分析如图3－54，连YR，则∠PRY=90°，所以∠PRS为钝角，设法证明∠Q与∠PRS互补，则P，R，S，Q共圆．证连RY，PR，RS，SQ，并作切线RX，则在四边形PRSQ中，所以所以P，Q，R，S四点共圆．例2 设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G，分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆．径，所以∠FDN=∠FMN=90°，所以F，D，N，M四点共圆，所以AD·AF=AN·AM．同理，AG·AE=AN·AM，所以AD·AF=AG·AE，所以F，D，E，G四点共圆．例3 在锐角△ABC中，BD，CE是它的两条高线，分别过B，C引直线DE的垂线，BF⊥DE于F，CG⊥DE于G，求证：EF=DG(图3－56)．分析由已知，四边形BCGF为直角梯形，FG为一腰，要证EF=DG，易想，若OH为梯形中位线，则OH⊥FG于H，如果证得EH=HD，则FE=DG便是显然的了．证过BC中点O，作OH⊥DE于H．因为BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，所以∠BEC=∠BDC=90°，所以B，E，D，C四点共圆，所以线段ED为圆O的一条弦．由垂径定理可知，EH=HD，所以FE=DG．说明在此，B，E，D，C四点共圆显然成为从EH=HD到FE=DG的转化条件．例4 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，K，M分别是腰AD，CB上的点，∠DAM=∠CBK(图3－57)．求证：∠DMA=∠CKB．证连KM，令∠DAM=∠1，∠CBK=∠2，∠AMB=∠3，∠AKB=∠4，∠ABF=∠5，∠DKC=∠6，∠CMD=∠7．由于∠1=∠2，所以A，B，M，K四点共圆，所以∠5=∠AKM．又因为AB∥CD，所以∠5=∠DCM，∠AKM=∠DCM，所以K，M，C，D四点共圆，所以∠6=∠7．又因为∠3=∠4，∠CKB=180°-∠4-∠6，∠DMA=180°-∠3-∠7，所以∠CKB=∠DMA．例5 设O为圆的弦MN的中点，过O作弦AB，CD，连AD，BC交MN于F，E．求证：EO=OF(图3－58)．分析欲证OE=OF，最一般的方法是以OE，OF为对应边构造两个三角形，然后证明这两个三角形全等．为此，过A作AG∥MN交圆于G，连OG，EG，CG，以下证明△OEG≌△OFA即可．证因为AG∥MN，所以∠1=∠2=∠EOG．又∠BCG+∠2=180°，所以∠BCG+∠EOG=180°，所以E，C，G，O四点共圆，所以∠3=∠C=∠4．由于∠EOG=∠FOA，OG=OA，所以△OEG≌△OFA，所以OE=OF．说明本例是著名的“蝴蝶定理”，下例是这个定理的一个推广．例6 在过圆心的直线上取P，Q两点，使PO=OQ，过P作割线交圆于C，D，过Q作割线交圆于A，B，连AD，BC，分别交PQ于F，E，则FO=OE(图3－59)．证作AG∥PQ交⊙O于G，连OA，OG，PG，CG，EG．因为OA=OG，所以∠1=∠2．因为AG∥PQ，所以∠5=∠1=∠2=∠6．又PO=OQ，所以△POG≌△QOA，PG=AQ，∠3=∠4=∠GAB．又∠GCB=∠GAB=∠3，所以P，G，E，C四点共圆，所以∠PEG=∠PCG=∠GAD=∠AFQ．这样，△AQF≌△GPE，所以PE=FQ．已知PO=OQ，所以OE=OF．四点共圆在几何证题中也往往成为证明诸圆共点(即几个圆通过同一点)的有力工具，下面再举两个例子．例7 设四条直线相交于A，B，C，D，E，F六点，求证：△BCE，△DCF，△ADE，△ABF 的外接圆共点(图3—60)．证因为圆BEC和圆CDF已有一个交点C，必有另一交点O，且O与C不重合(否则圆EBC 和圆CDF相切于C(O)，则AE∥AF，与假设矛盾)．连OC，OD，OE，OF，则有∠A+∠DOE=∠A+∠EOC+∠COD=∠A+∠ABF+∠AFB=180°，所以A，D，O，E四点共圆，圆AED过O点．同理，圆ABF也过O点．所以△BCE，△DCF，△ADE，△ABF的外接圆共点．说明证明诸圆共点，可先证其中两圆相交(或相切)于某一点，再证此点在其他圆上．也可证诸圆通过某一特殊点．例8 设I为△ABC之内心，过B作圆切CI于I，过C作圆切BI于I．求证：此二圆与圆ABC共点(图3－61)．证因为所作之二圆已有一个交点I，必有另一交点O，并且O与I不重合(否则BI，CI 是过I之两圆公切线，则B，I，C必共线，此与I为△ABC内心相矛盾)．连BO，OC，OI，则∠CIO=∠IBO，∠BIO=∠ICO，=180°．所以A，B，O，C四点共圆，所以所证之三圆共点．【练习】1．设梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，B，F，E四点共圆，则C，D，E，F也必四点共圆．2．四边形EFGH的顶点顺次在四边形ABCD的各边上，并且AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH．求证：E，F，G，H四点共圆．3．如图3－62．在平行四边形ABCD中，取一点P，使∠1=∠2，求证：∠3=∠4．(提示：过D引AP的平行线，过C引BP的平行线，两直线交于P′，连PP′．)4．如图3－63．CE为⊙O的直径，以E为圆心作一圆，⊙O的弦AB所在的直线与⊙E 相切于D，求证：5．设四边形的两条对角线互相垂直，从对角线交点向各边作垂线，求证：这四条垂线的垂足在同一个圆周上(图3－64)．。

初中数学竞赛——圆6.圆与圆(二)

第3讲圆与圆（二）典型例题【例1】分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____________．【例2】如图，A B ⊙，⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距AB 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________．【例3】如图，1O ⊙和2O ⊙的半径为1和3，连接12O O 交2O ⊙于点P ，128O O =，若将1O ⊙绕点P 按顺时针方向旋转360︒，则1O ⊙与2O ⊙共相切_______次．【例4】如图，ABC △是正三角形，点C 在矩形ABDE 的边DE 上，ABC △的内切圆半径是1．则矩形ABDE 的外接圆直径是．【例5】如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为254，点D 在AB 上，74OD =，CD AB ⊥，CD 交半圆'O 于D ．那么与半圆相切，且与BC CD ，相切的'O ⊙的半径长为．【例6】如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．图 3BADCEP【例7】如图，10PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于Q ，若AB m =+m ，n 是正数，求m n +的值．【例8】如图，P 为半圆弧上任意一点，圆⊙1O 、⊙2O 都与ABP △的一边和半圆相切的最大圆，⊙3O 是ABP △的内切圆，其中⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 和半圆的半径分别1r 、2r 、3r 、R ，12r =，21r =，则3r 为．【例9】如图，11PQ PO O Q 、、分别是以123O O O 、、圆4C 内切于半圆1C 及外切于半圆23C C 、．若24PQ =，求圆4C 的面积．【例10】如图，大圆O ⊙的直径cm AB a =，分别以OA OB 、为直径作1O ⊙和2O ⊙，并在O ⊙与1O ⊙和2O ⊙的空隙间作两个等圆3O ⊙和4O ⊙，这些圆互相内切或外PBA123切，则四边形1423O O O O 的面积为___________2cm ．【例11】已知A 为O ⊙上一点，B 为A ⊙与OA 的交点，A ⊙与O ⊙的半径分别为r R 、，且r R <．（1）如图1，过点B 作A ⊙的切线与O ⊙交于M N 、两点．求证：2AM AN Rr ⋅=；（2）如图2，若A ⊙与O ⊙的交点为EF 、，C 是EBF 上任意一点，过点C 作A ⊙的切线与O ⊙交于P Q 、两点，试问2AP AQ Rr ⋅=是否成立并证明你的结论．【例12】两个圆相交于点A 和B ，由点A 作两个圆的切线，分别与两个圆相交于点M 和N ．直线BM 和BN 分别与两个圆交于另外两点P 和Q （P 在BM 上，Q 在BN 上）．求证：MP NQ =．图1图2【例13】如图（1），两半径为r 的等圆1O ⊙和2O ⊙相交于M N ，两点，且2O ⊙过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交1O ⊙和2O ⊙于A B ，两点，连结NA NB ，．（1）猜想点与有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB ∆的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么⑵中的结论是否成立，若成立请给出证明．【例14】如图，1O ，2O 交于A B ，两点，直线MN 垂直于AB 于点A ，分别与12O O ，交于点N M ，，P 为MN 中点，1122AO Q AO Q ∠=∠，求证：12PQ PQ =．QMPB A2O 1O 图1图2Q 2Q 1O 2O 1P N MBA【例15】设圆O 、圆P 外切于A ，外公切线BC 分别切两圆于B 、C ，BC 与OP 的交点为Q ，过Q 引MN BC ⊥交BA 、AC 于S 、R ，求证：QS QR =．【例16】半径为R 的两圆之一过平行四边形ABCD 的顶点A 和B ，而另一圆过顶点D 和C ，点M 是两圆除B 外的另一个交点，求证：AMD △的外接圆半径长也为R ．【例17】如图，已知ABC △的高AD BE 、交于H ，ABC ABH △、△的外接圆分别为O ⊙和O ⊙′．求证：O ⊙与O ⊙′的半径相等． NM SRQPACBOD【例18】在ABC △中，AB AC =，圆1O 与ABC ∆的外接圆内切于D ，与AB 、AC 分别相切于P 、Q ．求证：PQ 的中点O 是ABC △的内切圆圆心．【例19】 A 是O 上一点，O 的半径为R ，以A 为圆心，r 为半径()r R <作圆，设O的弦PQ 与A 切于点M ，求证：不论PQ 的位置如何，PA QA ⋅为定值．【例20】如图，圆O 与圆D 相交于A B ，两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．（1）证明：点O 在圆D 的圆周上．（2）设ABC △的面积为S ，求圆D 的半径r 的最小值．【例21】如图所示，过O ⊙上的一点C 作直径AB 的垂线，垂足为D ，'O ⊙切AB 于点E ，切CD 于点F ，内切半圆O 于点G ，证明：AC AE =．【例22】如右图a ，在矩形ABCD 中，20cm AB =，4cm BC =，点P 从A 开始沿折线A B C D ---以4cm/s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为(s)t ．（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形（2）如右图b ，如果P ⊙和Q ⊙的半径都是2cm ，那么t 为何值时，P ⊙和Q ⊙外切ODCBAO'O G FED C BA作业1. 如图，A B ⊙、⊙的圆心A B ，在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距4cm AB ，现A B ⊙，⊙同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动，则当两圆相切时，A ⊙运动的时间为秒．2. 如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的一边相切，则该矩形的面积为．图al3. 把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．4. 已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC 组成，一圆过A 、D 、E 三点，求该圆半径的长．5. 过定圆的圆心O 作A ，设A 与O 的一个交点为B ，过B 作A 的直径BC ，BC 与O 交于点D ，求证BD BC ⋅为定值．6. 已知圆1O 、2O 外切于P ，过圆1O 上一点A 作圆2O 的切线AC ，交圆1O 于B ，C 为切点．求证：PA AC PB BC=．。

初中数学竞赛——圆4.四点共圆

第1讲四点共圆典型例题一. 基础练习【例1】如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 四点共圆．【例2】如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点E 、F ．求证：A 、D 、E 、F 四点共圆．【例3】如图，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交⊙1O 于C 、D ，割线PEF 交⊙2O 于E 、F ，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．【例4】如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共圆．P E CB ADF⋅2O P1O⋅FDCBAE【例5】如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =⋅．【例6】如图7－63，在ABCD □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ．【例7】如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证：EF //BC ．【例8】如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E ．求证：E 、F 、C 、B 四点共圆．O⋅GF ECD BA【例9】如图，已知：60ABD ACD ∠=∠=o ，1902ADB BDC ∠=∠-∠o ．求证：ABC △是等腰三角形．二. 综合提高【例10】如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD ，点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为弧BD上任一点，连EF 交AB 于点G ．求证：P 、G 、E 、D 四点共圆．【例11】如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB =AC ，BM =MC ，过M 、C 任作一圆，与AC 交于点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE ．【例12】如图7－64，P 为△ABC 外接圆一任意一点，点P 到△ABC 三边的垂足分别为D 、E 、F 三点成一直线．CDBA【例13】如图7-65，在ABCD□中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E、F、G、H．求证：EF//GH．【例14】如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HP⊥AB．求证：∠1＝∠2．【例15】如图7－68，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：EA=EF．【例16】在等边三角形ABC中，D、E分别是边BC、AC上的点，且有12BD CE CD==，连结BE、AD 交于点P ，求证：CP AD ⊥．【例17】设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，垂足为E ，证明：点E 关于AB 、BC 、CD 、DA 的对称点共圆．【例18】证明：三角形的三条高交于一点．【例19】已知在凸五边形ABCDE 中，3BAE BC CD DE α∠===，，且1802BCD CDE α︒∠=∠=-，求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．EDC B A【例20】如图所示，设N 是正九变形，O 为其外接圆的圆心，PQ 和QR 是N 的两相邻边，A 为PQ 的EC BAP中点，而B 为垂直于QR 的圆半径的中点，试求AO 与AB 的夹角．【例21】如图，已知ABC △内接于O ⊙，AD 、BD 为O ⊙的切线，作DE BC ∥，交AC 于E ，连结EO并延长交BC 于F ，求证：BF FC =．D【例22】如图，在凸四边形ABCD 的BC 边上取E 和F （点E 比F 更靠近点B ）．已知BAE CDF∠=∠及EAF FDE ∠=∠，证明：FAC EDB ∠=∠．【例23】如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠为钝角，且AE BC AF CD ⊥⊥，．（1）求证：A E C F 、、、四点共圆；O⋅AC RQ P BFECBDA（2）设线段BD 与（1）中的圆交于M N 、．求证：BM ND =．NM F EBDAC【例24】正方形ABCD 的中心为O ，面积为2009，P 为正方形内的一点，且45OPB ∠=︒，:4:5PA PB =，求PB ．PO DCBA【例25】如图，已知ABC △中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD AB TE AC ⊥⊥，．求证：（1）AHD AHE ∠=∠；（2）BH CHBD CE=．THEDCBA【例26】如图，⊙O 为ABC △的外接圆，60BAC ∠=o ，H 为AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD上取点M ，使BM CH =．连结OM OH 、，求证：OM OH =．【例27】如图，CD 是O e 的直径，弦AE 交CD 于点Q ，点B 是弧»DE上一点，BC 和DE 交于点F ．AB CD ⊥，垂足为M ，求证：QF AB ∥．DC三. 过三点的圆【例28】如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ︒∠=，13BDC ︒∠=，则CBD ∠=_______，BAC ∠=__________．DCBA【例29】已知凸四边形ABCD ，2BAC BDC ∠=∠，2CAD CBD ∠=∠，求证：AB AC AD ==．O ⋅H ME DCBA思维飞跃【例30】如图，直线AB 和AC 与O ⊙分别相切于B C 、，P 为圆上一点，P 到AB AC 、得距离分别为49、，试求P 到BC 的距离．【例31】如图，ABC △中，90ACB ∠=o ，AB 边上的高线CH 与ABC △的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点．PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：//EF AB ．【例32】如图，已知P 是正ABC △外接圆的弧BC 上的任一点．求证：22PA AC PB PC =+⋅．BCADCBAMNPHBACE Q F【例33】如图，PA、PB切圆O于A和B，PO交AB于M，过M任作一弦CD，求证：APC BPD∠=∠．【例34】如图，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，过P引圆O的两条切线，切点分别为C、D，AD 与BC交于点E，求证：EP AP⊥．作业O⋅A BDCFPO⋅DCPBAM1. 在锐角△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ．求证：点H 是△DEF 的内心．2. 已知AB 是圆的直径，AD 为圆的切线，FB 和DB 是圆的割线，分别交圆于E 、C ，求证：BE BF BC BD ⋅=⋅．3. 已知ABC △中，AB AC =，AD 是高，P 为AC 上任一点，PC 的中垂线RQ 交AD 于R ，求证：RPB DAC ∠=∠．4. 如图，设四边形ABCD 的两组对边AB 、DC 及AD 、BC 的交点分别为E 、F ．若E ∠、F ∠的平分线互相垂直，则A 、B 、C 、D 四点共圆．⋅FE C DABRDCBA QP5. 如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，过P 作割线交⊙O 于C 、D ，过B 作BE CD ∥，连结AE交PD 于M ，求证：M 为DC 的中点．6. 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A B 、，所作割线交圆于C D 、两点，C 在P D、之间．在弦上取一点Q ，使DAQ PBC ∠=∠．求证：DBQ PAC ∠=∠．QPDCBAO⋅A DBEMCPAFEDCBM。

初中数学竞赛第十六讲和圆有关的比例线段(含解答)

第十六讲和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析广告牌AB 在视线的水平线DF 之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF 相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF 的水平线上,除D 点外,•DF 上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE 处时∠ADB 最大,看广告效果最好. 那么如何求出CE 的距离呢?由切割线定理可知,DF 2=BF ·AF,且CE=DF,因此,很容易得到 D F 2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m 左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P 作与圆有关的两条直线,点P 与圆的不同位置有两种:1.当点P 在圆内时,这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D,则PA ·PB=PC ·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3) 2.当点P 在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A 、B 与C 、D,则PA ·PB=PC ·PD称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M时,得切割线定理:PA·PB=PM2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P作弦EF⊥OP,交圆于E、F,由于PE=PF,故PA·PB=PC·PD=PE·PF=PF2=r2-OP2,其中r为⊙O的半径.如图4,点P在圆外时,连OM、ON、OP,有PA·PB=PC·PD=•PM·PN=P M2=OP2-r2.综上所述,圆幂定理可以统一为PA·PB=│r2-OP2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O上一定点P向⊙O任作一直线交⊙O于A、B两点,则有PA·PB=│r2-OP2│.(r2-OP2叫做点对于⊙O的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1已知,如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,割线CDF交AB于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O的直径AB.解析设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC2=CD·CF.∴42=k·4k,•k=2.∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt△ACE中,由勾股定理,有根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF.∴EB=4×2，EB=5。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第23讲圆与圆

第二十三讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有文档设计者：设计时间：文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。

Word精品文档，可以编辑修改，放心下载如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC 交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则： (1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ；(2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是，自变量x 的取值范围是．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+ 6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( )A ．5B ．52C ．52+D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ．上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切9．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O l于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．10．如图，已知⊙O l和⊙O2外切于A，BC是⊙O l和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O l于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙O l的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案温馨提示After writing the test paper, you must remember to check Oh, I wish you all can achieve good results!可以编辑的试卷（可以删除）。

初中数学竞赛练习第11讲圆(含解析)

第11讲圆一、模空题I.(2022·福建·九年级统考竞赛〉如1蜀，ABCD为圆。

的内按四边形，且AC..LBD，若AB=IO,CD=8，则阁。

的面积为一一一··B2.(2022·广东·九年级统考竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图｜如三个半圆构成，三个半圆的直径分别为Rt-ABC的斜边βC，］豆角边AB,AC.若以AB,AC为直径的两个半阁的弧长总长度为2π，则以斜边BC为直径的半圆顶积的；最小值为·3.(2018·全国九年级竞赛〉已知D是..ABC内一点，E是AC的中点，AB=6,BC=IO，ζBAD＝ζBCD, LEDC=LABD，则DE＝－A5、』ε豆、C4.(2022谷·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1～4，在旦角边分别为3和4ti甘直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，因10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，缸，缸，....S10，则S1+S2+S3+... +S10＝一一.,因l国2图3国45.216秋山东泰安·九年级党赛〉如图是“横店影视城”的困弧形门，妙可同学到影视城游玩，很想知边这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的因与水平地丽是相切的，，！也＂＇，（＇�＂＇咀f)cm,BD = 200 c m，且AB,CD与水平地商都是垂直，的根据以上数据，你帮助妙可同学计算这个回弧形门的最高点离地丽的高度是一一一一一6.215秋，山东ilfliifr·九年级党和已知正六边形的边心距为占，ljjl］它的周长是一一一·7.215:f)、山东临沂·九年级党赛〉如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的因心角为120。

’则因锥的母线长是·8. 215秋·山东泰安·九年级竞赛〉如图，直线AB与半径为2的。

全国初中数学竞赛《圆》历届真题

初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△AB C 的边 AB 上的一点，使得 AB=3A D ，P 是△AB C 外接圆上一 PB 点，使得，求的值.ADP ACB P D解：连结 AP ，则APB ACBADP，所以，△APB ∽△A DP ， …………………………（5 分）AB APAP A D∴ ，所以，2 AP AB AD3 AD 2 ∴ ， …………………………（10 分） AP 3 A D PB P DAPA D所以 .…………………………（15 分）3BA 2、（05）已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1，B1，C1 分别是 1D点 I 关于边 BC ，C A ，A B 的对称点。

若点 B 在△A1B1C1 的外接C 1圆上，则∠A B C 等于（） A 、30° 答：CB 、45°C 、60°D 、90°ACB 1解：因为 IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△A B C 的内切圆半径），所以点 I 同时是△A1B1C1 的外接圆的圆心，设 IA1 与 B C 的交点为 D ，则 I B ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IB A ＝30°，于是，∠A B C ＝60°3．（06）正方形 AB C D 内接于⊙O ，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP ，交 A C 于点 Q ．若 Q P =Q O ， Q C 则的值为（）D CQ A（A ） 2 3 1 （B ） 2 3 （C ） 3 2 （D ） 3 2 O 答：D ．Q PAB解：如图，设⊙O 的半径为 r ，Q O =m ，则 Q P =m ，Q C =r ＋m ， Q A =r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得 Q A ·Q C =Q P ·Q D ．（第 3 题图）r m 2 2即(r －m)(r ＋m)=m ·Q D ，所以 Q D = ．连结 D O ，由勾股定理，得 Q D =D O 2 2m2r m3 Q C Q Ar m r m3 1 3 122 2 ＋Q O ，即m ，解得所以，rrm3 222m 34．（06）如图，点 P 为⊙O 外一点，过点 P 作⊙O 的两条切线，切点分别为 A ，B ．过点 A 作 PB 的平行线，交⊙O 于点 C ．连结 P C ，交⊙O 于点 E ；连结 AE ，并延长 AE 交 PB 于点 K ．求证：PE ·AC =C E ·K B ．P证明：因为 A C ∥P B ，所以∠KPE =∠A C E ．又 PA 是⊙O 的切线，所以∠KAP =∠AC E ，故∠KPE =∠KA P ，于是K△KP E ∽△KAP ，EK P K AK E K P所以所以，即．K P KE KA 2BA由切割线定理得 K B KE KA2O．…………………………10 分K PKB 因为 A C ∥PB ，△K P E ∽△ACE ，于是PE C EK P A CPE C EK B A C故，CP E ·A C =C E ·K B ． ………………………………15 分（第 4 题）即5（07）已知△ AB C 为锐角三角形，⊙ O 经过点 B ，C ，且与边 AB ，A C 分别相交于点 D ， E ．若⊙ O 的半径与△ 的外接圆的半径相等，则⊙ O 一定经过△ ABC 的（）．A D E （A ）内心答：（B ）．（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：如图，连接 B E ，因为△ ABC 为锐角三角形，所以 BAC ，均为锐角．又因为⊙ O 的半径与△ 的外接圆的半径相等，ABE A D E 且为两圆的公共弦，所以 B A C A B E ． D E 于是， B E C B A C A B E 2 B A C ．（第 3 题答案图）若△ ABC 的外心为 O ，则BOC2B AC ，所以，⊙ O 一定过△ ABC11的外心．故选（B ）．6．已知 AB 为半圆 O 的直径，点 P 为直径 AB 上的任意一点．以点 A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆 O 相交于点 C ；以点 B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆 O 相交于点 D ，且线段C D 的中点为 M ．求证：M P 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接 A C ，A D ，B C ，B D ，并且分别过点 C ，D 作 AB 的垂线，垂足分别（第 13A 题答案图）为和，则 C E ∥D F ．因为 AB 是⊙O 的直径，所以 A C BA DB 90 ．在 Rt △ ABCE ,F Rt △ 中，由射影定理得，AB DPA AC AE AB2 2 ．……………5 分PB BD BF AB 2 2 两式相减可得 PA PB AB AE BF ，2 2 又 PA PB (PA PB )( PA PB ) AB PA PB ， 2 2 于是有，即，PA AEPB BFAE BFPA PB 所以，也就是说，点 P 是线段 EF 的中点．因此，M P 是直角梯形C D F E 的中位 P E P F 线，于是有，从而可得 M P 分别与⊙A 和⊙B 相切．M P AB D E C FA DB C7．如图，点 E ，F 分别在四边形 AB C D 的边 A D ，BC 的延长线上，且满足．若C D ， F E 的延长线相交于点 G ，△ D E G 的外接圆与△ C F G 的外接圆的另一个交点为点，连接 P A ，PB ，P C ，P D ．求证：P A D B CP D P C（1）；（2）△ ∽△ P D C ．P A B 证明：（1）连接 PE ，PF ，P G ，因为 P D G P E G ，所以 P D C P E F ．又因为 P C G P F G ，所以△ P D C ∽△ ， P E F P D E P D P C P E P F于是有 ,C PD F PE ，从而△ ∽△ PCF ，所 P D D E C FD E C FA DB CA D P D 以．又已知，所以，． ………………10 分∽△ P C B ，从而有P CB CP C（2）由于P D A P G E P C B ，结合（ 1）知，△ P D A P A P B P D, D P A C P B ，所以A P BD P ，因此 △∽ △P A BP CP D C ． ………………15 分8、△A B C 中，A B ＝7，B C ＝8，C A ＝9，过△A B C 的内切圆圆心 l 作 DE ∥B C ， 16 A。

初中数学竞赛：圆与圆(附练习题及答案)

初中数学竞赛：圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨 (1)设大圆半径为R ，则小圆半径为R-2，建立R 的方程；(2)证明△EBC ∽△ECF ；(3)过B 、F 、C 三点的圆的圆心O ′，必在BF 上，连O ˊC ，证明∠O ′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则：(1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ；(4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．专题训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围． 3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ； (2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是，自变量x 的取值范围是．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) A ．2 B ．221+C ．231+D ．231+6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC 交B O l的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) A ．5 B ．52 C ．52+ D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ．上述结论，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A ．一定内切B ．一定外切C ．相交D ．内切或外切9．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ； (2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．10．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ，求证：(1)CD 是⊙O l 的直径；(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是 O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆 D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP 及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。

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2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。

若点B 在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC 等于（） A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（）（A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）．（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心10．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB于点H ，则AH AB的值为．8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为。

9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（第3题图）C 1（第8题） CEI ADB（）。

A、2a B 、1 C、2D 、a1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PDPB的值.4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C；以点（第4题）CB 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=；（2）△PAB ∽△PDC ．11（10）．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EFPAD BC∠=．12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。

初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD AP AP AB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分）所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分）2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB的对称点。

若点B 在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC 等于（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（）（A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ，QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2＋QO 2，B 1C 1 （第3题图）即22222m r m m r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又PA 是⊙O所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以KPKE KA KP =，即 KA KE KP ⋅=2．由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． …………………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =，即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）．（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心答：（B ）．解：如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠．于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B OC B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC的外心．故选（B ）．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中（第4题）C（第3题答案图）点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=︒．在Rt △中，由射影定理得22PA AC AE AB ==⋅，22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-，于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=；（2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠，所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PD BC PC=． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 163。

解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ，内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则C（第8题）11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以ar a h a b c =++，因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此,a a h r DEh BC-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c-+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝8(79)168796⨯+=++。

9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）。

A、2a B 、1 C、2D 、a 解：如图，连接OE ，OA ，OB ，设∠D ＝a ，则 ∠ECA ＝120°－a ＝∠EAC又因为∠ABO ＝11(601802)12022ABD a a ∠=︒+︒-=︒-所以 △ACE ≌△ABO ，于是AE ＝OA ＝110．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EFA 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠ 所以Rt△FHA ∽Rt △EFA ，AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 13=.（第9题）11（10）．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EFPAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EF AHBC AP =，从而 EF PDBC AP=，所以 tan PD EFPAD AP BC ∠==. …………（20分）12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。