天津市初中数学竞赛赛试题
初中数学竞赛分级训练：数的计算
…
＿ — — — — —
—
一
Ｚ￣ ｏｒ ｏ
．＿
２ ６ ２０ ４０１ ‘ ００ ０６ ２
｛ 了 ｘ ，十 一 ７９丁 了… 一５ ５了了， 百 ，十 一 ９ ＋ 一 ５７ ７ ７ ， ９ ， ｘ ９
Ｂ级 — — 能 力 提 升
６ — ｂ十 下 ｂ ．ａ ＋ ａ ＋
５ 算１ ２ １寺 （ 方 …１ ） ． （ ）一 一 ）（ 计 一－ （ １ 一 ・
６ 观察下列一 组等 式 ， ． 根据 等式 的特 点 用字 母表 示 其规 律．
５ 式 （ ÷（ （号（ ÷（ ÷（ ． ： 一 ） １１ ）＋ ）一 ）＋ 原 １ １ ）一 １ １ １ ＋ 百 ｃ ， ，÷ ÷ ＿ ÷ ｛ ｛ １ （ ・ 一 一 × ×＿ × × × ＋ ； ×
交所截得 的 ２０ ０ ５条线 段 分 别 为 Ａ Ｂ。Ａｚ 。 … ， Ｂ ， ， Ｂ ， Ａ： 细ｓ 试 求 这 ２ ０ 条 线 段 长 之 和 ． （０ ５年 天 津 市 初 中数 学 竞 赛题 ） ０５ ２０
９ 已知 ， ） ． （ ＝
， 求下式பைடு நூலகம்的值 ：
湖北 省武 汉市 第 三初 级 中学
Ｉ． 和 式 ０ ＋ Ｉ＋ ２＋ ３ ＋… ＋２ ０ 中 ， ２在 ０５ 允许 将 其 中 的 某 些 “ ” 改 为 “ ” ， 果 所 得 到 的 代 数 和 为 ， 称 数 ＋ 号 一 号 如 就
Ｋ。向左跳 ３ 单位 到 Ｋ。 第 四步 从 Ｋ。向右跳 ４个 单位 到 个 ，
—
：
ａ＠ ｂ ａ＋ ｘ ｂ
．
７ ． ．Ａ 原式一—
三量
７化简 ．
七年级数学竞赛 第4讲 带余除法
现有某种变换，将明文字母对应的自然数 x 变换为密文字母相应的自然数 x’：x→x’，x’为(3x +m)被 26
除所得余数与 1 之和 (1≤x≤26，1≤m≤26).
已知运用此变换，明文 H 译为密文 T，则密文 QI(“启”的汉语拼音)的明文是字母
。
(深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题)
解题思路：阅读理解，先求出 m 的值，了解明文变换为密文的规则。
从盒中任取一些小球，把每一个小球都变成 7 个小球后放回盒中；如此进行，到某一时刻，魔术师停止取球
变魔术时，盒中球的总数可能是（ ）。
A．1990 个
B．1991 个
C．1992 个
D．1993 个
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
13．1898 年 6 月 9 日英国强迫清政府签约，将香港土地租借给英国 99 年。1997 年 7 月 1 日香港回归祖国，
有一列数 1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是
著名的斐波那契数列，则这列数中的第 2014 个数被 7 除的余数为
。
(北京市竞赛题)
8．除以 8 和 9 都余 1 的所有三位数的和是（
A．6492
B．6565
C．7501
限(“五羊杯”竞赛题)有人
；若将此数保留 2010 个有效数字，则所得
新数的各位数字中 1 的个数是
。
（2）已知
1 7
=
0.a1a2a3
an
(其中 a1，a2，a3，…都是介于 0 和 9 之间的整数)，若小数点后连续 n
个数字之和 a1+a1+a3+…+an=2013，则 an=
八年级数学竞赛例题专题讲解：乘法公式(含答案)
专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 311 4 6 4 1 1510 10 5 1… … … … … … …。
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程
七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。
天津初中数学竞赛
天津市初中数学竞赛试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．若x=a-b a+b，且a≠0，则b a等于（ ） A ．1-x 1+xB ．1+x 1-xC ．x-1 x+1D ．x+1 x-1显示解析2．如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等．如果13、9、3对面的数分别为a 、b 、c ，则a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值等于（ ） A ．48 B ．76C ．96D ．152显示解析3．已知一个三角形的三条边长均为正整数．若其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，则满足条件的三角形个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10显示解析4．如图．在▱ABCD 中，若边AB 上的两点E 、F 满足AE=EF=FB ．CEA ．2b=a+c B．b=a+cC．1c=1a+1bD．1c=1a+1b★☆☆☆☆显示解析6．已知a、b都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+l与x轴有两个不同的交点A、B．若A、B到原点的距离都小于1，则a+b的最小值等于（）A．16B．10C．4D．1显示解析二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）7．已知关于x的方程x2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p的取值范围是．显示解析8．有甲、乙两人，甲在汽车上碰见乙正往相反的方向走去1min后，甲下车去追赶乙．若甲的速度是乙的速度的2倍，但比汽车的速度慢4/5，则自甲下车后追上乙所用的时间为min．显示解析9．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=2（AB+AD）．如果∠D=120°，则∠B等于．显示解析10．如果一个凸n边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n最多为．显示解析11．若在4×4的方格表的16个方格中，每个方格填入一个数，使得每个方格的所有相邻方格中的数的总和均为l（注：相邻方格是指恰有一条公共边的），则方格表中16个数的总和等于．显示解析三、解答题（共3小题，满分60分）12．已知二次函数y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1，其中a为正整数．（1）若函数y的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；（2）若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A1B1，A2 B2，…，A2005 B2005，试求这2005条线段长之和．显示解析13．已知p、g、2q-1p、2p-1q都是整数，且p＞1，q＞1．求p+q的值．显示解析14．如图．△ABC内接于⊙O，AC＞BC，点D为AB的中点．求证：AD2=AC•BC+CD2．显示解析（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.TPBDCBAPP ADCBA例题与求解【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =34CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . （全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图 例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14（武汉市中考试题）解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =23. （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线； （2）求cos ∠BCA 的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.P【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .求证：PE =PC .（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·PA ，只需证明PE 2= PF ·PA . 证△PEF ∽△PAE ，作出常用辅助线，突破相关角.B【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .求证：1PC =12（1PA +1PB ）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A 级1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 交⊙O 于B 、C 两点，M 是BC 上一点，且PA =6，PB =BM =3，OM =2，则⊙O 的半径为 .（青岛市中考试题） 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点.如果BD ∥CF ，BC =25，则CD = .（四川省竞赛试题）PD（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）3．如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 、D ，OP ⊥CD 于点P . 若AB =4cm ，AD =8cm ，⊙O 的半径为5cm ，则OP = .（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PA =4，PB =3，PC =6，EA 切⊙O 于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，AE =25，那么PE 的长为 .（成都市中考试题）5．如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM =MC ，若AM =1.5，BM =4，则OC 的长为（ ） A ．2 6 B ． 6 C ．2 3 D ．2 2（辽宁省中考试题）MD CBAC（第5题图） （第6题图） （第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD =13，PD =4，则两圆组成的圆环的面积为（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线，若AB =12，CD =9，则MD =（ ）A ．3B ．3 3C ．6D ．6 38．如图，⊙O 的直径AB =10，E 是OB 上一点，弦CD 过点E ，且BE =2，DE =22，则弦心距OF 为（ ） A ．1 B ． 2C ．7D ． 3（包头市中考试题）B（第8题图） （第9题图） （第10题图）9．如图，已知在△ABC 中，∠C =90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆. （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若AD =6，AE =62，求DE 的长.（南京市中考试题）10．如图，PA 切⊙O 于A ，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于E ，已知：BE 2=DE ·EA .求证：（1）PA =PD ；（2）2BP 2=AD ·DE .（天津市中考试题）11．如图，△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD =4DC .已知⊙O 过点C 且与AC 相交于F ，与AB 相切于AB 的中点G .求证：AD ⊥BF .（全国初中数学联赛试题）（第11题图） （第12题图）12．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A . 连结CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连结BD 并延长交边AC 于点F.（1）求证：AD ·AC =DC ·EA ；（2）若AC =nAB （n 为正整数），求tan ∠CDF 的值.（太原市竞赛试题）B 级1．如图，两个同心圆，点A 在大圆上，AXY 为小圆的割线，若AX ·AY =8，则圆环的面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π（咸阳市中考试题）2．如图，P 为圆外一点，PA 切圆于A ，PA =8，直线PCB 交圆于C 、B ，且PC =4，AD ⊥BC 于D ，∠ABC =α，∠ACB =β. 连结AB 、AC ，则sin αsin β的值等于（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4（黑龙江省中考试题）βαPAD CB（第1题图） （第2题图） （第3题图）3．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为（ ）A ．23 B ．22 C ．556 D ．5544．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2 CD的长（武汉市中考试题）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=12，PC=10cm，求△BCD 的面积.（北京市海淀区中考试题）6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是⌒BC的中点.（济南市中考试题）7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）PA DCEACB（第7题图） （第8题图）8．如图，P 为⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证：PB BD =PCCD .（四川省竞赛试题）9．如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在的直线的解析式分别为：y =43x 和y =32534+-x .D 、E 分别为边OC 和AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，其交点为Q ．（1）求证：点Q 为△COP 的外心； （2）求正方形OABC 的边长；（3）当⊙Q 与AB 相切时，求点P 的坐标．（河北省中考试题）（第9题图） （第10题图） （第11题图）10．如图，已知BC 是半圆O 的直径，D 是 ⌒AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E . （1）求证：AC ·BC =2BD ·CD ；（2）若AE =3，CD =25，求弦AB 和直径BC 的长.（天津市竞赛试题）11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.证明：AD2=BD·CD.（全国初中数学联合竞赛试题）专题22 与圆相关的比例线段例 1 设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=，由，即=3k10k,得,而AE==8，又BE===16，故AB=AE+BE=24. 例2 C例3 1 提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则由，，，得4=y(y+5x)，. 例4（1）联结OB，OP，可证明△BDC∽△P AE，有.又∵OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD，则CE⊥OC，知CE为☉O的切线，故,有,即PE=PC.例 6 解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得.又由切割线∴，即.解法二：如图2，联结PO 交ST 于D ，则PO ⊥ST .联结SO ，作OE ⊥PB 于E ，则E为AB 的中点，于是.∵C ，E ，O ，D 四点共圆，∴.∵Rt △SPD ∽Rt △OPS ，∴，∴，即.A 级 1. 2. 提示：△BDE ≌△CFE ，DE =EF ，OF =FE =ED ，设OF =x ，则OA =OD =3x ，AE =5x ，由，得，∴. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2)，△AED ∽△ABE ，=.设DE =，BE =2x ，而，解得x =.∴DE =. 10.（1）略 （2）.可得PB =BD =PD ，∴PB =PD =DC ，∴又∵BD CD =AD DE ，∴. 11.作DE ⊥AC 于E ，则AC =AE ，AG =DE .由切割线定理得，故,即.∵AB =5DE ，∴,于是.又∠BAF =∠AED =90°，∴△BAF ∽△AED ，于是又∠ABF =∠EAD . ∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD ⊥BE. 12. ⑴如图，连接AD ，AE. ∵∠DAC=∠DAE ，∴△ADC ∽△EAC AD EAAD AC DC EA DC AC⇒=⇒•=•. ⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA ，∴tan ∠CDF=tan ∠DEA=AD AE .由⑴知=AD DC AE AC ，故tan ∠CDF= DCAC.由圆的切割线定理知2AC DC EC =•，而EC=ED+DC ，则()2AC DC DC ED =+.又AC=nAB ，ED=AB ，代入上式得()22n AB DC DC AB =+，即222n 0DC AB DC AB +•-=，故2114n =2DC -+.显然，上式只能取加号，于是214n 1n DC DC tan CDF AC AB +-∠==.B 级1. B2. B3. C4. A5. 提示：1=2AD CD AC tanB CDDB BC===.设AD=x ，则CD=2x ，DB=4x ，AB=5x ，由△PAC ∽△PCB 得，1=2PA AC PC CB =，∴PA=5，又2PC PA PB =•，即()210=555x +，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴1362BCDSCD DB =•=. 6. ⑴略. ⑵连接FB ，证明PF=PE ，∠BFA=∠AFC.7. ⑴能.连接BC ，作∠ACE=∠B ，CE 交AB 于E. ⑵ PB 与⊙O 相切. ⑶C 是PE 的中点.8. 连接OA 、OB 、OC ，则2PA PD PO PB PC =•=•，于是，B 、C 、O 、D 四点共圆，有△PCD ∽△POB ，则=PC PO POCD OB OC= ①，又由POC ∽△PBD 得PO PB OC BD = ②，由①②得PB PCBD CD=. 9. ⑴略 ⑵ A （4,3），OA=5. ⑶P （3，94）. 10. ⑴延长BA ，CD 交于点G ，由Rt △CAG ∽Rt △BDC ，得AC CG BD BC =，即AC BC BD CG •=•，又12DG CD CG ==，故2AC BC BD CG •=•. ⑵由Rt △CDE ∽Rt △CAG ，得CE CDCG AC =，即2545=，解得CE=5，从而AG= ()()222245354CG AC +=--=，GA GB GD GC •=•，即()442545AB +=⨯，解得AB=6，()222261035BC AB AC =+==++.11. 延长AD 交⊙O 于E ，连接PE 、BE 、CE ，∵PA 为⊙O 的切线，PO ⊥AE ，∴PE=PA ，12AD DE AE ==，易证△PAB ∽△PCA ，△PEB ∽△PCE ，∴,AB PA EB PE AC PC EC PC ==，则AB EB AC EC=，即AB EC AC EB •=•，由托勒密定理得=AB EC AC EB AE BC •+••. ∴=AB EC AC EB AD BC •+••，即AB BC AC BC AD EC AD EB==，，有∵∠BAE=∠BCE ，∠CAD=∠CBE ， ∴△ABD ∽△CBE ，△CAD ∽△CBE ，则△ABD ∽△CAD ，∴AD CD BD AD =，故2AD BD CD =•.。
2010年天津市初中数学竞赛初赛试题-推荐下载
2010年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）计算的值为（）．2222010200920102009201122009--⨯+⨯（A ）1 （B ） （C ）2 009（D ）2 0101-【解】选A ．原式．22222222010200920102009120102009(20112)20102009--===---（2）如图，是一个正方体的表面展开图，正方体的每个面都标注了字母．在展开前，与标注字母的面相对的面内标注的字母为（）．a （A ） （B ）b d （C ） （D ）e f 【解】选B ．（3）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，E 是AD 的中点，,6AB BC CD ++=，则梯形ABCD 的面积等于（）．BE =（A ）13（B ）8（C ） （D ）4132【解】选D ．如图，过点E 作交BC 于点F ，//EF AB 则,,12BF BC =11()(6)22EF AB CD BC =+=-又∵,∴BC AB ⊥EF BC⊥∴在Rt △中，．BFE 222EF BF BE +=∴，即，22211[(6)]()22BC BC -+=2680BC BC -+=解得 或，则或,2BC =4BC =2EF =1EF =第（2）题A BCDEFABC DE第（3）题∴ ．4ABCDS EF BC =⋅=四四（4）某个一次函数的图象与直线平行，与轴，轴的交点分别为132y x =+x y A ，B ，并且过点（，），则在线段上（包括点A ，B ），横、纵坐标都是整数的2-4-AB 点有（ ）．（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个【解】选B ．根据题意，设一次函数的解析式为，12y x b =+由点（，）在该函数图象上，得，解得．2-4-14(2)2b -=⨯-+3b =-所以，．可得点A （6，0），B （0，）．132y x =-3-由，且为整数，取时，对应的是整数．06x ≤≤x 0,2,4,6x =y 因此，在线段上（包括点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有4个．AB （5）如图，一个半径为的圆形纸片在边长为（）的等边三角形内任ra a ≥意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）．（A ） （B2π3r 2（C ）（D ）2π)r -2πr 【解】选C ．如图，当圆形纸片运动到与的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心作两边A ∠1O 的垂线，垂足分别为D ，E ，连，则Rt △中，，，1AO 1ADO 130O AD∠=︒1O D r =．AD =∴．有．12112ADO SO D AD ∆=⋅=1122ADO ADO ES S ∆==四四四∵由题意，，得，1120DO E ∠= 12π3O DES r =四四∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为22π3)3r -四2π)r =-第（5）题AC二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（6）如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．【解】．710根据题意，当不考虑抽牌顺序时，可以画出如下的树形图从上图可以看出，从五张牌中任意抽取两张，共有10种抽法，其中抽取的点数之积是偶数的有7种，所以点数之积是偶数的概率．710P =（7）如图，是一个树形图的生长过程，自上而下，一个空心圆生成一个实心圆，一个实心圆生成一个实心圆和一个空心圆，依此生长规律，第9行的实心圆的个数是 ．【解】21个．观察图形规律，可得，从第3行起，每行中的实心圆的个数都是上两行实心圆个数的和．于是，第7行实心圆的个数为358（个）；+=第8行实心圆的个数为5813（个）；+=第9行实心圆的个数为81321（个）．+=（8）如图，在△ABC 中，中线CM 与高线点数之积378962141618378921242756789638972第（6）题123456……第（7）题C ABDMNCD 三等分，则等于 （度）.ACB ∠B ∠【解】.30︒根据题意，可得，，.CD AB ⊥AM MB =ACD MCD BCM ∠=∠=∠∵，，,ACD MCD ∠=∠CD CD =90CDA CDM ∠=∠=︒∴△△. ∴.ACD ≅MCD ∠12AD DM AM ==过点作于点N ,M MN BC ⊥∵,,,DCM NCM ∠=∠CM CM =90CDM CNM ∠=∠=︒∴△△. ∴.DCM ≅NCM ∠DM NM =于是，∴在Rt △中，.12NM MB =MNB 30B ∠=︒（9）有个连续的自然数1，2，3，…，，若去掉其中的一个数后，剩下的数n n x 的平均数是16，则满足条件的和的值分别是 .n x （参考公式：）2)1(321+=++++=n n n S n 【解】，；，；，.30n =1x =31n =16x =32n =32x =由已知，个连续的自然数的和为.n (1)2n n n S +=若，剩下的数的平均数是 ；x n =12n S n nn -=-若，剩下的数的平均数是 ，1x =1112n S nn -=+-故，解得 .16122nn+≤≤3032n ≤≤当时，，解得；30n =30(301)29162x ⨯+⨯=-1x =当时，，解得；31n =31(311)30162x ⨯+⨯=-16x =当时，，解得.32n =32(321)31162x ⨯+⨯=-32x =（10）母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲.小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付元．【解】20．方法一：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，x y z 根据已知条件，列出方程组3714,41016.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去，得．③z 23x y =-将③代入①，得．④82z y =+由③，④得 ．有 ．所以，小莹应付20元．10x y z ++=2()20x y z ++=方法二：，(37)(410)2()m x y z n x y z x y z +++++=++．(34)(710)()222m n x m n y m n z x y z +++++=++∴ 解得342,7102,2.m n m n m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩4,6.n m =-⎧⎨=⎩∴．2()6(37)4(410)61441620x y z x y z x y z ++=⨯++-++=⨯-⨯=三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）已知，抛物线（）经过、2y ax bx c =++0≠a A B 图中的曲线是它的一部分．根据图中提供的信息，（Ⅰ）确定，，的符号；a b c （Ⅱ）当变化时，求的取值范围．b a b c ++【解】（Ⅰ）如图，由抛物线开口向上，得．……0a >由抛物线过点，得．……6分(0,1)-10c =-<由抛物线对称轴在轴的右侧，得，又 ，得．y 02ba->0a >0b <∴，，．……………………………………10分0a >0b <0c <（Ⅱ）由抛物线过点，得．(1,0)-0a b c -+=即，由，得．……………………………………16分1a b =+0a >1b >-∴，∴．10b -<<(1)12a b c b b b ++=++-=①②∴．……………………………………20分20a b c -<++<（12）（本小题满分20分）设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．若均为整数，且,a b c ,,a b c ，求满足条件的直角三角形的个数．1()3c ab a b =-+【解】由勾股定理，得． ……………………………………3分222c a b =+又，得．1()3c ab a b =-+2222112[()]()()()393c ab a b ab ab a b a b =-+=-+++即．2222212()()293a b ab ab a b a ab b +=-++++整理，得．即． ………………………8分6()180ab a b -++=(6)(6)18a b --=因为均为正整数，不妨设，,a b a b <可得或或61,618,a b -=⎧⎨-=⎩62,69,a b -=⎧⎨-=⎩63,6 6.a b -=⎧⎨-=⎩可解出或或7,24,25,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩8,15,17,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩9,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，满足条件的直角三角形有3个．……………………………………20分（13）（本小题满分20分）如图，在△中，，点在边ABC 45ABC ∠= D 上，，且．将△以BC 60ADC ∠= 12BD CD =ACD 直线为轴做轴对称变换，得到△，连接，AD AC D 'BC '（Ⅰ）求证；BC BC '⊥（Ⅱ）求的大小．C ∠（Ⅰ）【证明】∵△是△沿做轴对称变换得到的，AC D 'ACD AD ∴△≌△.AC D 'ACD 有，．………………3分C D CD '=ADC ADC '∠=∠∵，，12BD CD =60ADC ∠= ABCDC 'ABCDC 'PBC图（b ）∴，．……5分12BD C D '=18060BDC ADC ADC ''∠=-∠-∠= 取中点P ，连接，则△为等边三角形，△为等腰三角形，…8分C D 'BP BDP BC P '有．∴，即． (10)113022BC D BPD BDC ''∠=∠=∠=︒90C BD '∠= BC BC '⊥分（Ⅱ）【解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为．A ,,BC C D BC '',,E F G ∵，ADC ADC '∠=∠即点在的平分线上，A C DC '∠∴．……13分AE AF =∵，，90C BD '∠= 45ABC ∠= ∴，45GBA C BC ABC '∠=∠-∠= 即点在的平分线上，∴．……16分A GBC ∠AG AE =于是，，则点在的平分线上．…………………………18分AG AF =A GC D '∠又∵,有．30BC D '∠=︒150GC D '∠= ∴．∴．………………………20分12AC D '∠=75GC D '∠= C ∠75AC D '=∠= （14）（本小题满分20分）（Ⅰ）如图（），在正方形内，已知两个动圆与互相外切，且a ABCD 1O A 2O A 与边AB 、AD 相切，与边BC 、CD 相切．若正方形的边长为1，1O A 2O A ABCD 与的半径分别为，．1O A 2O A 1r 2r ①求与的关系式；1r 2r ②求与面积之和的最小值．1O A 2O A （Ⅱ）如图（b ），若将（Ⅰ）中的正方形改为一个ABCD 宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则与面积的321O A 2O A 和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．BA图（a ）C【解】（Ⅰ）如图（），在正方形ABCD 中，连接，显然与在上，a AC 1O 2O AC 且，，，1AO =1212O O r r =+22CO 由，1122AC AO O O CO =++=．122r r +++=∴………………………5分122r r +=-②根据题意，，，1r 12≤2r 12≤可得，即．21122r r =-≤321r 12≤∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+∴2211(2)πSr r =+-21122(26rr =-+-．这里，由， (8)分212(3r =-+-3212≤∴当时，与是等圆，其面积和的最小值为．1r =1O A 2O A (3π-……………………………………10分（Ⅱ）如图（b ），作辅助线，得到Rt △，12O O P 则，1212O O r r =+，1121232O P AB r r r r =--=--．212121O P BC r r r r =--=--∵在Rt △中，，12O O P 2221212O O O P O P =+∴．2221212123()()(1)2r r r r r r +=--+--即．2121213()5()04r r r r +-++=AD图（a）A图（b ）解得1252r r +=1252r r +=由于，故1235122r r +<+=1252r r +=+∴ ……………………………………15分1252r r +=∵与的面积之和，1O A 2O A 2212π()S r r =+而，当且仅当时，等号成立，2221212()2r r r r ++≥12r r =∴当时，与面积和存在最小值，12r r =1O A 2O A ，即．37(π8……………………………………20分。
2019年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题(含答案)
全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷一、选择题⑴若四个互不相等的正实数,,c,a b d 满足()()20122012201220122012a c a d --=，()()20122012201220122012bc bd --=，则()()20122012ab cd -的值为（）()A 2012- ()B 2011- ()C 2012 ()D 2011⑵一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1,2,3,4.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）()A 14 ()B 38 ()C 12 ()D 58 ⑶如图，矩形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，将其折叠，使点D 与点B 重合，得折痕EF ，则EF 的长为（）（A ）3（B ）23（C ）10（D ）3102⑷在正就变形ABCDEFGHI 中，若对角线2AE =,则AB AC +的值等于（） （A 3B ）2（C ）32（D ）52⑸有n 个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加 1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n 的最小值等于 （ ）(A ) 171 (B ) 172 (C ) 180 (D ) 181二、填空题2x x=-，则221x x -的值为⑺若四条直线1,1,3,3x y y y kx ==-==-所围成的凸四边形的面积等于12，则k 的值为__________.⑻如图，半径为r 的O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150,120ABC CDE BCD ∠=∠=∠=，那么，O 自点A 至点E 转动了__________周.(9)如图，已知ABC△中，D为BC中点，,E F为AB边三等分点，AD分别交,CE CF于点,M N，则::AM MN ND等于_______.(10)若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则MA MCMB MD++的最小值为______.三、解答题⑾已知抛物线2y=x+mx+n经过点(2,-1)，且与x轴交于两点A(a,0) B(b,0)，若点P为该抛物线的顶点，求使PAB△面积最小时抛物线的解析式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013天津市初中数学竞赛赛试题
所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）：
1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是
（ ）.
A 、a b c <≤
B 、b a c <≤
C 、b c a <≤
D 、c a b <≤
2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若
⊿ABC 的外接圆半径为6，
111
AD BE CF ++
的值是（ ）. A 、1 B 、12
C 、13
D 、16
3、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）.
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面 积等于56
，则
m n
m n
+-的值为（ ）. A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、 4
5、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22
二、填空题（每小题7分，满分35分）：
6、若11111101112
19
a =
++++，则a 的整数部分为 .
7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为10
7
x <
，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .
8、如图，一钢球从入口处自上而下沿通道自由落下，在每个岔口处向两侧滑落是等可能的，则钢球落入出口乙的概率为 .
9.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 与EF 交于点O ，点M 在线段AO 上，ME 、CD 的延长线相交于点N.若∠MFB= 57︒，则∠FNC 的大小等于 . 10.在一张正方形纸片的内部给出了2013个点，连同正方形的4个顶点共有2017个点，按下列规则将这张纸片剪成一些三角形：①每个三角形的顶点都在给出的2017个点中；②每个三角形内部不再有这2017个点中的点.那么，最多可以剪出的三角形的个数是 .
三、解答题（每小题20分，满分80分）：
11. 已知关于x 的函数()2122y k x kx k =--++的图像与x 轴有交点. ⑴求k 的取值范围；
⑵若12,x x 是函数图像与x 轴两个不同交点的横坐标，且满足()212121224k x kx k x x -+++=. ①求k 的值；
②请结合图像，确定当2k x k ≤≤+时，函数y 的最大值和最小值.
出口丁
出口丙出口乙出口甲
入口
M
F
O E N D
C
B
A
12.已知,,a b c 均为正整数，其中c 不是完全平方数，且24a b -== 求a b c ++的值.
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别是BC、AD的中点，AC⊥BD，垂足为H.
求证：四边形HFOE 是平行四边形.
14. 如图，已知D 为锐角⊿ABC 内部的一个点，使得90ADB ACB ∠=∠+︒，且AC BD AD BC ⋅=⋅. ⑴求
AB CD
AC BD
⋅⋅的值.
⑵求证：⊿ACD 的外接圆和⊿BCD 的外接圆在C 点切线互相垂直.
H
O F
E D
C
B
A
D
B
A
C。